Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì
çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé
ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû
îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ìàÿ 2009 ãîäà ïî àäðåñó: 119296
Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî
ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå
«Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹1–2009» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå,
íàïðèìåð «Ì2116» èëè «Ô2123».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî. Â
ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì
êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî
ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì [email protected] è [email protected] ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì
êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê
«Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷è M2118 è Ì2121 ïðåäëàãàëàñü íà IV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäå ïî ãåîìåòðèè èìåíè
È.Ô.Øàðûãèíà, çàäà÷è Ì2119, Ì2120 è Ì2123 – íà XXX Òóðíèðå ãîðîäîâ.
Çàäà÷è Ì2116–Ì2123, Ô2123–Ô2129
M2116. Ïîëíûé íàáîð äîìèíî âûêëàäûâàåòñÿ íà ñòîëå
â çàìêíóòóþ öåïü, è äëÿ âñåõ ïàð ñîñåäíèõ äîìèíîøåê
âû÷èñëÿåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè î÷êîâ íà êëåòêàõ, êîòîðûìè îíè ñîïðèêàñàþòñÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ñóììó
âñåõ òàêèõ ìîäóëåé ðàçíîñòåé. ßñíî, ÷òî íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå S ðàâíî 0 (ýòî ïðîèñõîäèò â òîì ñëó÷àå, êîãäà
çàìêíóòàÿ öåïü âûëîæåíà ïî ïðàâèëàì äîìèíî). À
êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ñóììà S?
À.Ãðèáàëêî
M2117. Ñóùåñòâóåò ëè àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ èç
2008 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðîèçâåäåíèå
êîòîðûõ ðàâíî òî÷íîé 2009-é ñòåïåíè íàòóðàëüíîãî
÷èñëà?
Ã.Ãàëüïåðèí
M2118. Äîêàæèòå, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ABC ñ óãëîì A,
ðàâíûì 120°, ðàññòîÿíèå îò öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè äî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ðàâíî AB + AC.
Â.Ïðîòàñîâ
M2119.  áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1, a2, a3,K
÷èñëî a1 ðàâíî 1, à êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî an
ñòðîèòñÿ èç ïðåäûäóùåãî an -1 ïî ïðàâèëó: åñëè ó ÷èñëà
n íàèáîëüøèé íå÷åòíûé äåëèòåëü èìååò îñòàòîê 1 îò
äåëåíèÿ íà 4, òî an = an -1 + 1 , åñëè æå îñòàòîê ðàâåí 3,
òî an = an -1 - 1 . Äîêàæèòå, ÷òî â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âñå ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû, ïðè÷åì êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âñòðå÷àåòñÿ â íåé áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç.
À.Çàñëàâñêèé
M2120. Ìíîãî÷ëåí P x ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîâ, ÷òî óðàâíåíèå P m + P n = 0 èìååò
25-39.p65
25
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ m è n.
Äîêàæèòå, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = P x èìååò öåíòð
ñèììåòðèè.
À.Øàïîâàëîâ
M2121. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ïàðàëëåëüíû. Íàçîâåì åãî «âûñîòàìè» âåêòîðû ñ êîíöàìè íà ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ
ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû, ïåðïåíäèêóëÿðíûå èì è
íàïðàâëåííûå îò AB ê DE, îò EF ê BC è îò CD ê AF.
Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ýòîãî øåñòèóãîëüíèêà ìîæíî
îïèñàòü îêðóæíîñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà
åãî «âûñîò» ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó.
À.Çàñëàâñêèé
M2122. à) Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n,
áîëüøåå 17, ìîæíî ðàçëîæèòü â ñóììó òðåõ íàòóðàëüíûõ ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç
êîòîðûõ áîëüøå 1.
á*) Âûÿñíèòå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ñóììû
òðåõ âçàèìíî ïðîñòûõ â ñîâîêóïíîñòè íàòóðàëüíûõ
ñëàãàåìûõ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íå âçàèìíî ïðîñòû.
Â.Ëåöêî
M2123. Òåñò ñîñòîèò èç 30 âîïðîñîâ, íà êàæäûé åñòü 2
âàðèàíòà îòâåòà (îäèí âåðíûé, äðóãîé íåò). Çà îäíó
ïîïûòêó Âèòÿ îòâå÷àåò íà âñå âîïðîñû, ïîñëå ÷åãî åìó
ñîîáùàþò, íà ñêîëüêî âîïðîñîâ îí îòâåòèë âåðíî.
Ñìîæåò ëè Âèòÿ äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàííî óçíàòü âñå âåðíûå îòâåòû íå ïîçæå, ÷åì ïîñëå 24-é
ïîïûòêè (è îòâåòèòü âåðíî íà âñå âîïðîñû ïðè 25-é
ïîïûòêå)?
Â.Êëåïöûí
30.01.09, 12:22
$
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Ô2123. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì
ñòîëå ëåæàò äâà áëîêà – òîíêèå ëåãêèå äèñêè. Îñü îäíîãî èõ íèõ çàêðåïëåíà, òàê ÷òî äâèãàòüñÿ îí íå ìîæåò,
íî ìîæåò âðàùàòüñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Êóñîê ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè îõâàòûâàåò áëîêè, ê
êîíöàì íèòè ïðèêðåïëåíû îäèíàêîâûå ãðóçû ìàññîé Ì êàæäûé.  íà÷àëüíûé ìîìåíò íèòü íàòÿíóòà, ñâîáîäíûå êóñêè íèòè ïàðàëëåëüíû äðóã
äðóãó. Íà îñü «ïîäâèæíîãî» áëîêà
Ðèñ. 1
íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ñèëà F (ðèñ.1;
âèä ñâåðõó). Íàéäèòå óñêîðåíèå ýòîãî áëîêà, åñëè ïðè
äâèæåíèè ñâîáîäíûå êóñêè íèòè îñòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè. Âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àþòñÿ ñêîðîñòè âðàùåíèÿ
áëîêîâ? Íèòü íå ïðîñêàëüçûâàåò îòíîñèòåëüíî áëîêîâ.
À.Áëîêîâ
äûé è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì 1 ÌÎì
ñîåäèíÿåì «çâåçäîé»
è ïîäêëþ÷àåì îäíîâðåìåííî ñâîáîäíûìè
Ðèñ. 4
âûâîäàìè ê òî÷êàì À,
Á è  (ðåçèñòîð – ê òî÷êå Â; ðèñ.4). Êàêîå êîëè÷åñòâî
òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå çà áîëüøîå âðåìÿ?
Ç.Ðàôàèëîâ
Ô2124. Ãðóçû ñ ìàññàìè Ì è m ñâÿçàíû î÷åíü ëåãêîé
ïðóæèíêîé æåñòêîñòüþ k. Íà ãðóçû íà÷èíàþò äåéñòâîâàòü îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå
è ïðîòèâîïîëîæíûå
Ðèñ. 2
ïî íàïðàâëåíèþ ñèëû
F (ðèñ.2). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ãðóçà
ìàññîé Ì. Íàéäèòå òàêæå ìàêñèìàëüíîå ñìåùåíèå
ãðóçà ìàññîé m.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðóæèíà íå
äåôîðìèðîâàíà, ãðóçû íåïîäâèæíû.
À.Ïðîñòîâ
Ô2129. Â òðåõ âåðøèíàõ êâàäðàòà ñ äëèíîé ñòîðîíû 2 ì
ðàñïîëîæåíû îäèíàêîâûå ìà- Ðèñ. 5
ëåíüêèå ãðîìêîãîâîðèòåëè, â
÷åòâåðòîé âåðøèíå íàõîäèòñÿ î÷åíü ìàëåíüêèé âñåíàïðàâëåííûé ìèêðîôîí. Ê ãðîìêîãîâîðèòåëÿì ïîî÷åðåäíî ïîäêëþ÷àþò èñòî÷íèêè ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ
÷àñòîòîé 100 Ãö è ðåãóëèðóþò èõ óðîâíè òàê, ÷òîáû
íàïðÿæåíèå íà âûõîäíûõ çàæèìàõ ìèêðîôîíà ñîñòàâëÿëî â êàæäîì ñëó÷àå ðîâíî 1 ìÂ. Êàêîå íàïðÿæåíèå
âûäàñò ìèêðîôîí, åñëè âêëþ÷èòü îäíîâðåìåííî äâà
ñîñåäíèõ ãðîìêîãîâîðèòåëÿ? À åñëè âêëþ÷èòü âñå òðè
ãðîìêîãîâîðèòåëÿ? Ðàññìîòðèòå äâà ðàçíûõ âàðèàíòà:
èñïîëüçóþòñÿ íåçàâèñèìûå èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ (òðè
çâóêîâûõ ãåíåðàòîðà è òðè óñèëèòåëÿ íèçêîé ÷àñòîòû)
è èñïîëüçóåòñÿ îäèí ãåíåðàòîð, «ðàçìíîæåííûé» íà
òðè óñèëèòåëÿ.
À.Çèëüáåðìàí
Ô2125. Ìîëü ãåëèÿ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ íàõîäèòñÿ âíóòðè ýëàñòè÷íîé îáîëî÷êè. Íàðóæíûå óñëîâèÿ èçìåíÿþòñÿ òàê, ÷òî ê íåêîòîðîìó ìîìåíòó ãàç
ïîëó÷àåò 100 Äæ òåïëà, à òåìïåðàòóðà ãàçà óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè ýòîì íà 10 Ê. Îöåíèòå èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà.
Ç.Ïîâòîðîâ
Ô2126. Íà ðèñóíêå 3
èçîáðàæåíà èçâåñòíàÿ
áåñêîíå÷íàÿ öåïî÷êà,
ñîñòîÿùàÿ èç ðåçèñòîðîâ ñ îäèíàêîâûìè
ñîïðîòèâëåíèÿìè. Âñå
çíàþò, êàê ïîñ÷èòàòü
Ðèñ. 3
åå ñîïðîòèâëåíèå, èçìåðåííîå ìåæäó òî÷êàìè À è Á. À ÷òî åñëè âçÿòü íå áåñêîíå÷íóþ öåïî÷êó,
à öåïî÷êó, ñîñòîÿùóþ ðîâíî èç 50 çâåíüåâ, – êàê
ïîñ÷èòàòü åå ñîïðîòèâëåíèå? Ïîíÿòíî, ÷òî ñäåëàòü ýòî
«â ëîá» òðóäíî, ïðîùå ñ÷èòàòü öåïü áåñêîíå÷íîé…
Êàêóþ ïîãðåøíîñòü ìû ïðè ýòîì ïîëó÷èì? Ñèëüíî ëè
ñîïðîòèâëåíèå óðåçàííîé öåïè îòëè÷àåòñÿ îò ñîïðîòèâëåíèÿ áåñêîíå÷íîé öåïî÷êè? Çàäàäèì êîíêðåòíûé âîïðîñ: ýòè îòëè÷èÿ ìåíüøå ìèëëèîííîé äîëè ïðîöåíòà
èëè íàìíîãî áîëüøå?
À.Öåïî÷êèí
Ô2127. Ïîòåíöèàëû òî÷åê À, Á è  ïîääåðæèâàþòñÿ
ïîñòîÿííûìè: ϕ A = 100 B , ϕ Á = 200 B , ϕ B = 500 B .
Äâà îäèíàêîâûõ êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ 10 ìÔ êàæ-
25-39.p65
26
Ô2128. Äâå îäèíàêîâûå êàòóøêè ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíî îäíîé èç íèõ ïîäêëþ÷åí êîíäåíñàòîð, à ê âûâîäàì öåïè
ïîäñîåäèíåíà áàòàðåéêà íàïðÿæåíèåì U (ðèñ.5). Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà. Ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàéòå èäåàëüíûìè.
Ð.Àëåêñàíäðîâ
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2096–Ì2100,
Ô2108–Ô2117
M2096. Äåïóòàòû ïàðëàìåíòà îáðàçîâàëè 2008 êîìèññèé, êàæäàÿ – íå áîëåå ÷åì èç 10 ÷åëîâåê. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáûå 11 êîìèññèé èìåþò îáùåãî ÷ëåíà.
Äîêàæèòå, ÷òî âñå êîìèññèè èìåþò îáùåãî ÷ëåíà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî, íàïðîòèâ, äëÿ êàæäîãî äåïóòàòà
íàéäåòñÿ êîìèññèÿ, â êîòîðóþ îí íå âõîäèò. Âîçüìåì
ïåðâóþ êîìèññèþ A, ñîñòîÿùóþ èç äåïóòàòîâ
a1, a2,K , ak , ãäå k £ 10 . Äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, ..., k
íàéäåì êîìèññèþ Ai , â êîòîðóþ íå âõîäèò äåïóòàò ai .
Òîãäà êîìèññèè A, A1, A2,K , Ak íå èìåþò îáùåãî ÷ëåíà,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
Ô.Ïåòðîâ
M2097. Íàéäèòå âñå òàêèå ïðîñòûå ÷èñëà p âèäà
a2 + b2 + c2 (ãäå a, b, c – íàòóðàëüíûå), ÷òî a 4 + b4 + c4
äåëèòñÿ íà p.
Îòâåò: p = 3.
Î÷åâèäíî, p = 3 ïîäõîäèò.
Ïóñòü a ³ b ³ c è a 4 + b4 + c 4 äåëèòñÿ íà p =
= a2 + b2 + c2 . Èìååì ñëåäóþùåå ñðàâíåíèå ïî
30.01.09, 12:22
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
ìîäóëþ p:
º 2 a b
2
2
2
0º p º a +b +c
2 2
º
º
º 2 ab + c ab - c mod a + b + c .
2 ab + c ab - c äåëèòñÿ íà p. Òàê êàê
2 2
+ b2c2 + c2a2 º 2 a2b2 + c2 -c2
2
2
2
2
2
2
2
Çíà÷èò,
2
2
2
2
p = a + b + c > ab + c > ab - c2 ³ 0 , òî ab - c2 = 0 ,
ò.å. a = b = c. Ïîëó÷èëè: p = 3a2 äåëèòñÿ íà 3, ïîýòîìó
p = 3.
Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ïðîñòûõ ÷èñåë p = a + b + c, ÷òî a2 + b2 + c2 äåëèòñÿ íà p.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî (ïîäóìàéòå, ïî÷åìó)
óñòàíîâèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðîñòûõ
÷èñåë âèäà p = a2 + ab + b2 ( a, b Î N ). Äîêàçàòåëüñòâî
ïîñëåäíåãî ôàêòà ñëåäóåò èç çàäà÷ â êíèãå À.Â.Ñïèâàêà «Àðèôìåòèêà-2» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò»
¹ 5 çà 2008 ã., çàäà÷è 42 è 44 íà ñ.34).
Â.Ñåíäåðîâ
M2098. Äâîå èãðàþò â èãðó, äåëàÿ õîäû ïî î÷åðåäè:
ïåðâûé ðèñóåò íà ïëîñêîñòè ìíîãîóãîëüíèê, íå íàëåãàþùèé íà óæå íàðèñîâàííûå, à âòîðîé îòâåòíûì
õîäîì ðàñêðàøèâàåò åãî â îäèí èç 2008 öâåòîâ.
Âòîðîé èãðîê õî÷åò, ÷òîáû ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà, ãðàíè÷àùèå ïî îòðåçêó ñòîðîíû, èìåëè ðàçíûå
öâåòà. Ñìîæåò ëè ïåðâûé èãðîê ïîìåøàòü åìó?
