z 2

- ввести понятие комплексного числа;
- научить выполнять действия с
комплексными числами;
- рассмотреть различные формы записи
комплексного числа;
- рассмотреть задачи на поле комплексных
чисел.
X2 – 1 = 0
x = - 1, x = 1
X2 + 1 = 0
корней нет
X2 – 5x + 6 = 0
x = 2, x = 3
X2 – 2x + 1 = 0
x=1
X2 – 2x + 2 = 0
корней нет
Решим простейшее
квадратное уравнение:
X2 +1=0
X2 = -1
Пусть −𝟏 = 𝒊 − мнимая единица
x1 = -i, x2 =i
X2 – 2x + 2 = 0
D = 4 – 8 = -4
𝑫 = −𝟒 = 𝟒 ∙ −𝟏 = 𝟐𝒊
𝟐−𝟐𝒊
x1 =
=1–i
𝟐
𝟐+𝟐𝒊
X2 =
= 1+ i
𝟐
Выражение a + bi, где a (действительная часть) иb(мнимая
часть) действительные числа, а i – мнимая единица (𝒊𝟐 = -1)
называется комплексным числом.
Определение Комплексные числа z1 = х1 + iу1 и z2 = х2 + iу2
называются равными, если соответственно равны их
действительные и мнимые части: х1 = х2, у1 = у2.
Определение Два комплексных числа z = х + iу и 𝒛 = х -iу
называются комплексно сопряженными.
Определение Комплексное число равно нулю (z = 0), если
соответственно равны нулю действительная и мнимая части:
х = у = О.
Сумма двух комплексных чисел
z1=х1+iу1 и z2 = х2 + iу2
есть комплексное число
z1+ z2 = (х1 + х2)+ i(у1 + у2).
Пример
Даны комплексные числа
z1 = 3 + 8i, z2 = 1 – 3i .
Найти z1+ z2
Решение:
z1+ z2 = (3 + 8i)+ (1 – 3i) = (3 + 1) + i( 8 – 3) = 4 + 5i
1) (3+i)+(2+3i)
5+4i
2) (3-5i)+(2+i)
5-4i
3) (1+3i)+(-3+i)
-2+4i
4) (-4+3i)+(4-3i)
0
5) (1+i)+(-1-i)
0
𝟏
6) −
𝟐
𝟏
− 𝒊
𝟑
+
𝟏
𝟐
𝟐
− 𝒊
𝟑
-i
7) (-1,2-1,5i)+(-2,8-3,5i)
-4-5i
8) (√3-2i)+(√3+5i)
𝟐 𝟑 + 𝟑𝒊
Разность двух комплексных чисел
z1=х1+iу1 и z2 = х2 + iу2
есть комплексное число
z1- z2 = (х1 - х2)+ i(у1 - у2).
Пример
Даны комплексные числа
z1 = 3 + 8i, z2 = 1 – 3i .
Найти z1- z2
Решение:
Z1- z2 = (3 + 8i)- (1 – 3i) = (3 - 1) + i( 8 + 3) = 2 + 11i
Найти разность комплексных чисел:
1) (3+i)-(2+3i)
1-2i
2) (3-5i)-(2+i)
1-6i
3) (1+3i)-(-3+i)
4+2i
4) (-4+3i)-(4-3i)
-8+6i
5) (1+i)-(-1-i)
2+2i
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟔) − − 𝒊 +
− 𝒊
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑
7) (-1,2-1,5i)-(-2,8-3,5i)
8) (√3-2i)-(√3+5i)
𝟏
-1+ 𝟑i
1,6+2i
-7i
Произведение двух комплексных чисел
z1=х1+iу1 и z2 = х2 + iу2
есть комплексное число
z1 • z2 = (х1х2 - у1у2) + i(х1у2 + х2у1).
Замечание. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел
производят по обычным правилам алгебры, заменяя i2 на - 1 всякий
раз, когда i2 появляется в процессе вычислений.
Пример
Даны комплексные числа
z1 = 3 + 8i, z2 = 1 – 3i .
