Теорема 3.2.4. (Замена переменной под знаком предела) Пусть f

Теорема 3.2.4. (Замена переменной под знаком предела)
Пусть f: A → Y,
– предельная точка множества A,
= lim f(x), x→ .
Пусть g: B → Z,
– предельная точка множества B,
= lim g(y), y→ .
Пусть Y
B(тогда определена композиция h=g ◦ f : A → Z, z=h(x)=g(f(x))).
Если при этом существует O°( ,
)) =
) такая, что
)=
f (O°( ,
A ), то
)
.
Доказательство:
)
По определению Гейне докажем, что
Пусть
Тогда h(
{ }, lim
)=g(f(
,x→
=
)). Обозначим f (
Для определения lim g(y), y →
)=
)) =
.
,
нужно, чтобы
y  y0
.
B\ { }.
По условию теоремы имеем:
)
для
Тогда lim g( ) =
)
))
(
, n→ .
По определению Гейне
)
lim g(y) =
y  y0
.▄
Теорема 3.8.1. (Непрерывность композиции непрерывных отображений)
Пусть f : A→Y,
– предельная точка в A, f непрерывна в точке
Пусть Y B, g : B → Z,
точке .
.
= f ( ) – предельная точка в B, g непрерывна в
Тогда h = g ◦ f : A→Z непрерывна в точке
.
Доказательство:
В данном случае выполнены все условия теоремы 3.2.4 о замене переменной.
Из непрерывности f следует, что
)
).
)
Из непрерывности g следует, что
)
)
Дополнительное условие
) не требуется, потому что для
непрерывных отображений не нужно рассматривать проколотые
окрестности.
По теореме о замене переменных получаем:
)
))
(
Отсюда получаем (т.к.
отображения h в точке
h( ) = g(f( ) = g( ) =
)
)
))) получаем непрерывность
:
=
g( f(x)) =
h(x), x→ . ▄