Îòâåò: ñìîæåò.
Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî n, ÷òî ïåðâûé ìîæåò èãðàòü
òàê, ÷òî íàðèñîâàííûå èì ìíîãîóãîëüíèêè áóäóò äàâàòü â îáúåäèíåíèè íåêîòîðûé ìíîãîóãîëüíèê Pn , íà
ãðàíèöó êîòîðîãî âûõîäÿò ìíîãîóãîëüíèêè íå ìåíåå n
öâåòîâ. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî íèêàêîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà öâåòîâ íåäîñòàòî÷íî.
Áàçà èíäóêöèè î÷åâèäíà. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî
äëÿ n = k, äîêàæåì åãî äëÿ n = k + 1. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ
èíäóêöèè ñëåäóåò, ÷òî ïåðâûé èãðîê ìîæåò èãðàòü òàê,
÷òîáû íàðèñîâàííûå ìíîãîóãîëüíèêè äàâàëè â îáúåäèk
1
2
íåíèè k ìíîãîóãîëüíèêîâ Pk , Pk ,K , Pk , íà ãðàíèöó
êàæäîãî èç êîòîðûõ âûõîäÿò ìíîãîóãîëüíèêè íå ìåíåå
1
k öâåòîâ. Íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà Pk âûäåëèì
îòðåçîê ∆1 íåêîòîðîãî öâåòà 1, íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà Pk2 âûäåëèì îòðåçîê ∆2 íåêîòîðîãî öâåòà 2,
k îòëè÷íîãî îò 1, è ò.ä., íà ãðàíèöå ìíîãîóãîëüíèêà Pk
âûäåëèì îòðåçîê ∆k
íåêîòîðîãî öâåòà k,
îòëè÷íîãî îò óæå îïðåäåëåííûõ öâåòîâ
1, 2, ... , k – 1. Ïóñòü
òåïåðü ïåðâûé íàðèñóåò ìíîãîóãîëüíèê
P, ïåðåñåêàþùèéñÿ
ñ ìíîãîóãîëüíèêîì
Pk ïî ÷àñòè îòðåçêà
∆ i äëÿ âñåõ i =
= 1, 2, ..., k (ñì.
ðèñóíîê). Âòîðîé èã-
«ÊÂÀÍÒÀ»
ðîê äîëæåí ðàñêðàñèòü ìíîãîóãîëüíèê P â öâåò, îòëè÷íûé îò öâåòîâ 1, 2, ..., k. Òîãäà íà ãðàíèöó ìíîãîóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãî îáúåäèíåíèåì ìíîãîóãîëüíèêîâ
k
1
2
P, Pk , Pk ,K , Pk , âûõîäÿò íå ìåíåå k + 1 öâåòîâ.
Ïåðåõîä èíäóêöèè äîêàçàí.
Çàìå÷àíèÿ. Ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ
ìíîãîóãîëüíèêà P èç ðåøåíèÿ çàäà÷è äàëåêî íå ïðîñòî
(õîòÿ èíòóèòèâíî âñå î÷åâèäíî), îíî ñëåäóåò èç èçâåñòíîé òîïîëîãè÷åñêîé òåîðåìû Æîðäàíà.
Îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ, ïîñòàâëåííûé â çàäà÷å, óæå
ðàññìàòðèâàëñÿ â «Çàäà÷íèêå «Êâàíòà» äëÿ ñëó÷àÿ,
êîãäà ïåðâîìó èãðîêó ïîçâîëÿåòñÿ ðèñîâàòü ìíîãîóãîëüíèêè ëèøü ñïåöèàëüíîãî âèäà (ñì. çàäà÷ó Ì1205).
Ðåçóëüòàò ýòîé çàäà÷è èíòåðåñíî ñîïîñòàâèòü òàêæå ñî
çíàìåíèòîé òåîðåìîé î ÷åòûðåõ êðàñêàõ, ñîãëàñíî
êîòîðîé äëÿ ðàñêðàøèâàíèÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ëþáîé êàðòû íà ïëîñêîñòè äîñòàòî÷íî ëèøü ÷åòûðåõ
öâåòîâ.
Å.Ãèê, Ï.Êîæåâíèêîâ
M2099. Ïóñòü a0 > a1 > K > as = 0 – òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ ÷èñåë, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà a0 è
a1 âçàèìíî ïðîñòû, à ïðè i ³ 1 ÷èñëî ai +1 ðàâíî
îñòàòêó îò äåëåíèÿ ai -1 íà ai ñ íåïîëíûìè ÷àñòíûìè
éa ù
ti = ê i -1 ú . Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü b0, b1,K , bs ñ
ë ai û
ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ bi +1 = bi -1 + tibi , ïîëîæèâ b0 = 0
è b1 = 1 . Äîêàæèòå, ÷òî bs = a0 .
Çàìåòèì, ÷òî
1 = ÍÎÄ a0, a1 = ÍÎÄ a1, a2 = K = ÍÎÄ as -1, as = 1.
Òàê êàê as = 0 , òî as -1 = ÍÎÄ as -1, as = 1 . Ïîëîæèì
di = ai -1bi + aibi -1 , i = 1, 2, ..., s. Èç ðåêóððåíòíûõ
ñîîòíîøåíèé
ai +1 = ai -1 - ti ai è bi +1 = bi -1 + tibi
ñëåäóåò, ÷òî
di +1 = aibi +1 + ai +1bi =
= ai bi -1 + tibi + ai -1 - ti ai bi = ai -1bi + aibi -1 = di .
Ïîýòîìó
a0 = a0 × b1 + a1 × b0 = d1 = d2 = K = ds =
= as -1bs + as bs -1 = bs ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
27
Â.Áûêîâñêèé
M2100. Â óãîë ñ âåðøèíîé O âïèñàíû äâå îêðóæíîñòè
ω1 è ω2 . Ëó÷ ñ íà÷àëîì O ïåðåñåêàåò ω1 â òî÷êàõ A1
è B1 , à ω2 – â òî÷êàõ A2 è B2 òàê, ÷òî
OA1 < OB1 < OA2 < OB2 (ðèñ.1). Îêðóæíîñòü γ1 êàñàåòñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì îêðóæíîñòè ω1 è êàñà-
i
25-39.p65
%
Ðèñ. 1
30.01.09, 12:22
&
ÊÂÀÍT 2009/¹1
òåëüíûõ ê ω2 , ïðîâåäåííûõ èç A1 . Îêðóæíîñòü γ 2
êàñàåòñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì îêðóæíîñòè ω2 è
êàñàòåëüíûõ ê ω1 , ïðîâåäåííûõ èç B2 . Äîêàæèòå,
÷òî îêðóæíîñòè γ1 è γ 2 ðàâíû.
Ïóñòü ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ω1, ω2, γ1 è γ 2 ðàâíû
R1, R2, r1 è r2 ñîîòâåòñòâåííî. Èç ãîìîòåòèè h ñ öåíòðîì O, ïåðåâîäÿùåé ω1 â ω2 , ñëåäóåò, ÷òî
A2 B2 R2
=
.
(1)
A1B1
R1
 ðåøåíèè áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíîé òåîðåìîé î
òðåõ ãîìîòåòèÿõ: êîìïîçèöèÿ ãîìîòåòèé ñ öåíòðàìè
O1 è O2 ( O1 ¹ O2 ) è êîýôôèöèåíòàìè k1 è k2 òàêèìè,
÷òî k1k2 ¹ 1 , ÿâëÿåòñÿ ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì â òî÷êå íà
ïðÿìîé O1O2 è êîýôôèöèåíòîì k1k2 .
Ïóñòü C1 – òî÷êà êàñàíèÿ ω1 è γ1 . Òîãäà êîìïîçèöèÿ
ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì C1 , ïåðåâîäÿùåé γ1 â ω1 , è
R
ãîìîòåòèè h – ýòî ãîìîòåòèÿ h1 ñ êîýôôèöèåíòîì 2 ,
r1
ïåðåâîäÿùàÿ γ1 â ω2 . Òî÷êà A1 ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì
ãîìîòåòèè h1 , è ïî òåîðåìå î òðåõ ãîìîòåòèÿõ òî÷êè C1 ,
O è A1 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
C1 = B1 . Êðîìå òîãî, èç ãîìîòåòèè h1 ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
A1B2 R2
=
.
(2)
A1B1
r1
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îêðóæíîñòè ω2 è γ 2
êàñàþòñÿ â òî÷êå A2 è ÷òî
A1B2
R
= 1.
(3)
A2 B2
r2
Ïîäåëèâ ñîîòíîøåíèå (2) íà ðàâåíñòâà (1) è (3),
r
ïîëó÷àåì 2 = 1 , ÷òî è òðåáóåòñÿ.
r1
Çàìå÷àíèå. Ê äàííîé çàäà÷å ìîæíî ñâåñòè ñëåäóþùóþ
èçâåñòíóþ çàäà÷ó îá àðáåëîñå Àðõèìåäà.
Çàäà÷à. Ïóñòü îêðóæíîñòè ω1 è ω2 êàñàþòñÿ îêðóæíîñòè ω âíóòðåííèì îáðàçîì â äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ A è B è êàñàþòñÿ äðóã äðóãà âíåøíèì
îáðàçîì â òî÷êå C
(ðèñ.2). Ïóñòü ïåðïåíäèêóëÿð ê AB,
ïðîâåäåííûé ÷åðåç C,
ïåðåñåêàåò ω â òî÷êå
D. Òîãäà îêðóæíîñòè δ1 è δ2 , âïèñàííûå â êðèâîëèíåéíûå
òðåóãîëüíèêè ACD è
BCD, ðàâíû.
Ðåøåíèå. Ïóñòü δ1
êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè
Ðèñ. 2
ω1 è ïðÿìîé CD â
òî÷êàõ K è L (ðèñ. 3). Òîãäà, êàê èçâåñòíî (ñì.,
íàïðèìåð, çàäà÷ó Ì438 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà»), ïðÿìàÿ BK ÿâëÿåòñÿ îáùåé êàñàòåëüíîé ê ω1 è δ1 . Ïóñòü
BK ïåðåñåêàåò CD â òî÷êå M. Âïèøåì â óãîë BMC
îêðóæíîñòü γ 2 , êàñàþùóþñÿ MC â òî÷êå C. Èç ðàâåíñòâà êàñàòåëüíûõ MC = MK âûòåêàåò, ÷òî îêðóæíîñòè
δ1 è γ 2 , âïèñàííûå â âåðòèêàëüíûå óãëû KML è BMC,
ðàâíû. Èç ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî äèàìåòðà AB ñëå-
25-39.p65
28
äóåò, ÷òî γ 2 êàñàåòñÿ êàñàòåëüíûõ ê ω1 ,
ïðîâåäåííûõ èç B.
Àíàëîãè÷íî, îêðóæíîñòü γ1 , êîòîðàÿ
êàñàåòñÿ âíóòðåííèì
îáðàçîì ω1 è êàñàòåëüíûõ ê ω2 , ïðîâåäåííûõ èç A, ðàâíà îêðóæíîñòè δ2 .
Íî èç çàäà÷è Ì2100
ñëåäóåò ðàâåíñòâî îêðóæíîñòåé γ1 è γ 2 .
Ðèñ. 3
Ï.Êîæåâíèêîâ
Ô2108. Âäîëü îñè Õ äâèæåòñÿ òî÷êà.  ïðåäåëàõ
çàäàííîé äèñòàíöèè ñêîðîñòü òî÷êè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ îò íåå äî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Âî ñêîëüêî ðàç áîëüøå âðåìåíè îíà òðàòèò íà
ïðîõîæäåíèå âòîðîé äèñòàíöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîé?
Äâèæåíèå òî÷êè íå ðàâíîóñêîðåííîå, ãîòîâûõ ôîðìóë
òóò íåò. Íî ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó ñîâñåì ïðîñòî.
Ïîñòðîèì ãðàôèê çàâèñèìîñòè âåëè÷èíû 1 v (îáðàòíîé ñêîðîñòè) îò êîîðäèíàòû x – ïîëó÷èòñÿ ïðÿìàÿ.
Ïëîùàäü ïîä ýòîé ïðÿìîé, òî÷íåå – ïîä ó÷àñòêîì
ãðàôèêà ìåæäó êîîðäèíàòàìè x1 è x2 , åñòü âðåìÿ
äâèæåíèÿ îò x1 äî x2 . Ýòî ëåãêî äîêàçàòü, íî äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ñîîáðàçèòü. Ïîëó÷àåòñÿ îòíîøåíèå íóæíûõ íàì ïëîùàäåé 3:1. Èòàê, âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ
âòîðîé ïîëîâèíû äèñòàíöèè âòðîå áîëüøå, ÷åì ïåðâîé.
À.Ïðîñòîâ
Ô2109. Â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå, áîëüøîé ãðóç âäâîå òÿæåëåå ìàëîãî. Áëîêè îäèíàêîâûå,
î÷åíü ëåãêèå. Íèòè íåðàñòÿæèìûå, ìàññû íèòåé ïðåíåáðåæèìî ìàëû, ñâîáîäíûå êóñêè
íèòåé âåðòèêàëüíû. Íàéäèòå
óñêîðåíèå áîëüøîãî ãðóçà.
Îáîçíà÷èì íàòÿæåíèå âåðõíåé
íèòè Ò. Òîãäà íà íèæíèé ãðóç
ìàññîé 2Ì äåéñòâóåò ñèëà íàòÿæåíèÿ 4Ò. Ìàëûå ïîäâèæíûå
áëîêè èìåþò îäèíàêîâûå óñêîðåíèÿ – áëîêè îäèíàêîâûå, ñèëû
îäèíàêîâûå (âïðî÷åì, ìîæíî
ñ÷èòàòü èõ óñêîðåíèÿ è íå îäèíàêîâûìè, ðåøåíèå áóäåò áîëåå
ãðîìîçäêèì, íî îòâåò íå èçìåíèòñÿ). Åñëè îáîçíà÷èòü ýòè
óñêîðåíèÿ áóêâîé à, òî óñêîðåíèå íèæíåãî ãðóçà òîæå áóäåò
ðàâíî à, à óñêîðåíèå âåðõíåãî ãðóçà ìàññîé Ì ñîñòàâèò
4à è áóäåò íàïðàâëåíî ââåðõ. Ìîæåò áûòü, ïðè ðåøåíèè óñêîðåíèå ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíûì – òàì áóäåò
âèäíî...
Òåïåðü çàïèøåì óðàâíåíèÿ äèíàìèêè äëÿ îáîèõ
ãðóçîâ:
T - M × g = M × 4a , 2M × g - 4T = 2M × a .
30.01.09, 12:23
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ðåøàÿ ýòó ïðîñòóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì
g
a=- .
9
È â ñàìîì äåëå óñêîðåíèå îòðèöàòåëüíîå.
Èòàê, óñêîðåíèå áîëüøîãî ãðóçà íàïðàâëåíî ââåðõ è
ñîñòàâëÿåò ïî âåëè÷èíå g/9.
