Избранные задачи отбора на Российскую олимпиаду

Ê Â À Í T 2001/№4
50
÷òîáû ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
íèìè ñîñòàâëÿëè 1, 2, 3, 4, 5 è 6
ìåòðîâ?
À.Ìèòÿãèí
2. Â íåêîòîðîé ñòðàíå ñóììàðíàÿ
çàðïëàòà 10 ïðîöåíòîâ ñàìûõ âûñîêîîïëà÷èâàåìûõ ðàáîòíèêîâ ñîñòàâëÿåò
90 ïðîöåíòîâ çàðïëàòû âñåõ ðàáîòíèêîâ. Ìîæåò ëè áûòü, ÷òî â êàæäîì èç
ðåãèîíîâ, íà êîòîðûå äåëèòñÿ ñòðàíà,
çàðïëàòà ëþáûõ 10% ðàáîòíèêîâ ñîñòàâëÿåò íå áîëåå 11% âñåé çàðïëàòû,
âûïëà÷èâàåìîé â ýòîì ðåãèîíå?
Ì.Âÿëûé
3. Âíóòðè óãëà ñ âåðøèíîé Ì îòìå÷åíà òî÷êà À. Èç ýòîé òî÷êè âûïóñòèëè
øàð, êîòîðûé îòðàçèëñÿ îò îäíîé ñòîðîíû óãëà â òî÷êå Â, çàòåì îò äðóãîé
ñòîðîíû â òî÷êå Ñ è âåðíóëñÿ â À
(«óãîë ïàäåíèÿ» ðàâåí «óãëó îòðàæåíèÿ»). Äîêàæèòå, ÷òî öåíòð Î îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ∆BCM , ëåæèò íà ïðÿìîé ÀÌ.
À.Çàñëàâñêèé
4. Êàìíè ëåæàò â òðåõ êó÷àõ: â
îäíîé 51, â äðóãîé 49, à â òðåòüåé
5 êàìíåé. Ðàçðåøàåòñÿ îáúåäèíÿòü ëþáûå êó÷è â îäíó, à òàêæå ðàçäåëÿòü
êó÷ó èç ÷åòíîãî ÷èñëà êàìíåé íà äâå
ðàâíûå. Ìîæíî ëè ïîëó÷èòü 105 êó÷
ïî îäíîìó êàìíþ â êàæäîé?
Â.Êëåïöûí
5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî N â 999...99
(k äåâÿòîê) ðàç áîëüøå ñóììû ñâîèõ
öèôð. Óêàæèòå âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ k è äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðèâåäèòå
ïðèìåð òàêîãî ÷èñëà.
Ã.Ãàëüïåðèí
6. Ó÷àñòíèêè øàõìàòíîãî òóðíèðà
ñûãðàëè äðóã ñ äðóãîì ïî îäíîé
ïàðòèè. Äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà À
áûëî ïîäñ÷èòàíî ÷èñëî íàáðàííûõ èì
î÷êîâ (çà ïîáåäó äàåòñÿ 1 î÷êî, çà
íè÷üþ – 1/2 î÷êà, çà ïîðàæåíèå – 0
î÷êîâ) è êîýôôèöèåíò ñèëû ïî ôîðìóëå: ñóììà î÷êîâ òåõ ó÷àñòíèêîâ, ó
êîãî À âûèãðàë, ìèíóñ ñóììà î÷êîâ
òåõ, êîìó îí ïðîèãðàë. Ìîãóò ëè êîýôôèöèåíòû ñèëû âñåõ ó÷àñòíèêîâ
áûòü à) áîëüøå 0; á) ìåíüøå 0?
À.Òîëïûãî
10 класс
1. Ñóùåñòâóþò ëè òðè êâàäðàòíûõ
òðåõ÷ëåíà, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò
êîðåíü, à ñóììà ëþáûõ äâóõ íå èìååò
êîðíåé?
À.Áåëîâ
2. Ñì. çàäà÷ó Ì1781 «Çàäà÷íèêà
«Êâàíòà».
3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîãî÷ëåíà
P x ñòåïåíè 2001, äëÿ êîòîðîãî âû-
>C
>C >
C
ïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî P x + P 1 − x =
= 1.
Â.Ñåíäåðîâ
4. Â îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ ïðîâåäåíû âûñîòû AH A , BHB è
CHC . Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ
âåðøèíàìè â òî÷êàõ ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò
òðåóãîëüíèêîâ AHB HC , BH A HC ,
CH A HB ðàâåí òðåóãîëüíèêó H A HB HC .