Найти z1 • z2
z1
•
Решение:
z2=(3 + 8i)(1 – 3i)= 3 + 8i – 9i – 24i2 =27 - i
Найти произведение комплексных чисел:
1) (3+i)(2+3i)
3+7i
2) (3-5i)(2+i)
11-7i
3) (1+3i)(-3+i)
-6-8i
4) (-4+3i)(4-3i)
-7+24i
5) (1+i)(-1-i)
6) (-
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
𝟐
-2i
𝟐
𝟑
- i)( - i)
−
𝟏𝟕 𝟏
+ 𝒊
𝟑𝟔 𝟔
Деление двух комплексных чисел вводится как
действие, обратное умножению. Пусть
z1=х1+iу1и z2 = х2 + iу2(z2 ≠0).
Тогдаz1: z2= z есть такое комплексное число, что
z1= z2• z, где
𝒛𝟏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐
𝒛=
=
+𝒊
𝟐
𝟐
𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝟐𝟐
Практически, чтобы разделить число z1=х1+iу1и z2 = х2 +
iу2необходимо умножить делимое и делитель на комплексное число,
сопряженное делителю 𝑧2 = х2-iу2, т.е.
𝒛𝟏 𝒛𝟏 𝒛2
𝒙𝟏 + 𝒊𝒚𝟏 (𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐 ) 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐
=
=
=
+
𝒊
𝒛𝟐 𝒛𝟐 𝒛2
𝒙𝟐 + 𝒊𝒚𝟐 (𝒙𝟐 − 𝒊𝒚𝟐 )
𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝟐𝟐
𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝟐𝟐
Пример
Даны комплексные числа
z1 = 3 + 8i, z2= 1 – 3i .
𝒛𝟐
Найти
𝒛𝟏
Решение:
𝒛𝟐 𝟏 − 𝟑𝒊
𝟏 − 𝟑𝒊 𝟑 − 𝟖𝒊
𝟑 − 𝟗𝒊 − 𝟖𝒊 + 𝟐𝟒𝒊𝟐
=
=
=
𝒛𝟏 𝟑 + 𝟖𝒊
𝟑 + 𝟖𝒊 𝟑 − 𝟖𝒊
𝟗 − 𝟔𝟒𝒊𝟐
−𝟐𝟕 − 𝟏𝟕𝒊
𝟐𝟕 𝟏𝟕
=
=−
−
𝒊
𝟕𝟑
𝟕𝟑 𝟕𝟑
Найти частное двух комплексных чисел:
𝟏+𝒊
1)
𝟏−𝒊
−𝟏−𝒊
2)
−𝟏+𝒊
𝟑−𝟒𝒊
3)
𝟐+𝒊
𝟐+𝟑𝒊
4)
𝟐−𝟑𝒊
i
0,4-5,5i
𝟓
𝟏𝟐
−
+
𝒊
𝟏𝟑 𝟏𝟑
Даны числа z1, z2, z3. Выполнить следующие действия:
а) z1+z3;б) z3- z1;в) z2z3;
1) 𝑧1 = 1 + 4i,𝑧2 =1-i,
2) 𝑧1 = -4 + i,𝑧2 = 2 - 3i,
3) 𝑧1 = 3-2i,𝑧2 =3 -4i,
4) 𝑧1 = -3+ i,𝑧2 =- i,
5) 𝑧1 = 2+ 3i,𝑧2 =-2 + 2i,
6) 𝑧1 = 3+ 4i,𝑧2 =- 4i,
г) 𝑧1 𝑧1 ; д)
𝑧3 =-2-3i.
𝑧3 =2 + 2i.
𝑧3 =5 + i.
𝑧3 =3 - 5i.
𝑧3 =-1 - 5i.
𝑧3 =-1 + 3i.
𝑧2
𝑧1
№1
а) -1+i
б) -3-7i
в) -5-i
г) 17
10
11
д) −
− 𝑖
17
17
№2
а)-2+3i
б) 6+i
в) 10-2i
г) 17
11
10
д) −
+ i
17
17
№3
а)8-i
б) 2+3i
в) 19-17i
г) 13
17
6
д)
− 𝑖
13
13
№4
а)-4i
б) 6-6i
в) -5-3i
г) 10
1
3
д) −
+ 𝑖
10
10
№5
а) 1-2i
б) -3-8i
в) 12+8i
г) 13
2
10
д)
+ 𝑖
13
13
№6
а) 2+7i
б) -4-i
в) 12+4i
г) 25
16
12
д) −
− 𝑖
25
25
Определение Плоскость, каждой точке которой соответствует
комплексное число, называется комплексной плоскостью.