À.Ïîâòîðîâ
Ô2110. ßìà èìååò ïîëóñôåðè÷åñêóþ ôîðìó, åå ðàäèóñ
R = 1 ì, ñòåíêè ãëàäêèå. Íà óðîâíå ãîðèçîíòàëüíîãî
äèàìåòðà ïðèêëååíî î÷åíü ìàëåíüêîå òåëî. Îíî îòêëåèâàåòñÿ è íà÷èíàåò ñêîëüçèòü âíèç áåç íà÷àëüíîé
ñêîðîñòè. Âíèçó íåáîëüøîé êóñî÷åê ïîâåðõíîñòè
øåðîõîâàòûé, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ òàì µ = 0,1 ,
øåðîõîâàòûé êóñî÷åê èìååò ôîðìó êðóãà, åãî ðàäèóñ
r = 1 ñì, öåíòð êðóãà íàõîäèòñÿ îêîëî ñàìîé íèæíåé
òî÷êè ïîâåðõíîñòè ÿìû. Êàêàÿ ÷àñòü íà÷àëüíîé
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåëà âûäåëèòñÿ ïðè ïåðâîì
ïðåîäîëåíèè øåðîõîâàòîãî êóñî÷êà?
Ñêîðîñòü òåëà ïåðåä øåðîõîâàòûì êóñî÷êîì âíèçó – îí
ñîâñåì ìàë, ïîýòîìó ðàçíîñòü âûñîò ïðèìåì ðàâíîé
ðàäèóñó ñôåðû R – ðàâíà
v = 2gR .
Òîãäà ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè ñîñòàâëÿåò
mv2
= 3mg .
N = mg +
R
Ñèëà òðåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííà:
Fòð = µN = µ × 3mg ,
è ïîòåðè ýíåðãèè ðàâíû
∆W = Fòð × 2r = 6µmgr .
Äîëÿ ïîòåðü ñîñòàâëÿåò
∆W 6µmgr
δ=
=
= 0,6% .
W
mgR
Ïðèáëèæåíèÿ îïðàâäàíû.
Ð.Òåïëîâ
Ô2111. Â ñîñóäå íàõîäèòñÿ ñìåñü îäèíàêîâûõ ìàññ
êðèïòîíà è ãåëèÿ ïðè äàâëåíèè 1 àòì è òåìïåðàòóðå
300 Ê. Ïðîñëåäèì çà îäíèì àòîìîì êðèïòîíà. Îöåíèòå ÷èñëî åãî ñîóäàðåíèé ñ äðóãèìè ÷àñòèöàìè çà 1 ÷àñ.
Àòîìû êðèïòîíà íàìíîãî òÿæåëåå àòîìîâ ãåëèÿ, ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå óäàðîâ ìîæíî ó÷èòûâàòü òîëüêî ñîóäàðåíèÿ àòîìîâ êðèïòîíà ñ àòîìàìè ãåëèÿ. (Óäàðû
àòîìîâ êðèïòîíà î ñòåíêè è äðóã î äðóãà ïðîèñõîäÿò
ãîðàçäî ðåæå, ìû èõ ïðîñòî íå áóäåì ó÷èòûâàòü – â
ðàìêàõ î÷åíü ïðèáëèæåííîé ìîäåëè ñîóäàðåíèé ÷àñòèö ýòî âïîëíå äîïóñòèìî.) Èòàê, ìû äîëæíû ïîñ÷èòàòü óäàðû òÿæåëûõ ÷àñòèö î ëåãêèå, îäíàêî íàìíîãî
ïîíÿòíåå, êàê ïîñ÷èòàòü ÷èñëî óäàðîâ ëåãêèõ ÷àñòèö î
òÿæåëûå (ýòî òå æå ñàìûå óäàðû!). Ïðè ðàñ÷åòå áóäåì
ñ÷èòàòü òÿæåëûå ÷àñòèöû íåïîäâèæíûìè – òîãäà íóæíî ïðîñòî íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ýòîé (òÿæåëîé)
÷àñòèöû è ñ÷èòàòü óäàðû òàê æå, êàê ñ÷èòàþò óäàðû î
ñòåíêè ñîñóäà.
Ïðèìåì äèàìåòð àòîìà êðèïòîíà ðàâíûì 0,6 íì, äèàìåòð àòîìà ãåëèÿ 0,2 íì (ýòè äàííûå ëåãêî íàéòè â
ñïðàâî÷íèêàõ, ìîæíî ïîèñêàòü èõ â Èíòåðíåòå – ÿ òàì
èõ íàøåë çà 3 ìèíóòû).  òàêîì ñëó÷àå ïëîùàäü
25-39.p65
29
'
«ÊÂÀÍÒÀ»
ïîâåðõíîñòè îäíîãî àòîìà êðèïòîíà ïðèìåðíî ðàâíà
S = 1 × 10 -18 ì2 .  çàäà÷å íå çàäàí îáúåì ñîñóäà – ýòî,
ìîæåò áûòü, îøèáêà, âåäü ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì
èíòåðâàëå âðåìåíè (à 1 ÷àñ – ýòî áîëüøîé èíòåðâàë, çà
ýòî âðåìÿ àòîìû óñïåþò ìíîãîêðàòíî ïîáûâàòü âî âñåõ
ìåñòàõ ñîñóäà, à íå òîëüêî â êàêîé-òî ìàëîé åãî ÷àñòè,
îïðåäåëÿåìîé ñêîðîñòÿìè ÷àñòèö è äëèíîé ñâîáîäíîãî
ïðîáåãà) îáúåì ñîñóäà íàì ìîæåò ïîíàäîáèòüñÿ. Çàäàäèì îáúåì ñîñóäà ñàìîñòîÿòåëüíî – âîçüìåì, ñêàæåì,
1 ë. Êîëè÷åñòâî ÷àñòèö â ñîñóäå íàéäåì îáû÷íûì
ñïîñîáîì: N = NA pV RT = 2, 4 × 1022 , ïðè ýòîì êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö ïîëó÷èòñÿ n = 2, 4 × 1025 1 ì3 . Ïðè
ðàâíûõ ìàññàõ ãàçîâ íà äîëþ òÿæåëîãî êðèïòîíà
ïðèõîäèòñÿ ïðèìåðíî 1/22 îáùåãî êîëè÷åñòâà àòîìîâ,
ò.å. ïðèìåì ÷èñëî àòîìîâ êðèïòîíà ðàâíûì 1 × 1021 .
Òåïåðü ïîäñ÷èòàåì (î÷åíü ïðèáëèçèòåëüíî!) ÷èñëî
óäàðîâ:
Nóä = 0, 5nSvx τ =
-18
25
2
14
= 0, 5 × 2, 4 × 10 × 1 × 10 × 8 × 10 × 3600 = 3,5 × 10 ,
ãäå vx = 8 × 102 ì ñ – ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè äëÿ àòîìîâ ãåëèÿ ïðè ýòîé òåìïåðàòóðå.
Ïðîâåðèì – à íóæíî ëè áûëî çàäàâàòü îáúåì ñîñóäà?
Ìîæíî ïðîâåñòè ðàñ÷åò äëÿ ñîñóäà ïîáîëüøå, íàïðèìåð äëÿ 1000 ë, ïîëó÷èòñÿ ïðàêòè÷åñêè òî æå ÷èñëî
óäàðîâ! Ïðîâåðèì òåïåðü ôîðìóëû – îáúåì ñîñóäà òàì
ñîêðàùàåòñÿ:
p
RT
Nóä = 0, 5
S
τ
kT
Μ
(çäåñü Μ – ìîëÿðíàÿ ìàññà ãåëèÿ). Äåéñòâèòåëüíî, â
ýòó ôîðìóëó îáúåì ñîñóäà íå âõîäèò.
Ìîæíî áûëî è ñðàçó äîãàäàòüñÿ íàïèñàòü îáùóþ
ôîðìóëó è óâèäåòü âñå, à ìîæíî áûëî âîò òàê – ìåòîäîì
ïðîá è áåç îøèáîê.
Ç.Ðàôàèëîâ
Ô2112. Äàâëåíèå ðàçðåæåííîãî ãàçà â ñîñóäå óáûâàåò
îò 1 àòì äî 0,2 àòì ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà îò 2 ë äî
20 ë, ïðè ýòîì çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ îò îáúåìà
ëèíåéíàÿ. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ òåìïåðàòóðó ãàçà
â ýòîì ïðîöåññå. Ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà â
ïðîöåññå 200 Ê.
ßñíî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ïîëó÷èòñÿ íà
îäíîì èç êîíöîâ îòðåçêà ïðÿìîé, êîòîðûé èçîáðàæàåò
ïðîöåññ íà pV-äèàãðàììå. Ñðàâíèâàÿ ïðîèçâåäåíèÿ
pV, íàéäåì, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâóåò äàâëåíèþ 1 àòì è îáúåìó 2 ë. Ìîæíî áðàòü ýòè
âåëè÷èíû â ëþáûõ åäèíèöàõ, ìû áóäåì òîëüêî ñðàâíèâàòü ýòè ïðîèçâåäåíèÿ. Èòàê, òåìïåðàòóðà 200 Ê ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèþ 2 àòì × ë .
Ïðîäîëæèì îòðåçîê äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñÿìè äèàãðàììû
– ïîëó÷èì äàâëåíèå 49/45 àòì ïðè íóëåâîì îáúåìå è
îáúåì 49/2 ë ïðè íóëåâîì äàâëåíèè. Ìàêñèìàëüíàÿ
òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâóåò ñåðåäèíå ýòîãî ðàñøèðåííîãî îòðåçêà:
49 × 49 × 200
Tmax 49 9049 4
, è Tmax =
Ê » 667 Ê .
=
90 × 4 × 2
Tmin
2
À.Ïîâòîðîâ
30.01.09, 12:23
!
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Ô2113. Âîëüòìåòð è ìèëëèàìïåðìåòð ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê áàòàðåéêå, ïðè ýòîì
ïðèáîðû ïîêàçûâàþò 6,1  è 1 ìÀ. Ïàðàëëåëüíî ìèëëèàìïåðìåòðó ïîäêëþ÷àþò âòîðîé âîëüòìåòð – ïîêàçàíèÿ ïåðâîãî âîëüòìåòðà óâåëè÷èâàþòñÿ äî
6,3 Â, à âòîðîé âîëüòìåòð (îí òîãî æå òèïà, ÷òî è
ïåðâûé) ïîêàçûâàþò 0,4 Â. Êàêîé òîê òåïåðü òå÷åò
÷åðåç ìèëëèàìïåðìåòð? Áàòàðåéêó ìîæíî ñ÷èòàòü
èäåàëüíîé.
Òîê ÷åðåç âîëüòìåòð ïðîïîðöèîíàëåí íàïðÿæåíèþ,
êîòîðîå îí ïîêàçûâàåò. Ïðè íàïðÿæåíèè 6,1 Â òîê
÷åðåç ïåðâûé âîëüòìåòð áûë ðàâåí 1 ìÀ, òîãäà äëÿ
èñêîìîãî òîêà ìîæíî çàïèñàòü
I = 1 ìÀ
6,3 B
0,4 Â
- 1 ìÀ
» 0,97 ìÀ .
6,1 B
6,1 Â
Ð.Àëåêñàíäðîâ
Ô2114. Â ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå, òðè êîíäåíñàòîðà îäèíàêîâûå è èìåþò åìêîñòü Ñ êàæäûé, à
îäèí èìååò âòðîå áîëüøóþ åìêîñòü. Ìåæäó òî÷êàìè À è Á âêëþ÷àþò êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L.
Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå
çíà÷åíèå ñèëû òîêà ÷åðåç
êàòóøêó. Áàòàðåéêà èìååò íàïðÿæåíèå U.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 3Ñ
íàõîäèòñÿ âíèçó ñïðàâà. Ýíåðãèþ êîíäåíñàòîðîâ äî
ïîäêëþ÷åíèÿ êàòóøêè ëåãêî íàéòè: îáùàÿ åìêîñòü
ñèñòåìû C1 = 5C 4 è ýíåðãèÿ
W1 =
C1U 2 5
= CU 2 .
2
8
Ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ êàòóøêè ïî íåé íà÷èíàåò òå÷ü òîê,
çàðÿäû êîíäåíñàòîðîâ ìåíÿþòñÿ, òîê òå÷åò è ÷åðåç
áàòàðåéêó – â áàëàíñå ýíåðãèé íóæíî ó÷èòûâàòü è åå
ðàáîòó. Ïðè ìàêñèìàëüíîì òîêå ÷åðåç êàòóøêó ÝÄÑ
èíäóêöèè íóëåâàÿ, íèæíèå êîíäåíñàòîðû ñîåäèíåíû
ïàðàëëåëüíî, âåðõíèå – òîæå. Ïîëíàÿ åìêîñòü ïðè
ýòîì C2 = 4C 3 , ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðîâ
2
2
C2U
= CU 2 .
2
3
Áàòàðåéêà «ïðîòîëêíóëà» äîïîëíèòåëüíûé çàðÿä
q = C2 - C1 U = CU 12 è ñîâåðøèëà ðàáîòó
1
A = qU =
CU 2 .
12
Ìàêñèìàëüíûé òîê êàòóøêè íàéäåì èç áàëàíñà ýíåðãèé:
1
LI2
U C
= A - W2 - W1 =
CU 2 , è I =
.
2
24
2 3L
À.Ìîñòèêîâ
W2 =
Ô2115. Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L = 2 Ãí è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 100 Îì ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî.  íåêîòîðûé ìîìåíò ê ýòîé öåïî÷êå ïîäêëþ÷àþò èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî òîêà ñèëîé I0 = 3 A
(«èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî òîêà» ñîçäàåò â íàãðóçêå
25-39.p65
30
ïîñòîÿííûé ïî âåëè÷èíå òîê, íå çàâèñÿùèé îò ñâîéñòâ
íàãðóçêè). Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå
âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå çà áîëüøîå âðåìÿ.
Ñðàçó ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà òîê ÷åðåç êàòóøêó íå òå÷åò, âåñü òîê I0 ïðîòåêàåò ÷åðåç ðåçèñòîð. Çàòåì
òîê ÷åðåç êàòóøêó ïîíåìíîãó óâåëè÷èâàåòñÿ, ñïóñòÿ
î÷åíü áîëüøîå âðåìÿ ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ òîê ÷åðåç
ðåçèñòîð ñòàíåò ïðåíåáðåæèìî ìàëûì, à òîê ÷åðåç
êàòóøêó ïðàêòè÷åñêè äîñòèãíåò âåëè÷èíû I0 .
Îáîçíà÷èì òîê ÷åðåç ðåçèñòîð I – ýòî ôóíêöèÿ âðåìåíè, òîãäà òîê ÷åðåç êàòóøêó IL = I0 - I . Íàïðÿæåíèå
ðåçèñòîðà ðàâíî âåëè÷èíå ÝÄÑ èíäóêöèè:
∆I
- L L = RI , èëè L∆I = RI∆t .
∆t
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà âåëè÷èíó I – ìû
õîòèì ïîëó÷èòü â ïðàâîé ÷àñòè êîëè÷åñòâî òåïëîòû,
âûäåëèâøååñÿ â ðåçèñòîðå çà ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè
∆t .  ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå
ëåãêî ïðåîáðàçîâàòü (ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü ∆t ):
æ I2 ö
LI∆I = L∆ ç ÷ .
è 2ø
Ñóììèðóÿ ïîëó÷åííûå ñëåâà è ñïðàâà ìàëûå «äîëüêè», ïîëó÷èì â ëåâîé ÷àñòè ïðîèçâåäåíèå èíäóêòèâíîñòè íà ðàçíîñòü êâàäðàòîâ òîêîâ ÷åðåç êàòóøêó â êîíöå
è â íà÷àëå ïðîöåññà, à â ïðàâîé ÷àñòè – ñóììàðíîå
êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, âûäåëèâøååñÿ â ðåçèñòîðå.
