Понятие производной. Урок лекция на 2 часа.

Понятие
производной.
Урок лекция на 2
часа.
Содержание
1. Приращение функции
2. Геометрический смысл приращения
функции
3. Понятие производной.
4. Алгоритм нахождения производной.
5. Примеры.
6. Таблица производных.
Приращение функции
Дан график функции у=4-х2
По графику найти значение
функции в точке х1=1 и
х2=2
у
4
Разность х2 - х1=2-1=1; ∆x=1
f (1)=3; f(2)=0; f(2)- f(1)=0-3= -3
∆f=-3
3
2
∆f
1
-2
-1
0
1
2
∆x
х
Пусть дана функция у=f(х)
y
f ( x)  f ( x0  x)
f
x
f ( x0 )
0
х0
x
х
x
∆х=хх0х –– произвольная
приращение
Пусть
точка в аргумента
окрестности
Разность f(x)-f(x
0) называется приращением функции
фиксированной
точки х0
и обозначается
f
∆f =Разность
f(x)-f(x
0)
или
х-х
0 называется
приращением
аргумента
обозначается
∆f =f(x
0+ ∆x)-f(x
0) - и
приращение
функции
∆ x =x-x0
х=х0+ ∆ x
Содержание
Пример 1:
Найти приращение аргумента и приращение
2
функции в точке х0, если
f ( x)  x
x  1,9
x0  2
Решение:
x  x  x0 ;
x  1,9  2  0,1;
f  f ( x)  f ( x0 );
f  f (1,9)  f (2)  1,9  2  3,61  4  0,39
2
2
Ответ : x  0,1; f  0,39
Геометрический смысл приращения
функции y=kх+b
y
В
f ( x)  f ( x0  x)
f
А
f ( x0 )

0
f
k  tg 
x
х0

f
С
x
x
х
k  tg
ABC - прямоугольный
x
BC
tg 
AC
Прямая l , проходящая через
любые две точки графика функции,
называется секущей к графику функции.
-угловой коэффициент
секущей к графику
функции
Содержание
№184(а )
Пример
f ( x) 
Решение :
1 2
x ; x0  0; x  1
2
tg 
x  x  x0 ;
f  f ( x)  f ( x0 );
x  1  0  1;
1
k  tg 
2
f
;
x
1
1
1
f  f (1)  f (0)  12   02 
2
2
2
0    острый
1
Ответ : tg  ;   острый
2
Понятие производной
Производной функции у = f(x), заданной на некотором
интервале (a; b), в некоторой точке х этого
интервала называют предел отношения приращения
функции в этой точке к соответствующему
приращению
аргумента,
когда
приращение
аргумента стремится к нулю.
∆f
f ′(x) = lim
∆x→0 ∆x
Нахождение производной называют дифференцированием
Содержание
Понятие производной
у
∆f
f ′(x) = lim
∆x→0 ∆x
f(x0)
у = f(x)
∆f
f(x0 + ∆х)
∆х
0
х0
х0+ ∆х
х
Содержание
Алгоритм нахождения
производной
1. Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
2. Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в
новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х).
3. Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
∆f
4. Составить отношение
.
∆х
∆f
5. Вычислить lim
.
∆x→0 ∆х
6. Этот предел и есть f ′(x0).
Содержание
Примеры
1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo
1. f x o   kxo  b
2. f x o  Δx   k x o  Δx   b
3. Δf  f x o  Δx   f x o   k x o  Δx   b  kxo  b  
 kxo  k  Δx  b  kxo  b  k  Δx
Δf
k  Δx
4.

k
Δx
Δx
Δf
5. lim
 lim k   k
Δx 0 Δx
Δx 0

kx  b 
k
Содержание
Примеры
2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo
1. f xo   С
2. f x o  Δx   С
3. Δf  f x o  Δx   f x o   С  С  0
Δf
0
4.

0
Δx Δx
Δf
5. lim
 lim 0  0
Δx  0 Δ x
Δx  0
С   0
Содержание
Примеры
3. Найти производную функции y = x2 в точке хo
1. f xo   xо 
2
2. f xo  Δx   xo  Δx 
2
3. Δf  f x o  Δx   f x o   x o  Δx   x o  
2
2
 x о2  2 x o  Δx  Δx 2  x о2  2 x o  Δx  Δx 2
2x o  Δx  Δx 2 Δx 2 x o  Δx 
Δf
4.


 2 x o  Δx
Δx
Δx
Δx
Δf
5. lim
 lim 2 x o  Δx   2 x o
Δx  0 Δ x
Δx  0

x   2х
2
Содержание
Примеры
4. Найти производную функции y = √x в точке хo
1. f x o   x o
2. f x o  Δx   xo  Δx
3. Δf  f x o  Δx   f x o   x o  Δx  x o 


x o  Δx  x o


x o  Δx  x o

x o  Δx  x o
x o  Δx  x o
x o  Δx  x o
Δf
4.

Δx Δx

 
x o  Δx
  x 

2
o
x o  Δx  x o
Δx
x o  Δx  x o
Δx

x o  Δx  x o
2
1
x o  Δx  x o

Содержание
Примеры
4. Найти производную функции y = √x в точке хo
Δf
4.

Δx Δx

Δx

x o  Δx  x o

1
x o  Δx  x o


Δf
1
1


5. lim
 lim

 2 x
Δx 0 Δx
Δx 0 x  Δx 
x
o
o
o


 x

1

2 х
Содержание
Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
1
1. f x o  
xо
1
2. f x o  Δx  
x o  Δx
1
1
3. Δf  f x o  Δx   f x o  


x o  Δx x o
x o  x o  Δx 
 Δx

 2
x o x o  Δx 
x о  x o  Δx
Δf
 Δx
1
4.

 2
2
Δx Δx x о  x o  Δx  x о  x o  Δx
Содержание
Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo
Δf
 Δx
1
4.

 2
2
Δx Δx x о  x o  Δx  x о  x o  Δx


Δf
1
1
   2
5. lim
 lim  2
Δx 0 Δx
Δx 0 x  x  Δx
xо
o
 о


1
1
   2
х
х 
Содержание
Таблица производных
f (x)
C
f ′(x)
0
f (x)
√x
f ′(x)
1/(2√x)
kx + b
k
ex
ex
x2
2x
ax
ax lna
xn
nxn–1
tg x
1/cos2x
1/x
– 1/x2
ctg x
– 1/sin2x
sin x
cos x
ln x
1/x
cos x
– sin x
loga x
1/(x lna)