Действительные числа х изображают точками оси Ох, поэтому
она называется действительной осью, а чисто мнимые числа iу
- точками оси Оу, которую называют мнимой осью.
r – расстояние от точки z
до начала координат
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟 sin 𝜑
x + iy = r(cosφ + i sinφ)
z = r(cosφ + i sinφ) называется тригонометрической формой записи
комплексного числа z = x + iy.
r= 𝑧 =
𝑥 2 + 𝑦 2 - модуль комплексного числа
φ = Arg z = arg z +2πk, k = 0,±1,±2,… - аргумент
Аргумент можно найти по формуле:
𝑡𝑔𝜑 =
𝑦
,
𝑥
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
𝑦
𝑎𝑟𝑔𝑡𝑔 , если 𝑥 > 0, 𝑦 > 0
𝑥
𝑦
𝜋 − 𝑎𝑟𝑔𝑡𝑔
, если 𝑥 < 0, 𝑦 > 0
𝑥
𝜑 =
𝑦
𝜋 + 𝑎𝑟𝑔𝑡𝑔 , если 𝑥 < 0, 𝑦 < 0
𝑥
𝑦
2𝜋 − 𝑎𝑟𝑔𝑡𝑔
, если 𝑥 > 0, 𝑦 < 0
𝑥
Если x>0, а y=0, то arg z = 0
Если x<0, а y=0, то arg z = π
Если x=0, а y>0, то arg z =
𝜋
2
Если x=0, а y<0, то arg z =
3𝜋
2
Утверждение. Два комплексных числа,
записанные в тригонометрической форме,
равны друг другу тогда и только тогда, когда
модули у них равны, а аргументы равны или
отличаются на число, кратное 2π:
r(соs φ + i sin φ) = ρ(соs ψ + i sin ψ) ,
если r = ρ, φ= ψ+2πk, k=0;±1;±2;…
Записать комплексные числа в тригонометрической форме:
а) z = 1- i;
Решение:
𝑟= 𝑧 =
12 + −1
2
= 2
𝑥 = 1 > 0, 𝑦 = −1 < 0
1
𝜋 7𝜋
𝜑 = arg 𝑧 = 2𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
= 2𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = 2𝜋 − =
−1
4
4
7𝜋
7𝜋
1 − 𝑖 = 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
4
4
6) z = 2i.
Решение:
𝑟= 𝑧 =
0 + 22 = 2
𝑥 = 0, 𝑦 = 2 > 0
𝜋
2
𝜑 = (смотри замечание )
𝜋
𝜋
2𝑖 = 2 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛
2
2
Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме:
𝑧1 = 𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑1 , 𝑧2 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑2
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:
𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 𝑐𝑜𝑠(𝜑1 +𝜑2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑1+ 𝜑2 )]
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме:
𝒛𝟏 𝑟1
=
𝑐𝑜𝑠(𝜑1 −𝜑2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑1 −𝜑2 )]
𝒛𝟐 𝑟2
Возведение комплексного числа в целую положительную
степень:
𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜑
z≠0, nϵN
формула Муавра
Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z:
𝑛
𝑧=
𝑛
𝜑 + 2𝜋𝑘
𝜑 + 2𝜋𝑘
𝑟(𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
)
𝑛
𝑛
Придавая k значения 0,1,2,…,n-1, получим n различных
значений корня.
1) Вычислить
−2 2+2𝑖 2
28
11
Решение:
Пусть 𝑧1 = −2 2 + 2𝑖 2, 𝑧2 = 2. Запишем эти числа в тригонометрической
3𝜋
3𝜋
форме: 𝑧1 = 2(𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 ), 𝑧2 = 2(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛0)
4
4
3𝜋
3𝜋 11
2(𝑐𝑜𝑠 4 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 4 )
−2 2 + 2𝑖 2
=
=
8
8
2(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛0)
2
3𝜋
3𝜋
211 𝑐𝑜𝑠11 ∙ 4 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛11 ∙ 4
33𝜋
33𝜋
3 𝑐𝑜𝑠
=
2
+
𝑖
𝑠𝑖𝑛
=
28 𝑐𝑜𝑠8 ∙ 0 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛8 ∙ 0
4
4
11
𝜋
𝜋
= 8 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛
4
4
=8
2
2
+𝑖
2
2
= 8 2(1 + 𝑖)
=
6
2) Найти все значения −64
Решение:
Запишем число z= - 64 в тригонометрической форме:
- 64 = 64(cos𝜋+ i sin𝜋)
6
64 𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋
6
= 64 𝑐𝑜𝑠
𝜋+2𝜋𝑘
6
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
𝜋+2𝜋𝑘
6
где k пробегает значения 0,1,2,3,4,5.