Òîãäà îêîí÷àòåëüíî
LI02
= 9 Äæ .
Q=
2
Ç.Êàòóøêèí
Ô2116. Âäîëü ïðÿìîãî ó÷àñòêà äîðîãè ñòîÿò ëþäè –
îíè âñòðå÷àþò äîðîãîãî ãîñòÿ èç äàëåêîé ñòðàíû.
Èíòåðâàë ìåæäó âñòðå÷àþùèìè ñîñòàâëÿåò 0,5 ì.
Îäèí èç âñòðå÷àþùèõ äåëàåò øàã â ñòîðîíó è òóò æå
âîçâðàùàåòñÿ íà ìåñòî. ×åðåç 2 ñ òî æå ñàìîå äåëàåò
åãî ñîñåä ñïðàâà, è òàê äàëåå. Ñ áîëüøîé âûñîòû
êàæåòñÿ, ÷òî âäîëü øåðåíãè áåæèò âîëíà. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ýòîé âîëíû è åå äëèíó.
Ôðîíò ýòîé âîëíû ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå 0,5 ì çà 2 ñ –
ñêîðîñòü âîëíû ïîëó÷àåòñÿ 0,25 ì/ñ. À âîò äëèíó
âîëíû íàéòè íå ïîëó÷èòñÿ – êîëåáàíèÿ â ýòîé âîëíå íå
ãàðìîíè÷åñêèå. Ìîæíî èõ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû
ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí ðàçíûõ äëèí – «ãàðìîíèê». Äëèíà ñàìîé äëèííîâîëíîâîé ãàðìîíèêè îêàæåòñÿ ðàâíîé
ðàññòîÿíèþ ìåæäó ñîñåäÿìè â ðÿäó, ò.å. 0,5 ì.
À.Ãîñòåâ
Ô2117. Äî ñèõ ïîð ëþáèòåëè âûñîêîêà÷åñòâåííîãî
çâó÷àíèÿ èñïîëüçóþò óñèëèòåëè çâóêîâîé ÷àñòîòû
íà ýëåêòðîííûõ ëàìïàõ – îíè óâåðåíû, ÷òî êà÷åñòâî
çâó÷àíèÿ ìóçûêè â ýòîì ñëó÷àå íàìíîãî ëó÷øå, ÷åì
ïðè èñïîëüçîâàíèè òðàíçèñòîðîâ (àâòîð çàäà÷è íå
ðàçäåëÿåò èõ óâåðåííîñòè). Ðàññìîòðèì ïðàêòè÷åñêèé ñëó÷àé: ãðîìêîãîâîðèòåëü èìååò ñîïðîòèâëåíèå
4 Îì è äëÿ åãî ïîäêëþ÷åíèÿ ê óñèëèòåëþ òðåáóåòñÿ
ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð. Âûõîäíîé êàñêàä óñèëèòåëÿ íèçêîé ÷àñòîòû (ÓÍ×) ñîäåðæèò îäíó ìîùíóþ ýëåêòðîííóþ ëàìïó – åå àíîäíûé òîê ìîæåò
30.01.09, 12:23
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
áûòü â ïðåäåëàõ îò 20 äî 100 ìÀ, íàïðÿæåíèå íà àíîäå
ýòîé ëàìïû ïðè òàêèõ èçìåíåíèÿõ àíîäíîãî òîêà
äîëæíî íàõîäèòüñÿ â ïðåäåëàõ îò 40 äî 300 Â. Êàêàÿ
«âûõîäíàÿ ìîùíîñòü» ìîæåò áûòü ó òàêîãî óñèëèòåëÿ? Êàêîâ äîëæåí áûòü êîýôôèöèåíò òðàíñôîðìàöèè ó âûõîäíîãî òðàíñôîðìàòîðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ
ýòîé ìîùíîñòè?
Åñëè ïîäêëþ÷èòü ãðîìêîãîâîðèòåëü ïðÿìî â àíîäíóþ
öåïü, òî çâóêîâàÿ ìîùíîñòü ïîëó÷èòñÿ ñîâñåì ìàëîé.
Åñëè, êàê îáû÷íî äåëàåòñÿ, îöåíèâàòü ýòó ìîùíîñòü íà
ãàðìîíè÷åñêîì, ñèíóñîèäàëüíîì ñèãíàëå – íà âõîä
óñèëèòåëÿ îò ãåíåðàòîðà íèçêîé ÷àñòîòû ïîäàåòñÿ ñèíóñîèäàëüíûé ñèãíàë (êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþò ñèãíàë ñ ÷àñòîòîé 1000 Ãö – âïðî÷åì, ýòî íå ïðèíöèïèàëüíî). Äëÿ òîãî ÷òîáû èñêàæåíèÿ óñèëèâàåìîãî ñèãíàëà
íå áûëè íåäîïóñòèìî áîëüøèìè, óäâîåííàÿ àìïëèòóäà
òîêà â àíîäíîé öåïè äîëæíà óêëàäûâàòüñÿ â äèàïàçîí
òîêîâ 20 – 100 ìÀ (ïðè ñîïðîòèâëåíèè ãðîìêîãîâîðèòåëÿ 4 Îì â äèàïàçîí äîïóñòèìûõ íàïðÿæåíèé ìû
çàâåäîìî óêëàäûâàåìñÿ), ò.å. àìïëèòóäà òîêà ÷åðåç
ãðîìêîãîâîðèòåëü íå äîëæíà ïðåâûøàòü ïðèìåðíî
Èíòåðâüþ ñ À.Êóçíåöîâûì
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 24)
èäòè äîìîé èç øêîëû, êîãäà ïðèáåæàë ìîé îäíîêëàññíèê,
êîòîðûé ñêàçàë, ÷òî çàâòðà áóäåò ðàéîííàÿ îëèìïèàäà ïî
ìàòåìàòèêå è ÷òî ìíå òóäà îáÿçàòåëüíî íàäî ïîéòè. Êîíå÷íî,
ìîæåò áûòü, è áåç ýòîãî ìíå êòî-íèáóäü ïîçâîíèë áû è
ñîîáùèë ýòó èíôîðìàöèþ, íî ìîæåò è íåò. Íà ðàéîííîé
îëèìïèàäå ÿ çàíÿë âòîðîå ìåñòî, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èë
ïðèãëàøåíèå íà âñòóïèòåëüíûå ýêçàìåíû â 57-þ øêîëó.
Ýêçàìåíû ÿ óñïåøíî ñäàë è ïîñòóïèë â 8 êëàññ. Ýòà øêîëà
ìíîãîå ìíå äàëà. Âî-ïåðâûõ, çíàíèÿ, êîòîðûå ìíå î÷åíü
ïîìîãëè – íàïðèìåð, çà ýòî âðåìÿ ìû óñïåëè ïðîéòè ïî÷òè
ïîëíûé êóðñ ïåðâîãî ãîäà îáó÷åíèÿ íà ìåõìàòå (è åùå ÷àñòü
âòîðîãî), ÷òî â äàëüíåéøåì ïîçâîëèëî íà ïåðâîì êóðñå
èçó÷àòü áîëåå ïðîäâèíóòûå âåùè. Âî-âòîðûõ, ÿ ïîçíàêîìèëñÿ ñî ìíîãèìè ñâåðñòíèêàìè, ðàçäåëÿþùèìè ìîå óâëå÷åíèå
ìàòåìàòèêîé, à âìåñòå ó÷èòüñÿ âñåãäà ëåã÷å. Â-òðåòüèõ, ÿ
óâèäåë ìíîãî çàìå÷àòåëüíûõ ëþäåé ñðåäè ó÷èòåëåé, êîòîðûå
ñòàëè äëÿ ìåíÿ ïðèìåðîì â äàëüíåéøåì (îñîáåííî çäåñü ìíå
õîòåëîñü áû îòìåòèòü ìîåãî ó÷èòåëÿ ìàòåìàòèêè Ðàôàèëà
Êàëìàíîâè÷à Ãîðäèíà).
Ñëåäóþùåå âàæíîå ñîáûòèå ïðîèçîøëî òàê. Âî âðåìÿ
ó÷åáû â ñòàðøèõ êëàññàõ ÿ èñïðàâíî õîäèë íà îëèìïèàäû
(ìàòåìàòè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå). Î÷åíü áîëüøèõ óñïåõîâ ó
ìåíÿ òàì íå áûëî (ìàêñèìàëüíîå äîñòèæåíèå – òðåòüå ìåñòî
íà ãîðîäñêîé îëèìïèàäå), íî îáùèé óðîâåíü, âèäèìî, áûë
äîñòàòî÷íî íåïëîõèì. Ïîýòîìó ëåòîì ïîñëå îêîí÷àíèÿ øêîëû è ïîñëå âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ â óíèâåðñèòåò ìåíÿ
ïðèãëàñèëè â ëåòíèé ëàãåðü Òóðíèðà ãîðîäîâ. Ëåòíèé ëàãåðü
– ýòî çàìå÷àòåëüíîå ìåðîïðèÿòèå, ïðèäóìàííîå (êàê è ñàì
Òóðíèð ãîðîäîâ) Íèêîëàåì Íèêîëàåâè÷åì Êîíñòàíòèíîâûì. Òóäà ïðèãëàøàþòñÿ øêîëüíèêè-ñòàðøåêëàññíèêè, õîðîøî âûñòóïàþùèå â îëèìïèàäàõ, à òàêæå ñòóäåíòû-ìëàäøåêóðñíèêè, õîðîøî âûñòóïàâøèå íà îëèìïèàäàõ â íåäàâíåì ïðîøëîì. Øêîëüíèêàì ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è, êîòîðûå
îíè ðåøàþò ïîä ðóêîâîäñòâîì ñòóäåíòîâ. Â ýòîì ëàãåðå ÿ
ïîçíàêîìèëñÿ ñ íåñêîëüêèìè âòîðîêóðñíèêàìè, êîòîðûå ìíå
â äàëüíåéøåì î÷åíü ïîìîãëè. Èãîðü Ïàê è Ñàøà Ïîñòíèêîâ
ñòàëè ìîèìè ïåðâûìè ñîàâòîðàìè, à ñòàòüÿ, êîòîðóþ ìû ñ
25-39.p65
31
!
«ÊÂÀÍÒÀ»
28 ìÀ. Ýòî äàåò «âûõîäíóþ» ìîùíîñòü
2
P = 0, 5 × 0,028 × 4 Âò = 1,6 × 10 -3 Âò .
Ìàëîñòü ýòîé âåëè÷èíû ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ìû íå
èñïîëüçóåì âîçìîæíîãî «ðàçìàõà íàïðÿæåíèÿ».
Âêëþ÷èì ãðîìêîãîâîðèòåëü ÷åðåç ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð ñ îòíîøåíèåì ÷èñëà âèòêîâ ïåðâè÷íîé îáìîòêè ê ÷èñëó âèòêîâ âòîðè÷íîé îáìîòêè n.  ýòîì
ñëó÷àå íàïðÿæåíèå íà ãðîìêîãîâîðèòåëå óìåíüøèòñÿ â
n ðàç, à òîê âîçðàñòåò âî ñòîëüêî æå ðàç – ïî ñðàâíåíèþ
ñ âåëè÷èíàìè â àíîäíîé öåïè. Äëÿ óäâîåííûõ ìàêñèìàëüíûõ àìïëèòóä òîêà è íàïðÿæåíèÿ ïîëó÷èì ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå, îòêóäà íàéäåì n:
260
260
80 × 10 -3 × n =
, n2 =
= 3250 , n = 57.
n
80 × 10 -3
Èìåííî òàêèì äîëæåí áûòü êîýôôèöèåíò òðàíñôîðìàöèè ó âûõîäíîãî òðàíñôîðìàòîðà.  ýòîì ñëó÷àå
âûõîäíàÿ ìîùíîñòü ïîëó÷èòñÿ
P¢ =
80 × 10 -3 × 260
Âò = 1,3 Âò .
16
À.Çèëüáåðìàí
íèìè ÷åðåç äâà ãîäà íàïèñàëè, áûëà ðàçâèòèåì çàäà÷è,
êîòîðóþ ÿ ðåøàë â ýòîì ëàãåðå. À Ñåðåæà Àðõèïîâ î÷åíü ìíå
ïîìîã â äàëüíåéøåì îáó÷åíèè è â âûáîðå íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ.  ÷àñòíîñòè, îí ìíå ïîñîâåòîâàë õîäèòü íà ñåìèíàð
Èçðàèëÿ Ìîèñååâè÷à Ãåëüôàíäà, ãäå ÿ óâèäåë ìíîãî çàìå÷àòåëüíûõ ìàòåìàòèêîâ (òàêèõ êàê Ñàøà Áåéëèíñîí, Âèòÿ
Ãèíçáóðã, Áîðÿ Ôåéãèí) è ïîçíàêîìèëñÿ ñ Ëåíåé Ïîñèöåëüñêèì. Åìó, â òîò ìîìåíò òðåòüåêóðñíèêó, Ãåëüôàíä ïîðó÷èë
îáó÷àòü ìëàäøåêóðñíèêîâ «ìàòåìàòèêå», ò.å. âåùàì, êîòîðûå íå âõîäÿò â ïðîãðàììó îáó÷åíèÿ íà ìåõìàòå, íî ñîâåðøåííî íåîáõîäèìû äëÿ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Ëåíÿ ìåíÿ
íàó÷èë î÷åíü è î÷åíü ìíîãîìó. Óâåðåí, ÷òî áåç åãî «ñïåöêóðñîâ» ìíå ïðèøëîñü áû íàìíîãî ñëîæíåå.
Ñàìîå áîëüøîå âëèÿíèå íà ìåíÿ, êîíå÷íî æå, îêàçàë ìîé
íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü – Àëåêñåé Èãîðåâè÷ Áîíäàë. È
ïðåæäå âñåãî ñëåäóåò ñêàçàòü äàæå íå î çíàíèÿõ, êîòîðûå ÿ
îò íåãî ïîëó÷èë, à î ñïîñîáå ìûøëåíèÿ, óìåíèè øèðîêî è
ïðàâèëüíî âçãëÿíóòü íà ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó.
4. Êàê ìíîãî âðåìåíè Âû óäåëÿåòå ïðîôåññèîíàëüíîé
äåÿòåëüíîñòè? Êàê èñïîëüçóåòå êîìïüþòåð?
 èäåàëå ìàòåìàòèê ðàáîòàåò âñå âðåìÿ. Íà ñàìîì äåëå,
åñëè çàäà÷à, êîòîðóþ âû ðåøàåòå, âàì èíòåðåñíà, òî âàøè
ìûñëè âñå ðàâíî âîëüíî èëè íåâîëüíî ê íåé âîçâðàùàþòñÿ.
