24 - Квант

24
Ê Â À Í T 2001/№3
îêðóæíîñòåé íå ïðåâîñõîäèò 2 − 2 è äîñòèãàåò ýòîãî ÷èñëà ëèøü òîãäà, êîãäà
ñòîðîíû âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïàðàëëåëüíû äèàãîíàëÿì êâàäðàòà.
Â.Ïðîèçâîëîâ
М1778*. Íà äîñêå íàïè-
ñàíî êîìïëåêñíîå ÷èñëî
1 + i. Ðàçðåøàåòñÿ ëþáîå
÷èñëî ðàç è â ëþáîì ïîРис.2
ðÿäêå ïðîäåëûâàòü ñëåäóþùèå òðè îïåðàöèè:
1) ñòåðåòü ëþáîå ÷èñëî a + bi è çàïèñàòü âçàìåí äâà ÷èñëà,
ðàâíûõ a + 1 + bi ;
2) ñòåðåòü ëþáîå ÷èñëî a + bi è çàïèñàòü âçàìåí òðè ÷èñëà:
a + 1 + bi , a + b + 1 i è a + 1 + b + 1 i ;
3) ñòåðåòü ëþáîå ÷èñëî a + bi è çàïèñàòü âçàìåí ÷åòûðå
÷èñëà, äâà èç êîòîðûõ ðàâíû a + b + 1 i , à äâà äðóãèõ
ðàâíû a + 1 + b + 1 i .
Ïîñëå íåñêîëüêèõ òàêèõ îïåðàöèé îêàçàëîñü, ÷òî ìîäóëè
âñåõ íàïèñàííûõ ÷èñåë áîëüøå 3. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè
÷èñåë åñòü äâà îäèíàêîâûõ.
È.Âîðîíîâè÷, È.Àêóëè÷
b
b
g
b
g
b
g b
g b
g
g b
b
g
g
М1779. Íàéäèòå âñå ìíîãî÷ëåíû f
à) òàêèå, ÷òî f x + f y = f x + y ;
á) òàêèå, ÷òî af x = f 2001x , ãäå à – íåêîòîðîå ÷èñëî;
â) òàêèå, ÷òî af x + bf y = f cx + dy , ãäå a, b, c, d –
íåêîòîðûå ÷èñëà.
Â.Ñåíäåðîâ
bg bg b g
bg b g
bg bg b
g
М1780*. Êàæäàÿ òî÷êà ñôåðû îêðàøåíà â êðàñíûé èëè
ñèíèé öâåò. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ òðè îäíîöâåòíûå
òî÷êè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ðàâíîñòîðîííåãî
òðåóãîëüíèêà.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ф1778. ×åëîâåê, ñòîÿùèé íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè h îò
äëèííîé ðîâíîé ñòåíû, îñâåùàåò åå ëó÷îì ôîíàðèêà,
âðàùàÿ ôîíàðèê â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Êàê çàâèñèò îò âðåìåíè
ñêîðîñòü ñâåòîâîãî ïÿòíà, áåãóùåãî ïî ñòåíå, ñ òî÷êè
çðåíèÿ ýòîãî ÷åëîâåêà? Íàðèñóéòå ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè.
Â.Øåëåñò
Ф1780. Â ãëóáîêîì êîñìîñå, âäàëè îò âñåõ òÿãîòåþùèõ
ìàññ, íàõîäÿòñÿ òðè òåëà ìàëûõ ðàçìåðîâ, ìàññû êîòîðûõ
Ì, Ì è 3Ì. Êàê îíè ìîãóò äâèãàòüñÿ, ÷òîáû ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òåëàìè îñòàâàëèñü âñå âðåìÿ ïîñòîÿííûìè è íå ïðåâûøàëè ïî âåëè÷èíå L?
Ð.Àëåêñàíäðîâ
Ф1781. Ïîðöèÿ ãåëèÿ â öèêëè÷åñêîì ïðîöåññå âíà÷àëå
àäèàáàòè÷åñêè ðàñøèðÿåòñÿ, ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ãàçà
óìåíüøàåòñÿ îò 500 Ê äî 499 Ê, çàòåì ñæèìàåòñÿ èçîáàðè÷åñêè äî ïåðâîíà÷àëüíîãî îáúåìà è, íàêîíåö, íàãðåâàåòñÿ èçîõîðè÷åñêè äî ïåðâîíà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû â ýòîì öèêëå, à
òàêæå ÊÏÄ öèêëà.