𝑘=0
𝑘=1
𝑘=2
𝑘=3
𝑘=4
𝑘 =5
𝜋 + 2𝜋 ∙ 0
𝜋 + 2𝜋 ∙ 0
𝜋
𝜋
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
= 2 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛
= 3+𝑖
6
6
6
6
𝜋 + 2𝜋 ∙ 1
𝜋 + 2𝜋 ∙ 1
𝜋
𝜋
𝑧1 = 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
= 2 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛
6
6
2
2
= 2𝑖
𝜋 + 2𝜋 ∙ 2
𝜋 + 2𝜋 ∙ 2
5𝜋
5𝜋
𝑧0 = 2 𝑐𝑜𝑠
𝑧2 = 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
6
6
𝜋 + 2𝜋 ∙ 3
𝜋 + 2𝜋 ∙ 3
𝑧3 = 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
6
6
𝜋 + 2𝜋 ∙ 4
𝜋 + 2𝜋 ∙ 4
𝑧4 = 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
6
6
𝜋 + 2𝜋 ∙ 5
𝜋 + 2𝜋 ∙ 5
𝑧5 = 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
6
6
= 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
=− 3+𝑖
6
6
7𝜋
7𝜋
= 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
=− 3−𝑖
6
6
3𝜋
3𝜋
= 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
= −2𝑖
2
2
11𝜋
11𝜋
= 2 𝑐𝑜𝑠
+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
= 3−𝑖
6
6
Комплексное число z = r(cosφ + isinφ)можно записать в
показательной (экспоненциальной) форме 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜑 , где 𝑟
– модуль комплексного числа, 𝜑 – аргумент комплексного
числа.
Используя формулы Эйлера
𝑒 𝑖𝜑 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑒 𝑖𝜑 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑,
получаем 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑒 𝑖𝜑 +𝑒 −𝑖𝜑
,
2
𝑠𝑖𝑛𝜑 =
𝑒 𝑖𝜑 −𝑒 −𝑖𝜑
2𝑖
Пусть заданы комплексные числа в показательной форме:
𝑧1 = 𝑟1 𝑒 𝑖𝜑1 ,
𝑧2 = 𝑟2 𝑒 𝑖𝜑2 .
Умножение комплексных чисел в показательной форме:
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑟1 𝑒 𝑖𝜑1 ∙ 𝑟2 𝑒 𝑖𝜑2 =𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑖(𝜑1 +𝜑2 ) .
2)Деление комплексных чисел в показательной
1)
𝑧
форме: 1
𝑧2
=
𝑟1 𝑒 𝑖𝜑1
𝑟2 𝑒 𝑖𝜑2
=
𝑟1 𝑖(𝜑 −𝜑 )
𝑒 1 2.
𝑟2
3)Возведение
комплексного числа в показательной форме в
𝑛
𝑛
𝑖𝜑
целуюположительную степень nϵN:𝑧 = 𝑟𝑒
= 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜑 .
4)Извлечение
корня n-ой степени из комплексного числа zв
𝑛
показательной форме: 𝑧 =
(k=0,1,2,…,n-1), nϵN
𝑛
𝑟𝑒 𝑖𝜑 =
𝑛
𝑟𝑒
𝑖
𝜑+2𝜋𝑘
𝑛
Представим комплексные числа 𝑧1 = 1 + 3𝑖 и 𝑧2 =
− 5𝑖 в показательной форме.
1)
Решение:
𝑧1 = 1 + 3𝑖
𝑟1 = 𝑧1 =
12
+
x = 1>0, y= 3>0
3 𝜋
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
=
1
3
1 + 3𝑖 = 2𝑒
𝜋
𝑖3
3
2
=2
𝑧2 = −5𝑖
𝑟2 = 𝑧2 =
02 + −5
x = 0, y=-5<0
3𝜋
𝜑=
2
−5𝑖 =
3𝜋
𝑖2
5𝑒
2
=5
Дано число z:
а)представить число zв тригонометрической и
показательнойформе;
б)найти z⁵;
в)вычислить 4 𝑧 .