Íî â ðåàëüíîñòè, êîíå÷íî, òàê íå ïîëó÷àåòñÿ. Âñåãäà íàõîäèòñÿ ìíîæåñòâî äåë, îòâëåêàþùèõ îò ðàáîòû. À êîìïüþòåð
äëÿ ìàòåìàòèêà èìååò âòîðîñòåïåííîå çíà÷åíèå. Êîíå÷íî, îí
íåçàìåíèì äëÿ íàïèñàíèÿ ñòàòåé (ðàíüøå îáõîäèëèñü áóìàãîé è ðó÷êîé, íî ñåé÷àñ óæå äðóãèå âðåìåíà), à òàêæå äëÿ
ïîèñêà è ïðîñìîòðà íóæíûõ ñòàòåé è êíèã. Êðîìå òîãî,
íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè èñïîëüçóþò êîìïüþòåð äëÿ âû÷èñëåíèé.
5. Êàêèå ó Âàñ óâëå÷åíèÿ ïîìèìî ìàòåìàòèêè?
Âî âðåìÿ ó÷åáû â øêîëå è óíèâåðñèòåòå ÿ ðåãóëÿðíî õîäèë
â ïîõîäû. Ñåé÷àñ ó ìåíÿ ðåäêî âîçíèêàåò òàêàÿ âîçìîæíîñòü,
íî åñëè óäàåòñÿ, ÿ ñ óäîâîëüñòâèåì åþ ïîëüçóþñü.
Ìû ïîçäðàâëÿåì Àëåêñàíäðà Ãåííàäüåâè÷à è æåëàåì
åìó íîâûõ ÿðêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îòêðûòèé!
30.01.09, 12:23
Òàê êàê êàòîäíûå ëó÷è íåñóò çàðÿä îòðèöàòåëüíîãî
ýëåêòðè÷åñòâà, îíè îòêëîíÿþòñÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ñèëîé, êàê åñëè áû îíè áûëè îòðèöàòåëüíî íàýëåêòðèçîâàíû,
è íà íèõ äåéñòâóåò ìàãíèòíàÿ ñèëà òàêèì îáðàçîì, êàê ýòà
ñèëà äåéñòâîâàëà áû íà îòðèöàòåëüíî íàýëåêòðèçîâàííîå
òåëî, äâèæóùååñÿ ïî òðàåêòîðèè ýòèõ ëó÷åé.
Äæîçåô Äæîí Òîìñîí
...êî ìíå ïðèøåë ñòðàøíî âîçáóæäåííûé Ãåéãåð è ñêàçàë:
«Íàì óäàëîñü íàáëþäàòü α -÷àñòèöû, âîçâðàùàþùèåñÿ
íàçàä». Ýòî áûëî ñàìûì íåâåðîÿòíûì ñîáûòèåì, êîòîðîå
ìíå ïðèøëîñü ïåðåæèòü.
Ýðíåñò Ðåçåðôîðä
Íà ñíèìêàõ îáíàðóæèâàëèñü âðåìÿ îò âðåìåíè ïðÿìûå
ïóòè ÷àñòèö íåèçâåñòíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ïî÷òè íå îòêëîíÿåìûå ìàãíèòíûì ïîëåì, íî ïî ñâîåìó èîíèçèðóþùåìó
äåéñòâèþ íå îòëè÷àþùèåñÿ ñêîëüêî-íèáóäü îò áûñòðûõ
β -ëó÷åé.
Äìèòðèé Ñêîáåëüöûí
Òàêèå óñòðîéñòâà, êàê öèêëîòðîí è ñèíõðîòðîí, óñêîðÿþò
÷àñòèöó äî âûñîêèõ ýíåðãèé, çàñòàâëÿÿ åå ìíîãîêðàòíî
ïðîõîäèòü ÷åðåç ñèëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. À íà ñâîåé
îðáèòå ÷àñòèöó óäåðæèâàåò ìàãíèòíîå ïîëå.
Ðè÷àðä Ôåéíìàí
?
À òàê ëè õîðîøî çíàêîìû âàì
÷àñòèöû è ïîëÿ
Ïðàêòè÷åñêè âñÿêèé ðàç ôðàãìåíòû èç ðàáîò âûäàþùèõñÿ ó÷åíûõ, ïðåäâàðÿþùèå î÷åðåäíîé âûïóñê íàøåé
ðóáðèêè, âûñòðàèâàþòñÿ â ñâîåîáðàçíûé «êðàòêèé êóðñ»
èñòîðèè òîãî èëè èíîãî ôèçè÷åñêîãî íàïðàâëåíèÿ.
Íûíåøíÿÿ æå òåìà îêàçàëàñü íàñòîëüêî îáøèðíà è
íåîáúÿòíà, ÷òî íà íåå íàíèçûâàþòñÿ ïî÷òè âñå îòâåòâëåíèÿ ñîâðåìåííîé ôèçèêè, õðîíîëîãè÷åñêèì ðóáåæîì
êîòîðîé íàçûâàþò ñàìûé êîíåö XIX âåêà, êîãäà îäíî çà
äðóãèì ïîñëåäîâàëè áëåñòÿùèå äîñòèæåíèÿ – òàêèå, êàê
îòêðûòèÿ ýëåêòðîíà è ðàäèîàêòèâíîñòè.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îáíàðóæåíèå ýëåìåíòàðíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö – ìåëü÷àùèõ ñòðóêòóðíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ìàòåðèè – ñëîâíî ïîäõëåñòíóëî èññëåäîâàòåëåé ê
äàëüíåéøèì ïîèñêàì, ñóëèâøèì ñîâåðøåííî íîâîå ïðåäñòàâëåíèå îá îêðóæàþùåì íàñ ìèðå. Íî íå òîëüêî: äëÿ
èçó÷åíèÿ è óïðàâëåíèÿ ìèêðîñêîïè÷åñêèìè «íåâèäèìêàìè» ïîòðåáîâàëèñü òàêèå õèòðûå ñî÷åòàíèÿ ïîëåé,
òàêàÿ àïïàðàòóðà, òàêèå òåõíîëîãèè, êîòîðûå áóêâàëüíî íà ãëàçàõ ñòàëè ìåíÿòü ïðîèçâîäñòâî è áûò, ýíåðãåòèêó è ñðåäñòâà ñâÿçè – îäíèì ñëîâîì, ïðèâåëè ê
ïðîìûøëåííîé è èíôîðìàöèîííîé ðåâîëþöèè, ïëîäû
êîòîðîé ìû ïîæèíàåì äî ñèõ ïîð.
Âîò è ñåãîäíÿ, íàêàíóíå çàïóñêà â Øâåéöàðèè ñàìîãî
êðóïíîãî è ñàìîãî ìîùíîãî óñêîðèòåëÿ ýëåìåíòàðíûõ
÷àñòèö, êîãäà-ëèáî ñîçäàííîãî ðàçóìîì ðóêàìè ÷åëîâåêà, ìû îæèäàåì áåñïðåöåäåíòíûõ îòêðûòèé, ðàçâèâàþùèõ, à, ìîæåò áûòü, è ïåðåâîðà÷èâàþùèõ íàøè çíàíèÿ
î ñòðîåíèè âåùåñòâà è îá óñòðîéñòâå Âñåëåííîé.
 ðàñ÷åòå íà òî, ÷òî è íà âàøó äîëþ äîñòàíåòñÿ åùå
íåìàëî ñëîæíûõ è èíòåðåñíûõ ïðîáëåì, êàñàþùèõñÿ
÷àñòèö è ïîëåé, íà÷íåì ñ áîëåå ïðîñòûõ, íî íå ìåíåå
óâëåêàòåëüíûõ çàäà÷.
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ïî÷åìó â êîìíàòíûõ óñëîâèÿõ, äàæå ïðè âñåõ
ìåðàõ ïðåäîñòîðîæíîñòè, ýëåêòðîñêîï îáÿçàòåëüíî ðàçðÿäèòñÿ?
2. Ìåòàëëè÷åñêèé íåçàðÿæåííûé äèñê ïðèâîäèòñÿ â
áûñòðîå âðàùåíèå. Ýëåêòðîìåòð, ïðèñîåäèíåííûé ñ
ïîìîùüþ êîíòàêòîâ ê öåíòðó è ê ïåðèôåðèè äèñêà,
ïîêàçûâàåò, ÷òî ìåæäó íèìè âîçíèêëà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Êàêîâ åå çíàê?
25-39.p65
32
3. Êàêóþ òðàåêòîðèþ îïèøåò ýëåêòðîí, ïðîëåòàÿ
ìåæäó ïëàñòèíàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, íà êîòîðûå
ïîäàíî: à) ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå; á) ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå äîñòàòî÷íî âûñîêîé ÷àñòîòû?
4. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè ðàâíîìåðíî çàðÿæåíû îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì.  íåêîòîðîé òî÷êå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ïîìåùåí ðàäèîàêòèâíûé èñòî÷íèê. ×òî
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíî è îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, èñïóñêàåìûõ
èñòî÷íèêîì?
5. Ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
ýëåêòðîíû, âûëåòàþùèå èç êàòîäà âàêóóìíîãî äèîäà,
íå ðàññåèâàþòñÿ â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå, à áîëüøåé ÷àñòüþ âîçâðàùàþòñÿ íà ïîâåðõíîñòü êàòîäà. ×åì
ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü?
6. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ìåæäó ýëåêòðîäàìè âàêóóìíîãî äèîäà äîñòèãàåò òûñÿ÷ êèëîìåòðîâ â
ñåêóíäó, à â ìåòàëëè÷åñêèõ ïðîâîäíèêàõ àíîäíîé öåïè
– ìèëëèìåòðîâ â ñåêóíäó. Îäèíàêîâû ëè ñèëû òîêà â
äèîäå è â ïðîâîäíèêàõ?
7. Êîëëèìèðîâàííûé ïó÷îê çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ò.å.
ïó÷îê, â êîòîðîì âñå ÷àñòèöû èìåþò îäíî è òî æå
íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè, ïîä âëèÿíèåì êóëîíîâñêèõ ñèë
ïîñòåïåííî ðàñõîäèòñÿ. Êàê çàâèñèò ýòîò ýôôåêò îò
ñêîðîñòè ÷àñòèö?
8. Îò êàêèõ õàðàêòåðèñòèê ÷àñòèöû çàâèñèò ôîðìà åå
òðàåêòîðèè ïðè äâèæåíèè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå,
ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ìàãíèòíîì ïîëå?
9. Êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ðàäèóñ òðàåêòîðèè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ ïî îêðóæíîñòè â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, ñ óâåëè÷åíèåì åå óäåëüíîãî
çàðÿäà?
10. Ïî äëèííîìó ïðÿìîìó ìåòàëëè÷åñêîìó ïðîâîäó
òå÷åò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ìîæíî ëè èçáàâèòüñÿ îò åãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, óñòðåìèâøèñü âäîëü ïðîâîäà ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé ñðåäíåé ñêîðîñòè óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ â íåì?
11. Ïî÷åìó ÷àñòèöà, îáðàùàþùàÿñÿ â íåîäíîðîäíîì
ìàãíèòíîì ïîëå, «îòðàæàåòñÿ» îò îáëàñòè, ãäå èíäóêöèÿ ýòîãî ïîëÿ óâåëè÷èâàåòñÿ?
12. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü äóãîé îêðóæíîñòè òðàåêòîðèþ
äâèæåíèÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, âëåòåâøèõ â êàìåðó
30.01.09, 12:24
Âèëüñîíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì îäíîðîäíîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ?
13. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû ñëåäû ýëåêòðîíà è
ïîçèòðîíà, ïîëó÷åííûå â
êàìåðå Âèëüñîíà, íàõîäèâøåéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå,
íàïðàâëåííîì îò ÷èòàòåëÿ
ïåðïåíäèêóëÿðíî ðèñóíêó.
Êàêîé èç ñëåäîâ ïðèíàäëåæèò ýëåêòðîíó, à êàêîé –
ïîçèòðîíó? Êàêàÿ ÷àñòèöà èìååò áóëüøóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ?
14. Óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â öèêëîòðîíå îñóùåñòâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî çà ñ÷åò âîçäåéñòâèÿ íà ÷àñòèöû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Çà÷åì æå óòÿæåëÿþò è óäîðîæàþò ýòè óñòàíîâêè, çàáîòÿñü î äåéñòâèè
íà ÷àñòèöû åùå è ìàãíèòíîãî ïîëÿ?
15. Êàê äåéñòâóåò
èçîáðàæåííûé íà
ðèñóíêå «ôèëüòð
ñêîðîñòåé»? Âíóòðè
ïðèáîðà ñîçäàíû îäíîðîäíûå ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ, íàïðàâëåííûå ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã ê äðóãó è ê íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèö.
16. Ïî÷åìó â Êàíàäå ñåâåðíûå ñèÿíèÿ áûâàþò ÷àùå,
÷åì â Ñèáèðè, ðàñïîëîæåííîé íà òîé æå ãåîãðàôè÷åñêîé øèðîòå?
17. Äëÿ èíèöèèðîâàíèÿ ÿäåðíûõ ðåàêöèé äåëåíèÿ
÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ áîìáàðäèðîâêà ÿäåð íåéòðîíàìè. À ïî÷åìó äëÿ ýòîé öåëè ìåíåå ïðèãîäíû, ñêàæåì,
ïðîòîíû èëè ýëåêòðîíû?
Ìèêðîîïûò
Íàêëåéòå íà îáû÷íóþ îñâåòèòåëüíóþ ëàìïó ïîëîñêó
ìåòàëëè÷åñêîé ôîëüãè è ïðèñîåäèíèòå åå ïðîâîäêîì ê
ýëåêòðîñêîïó. Çàðÿäèòå ýëåêòðîñêîï ïîëîæèòåëüíî è
âêëþ÷èòå òîê â ëàìïå. Ïîâòîðèòå îïûò, çàðÿäèâ ýëåêòðîñêîï îòðèöàòåëüíî. ×åì îáúÿñíèòü, ÷òî â ïåðâîì
ñëó÷àå ïðè âêëþ÷åíèè òîêà ëèñòêè ýëåêòðîñêîïà ñïàäàþò, à âî âòîðîì – íåò?
Ëþáîïûòíî, ÷òî...
...çíàìåíèòûì îïûòàì Äæ.Äæ.Òîìñîíà ñ êàòîäíûìè
ëó÷àìè ïðåäøåñòâîâàëà ïî÷òè ñîðîêàëåòíÿÿ ðàáîòà
ôèçèêîâ ðàçíûõ ñòðàí ïî èçó÷åíèþ ýëåêòðè÷åñêîãî
ðàçðÿäà â ðàçðåæåííûõ ãàçàõ. Ñ÷èòàëîñü, ÷òî ýòè ëó÷è
– ëèáî ïîòîê ìîëåêóë, çàðÿäèâøèõñÿ îòðèöàòåëüíî ïðè
ñòîëêíîâåíèè ñ êàòîäîì, ëèáî íîâûé âèä ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, îòêëîíÿþùèõñÿ, â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî
ñâåòà, ìàãíèòíûì ïîëåì. Ëèøü Òîìñîíó â äëèííîé
ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ óäàëîñü äîáûòü ê 1897 ãîäó ðåøàþùèå äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî êàòîäíûå ëó÷è ñîñòîÿò èç
ýëåêòðîíîâ. Òàê áûëà îòêðûòà ïåðâàÿ ýëåìåíòàðíàÿ
÷àñòèöà.
...çàäà÷à ïî îïðåäåëåíèþ çàðÿäà è ìàññû α - è β ÷àñòèö, âîçíèêøàÿ ñðàçó ïîñëå îáíàðóæåíèÿ ðàäèîàêòèâíîñòè, ïðèâåëà ñî âðåìåíåì ê ñîçäàíèþ ìàññ-ñïåêòðîãðàôî⠖ ïðèáîðîâ, èñïîëüçóþùèõ ýëåêòðè÷åñêîå è
ìàãíèòíîå ïîëÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ìàññ ìåëü÷àéøèõ èîíîâ.
