Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Ангарский техникум строительных технологий» ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» Ангарск, 2013г. Рассмотрено и одобрено на заседании ПЦК естественнонаучного цикла Протокол № ____ от «___»______20___г. Председатель ПЦК _____________ А.А. Тюрнева Утверждаю: Директор АТСТ ___________ В.Н. Леснов Рассмотрено и одобрено на заседании методического совета Протокол № ____ от ______________ Председатель совета, зам.директора по УМР _______________ О.Н. Ермакова Автор: Кезля С.В., преподаватель математики первой квалификационной категории ОГАОУ СПО «Ангарский техникум строительных технологий» Рецензент: Клопцова Л.И., зам. директора по учебной работе, преподаватель математики высшей квалификационной категории ГБОУ СПО «Ангарский автотранспортный техникум» СОДЕРЖАНИЕ Пояснительная записка …………………………………………………………… 4 Введение………………………………..………………………………………….. 5 Комплексные числа и их свойства ………………………………………………. 6 Примеры действий с комплексными числами….………………………………. 9 Задачи для самостоятельного решения …………………………………………. 10 Тренировочные упражнения…………………………………………………....... 11 Литература ……………………………………………………............................... 13 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО. Важно то, что при решении задач в процессе обучения математике одной из основных целей является формирование той системы знаний, которая предусмотрена и отражена в учебниках математики. В предлагаемых методических указаниях значительное место уделяется задачам, способствующим усвоению основных понятий и действий с комплексными числами. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться для изучения темы «Действия с комплексными числами». В сборнике имеются задачи, по типу, идее или содержанию которых обучающийся может составить аналогичные, если это представится ему интересным. Новизна данного методического указания заключается в том, что её содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования. Цель методических указаний овладеть правилами действий с комплексными числами при выполнении самостоятельной работы на основе полученных теоретических знаний. Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, контрольную работу на два варианта, список используемой литературы. Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзамена. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Самостоятельная работа обучающегося (всего) систематическая обработка конспектов занятий, учебной литературы выполнение практических заданий подготовка к контрольным работам подготовка рефератов 137 33 90 6 8 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА 1. О комплексных числах В связи с развитием алгебры потребовалось ввести наряду с положительными и отрицательными числами числа нового рода. Они зазываются комплексными.комплексное число имеет вид a+bi, a и b- действительными числами, iчисло, называемое мнимой единицей. Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a+bi; действительное число b-ординатой комплексного числа a+bi. Основное свойство числа i состоит в том что 𝑖 2 = −1. 2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Y м b µ a x Рис. 1 Комплексное число a+bi изображают точкой м, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного числа, а ордината у равна ординате b комплексного числа (рис.1). 3. Тригонометрическая формула комплексного числа. Абсцисса а и ордината b комплексного числа a+bi выражается через модуль r и аргумент q формулами: а = 𝑟cos µ 𝑟 = 𝑎⁄cos µ 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2 b = rsin µ 𝑟 = 𝑏⁄sin µ cos µ = 𝑎 √𝑎2 + 𝑏2 sin µ = 𝑏 √𝑎2 + 𝑏2 r-радиус вектора (a+bi), µ-угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис.1). Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде 𝑟(cos µ + sin µ); r>0 это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа. «Никто не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» Л. Карло. 4. Действия с комплексными числами 4.1 Сложение комплексных чисел Определение: суммой комплексных чисел a+bi и c+di называют комплексное число (a+c)+(b+d)I. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных чисел равна действительному числу: (a+bi)+(a-bi)=(a+a)+(b-b)i=a+a=2a Условие равенства двух комплексных чисел 𝑧1 =a+bi, 𝑧2 =c+di: 𝑎=𝑏 𝑧1 = 𝑧2 <=> { 𝑐=𝑑 Действительное число а записывается так же в виде а+0*I (или а-0*i). Комплексные числа вида bI, a=0 называется «чисто линейными». Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводиться к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, a и bявляются действительными числами, для которых справедливы указанные законы. 4.2 Вычитание комплексных чисел Определение: разностью комплексных чисел a+biи c+di называют комплексное число (a-c)+(b-d)I. 4.3 Умножение комплексных чисел Определение: произведение комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (ac-bd)+(ad+bc)i. Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем предположить, что 𝑖 2 =-1. Произведение сопряженных чисел a+bi и a-bi равно 𝑎2 + 𝑏 2 . (a+bi) (a-bi)=𝑎2 − (𝑏 2 ) = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑖 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 , 𝑖 2 = −1 Произведение сопряженных чисел есть действительное число и притом положительное число. 4.4 Деление комплексных чисел Определение: разделить комплексное число a+bi на комплексное число c+di- значит 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑐 + 𝑑𝑖 (𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) Записать частное в виде дроби и умножать числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем. Решение квадратных уравнений Рассмотрим квадратное уравнение a𝑥 2 +bx+c=0. На множестве действительных чисел это уравнение: 1. Имеет один корень, если D=0 2. Имеет два корня, если D>0 3. Не имеет действительных корней, если D<0 Пример №1𝑧 2 =-25 Т.к. 𝑖 2 =-1, то можно записать 𝑧 2 =25𝑖 2 или 𝑧 2 -25𝑖 2 =0. Раскладывая левую часть на множители, получаем (z-5i)(z+5i)=0, 𝑧1 =5i, 𝑧2 =-5i. Ответ: 5i ;-5i. Пример№2Решить уравнение 𝑧 2 -4z+13=0. Находим корни уравнения: по формулам, т. к. 𝑖 2 =-1 𝑧1 = −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 4 ± √16 − 52 4 ± √−36 4 ± √36𝑖 2 4 ± 6𝑖 = = = = 2𝑎 2 2 2 2 == 2(2 ± 3i = (2 ± 3𝑖). 2 Заметим, что найденные корни являются сопряженными: 𝑧1 =2+3i𝑧2 =2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: (2+3i)+(2-3i)=(2+2)×(3-3)i=4 (2+3i)×(2-3i)=4-9𝑖 2 =4+9=13 Число 4 – это 2-й коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 13 – свободный член, т.е. справедлива теорема Виета. 𝑎𝑥 2 +bх+c=0 𝑥1 +𝑥2 = −𝑏 𝑎 𝑐 𝑥1 ×𝑥2 = . 𝑎 Пример №𝟑 Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее корень 𝑧1 =-1-2i. Второй корень 𝑧2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем 𝑧2 , т.е. 𝑧2 =-1+2i. По теореме Виета находим 𝑧1 +𝑧2 =(-1-2i)+(-1+2i)=(-1-1)+(-2+2)i=-2 𝑧1 ×𝑧2 =(-1-2i)×(-1+2i)=(−1)2 -(2𝑖)2 =1-4𝑖 2 =1+4=5 Ответ: 𝑧 2 +2z+5=0 Примеры действий с комплексными числами Пример№1 𝑧1 =2+3i𝑧2 =-4+7i Найти 𝑧1 +𝑧2 ; 𝑧1 -𝑧2 ; 𝑧1 ×𝑧2 ; 𝑧1 /𝑧2 . 1.1 𝑧1 +𝑧2 = ( 2+3i) + (-4+7i)=(2-4)+(3+7)i=-2+10i; 1.2 𝑧1 -𝑧2 = ( 2+3i) - (-4+7i)=(2+4)+(3-7)i=6-4i; 1.3 𝑧1 ×𝑧2 =( 2+3i) × (-4+7i)=-8+14i-12i+21𝑖 2 =-29+2i, учитывая𝑖 2 =-1; 1.4 𝑧1 /𝑧2 = (2+3𝑖)×(−4−7𝑖) = −8−14𝑖−12𝑖−21𝑖 2 16−49𝑖 2 (−4+7𝑖)×(−4−7𝑖) 13−26𝑖 13 26 = 65 = - i, учитывая 𝑖 2 =-1. 65 65 Пример№2 Представить в тригонометрической форме комплексные числа.Место для формулы. 