1) z= 1 + 3𝑖
4) z = -2+ 2 3𝑖
2) z = -4 - 4𝑖
5) z = -2 -2𝑖
3) z = 3 − 𝑖
6) z = -3+ 3𝑖
Рассмотрим изображение наиболее часто встречающихся
множеств комплексных чисел.
а) 𝑧 − 𝑧0 = 𝑅
в) 𝑧 − 𝑧0 > 𝑅
б) 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅
г) r< 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅
𝑧0 - фиксированное комплексное число,
r,R - действительные числа (r> О, R>0)
Пусть z=x+iy, 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 .
Тогда|z− 𝑧0 | = R
𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 = 𝑅 или 𝑥 − 𝑥0
𝑧 − 𝑧0 = 𝑅
2
+ 𝑦 − 𝑦0 2 =𝑅2
𝑧 − 𝑧0 < 𝑅
𝑧 − 𝑧0 > 𝑅
r< 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅
Изобразить на рисунке множество точек комплексной
области, удовлетворяющих условию:
1) 𝑧 + 2𝑖 − 1 ≤ 2
2) 2< 𝑧 + 𝑖 <3
Определение. Областью на комплексной плоскости
называется множество D точек, обладающих следующими
свойствами:
• каждая точка области обладает столь малой окрестностью,
что все точки окрестности принадлежат области D;
• каждые две точки области D можно соединить непрерывной
кривой, все точки которой принадлежат области.
Определение. Если каждому комплексному числу
z ϵ D по некоторому правилу или закону
поставлено в соответствие одно число w ϵ Е или
совокупность комплексных чисел w ϵ Е, то говорят,
что на области D задана функция комплексного
переменного, отображающая множество D во
множество Е.
Обозначают функцию w = f(z).
Множество D - область определения функции;
множество Е - область значений функции.
Определение. Функция называется
однозначной, если каждому числу z ϵ D
поставлено в соответствие только одно число
w ϵ Е, в противном случае функция называется
многозначной.
Найти область определения функции; определить вид функции по
количеству ее значений (однозначная или многозначная).
а) 𝑤 =
1
𝑧
Решение:
1
а)Область
определения функции 𝑤 = есть множество
𝑧
всех точеккомплексной плоскости, кроме z= 0. Функция
однозначна, так как каждому комплексному числу
zϵDпоставлено в соответствие единственное число w:
1
1(1−𝑖)
1−𝑖
Если z=1+i, то 𝑤 =
=
=
;
1+𝑖
если z=2i, то 𝑤 =
1
2𝑖
=
(1+𝑖)(1−𝑖)
1
− 𝑖и т.д.
2
2
б) 𝑤 = 𝑧 − 𝑧 + 1
Решение:
Область определения функции 𝑤 = 𝑧 − 𝑧 + 1есть
множествовсех точек плоскости. Функция двузначна, так
как каждому значению zϵDсоответствует два значения
функции: w1 и w2.
Например, если z= 0, то w= − 1. Найдем значение 1.
Запишем число 1в тригонометрической форме:
1 = 1(соs0+ isin0)
Применяя формулу извлечения корней, получаем
0 + 2𝜋𝑘
0 + 2𝜋𝑘
1 = 1 cos
+ 𝑖 sin
2
2
1) k=0, 1 = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1, w1 = 1
2) k=1, 1 = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 = −1, w2 =-1
Определение.Число С называется пределом функции w= f(z) в
точке z0(или при z → z0), если для любого сколь угодно
малого числа ε>0 найдется такое малое число δ>О, что для
всех z ≠ z0,удовлетворяющих условию |z-z0|< δ, выполняется
неравенство |f(z)-С|< ε,т.е. |f(z)-С| → 0 при |z- z0|→ 0 (z0 и С комплексные числа).
Записывают: lim 𝑓(𝑧)=С.
𝑧→z0
Определение. Производной функции w = f(z) называется
предел отношения приращения функции к приращению
независимого переменного, при условии, что приращение
независимого переменного стремится к нулю, т.е.