Ïåðâûé èç íèõ áûë ïîñòðîåí â 1919 ãîäó Ôðýíñèñîì
Àñòîíîì, ó÷åíèêîì Äæ.Äæ.Òîìñîíà, îòêðûâøåãî çà
25-39.p65
33
ñåìü ëåò äî ýòîãî ñîáûòèÿ ñóùåñòâîâàíèå èçîòîïîâ.
...âðàùåíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ìàãíèòíîì ïîëå
îòêðûë åùå â 1895 ãîäó àíãëèéñêèé ôèçèê Äæîçåô
Ëàðìîð.  äàëüíåéøåì èäåÿ óäåðæàíèÿ ÷àñòèö ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïîëÿ áûëà î÷åíü õîðîøî îòðàáîòàíà ïðè
ñîçäàíèè óñêîðèòåëåé – â íèõ ÷àñòèöû ñîâåðøàþò
ìèëëèîíû îáîðîòîâ ïî êðóãîâîé îðáèòå è ìîãóò æèòü íà
íåé ìíîãèå ÷àñû. À âîò ïðîáëåìó ìàãíèòíîãî óäåðæàíèÿ
– èçîëÿöèè – âûñîêîòåìïåðàòóðíîé ïëàçìû â òåðìîÿäåðíûõ ðåàêòîðàõ íå óäàëîñü åùå îêîí÷àòåëüíî ðåøèòü.
...ïðèìåíåíèå ìàãíèòíûõ ïîëåé ñ îïðåäåëåííûìè
ñëîæíûìè êîíôèãóðàöèÿìè â îïûòàõ íà óñêîðèòåëÿõ
ïîçâîëÿåò ôîêóñèðîâàòü ïó÷êè ÷àñòèö ïîäîáíî òîìó,
êàê îïòè÷åñêèå ëèíçû ôîêóñèðóþò ñâåòîâûå ëó÷è.
...îòêðûòûå â 1910 ãîäó êîñìè÷åñêèå ëó÷è ñòàëè
èíòåíñèâíî èçó÷àòüñÿ â òîì ÷èñëå è ñ ïîìîùüþ êàìåðû
Âèëüñîíà, ïîìåùåííîé â ìàãíèòíîå ïîëå. Èìåííî îíà
ïîçâîëèëà íàáëþäàòü àíîìàëüíûå ñëåäû, ïðèâåäøèå ê
îáíàðóæåíèþ â 1932 ãîäó ïîçèòðîíà – «ýëåêòðîíà ñ
ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì».
...â îòëè÷èå îò ïåðåìåííûõ ïîòîêîâ ñîëíå÷íûõ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé, ãàëàêòè÷åñêèå è ìåòàãàëàêòè÷åñêèå ëó÷è
– ýòî ìàëî èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè ïîòîêè àòîìíûõ
ÿäåð. Ñàìàÿ âàæíàÿ èõ îñîáåííîñòü – ýíåðãèÿ ÷àñòèö,
äîñòèãàþùàÿ 1021 ýÂ, ÷òî íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ âûøå
ýíåðãèé, ïîëó÷àåìûõ íà ðóêîòâîðíûõ óñòàíîâêàõ. Òàêèì îáðàçîì, Âñåëåííàÿ îêàçûâàåñÿ êàê áû ãèãàíòñêèì
óñêîðèòåëåì àòîìíûõ ÿäåð.
...â 1985 ãîäó ñ îñòðîâà Êåðñåëåí â Èíäèéñêîì îêåàíå
ñòàðòîâàëà ãåîôèçè÷åñêàÿ ðàêåòà ñ íåáîëüøèì óñêîðèòåëåì ÷àñòèö. Íà îïðåäåëåííîé âûñîòå îí èñïóñòèë
ïîòîê ýëåêòðîíîâ, â äàëüíåéøåì äâèãàâøèõñÿ âäîëü
ëèíèè çåìíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è âûçâàâøèõ èñêóññòâåííîå ïîëÿðíîå ñèÿíèå íàä Àðõàíãåëüñêîé îáëàñòüþ.
Ýòè ýêñïåðèìåíòû ïðåäíàçíà÷àëèñü äëÿ èçó÷åíèÿ ìåõàíèçìà âîçíèêíîâåíèÿ ñåâåðíûõ ñèÿíèé, ñòðóêòóðû ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè, ïðîöåññîâ â åå èîíîñôåðå è èõ
âëèÿíèÿ íà ïîãîäó.
...î ìàñøòàáàõ ñîâðåìåííûõ èññëåäîâàíèé â ôèçèêå
ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ìîæíî ñóäèòü ïî ïàðàìåòðàì
Áîëüøîãî àäðîííîãî êîëëàéäåðà, ãîòîâÿùåãîñÿ ê ïóñêó
â Æåíåâå. Ïåðèìåòð åãî êðóãîâîãî òóííåëÿ, çàëåãàþùåãî íà ãëóáèíå ïðèìåðíî 100 ìåòðîâ ïîä çåìëåé, ñîñòàâëÿåò 27 êèëîìåòðîâ; ñâåðõïðîâîäÿùèå ìàãíèòû ðàçãîíÿò ïðîòîíû äî ýíåðãèè 7 ÒýÂ è çàòåì áóäóò ñòàëêèâàòü
èõ äðóã ñ äðóã ñ ÷àñòîòîé 800 ìèëëèîíîâ ðàç â ñåêóíäó;
â ïëàíèðîâàíèè è ôèíàíñèðîâàíèè ñòðîèòåëüñòâà êîëëàéäåðà ïðèíÿëè ó÷àñòèå áîëåå äâóõ äåñÿòêîâ ñòðàí, â
÷èñëå êîòîðûõ è Ðîññèÿ.
×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå»î ÷àñòèöàõ è ïîëÿõ
(ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò)
1. «Ñëåäû â êàìåðå» – 2003, ¹ 3, ñ. 40;
2. «Ìàãíèòíîå ïîëå» – 2004, ¹ 4, ñ. 47;
3. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» – 2005, ¹ 1, ñ. 32;
4. «Çàðÿæåííûå ÷àñòèöû â ìàãíèòíîì ïîëå» – 2006, ¹ 4,
ñ. 40;
5. «Äâèæåíèå çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå» – 2007, ¹ 5, ñ. 42;
6. «Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ»
– 2008, ¹ 5, ñ. 47.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷
30.01.09, 12:25
ÊÌØ
!"
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Çàäà÷è
1.
Íàçîâåì êèðïè÷îì ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî äëèíà, øèðèíà è âûñîòà ðàçëè÷íû.
Ìîæíî ëè ïîâåðõíîñòü êàêîãî-íèáóäü êèðïè÷à îêëåèòü áåç ïåðåêðûòèé ïÿòüþ áóìàæíûìè êâàäðàòàìè?
(Êâàäðàòû ðàçðåøàåòñÿ ïåðåãèáàòü ÷åðåç ðåáðà, ðàçìåðû èõ íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâû.)
À.Øàïîâàëîâ
2.
Ìîæåò ëè áûòü âåðíûì ðàâåíñòâî
Ð ´ Å ´ Ø ´ È = Ñ ´ À ´ Ì,
åñëè â íåì êàæäàÿ áóêâà çàìåíÿåò íåêîòîðóþ öèôðó,
ïðè÷åì ðàçíûå áóêâû çàìåíÿþò ðàçíûå öèôðû?
Þ.Ýâíèí
ìåñòî (à äðóãèå ïðè ýòîì îñòàíóòñÿ íåïîäâèæíûìè)
òàê, ÷òî ñíîâà ïîëó÷èòñÿ òà æå ñàìàÿ ôèãóðà (òîëüêî,
âîçìîæíî, ïî-äðóãîìó ðàñïîëîæåííàÿ). Êàê òàêîå
ìîæåò áûòü?
Ôîëüêëîð
4.
 êèíîòåàòðå «Áóäü çäîðîâ!» 20 ðÿäîâ ïî 25
ìåñò â êàæäîì è âñå ìåñòà çàíÿòû. Â êèíîòåàòðå
ïðèíÿòî ïðàâèëî: åñëè çðèòåëü ÷èõíåò âî âðåìÿ ñåàíñà, òî îí äîëæåí îòäàòü êàæäîìó èç ñâîèõ ñîñåäåé
ïî ðóáëþ. Âíà÷àëå ó âñåõ áûëî îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äåíåã. Äèìà ÷èõíóë è ðàñïëàòèëñÿ. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ðàç äîëæíû åùå ÷èõíóòü çðèòåëè,
÷òîáû ó âñåõ ñíîâà ñòàëî ïîðîâíó äåíåã? (Ñîñåäÿìè
ñ÷èòàþòñÿ ñèäÿùèå ñïåðåäè, ñçàäè, ñëåâà è ñïðàâà, ó
êàæäîãî çðèòåëÿ ìîæåò áûòü îò äâóõ äî ÷åòûðåõ
ñîñåäåé.)
Ä.Êàëèíèí
5.
Äåñÿòü òî÷å÷íûõ êóçíå÷èêîâ ñèäÿò íà ñòîëå, îáðàçóÿ íåêîòîðóþ ôèãóðó. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé èç
êóçíå÷èêîâ ìîæåò îòäåëüíî îò îñòàëüíûõ ïåðåïðûãíóòü èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ íà íåêîòîðîå íîâîå
Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 – 8
êëàññîâ.
25-39.p65
34
çåðêàëî: â íåì îòðàæàëèñü è íàðó÷íûå, è íàñòåííûå
÷àñû, íî ïîêàçûâàëè îíè â çåðêàëå ðàçíîå âðåìÿ è
íè îäíî íå ñîâïàäàëî ñ ðåàëüíûì. Êàê òàêîå ìîãëî
áûòü?
À.Òîëïûãî
30.01.09, 12:25
Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé
3.
Ó ìåíÿ åñòü äâîå ýëåêòðîííûõ ÷àñî⠖ íàðó÷íûå
è íàñòåííûå, èäóò îíè âñåãäà ïðàâèëüíî (âðåìÿ ïîêàçûâàþò öèôðàìè). Ñòîÿ ó çåðêàëà, ÿ âçãëÿíóë íà
íàðó÷íûå ÷àñû – áûëî 12:05. ß ïåðåâåë âçãëÿä íà
Ê
Ì
Ø
Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà
!#
«Ìàòåìàòèêà 6–8»
Ìû çàâåðøàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 6–8 êëàññîâ.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó: 119296
Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» èëè ïî ýëåêòðîííîìó àäðåñó: [email protected] (ñ ïîìåòêîé
«Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6–8»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ.
Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è
ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé
òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé
òóðíèð.
16. Ìîæíî ëè îòìåòèòü íåñêîëüêî êëåòîê íà ïîâåðõíîñòè êóáèêà Ðóáèêà ! ´ ! ´ ! òàê, ÷òîáû íà êàæäîì
êîëüöå èç 12 êëåòîê, îïîÿñûâàþùåì êóáèê, áûëî
îòìå÷åíî ðîâíî ïî 5 êëåòîê?
À.Ãðèáàëêî
17. Â òðåóãîëüíîì ïàðêå åñòü òðè äîðîæêè: ñèíÿÿ,
çåëåíàÿ è êðàñíàÿ. Êàæäàÿ äîðîæêà äåëèò ïàðê íà äâå
÷àñòè ðàâíîé ïëîùàäè. Âìåñòå äîðîæêè äåëÿò ïàðê íà 7
÷àñòåé: ÷åòûðå «òðåóãîëüíûõ»
è òðè «÷åòûðåõóãîëüíûõ»
(ðèñ.1). Ìîæåò ëè òàê áûòü, ÷òî
èç äâóõ ÷àñòåé, ïðèìûêàþùèõ
ê îäíîé è òîé æå ñòîðîíå
ïàðêà, «÷åòûðåõóãîëüíàÿ»
âñåãäà íå ìåíüøå ïî ïëîùàÐèñ. 1
äè, ÷åì «òðåóãîëüíàÿ»?
Ã.Ãàëüïåðèí
18. Äàí âîñüìèóãîëüíèê «ëåñåíêà» (ðèñ.2). Ìîæíî
ëè èç íåñêîëüêèõ îäèíàêîâûõ «ëåñåíîê» ñëîæèòü
âîñüìèóãîëüíèê òîé æå ôîðìû,
íî áîëüøåãî ðàçìåðà?
Ñ.Ìàðêåëîâ
19. Èìåþòñÿ 1000 áóòûëîê ñ
âèíîì, â îäíîé èç íèõ âèíî
èñïîð÷åíî. Èìåþòñÿ òàêæå 10
áåëûõ ìûøåé, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íóæíî îáíàðóæèòü ïëîõîå
âèíî. Åñëè ìûøü âûïüåò ïëîõî- Ðèñ. 2
ãî âèíà, ðîâíî ÷åðåç 10 ìèíóò îíà ïðèîáðåòåò ÿðêóþ
ôèîëåòîâóþ îêðàñêó. Ðàçðåøàåòñÿ íàêàïàòü âèíà èç
ðàçíûõ áóòûëîê êàæäîé ìûøè è äàòü èì âûïèòü
îäíîâðåìåííî, à ïîòîì æäàòü. Ïðèäóìàéòå ñïîñîá,
ïîçâîëÿþùèé ÷åðåç 10 ìèíóò è 1 ñåêóíäó îïðåäåëèòü
áóòûëêó ñ èñïîð÷åííûì âèíîì.
Ã.Ãàëüïåðèí
20. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a è b óäîâëåòâîðÿþò
ðàâåíñòâó a + b + 1 = 3ab. Äîêàæèòå, ÷òî + ³ .
= >
Ð.Ïèðêóëèåâ
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñêàçêà
Ó
ÖÀÐߗÁÞÐÎÊÐÀÒÀ ÏÎÄÄÀÍÍÛÅ ÎÁÚÅÄÈÍßÞÒÑß Â ÒÀÉ-
íûå îáùåñòâà. Êàæäîå ïîäìîæåñòâî ïîääàííûõ
ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òàéíîå îáùåñòâî. Äëÿ ýôôåêòèâíîãî êîíòðîëÿ öàðü õî÷åò, ÷òîáû íà êàæäîå òàéíîå
îáùåñòâî êòî-òî äîíîñèë. Îäíàêî êàæäûé â ñîñòîÿíèè
ïèñàòü äîíîñû òîëüêî íà îäíî òàéíîå îáùåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî öàðþ äëÿ ýòîé öåëè íå õâàòèò ëþäåé, äàæå
åñëè íàñåëåíèå ñòðàíû áåñêîíå÷íî.
Ðåøåíèå. Íàçîâåì ÷åëîâåêà ïîðÿäî÷íûì, åñëè îí
äîíîñèò òîëüêî íà òî òàéíîå îáùåñòâî, ÷ëåíîì êîòîðîãî îí íå ñîñòîèò.