Ç.Öèêëîâ
Ф1782. Â óïðîùåííîé ìîäåëè ãèìíàçèè øêîëüíèêè
èçîáðàæàþòñÿ öèëèíäðàìè îäíîé è òîé æå âûñîòû. Ïëîùàäü çàëà äëÿ îòäûõà ãèìíàçèñòîâ íà ïåðåìåíå ñîñòàâëÿåò 200 ì 2 . Íà ýòîé ïëîùàäè õàîòè÷åñêè ðàñïîëîæåíû
100 äåñÿòèêëàññíèêîâ äèàìåòðîì 0,5 ì êàæäûé; îíè
ïðàêòè÷åñêè íåïîäâèæíû. Ïÿòèêëàññíèê ïîëîâèííîãî
äèàìåòðà áåãàåò ïî çàëó ñî ñêîðîñòüþ 3 ì/ñ. Íàòûêàÿñü
íà äåñÿòèêëàññíèêà, îí íàáèâàåò ñåáå øèøêó, íî ïîñëå
îòðàæåíèÿ ïðîäîëæàåò ñâîå äâèæåíèå. Îöåíèòå, ñêîëüêî øèøåê îí ñåáå íàáèâàåò çà ïåðåìåíó äëèòåëüíîñòüþ
15 ìèíóò?
Ì.Ó÷èòåëåâ
Ф1783. Äâà îäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäà Q íàõîäÿòñÿ
íà ðàññòîÿíèè d äðóã îò äðóãà. Êàêîé ïîòåíöèàë ìîæåò
èìåòü ýêâèïîòåíöèàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, åñëè îíà îõâàòûâàåò îáà çàðÿäà? Êàêîé ïîòåíöèàë äîëæíà èìåòü òàêàÿ
ïîâåðõíîñòü, ÷òîáû áûòü âñþäó âûïóêëîé?
Ñ.Êðîòîâ
Ф1784. Áàòàðåéêè íàïðÿæåíèÿìè 3 Â, 6 Â è 9 Â
ñîåäèíåíû «ìèíóñàìè», à ïîëîæèòåëüíûå èõ âûâîäû
ñâîáîäíû – òàêîå ñîåäèíåíèå íàçûâàþò «çâåçäîé». Ê íèì
ïîäêëþ÷àþò «çâåçäó» èç ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèÿìè
100 Îì, 100 Îì è 200 Îì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4. ×òî
ïîêàæåò âîëüòìåòð ñ áîëüøèì ñîïðîòèâëåíèåì, åñëè åãî
100Oì
V
9B
Ф1779. Äâå âåðòèêàëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïëàñòèíû –
îäíà ñîâåðøåííî ãëàäêàÿ, äðóãàÿ î÷åíü øåðîõîâàòàÿ –
ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè D äðóã
îò äðóãà (ðèñ.3). Ìåæäó íèìè
ïîìåùåíà êàòóøêà ñ âíåøíèì äèàìåòðîì D, âñÿ ìàññà Ì êîòîðîé
ñîñðåäîòî÷åíà â åå îñè. Êàòóøêà
çàæàòà ïëàñòèíàìè òàê, ÷òî ìîæåò
äâèãàòüñÿ âíèç âðàùàÿñü, íî íå
ïðîñêàëüçûâàÿ îòíîñèòåëüíî øåðîõîâàòîé ïëàñòèíû. Íà âíóòðåííèé öèëèíäð êàòóøêè äèàìåòðîì
d íàìîòàíà ëåãêàÿ íèòü, ê êîòîðîé
ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé m. Íàéäèòå
óñêîðåíèå ýòîãî ãðóçà.
Ç.Ðàôàèëîâ
Рис.3
6B
3B
100Oì
200Oì
Рис.4
âêëþ÷èòü ìåæäó îáùèìè òî÷êàìè «çâåçä»? Çàìåíèì
âîëüòìåòð àìïåðìåòðîì, èìåþùèì î÷åíü ìàëîå ñîïðîòèâëåíèå. ×òî îí ïîêàæåò? Çàìåíèì àìïåðìåòð ðåçèñòîðîì,
èìåþùèì ñîïðîòèâëåíèå 17 Îì. Êàêîé òîê ÷åðåç íåãî
ïîòå÷åò?
Ð.Ñõåìîâ
Ф1785. Òðè îäèíàêîâûõ êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ Ñ =
= 1000 ìêÔ êàæäûé, êëþ÷ è äâà ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèÿìè r = 10 Îì è R = 10 êÎì ñîáðàíû â ñõåìó,
ïðèâåäåííóþ íà ðèñóíêå 5. Îäèí èç êîíäåíñàòîðîâ çàðÿæåí äî íàïðÿæåíèÿ U0 . Çàìêíåì êëþ÷. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ çà ïåðâóþ ñåêóíäó â ðåçèñòî-