∆𝑤
𝑓 𝑧 + ∆𝑧 − 𝑓 𝑧
,
𝑓 𝑧 = lim
= lim
∆𝑧→0 ∆𝑧
∆𝑧→0
∆𝑧
Теорема.Если функция f(z)= и(х,у)+i(х,у) определена в некоторой окрестности точки z= х + iу, причем в этой точке
функции действительных переменных и = и(х,у)и V=
V(х,у)дифференцируемы, то для того чтобы функция w = f(z)
имела производную в точке z, необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке выполнялись условия:
𝜕𝑢
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣
= , = − (условия Коши- Римана).
𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑥
Производную можно находить по одной из формул:
𝑓, 𝑧 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+𝑖
𝜕𝑣
,
𝜕𝑥
𝑓, 𝑧 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−𝑖
𝜕𝑢 ,
,𝑓
𝜕𝑦
𝑓, 𝑧 =
𝑧 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+𝑖
𝜕𝑣
,
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
−𝑖
𝜕𝑢
.
𝜕𝑦
Определение.Функция, имеющая производную в точке z,
называется дифференцируемой в этой точке.
Правила дифференцирования и таблица производных
функций действительного переменного справедливы и для
функций комплексного переменного.
Дифференцируемы ли функции:
а) f(z) = х3 - Зxу2 + i(Зх2y- у3); б) f(z) = у + ix.
Решение:
а) Находим и(х,у)=х3 - Зxу2, v(x, у) = Зх2y- у3;
𝜕𝑢
𝜕𝑣
= х3 − Зxу2 , x=3𝑥 2 − 3𝑦 2 , = Зх2y− у3 , y=3𝑥 2 −
𝜕𝑥
𝜕𝑦
3𝑦 2 ;
𝜕𝑢
𝜕𝑣
,
3
2
= х − Зxу y= - 6xy, = Зх2y− у3
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑣 𝜕𝑢
= ,
𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑦
=−
,
= - 6xy.
x
𝜕𝑣
.
𝜕𝑥
Следовательно, функция
дифференцируема.
2
,
f (z)= 3𝑥 − 3𝑦 2 + 6𝑥𝑦𝑖
б) f(z) = у + ix.
Решение:
Имеем и(х, у) =у, v(х, у) = х ;
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑣
=0;
= 0; = 1;
=1
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Одно из условии Коши-Римана:
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=−
𝜕𝑣
𝜕𝑥
не
выполняется, следовательно, функция не является
дифференцируемой.
Определение. Однозначная функция w = f(z)
называется аналитической в точке z ϵ D , если
она дифференцируема в этой точке и
некоторой ее окрестности.
Определение. Однозначная функция w = f(z)
называется аналитической в области D, если
она дифференцируема в каждой точке z ϵ D .
Выяснить, является ли аналитической функция w = z3 – 2z.
Решение:
Найдем действительную Re w = u и мнимую Im w = v
части функции:
𝑤 = 𝑧 3 − 2𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 3 − 2 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑖𝑦 + 3𝑥 𝑖𝑦 2 + 𝑖𝑦 3 − 2𝑥 − 2𝑖𝑦
= 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑖𝑦 − 3𝑥𝑦 2 − 𝑖𝑦 3 − 2𝑥 − 2𝑖𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑖 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 − 2𝑦
Таким образом, u= 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 − 2𝑥, v=3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 − 2𝑦.
Проверяемусловия Коши-Римана:
𝜕𝑢
𝜕𝑣
2
2
= 3𝑥 − 3𝑦 − 2, = 3𝑥 2 − 3𝑦 2 − 2,
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑣
= −6𝑥𝑦, −
= −6𝑥𝑦.
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Условия выполняются во всех точках комплексной плоскости.
Функция w = z3 – 2z дифференцируема, следовательно,
является аналитической во всех точках этой плоскости.
Проверить, дифференцируема ли функция f(z), если да, то
найти производную функции.
1) f(z)=5z+𝑧 2
2) f(z)=-i𝑧 2 -2i
3) f(z) = 𝑧 2 -3z
4) f(z)=2z-𝑧 2
5) f(z)= -3i+𝑧 2
6) f(z)=i𝑧 2 -3z+1
Спасибо за внимание!