Ïîðÿäî÷íûå ëþäè ñóùåñòâóþò. Èíà÷å êàæäîìó ïðèøëîñü áû äîíîñèòü íà îáùåñòâî, ñîñòîÿùåå òîëüêî èç
íåãî ñàìîãî (ëþáîé, êòî äîíîñèò íà îáùåñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîãî äðóãîãî ãðàæäàíèíà, ïîðÿäî÷åí ïî îïðåäåëåíèþ). Òàêàÿ ñèòóàöèÿ íå òîëüêî ïðî-
25-39.p65
35
òèâîðå÷èò çäðàâîìó ñìûñëó, íî è íåâîçìîæíà ìàòåìàòè÷åñêè – äðóãèå ïîäìíîæåñòâà îêàæóòñÿ íåîõâà÷åííûìè.
Êòî äîíîñèò íà ìíîæåñòâî âñåõ ïîðÿäî÷íûõ ëþäåé?
Åñëè îí ïîðÿäî÷åí, òî îí äîíîñèò íà îáùåñòâî,
÷ëåíîì êîòîðîãî ñîñòîèò, ò.å. íåïîðÿäî÷åí. Åñëè æå îí
íåïîðÿäî÷åí, òî îí äîíîñèò íà îáùåñòâî, ÷ëåíîì
êîòîðîãî íå ÿâëÿåòñÿ, – ò.å. ïîðÿäî÷åí. Ïðîòèâîðå÷èå.
Ñêàçêà – ëîæü, äà â íåé íàìåê: ìíîæåñòâî âñåõ
ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà èìååò áîëüøóþ ìîùíîñòü, ÷åì èñõîäíîå ìíîæåñòâî.
Çàìå÷àíèå. Åñëè ïîääàííûõ íå áîëüøå îäíîãî, òî
çàòåÿ öàðÿ íå îñóùåñòâèòñÿ, åñëè äëÿ ïîëíîòû îò÷åòíîñòè îí áóäåò òðåáîâàòü, ÷òîáû äîíîñèëè è íà ïóñòîå
ìíîæåñòâî.
È.Ðóáàíîâ, À.Êàíåëü-Áåëîâ
30.01.09, 12:25
!$
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Àáó-ë-Âàôà è öèðêóëü
ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà
Ã.ÔÈËÈÏÏÎÂÑÊÈÉ
Ì
ÀÒÅÌÀÒÈÊ È ÀÑÒÐÎÍÎÌ ÈÇ ÕÎÐÀÑÀÍÀ (ÈÐÀÍ)
Àáó-ë-Âàôà (940–998) ñ 20 ëåò æèë è ðàáîòàë â
Áàãäàäå – êðóïíåéøåì íàó÷íîì öåíòðå àðàáñêîãî õàëèôàòà. Îí íàïèñàë ðóêîâîäñòâî ïî ïðàêòè÷åñêîé àðèôìåòèêå, â êîòîðîì ïîêàçàë, êàê ðàáîòàòü ñ îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè, è ïåðâûì â Áàãäàäå ñòàë èñïîëüçîâàòü
îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. Àáó-ë-Âàôà íàïèñàë êîììåíòàðèè ê Åâêëèäó, Ïòîëåìåþ, Äèîôàíòó.  ñâîèõ àñòðîíîìè÷åñêèõ òðóäàõ îí âïåðâûå ïîëüçóåòñÿ ñåêàíñîì è
êîñåêàíñîì, ñîñòàâëÿåò áîëåå òî÷íûå òàáëèöû ñèíóñîâ,
òàíãåíñîâ è êîòàíãåíñîâ, äîêàçûâàåò òåîðåìó ñèíóñîâ.
×òî êàñàåòñÿ ãåîìåòðèè, òî çäåñü Àáó-ë-Âàôà ïèøåò
îðèãèíàëüíîå ñî÷èíåíèå: «Êíèãà î òîì, ÷òî íåîáõîäèìî ðåìåñëåííèêó èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé». Â
íåé îí ïðèâîäèò ðàçíîîáðàçíûå ïîñòðîåíèÿ, ïðèìåíÿâøèåñÿ â àðõèòåêòóðå, òåõíèêå, çåìëåìåðèè. Îäíà èç
ãëàâ êíèãè ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ çàäà÷ íà ñîñòàâëåíèå
êâàäðàòà èç íåñêîëüêèõ êâàäðàòîâ. Âîò ïðèìåð òàêîé
çàäà÷è, íîñÿùåé ñåãîäíÿ åãî èìÿ:
Çàäà÷à Àáó-ë-Âàôû. Ñïîñîáîì ðàçðåçàíèÿ ñîñòàâüòå êâàäðàò èç òðåõ äàííûõ ðàâíûõ êâàäðàòîâ.
Ðåøåíèå. Âîçüìåì äâà äàííûõ êâàäðàòà, ðàçðåæåì
èõ ïî äèàãîíàëè. Ïîëó÷åííûå ÷àñòè ïðèëîæèì äèàãîíàëÿìè ê ñòîðîíàì òðåòüåãî êâàäðàòà ABCD (ðèñ.1,à).
Ïîñêîëüêó ∆KTE = ∆NTA – ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì
(ðèñ.1,á), – òî òðåóãîëüíèêîì KTE ìîæíî çàïîëíèòü
Ðèñ. 1
ïóñòîòó íà ìåñòå òðåóãîëüíèêà NTA. Âûïîëíèâ àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè åùå òðè ðàçà, ïîëó÷èì êâàäðàò KLMN.
Îäíàêî íàèáîëüøèé èíòåðåñ äëÿ íàñ â ãåîìåòðèè
ïðåäñòàâëÿþò çàäà÷è Àáó-ë-Âàôû íà ïîñòðîåíèå, â
êîòîðûõ, ïîìèìî ëèíåéêè, èñïîëüçóåòñÿ öèðêóëü ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà («çàðæàâëåííûé» öèðêóëü, êàê
ïîçæå ñêàæåò Ëåîíàðäî äà Âèí÷è). Öèðêóëåì ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà ïîëüçîâàëèñü è â Èíäèè, è â Äðåâíåé
Ãðåöèè. Ýòî áûëî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè èçìåðåíèÿõ íà ìåñòíîñòè ÷àñòî íåóäîáíî (èëè äàæå íåâîçìîæíî) ïðîâîäèòü îêðóæíîñòè ðàçíûõ ðàäèóñîâ.
Òåì íå ìåíåå, èìåííî Àáó-ë-Âàôà âïåðâûå ñèñòåìàòèçèðîâàë çàäà÷è ñ öèðêóëåì ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà,
ïîìåñòèâ â ñâîåé êíèãå ïî ïðàêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè
îêîëî 15 òàêèõ çàäà÷. Î íåêîòîðûõ èç íèõ ìû è ïîâåäåì
25-39.p65
36
äàëüíåéøèé ðàññêàç, ãäå íàðÿäó ñ ðåøåíèÿìè Àáó-ëÂàôû áóäóò ïðåäñòàâëåíû áîëåå ïîçäíèå è äàæå ñîâðåìåííûå ðåøåíèÿ. Âñå ñëåäóþùèå çàäà÷è âûïîëíÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè è öèðêóëÿ ïîñòîÿííîãî
ðàñòâîðà, ðàâíîãî R.
Çàäà÷à 1. ×åðåç äàííóþ òî÷êó K ïðîâåäèòå ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ ê ïðÿìîé l (ðèñ.2).
Ðåøåíèå. Íà ïðÿìîé l äâàæäû îòëîæèì îòðåçêè,
ðàâíûå R (AB = BC = R). Ïîðÿäîê äàëüíåéøèõ
îïåðàöèé óêàæåì ëèøü öèôðàìè (òàê, íà ïåðâîì øàãå
ïðîâîäèì ïðÿìóþ AK, íà âòîðîì – ïðîâîäèì ÷åðåç
òî÷êó C ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ïåðåñåêàþùóþñÿ ñ
AK, è òàê äàëåå). KN – èñêîìàÿ ïðÿìàÿ (ïî÷åìó?).
Çàäà÷à 2. Ðàçäåëèòå äàííûé îòðåçîê: à) ïîïîëàì;
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
á) íà n ðàâíûõ ÷àñòåé; â) â îòíîøåíèè m:n.
Ðåøåíèå. à) Ïóñòü äàí îòðåçîê BC. Îòëîæèâ íà
ïðÿìîé BC äâà îòðåçêà, ðàâíûõ R (BT = TQ = R),
ïðîâåäåì ïðÿìóþ n || BC, êàê ìû äåëàëè ýòî â çàäà÷å 1
(ðèñ.3). Çàòåì, êàê è â çàäà÷å 1, âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé
î òðàïåöèè: ñåðåäèíû îñíîâàíèé òðàïåöèè, òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé åå áîêîâûõ ñòîðîí ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
á) Ïóñòü, íàïðèìåð, n = 5.
Ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíûé ëó÷
f, âûõîäÿùèé èç òî÷êè C.
Îòëîæèì íà ëó÷å f ïÿòü îòðåçêîâ, ðàâíûõ R (ðèñ.4).
Ñîåäèíèì ïîñëåäíþþ òî÷êó
äåëåíèÿ E ñ B. Ïðîâåäÿ ÷åðåç òî÷êè äåëåíèÿ F, G, K, Ðèñ. 4
N ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå BE, ïîëó÷èì òðåáóåìîå.
Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíèå ñîâïàäàåò ñ êëàññè÷åñêèì.
â) Êàê è â ïóíêòå á), îòêëàäûâàåì íà ëó÷å f îòðåçîê
R âñåãî m + n ðàç. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíî,
êàê ðàçäåëèòü BC â îòíîøåíèè
3:2 è 4:1.
Çàäà÷à 3. Ïîñòðîéòå áèññåêòðèñó óãëà.
Ðåøåíèå. Ðåøåíèå ïîêàçàíî
íà ðèñóíêå 5.
Çàäà÷à 4. Ïîñòðîéòå óãîë,
ðàâíûé äàííîìó óãëó BAC.
Ðèñ. 5
30.01.09, 12:25
Ê
Ì
!%
Ø
Ðèñ. 6
Ðåøåíèå. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó K ïðîâîäèì
n || AB è l || AC ñîãëàñíî çàäà÷å 1 (ðèñ.6). Î÷åâèäíî, ÷òî
ϕ = ÐBAC .
Çàäà÷à 5. Èç òî÷êè T âíå ïðÿìîé l ïðîâåäèòå
ïåðïåíäèêóëÿð ê l, à èç òî÷êè K, ëåæàùåé íà ïðÿìîé
l, âîññòàâüòå ïåðïåíäèêóëÿð ê l.
Ðåøåíèå. Ñòðîèì íà ïðÿìîé l îòðåçêè AB = BC =
= CD = R (ðèñ.7). Îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè â B è C
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ E è F. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî
EF ^ l (ïîêàæèòå!). Òîãäà îñòàåòñÿ ÷åðåç òî÷êè T è K
ïðîâåñòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíî EF (çàäà÷à 1).
Çàäà÷à 6. Ïîñòðîéòå öåíòð
äàííîé îêðóæíîñòè ω , ðàäèóñ êîòîðîé áîëüøå R.
Ðèñ. 8
Ðèñ. 7
Ðåøåíèå. Èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A íà ω ñòðîèì
îêðóæíîñòü ðàäèóñà R. Îíà ïåðåñåêàåò ω â òî÷êàõ B
è C (ðèñ.8). Èç B è C êàê èç öåíòðîâ ñòðîèì òàêèå æå
îêðóæíîñòè. Ïóñòü ðàâíûå îêðóæíîñòè ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ E è F, P è Q. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî
ïðÿìûå EF è PQ ïåðåñåêàþòñÿ â öåíòðå O îêðóæíîñòè
ω (äîêàæèòå!).
Çàäà÷à 7. Íà äàííîé ïðÿìîé l îòëîæèòå îòðåçîê,
ðàâíûé äàííîìó îòðåçêó BC.
Ðåøåíèå. ×åðåç C ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ
f, íå ïàðàëëåëüíóþ l. Ïóñòü îíà ïåðåñåêàåò l â òî÷êå D
(ðèñ.9). ×åðåç D ïðîâîäèì
ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ
BC, à ÷åðåç B – ïàðàëëåëüíóþ f (çàäà÷à 1). Ïðè ýòîì
DT = BC (BCDT – ïàðàëëåëîãðàìì). Äàëåå ñòðîèì
áèññåêòðèñó ÐTDQ (çàäà÷à 3). Èç T ïðîâîäèì ê íåé
Ðèñ. 9
ïåðïåíäèêóëÿð TN (çàäà÷à
5), êîòîðûé ïðè ïðîäîëæåíèè ïåðåñåêàåò l â òî÷êå K.
Î÷åâèäíî, DK = DT = BC.
Çàäà÷à 8. Íà äàííîì îòðåçêå BC ïîñòðîéòå ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ABC.
Ðåøåíèå. Ñòðîèì ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè BEF
è CNK ñî ñòîðîíîé R (ðèñ.10). Ïðÿìûå BF è CN
ïåðåñåêóòñÿ â èñêîìîé âåðøèíå A.
Çàäà÷à 9.  äàííûé êðóã âïèøèòå: à) êâàäðàò; á)
ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê.
Ðåøåíèå. à) Íàõîäèì öåíòð O äàííîãî êðóãà (çàäà÷à
25-39.p65
37
Ðèñ. 10
Ðèñ. 11
6) è ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíî äèàìåòð AB (ðèñ.11).
×åðåç O ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿð ê AB, êîòîðûé
ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êàõ C è D. Òîãäà ACBD –
êâàäðàò, âïèñàííûé â äàííóþ îêðóæíîñòü.
á) Îò òî÷êè O îòêëàäûâàåì óãîë 60o (ê îòðåçêó AO)
– íàïðèìåð, ïîñòðîèâ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê
OEF ñî ñòîðîíîé R (ðèñ. 11). Ïðîâåäåííûé ëó÷
ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êå N. Òîãäà AN – ñòîðîíà
ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå
ïðîâåäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.
Çàäà÷à 10.  äàííûé êâàäðàò ABCD âïèøèòå
ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê BKN.
Ðåøåíèå. Íà ñòîðîíå CD êâàäðàòà ñòðîèì ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê CÅD (çàäà÷à 8), à íà ñòîðîíå AD
– ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê AFD (ðèñ.12). Ïðÿìûå
BE è BF â ïåðåñå÷åíèè ñ AD è CD ñîîòâåòñòâåííî äàäóò
íåäîñòàþùèå âåðøèíû K è N ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà BKN (ïîêàæèòå, ÷òî ÐABK = ÐCBN = 15o ).
Ðèñ. 12
Ðèñ. 13
Çàäà÷à 11. Èç òî÷êè A âíå îêðóæíîñòè ω ïðîâåäèòå êàñàòåëüíóþ ê ω .
Ðåøåíèå. Íàõîäèì öåíòð O îêðóæíîñòè ω (çàäà÷à
6). Äåëèì îòðåçîê OA ïîïîëàì (çàäà÷à 2,à) – ïîëó÷àåì
òî÷êó Q (ðèñ.13). Èç òî÷êè Q êàê èç öåíòðà ðàäèóñîì,
ðàâíûì R, ñòðîèì îêðóæíîñòü ω1 . Ïóñòü ω1 ïåðåñåêàåò ω â òî÷êàõ K è K1 . Ïðÿìûå QK è QK1 ïåðåñåêóò
îêðóæíîñòü ω â èñêîìûõ òî÷êàõ êàñàíèÿ T è T1
(ïîêàæèòå ýòî ïðè ïîìîùè ãîìîòåòèè).