1) 4-4√3i; 2) -2i; 3) 1-√5 . Используем формулы: z=r×(𝑐𝑜𝑠 𝜑+i𝑠𝑖𝑛 𝜑); r=√𝑎2 + 𝑏 2; 𝑐𝑜𝑠 𝜑= 𝑎 √𝑎2 +𝑏 2 ; 𝑠𝑖𝑛 𝜑= 𝑏 √𝑎2 +𝑏 2 . 2 2.1 |z|=r=√42 + (−4√3) =√16 + 48=√64=8, определим в какой четверти находится точка с координатами (a;b) a=4, b=-4√3. Точка находится в четвертой четверти, следовательно𝑐𝑜𝑠 𝜑 > 0 𝑠𝑖𝑛 𝜑 < 0. 4 1 𝜋 −4√3 8 2 3 8 𝑐𝑜𝑠 𝜑= = 𝜑 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜑= =- 𝜋 𝜋 3 3 √3 2 𝜑=− 𝜋 3 Ответ: z=8×(𝑐𝑜𝑠(- )+𝑖 𝑠𝑖𝑛(− )). 2.2 |z|=r=√02 + (−2)2 =2. Точка имеет координаты (0, -2), находится на оси OY. 0 𝜋 −2 𝜋 2 2 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝜑= =0 𝜑=− 𝑠𝑖𝑛 𝜑= =-1 𝜑=- . 𝜋 𝜋 2 2 Ответ: z=2×(𝑐𝑜𝑠(− )+i𝑠𝑖𝑛(− )). 2.3 a=1-√5b=0 |z|=r=√(1 − √5)2 + 02 =|1-√5| 𝑧, 𝑧 > 0 По свойству модуля |z|={−𝑧, 𝑧 < 0r=√5-1 1−√5 𝑐𝑜𝑠 𝜑= =-1 𝜑=π𝑠𝑖𝑛 𝜑= √5−1 0 =0 𝜑=π √5−1 Ответ: |z|=(√5-1)×(𝑐𝑜𝑠 𝜋+i𝑠𝑖𝑛 𝜋). ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Найти сумму и произведение комплексных чисел №1 𝑧1 =5+2√6I 𝑧2 =5-2√6i №2 𝑧1 =5-3i 𝑧2 =-1+6i №3 𝑧1 =0,2+4i 𝑧2 =-0,3-0,9i Ответы: №1 10 и 49; №2 -4+3iи 18-27i; №3 -0,1+3,1i и 3,54-1,38i. Найти разность и частное комплексных чисел №1 𝑧1 =2+2i 𝑧2 =1-i №2 𝑧1 =a+√𝑏 i 𝑧2 =a-√𝑏i №3 𝑧1 =5-3i 𝑧2 =-4+7i 𝑎2 −𝑏 Ответы: №1 -1-3i и -0,5i; №2 -2√6𝑖и 𝑎2 +𝑏 41 23 №3 -9+10i и - + i. 34 34 Представить в тригонометрической форме комплексные числа №1 𝑧1 =2+2√3i №2 z=15i №3 z=√3-1 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 3 3 2 2 2 2 Ответы: №1 4(𝑐𝑜𝑠 +i𝑠𝑖𝑛 ); №2 5(𝑐𝑜𝑠 +i𝑠𝑖𝑛 ); №3 (√3-1)(𝑐𝑜𝑠 +i𝑠𝑖𝑛 ). Решить уравнения на множестве комплексных чисел №1 𝑥 2 +6x+34=0 №2 𝑥 2 +64=0 №3 𝑥 4 +15𝑥 2 +54=0 Ответы: №1 -3+5i; №2 8i; -8i; №3 3i; -3i. Каждому человеку важно знать, какого уровня он достиг в том или ином виде деятельности. Так как главной деятельностью студента является учебная, то результатом работы будет грамотное выполнение заданий. «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью» С. Стевин (1548г.-1620г.) ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел I вариант II вариант (3+5i) и (7-2i) (6+2i) и (5+3i) (3-2i) и (5+i) (-2+3i) и (7-2i) (4+2i) и (-3+2i) (5-4i) и (6+2i) (-3-5i) и (7-2i).(-5+2i) и (5+2i). 2. Произведите умножение комплексных чисел (2+3i)(5-7i) (6+4i)(5+2i) (3-2i)(7-i) (-2+3i)(3+5i) (1-i)(1+i) (3-i)(3+i) (6+4i)3i (2-3i)(-5). 3. Решите уравнения 𝑥 2 +3x+4=0 4𝑥 2 -20x+26=0 2,5𝑥 2 +x+1=0 𝑥 2 +6x+34=0 𝑥 2 +49=0 𝑥 2 =36. 4. Представьте комплексное число в тригонометрической форме Z=-3 z=1 Z=2i z=-4i Z=3+√3I z=-2+2i. 5. Найдите частное комплексных чисел 𝑧1 =2+3i 𝑧2 =5-7i 𝑧1 =-2+3i 𝑧2 =3+5i. Ответы: I вариант задание 1 10+3i; 8-i; 1+4i; 4-7i. Задание2 31+I; 19-21i; 2; -12+18i Задание3 −3+𝑖√7 −3−𝑖√7 −1+3𝑖 −1−3𝑖 2 ; 2 ; 5 ; 2 ; 7i; -7i. -4+7i; -2-3i; 7; -10-3i Задание4 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 2 2 2 6 6 3×(𝑐𝑜𝑠( − )+𝑖𝑠𝑖𝑛(− )); 2×(𝑐𝑜𝑠 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 ); 2√3×(𝑐𝑜𝑠 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 ) −11 29 Задание5 74 + i. 74 Ответы: II вариант задание1 11+5i; 5+I; 11-2i; 4i; 1-i; -1-6i; 0. Задание2 22+32i; -21-I; 10;-10+15i’ Задание3 Задание4 Задание5 5+𝑖 5−𝑖 ; 2 2 ; -3+5i; -3-5i; 6i; -6i 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋 2 2 2 2 4 (𝑐𝑜𝑠 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 ); 4×(𝑐𝑜𝑠( − )+𝑖𝑠𝑖𝑛(− )); 2√2×(𝑐𝑜𝑠 9 34 19 + i. 34 +i𝑠𝑖𝑛 3𝜋 4 ) ЛИТЕРАТУРА 1. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика / А.П. Савин. – М.: Академия, 2008. – 352 с. 2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 509 с. [3] е.: ил. 3. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. Кн.для учителя / И.С. Петраков. – М.: Просвящение, 2010. – 225 с. 4. Сканави М.И. Сборник задач по математике (геометрия) / М.И. Сканави. – М.: Оникс, 2008. – 512 с.