Ïðåäëîæèòå ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ êàñàòåëüíîé â ñëó÷àå, êîãäà îêðóæíîñòü ω1 ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â Q íå
áóäåò ïåðåñåêàòü ω .
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
12. Óäâîéòå äàííûé îòðåçîê.
13. Íà äàííîì îòðåçêå ïîñòðîéòå: à) êâàäðàò; á) ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê.
14. Â äàííóþ îðóæíîñòü âïèøèòå ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè: à) n = 3; á) n = 8; â) n = 10.
15. Â äàííûé ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê âïèøèòå êâàäðàò.
30.01.09, 12:25
!&
ÊÂÀÍT 2009/¹1
Íåñêîëüêî ðèôìîâàííûõ
ôèçè÷åñêèõ çàäà÷
Â.ÀÊÈÌÎÂ
Óñëîâèÿ çàäà÷
1. Êîðàáëèê íà ðåêå
Ïî ðåêå ïëûâåò êîðàáëèê,
Îí ïëûâåò èçäàëåêà.
Âäðóã ïîðûâîì âåòðà ñäóëî
Áåñêîçûðêó ñ ìîðÿêà.
×åòâåðòü ÷àñà ïðîëåòåëî,
Ïîêà â òîì ðàçîáðàëèñü
È ñ òàêîé æå áûñòðîòîþ
Çà ôóðàæêîé ïîãíàëèñü.
Ãäå äîãíàòü åå ñóìåëè?
Âîò âîïðîñ äëÿ çíàòîêà,
Åñëè íà ÷åòûðå ìèëè
Óòåêàåò â ÷àñ ðåêà.
2. Ñïè÷êà â ðóêàõ
Ðàçëîìèøü ñïè÷êó ïîïîëàì,
×àñòü òû ñëîìàé îïÿòü.
Ñêàæè æå, ïî÷åìó òðóäíåé
Âòîðîé-òî ðàç ëîìàòü?
6. Êàðàíäàø â ãðàôèíå
 ãðàôèí ñ âîäîþ óðîíèëà
Êàðàíäàø Ìàëüâèíà.
Êàðàíäàø íå óòîíóë,
Çàìåòèë Áóðàòèíî.
Ïîãðóçèëñÿ êàðàíäàøèê
Íà òðè ÷åòâåðòè âñåãî.
À òåïåðü ñêàæè, êàêàÿ
Áûëà ïëîòíîñòü ó íåãî?
7. Ðó÷íîé áåãåìîò
Äåëî áûëî â Àôðèêå,
ðàññêàçûâàë ìíå êòî-òî.
Ìîæåò, ãäå ñåé÷àñ Òóíèñ,
à ìîæåò… ãäå Ëåñîòî?
Ñîáèðàë ïðåæàäíûé âîæäü ïîäàòè ñ íàðîäà
Ñ ïîìîùüþ ñâÿùåííîãî ðó÷íîãî áåãåìîòà.
Ïðèïëûâàë íà ëîäêå îí ñ âåñàìè è ñîëäàòîì.
Íàðîä óðàâíîâåøèâàë áåãåìîòà çëàòîì.
Ðàñêîðìèë æèâîòíîå, è âåñû ñëîìàëèñü.
Íàä æàäíîñòüþ ïðàâèòåëÿ ëþäè ïîñìåÿëèñü.
3. Ñèçèôîâ òðóä
Ñèçèô ñâîé êàìåíü â ãîðó òàùèò
Èñïîêîí, êàê âîäèòñÿ.
Äëÿ íåãî âåäü íèêîãäà
Íå áóäåò áåçðàáîòèöû.
Òóò âçáåñèëñÿ âîæäü. Îáÿçàë ñîëäàòà,
×òîá îòìåðèë äàíü âîèí äî çàêàòà!
Íà ñëîæíîå çàäàíèå õâàòèëî ïðîñòîòû.
À êàê æå â ýòîì ñëó÷àå ïîñòóïèë áû òû?
Ïîä êàìåíü îí ðû÷àã
ïîäñóíóë:
×àñòü ÷åòâåðòóþ åãî.
Âûèãðàë â òðè ðàçà â ñèëå.
Ýòî âðîäå íè÷åãî!
8. Êëàä â êóâøèíå
Ïëàêàë â ëîäêå ðûáàê, ÷òî
óäà÷è âñå íåò,
Áðîñèë íà âîäó âçãëÿä ñâîé
ñêîíôóæåííûé.
Âäðóã óâèäåë íà âîëíàõ
êàêîé-òî ïðåäìåò
Ïî÷òè ïîëíîñòüþ â âîäó
ïîãðóæåííûé.
Ñ êàêèì âûèãðûøåì áóäåò,
Îäîëååò ëè «âðàãà»,
Åñëè îí òåïåðü âîçüìåòñÿ
Çà âòîðîé êðàé ðû÷àãà?
4. Êëîóí íà êàíàòå
Õîäèò êëîóí ïî êàíàòó.
 ðóêàõ äåðæèò
ïîëáðåâíà.
Äëÿ àðòèñòà ÷òî âàæíåå –
Âåñ áðåâíà èëè äëèíà?
 ðåêó áðîñèëñÿ îí,
âåñü ïðîìîê è ïðîäðîã.
Ñêîðî â ëîäêó ïîäíÿë
èç ïó÷èíû
Ñ ïå÷àòüþ ñóðãó÷íîé
íà ïðîáêå êóâøèí
Òðåõëèòðîâûé,
ñòàðèííûé, èç ãëèíû.
5. Ìÿ÷èê íà ãîðêå
 ãîðêó ìû êàòíóëè ìÿ÷èê.
Íå ïîéìåì äî ñåé ïîðû:
Êóäà äâèãàëñÿ îí äîëüøå –
 ãîðó èëü îïÿòü ñ ãîðû?
Ðàñïå÷àòàâ êóâøèí,
íàø ãåðîé îáîìëåë,
Äóøà ïåëà êàê òûñÿ÷à äóäîê –
«Çîëîòûå» êàòèëèñü. Îòíûíå ñåìüÿ
Íå óñíåò íà ãîëîäíûé æåëóäîê.
25-39.p65
38
30.01.09, 12:25
Ê
Âîò óæ äåíüãè â ìåøêå, êóâøèí òðîíóëñÿ â ïóòü,
Ëèøü íà òðåòü èç âîäû âûñòóïàÿ.
Íå çàâèäóÿ ïàðíþ, âàì íàäî ñìåêíóòü –
Ó äåíåæåê ìàññà êàêàÿ?
9. Äèñê â êðóæêå
Äàâàéòå îïûò ïðîâåäåì
(Ìûñëåííûé, êîíå÷íî) –
Ôàíåðíûé â êðóæêó äèñê êëàäåì,
Âîäîþ çàëèâàåì ñïåøíî.
Âåñüìà íåòðóäíî ïðåäñêàçàòü,
Ãäå áóäåò äèñê ïîòîì.
À åñëè îïûò ïîâòîðÿòü
Ñî ðòóòüþ è ñòåêëîì?
10. Øóáà â æàðó
 Åãèïåò ÷óê÷à ïðèëåòåë,
Æàðà ïîä ñîðîê ïÿòü.
Çà÷åì æå øóáó îí íàäåë?
Ïîïðîáóé óãàäàòü.
11. Öóíàìè íà ñóøå
 îêåàíå öóíàìè
Íå îùóùàþòñÿ íàìè.
Ïî÷åìó æå ó ñóøè
Îíè òàê íåïîñëóøíû?
12. ×àéíèê äëÿ çàâàðêè
×àéíèê äëÿ çàâàðêè ÷àÿ
Âûïîëíåí âåñüìà õèòðî:
Èç ôàðôîðà, â ôîðìå øàðà,
Ñîâñåì áåëîå íóòðî.
Ñáîêó ðó÷êà, êðûøêà
ñ äûðêîé,
Íîñèê ñ ðåøåòîì âíóòðè.
Òû âñå ýòè «çàêîâûðêè»
Ïî íàóêå ðàññìîòðè!
Ðåøåíèÿ çàäà÷
1.  ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ âîäîé, ñêîðîñòü
êîðàáëèêà ïîñòîÿííà ïî âåëè÷èíå, ïîýòîìó äî áåñêîçûðêè îí äîïëûâåò çà ÷åòâåðòü ÷àñà. Çíà÷èò, âðåìÿ
íàõîæäåíèÿ áåñêîçûðêè â âîäå ñîñòàâëÿåò ïîë÷àñà.
Ïåðåéäåì òåïåðü â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ áåðåãîì. Ïîñêîëüêó âðåìÿ â îáåèõ ñèñòåìàõ òå÷åò îäèíàêîâî, áåñêîçûðêà çà ïîë÷àñà óïëûâåò íà äâå ìèëè.
2. Ïðè ïîâòîðíîì ðàçëàìûâàíèè ðû÷àã ñòàíîâèòñÿ
êîðî÷å, ñëåäîâàòåëüíî, òðåáóåòñÿ áóëüøàÿ ñèëà.
3.  ïåðâîì ñëó÷àå âûèãðûø â ñèëå ïîëó÷èëñÿ íå â
÷åòûðå, à òîëüêî â òðè ðàçà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñàì
ðû÷à㠖 âåñîìûé. Çàïèñàâ óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ðû÷àãà, íàéäåì, ÷òî ìàññà ðû÷àãà â øåñòü ðàç ìåíüøå
ìàññû êàìíÿ. Òîãäà âî âòîðîì ñëó÷àå âûèãðûø â
ñèëå ïîëó÷èòñÿ â 1,2 ðàçà.
4. Øåñò íóæåí êàíàòîõîäöó äëÿ ñîõðàíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Òî, ÷òî øåñò äîëæåí áûòü òÿæåëûì, ýòî î÷åâèäíî, è ñ ýòèì íèêòî íå ñïîðèò. Îäíàêî åñëè ðàñïî-
25-39.p65
39
Ì
!'
Ø
ëîæèòü øåñò íå ïîïåðåê êàíàòà, à âäîëü íåãî, òî
óðàâíîâåøèâàþùåå ñâîéñòâî øåñòà èñ÷åçàåò. Çíà÷èò,
âàæíû è åãî ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ óñòîé÷èâîñòè äëèíà
øåñòà èãðàåò áîëüøóþ ðîëü, íåæåëè åãî âåñ.
5. Êîãäà ìÿ÷èê ïîäíèìàåòñÿ â ãîðêó, åãî ñêîðîñòü
óìåíüøàþò äâå ñèëû: ñèëà òÿæåñòè è ñèëà òðåíèÿ.
Êîãäà æå ìÿ÷èê ñïóñêàåòñÿ ñ ãîðêè, åãî äâèæåíèþ
ïðåïÿòñòâóåò òîëüêî ñèëà òðåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
ñêàòûâàòüñÿ ñ ãîðêè ìÿ÷èê áóäåò äîëüøå.
6. ßñíî, ÷òî ïëîòíîñòü êàðàíäàøà ñîñòàâëÿåò òðè
÷åòâåðòè îò ïëîòíîñòè âîäû, ò.å. 750 êã/ì3.
7. Íóæíî ïîñòàâèòü áåãåìîòà â ëîäêó è îòìåòèòü
ãëóáèíó åå ïîãðóæåíèÿ. Çàòåì íàäî óáðàòü áåãåìîòà
è íàãðóæàòü ëîäêó çîëîòîì äî òåõ ïîð, ïîêà ãëóáèíà
ïîãðóæåíèÿ íå ñòàíåò ïðåæíåé.  òàêîì ñëó÷àå ìàññà
ãðóçà áóäåò ðàâíà ìàññå áåãåìîòà.
8.  ïåðâîì ñëó÷àå âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà óðàâíîâåøèâàåò ñèëó òÿæåñòè êóâøèíà è ñèëó òÿæåñòè çîëîòà. Âî âòîðîì ñëó÷àå âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, óìåíüøèâøàÿñÿ íà îäíó òðåòü, óðàâíîâåøèâàåò òîëüêî ñèëó
òÿæåñòè êóâøèíà. Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìàññà çîëîòà ñîñòàâëÿåò 1 êã.
9. Âîäà, ñìà÷èâàÿ ôàíåðó, ïîäòå÷åò ïîä äèñê, ïîÿâèòñÿ âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, è ôàíåðíûé äèñê âñïëûâåò. Ðòóòü æå ñòåêëî íå ñìà÷èâàåò, ïîýòîìó îíà íå
áóäåò ïîäòåêàòü ïîä ñòåêëÿííûé äèñê, àðõèìåäîâîé
ñèëû íå ïîÿâèòñÿ, è ñòåêëÿííûé äèñê îñòàíåòñÿ ëåæàòü íà äíå.
10. Åñëè òåìïåðàòóðà íà óëèöå âûøå òåìïåðàòóðû
÷åëîâå÷åñêîãî òåëà, òî èìååò ñìûñë íîñèòü îäåæäó,
íå ïðîïóñêàþùóþ òåïëî. Òîãäà ïîä îäåæäîé òåìïåðàòóðà áóäåò íå 45 ãðàäóñîâ, à òîëüêî 36,6.
11. Êîãäà â îêåàíå íà áîëüøîé ãëóáèíå ïðîèñõîäèò
çåìëåòðÿñåíèå, áîëüøàÿ ìàññà âîäû íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ íåáîëüøîé ñêîðîñòüþ – êàê â øèðîêîé òðóáå. Ó áåðåãà – ìåëêîâîäüå, «òðóáà» ñóæàåòñÿ, íî
îáúåì âîäû, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå,
äîëæåí îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì, ïîýòîìó ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âîäû âîçðàñòàåò, ñî âñåìè âûòåêàþùèìè îòñþäà ïîñëåäñòâèÿìè.
12. Ðàññìîòðèì âñå âîïðîñû ïî ïîðÿäêó. Äëÿ òîãî
÷òîáû ÷àé çàâàðèëñÿ, â ÷àéíèêå äîëæíà ñîõðàíÿòüñÿ
âûñîêàÿ òåìïåðàòóðà äîñòàòî÷íî ïðîäîëæèòåëüíîå
âðåìÿ – âîò ïî÷åìó ÷àéíèê ñäåëàí èç âåùåñòâà ñ
ïëîõîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ (ôàðôîð). ×åì ìåíüøå
ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè òåëà (ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ), òåì îíî ìåäëåííåå îñòûâàåò, à íàèìåíüøàÿ
ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè – ó øàðà. Áåëûé öâåò âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè ÷àéíèêà ïðåäîòâðàùàåò ïîòåðè òåïëà çà ñ÷åò èçëó÷åíèÿ. Ðó÷êà íóæíà äëÿ óäîáñòâà
ïåðåíîñêè ãîðÿ÷åãî ÷àéíèêà. Åñëè êðûøêà ÷àéíèêà
ïëîòíî ïðèëåãàåò ê êîðïóñó, òî ïðè âûëèâàíèè ÷àÿ
âíóòðè ÷àéíèêà îáðàçóåòñÿ îáúåì âîçäóõà ñ ïîíèæåííûì äàâëåíèåì è çàâàðêà ïåðåñòàåò âûòåêàòü – âî
èçáåæàíèå ýòîãî è äåëàþò â êðûøêå îòâåðñòèå. È
íàêîíåö, ðåøåòî â íîñèêå ìåøàåò ïîïàäàíèþ ÷àèíîê
â ÷àøêó.
30.01.09, 12:25