À.Àêîïÿí
5. Íà äâóõ êëåòêàõ øàõìàòíîé äîñêè
ñòîÿò ÷åðíàÿ è áåëàÿ ôèøêè. Çà îäèí
õîä ëþáóþ èç íèõ ìîæíî ïåðåäâèíóòü
íà ñîñåäíþþ êëåòêó ïî âåðòèêàëè èëè
ãîðèçîíòàëè (äâå ôèøêè íå ìîãóò ñòîÿòü íà îäíîé êëåòêå). Ìîãóò ëè â
ðåçóëüòàòå òàêèõ õîäîâ âñòðåòèòüñÿ
âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ôèøåê, ïðè÷åì ðîâíî ïî
îäíîìó ðàçó?
À.Øàïîâàëîâ
6.  èãðå «Äåñàíò» äâå àðìèè çàõâàòûâàþò ñòðàíó. Îíè õîäÿò ïî î÷åðåäè,
êàæäûì õîäîì çàíèìàÿ îäèí èç ñâîáîäíûõ ãîðîäîâ. Ïåðâûé ãîðîä çàõâàòûâàåòñÿ ñ âîçäóõà, à êàæäûì ñëåäóþùèì õîäîì ìîæíî çàõâàòèòü ëþáîé
ãîðîä, ñîåäèíåííûé äîðîãîé ñ êàêèìòî ãîðîäîì, óæå çàíÿòûì ýòîé àðìèåé.
Åñëè òàêèõ íåò, àðìèÿ ïðåêðàùàåò
áîåâûå äåéñòâèÿ (ïðè ýòîì, âîçìîæíî,
äðóãàÿ ïðîäîëæàåò). Íàéäåòñÿ ëè òàêàÿ ñõåìà ãîðîäîâ è äîðîã, ÷òî àðìèÿ,
õîäÿùàÿ âòîðîé, ñìîæåò çàõâàòèòü
áîëåå ïîëîâèíû âñåõ ãîðîäîâ, êàê áû
íè äåéñòâîâàëà ïåðâàÿ? (×èñëî ãîðîäîâ êîíå÷íî, êàæäàÿ äîðîãà ñîåäèíÿåò
ðîâíî äâà ãîðîäà.)
Ï.Ãðîçìàí, À.Øàïîâàëîâ,
Ä.Øàïîâàëîâ
11 класс
1. Ñóùåñòâóþò ëè òðè êâàäðàòíûõ
òðåõ÷ëåíà òàêèõ, ÷òî êàæäûé èìååò
äâà ðàçëè÷íûõ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ, à ñóììà ëþáûõ äâóõ òðåõ÷ëåíîâ íå
èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé?
À.Áåëîâ
2. Äàíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
a1, a2 ,K, an , K Èçâåñòíî, ÷òî a1 , a10 ,
a30 – íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Âåðíî ëè,
÷òî a20 – òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?
Ôîëüêëîð
3.  íåðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ òî÷êà I – öåíòð âïèñàííîé
îêðóæíîñòè, I ′ – öåíòð îêðóæíîñòè,
êàñàþùåéñÿ ñòîðîíû À è ïðîäîëæåíèé ñòîðîí Ñ è ÑÀ; L è L′ – òî÷êè,
â êîòîðûõ ñòîðîíà ÀÂ êàñàåòñÿ ýòèõ
îêðóæíîñòåé. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå
IL′ , I ′L è âûñîòà ÑÍ òðåóãîëüíèêà
ÀÂÑ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
À.Çàñëàâñêèé
4. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåíà Q x ñòåïåíè íå íèæå äâóõ ñ
öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, çíà÷åíèå êîòîðîãî ïðè ëþáîì ïðîñòîì çíà÷åíèè õ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì.
À.Áåëîâ
>C
5. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå
ñóùåñòâóåò 2001 âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, íèêàêèå òðè èç êîòîðûõ íå èìåþò
îáùèõ òî÷åê, à ëþáûå äâà êàñàþòñÿ
äðóã äðóãà (ò.å. èìåþò õîòÿ áû îäíó
îáùóþ ãðàíè÷íóþ òî÷êó, íî íå èìåþò
îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê).
À.Áåëîâ
6. Ïî êðóãó ðàññòàâëåíî íåñêîëüêî
êîðîáî÷åê, â êîòîðûõ ëåæàò øàðèêè
(êîðîáî÷êà ìîæåò áûòü è ïóñòîé). Çà
îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ âçÿòü âñå øàðèêè èç êàêîé-òî êîðîáî÷êè è ðàçëîæèòü
èõ, íà÷èíàÿ ñî ñëåäóþùåé êîðîáî÷êè,
äâèãàÿñü ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå è êëàäÿ â
êàæäóþ êîðîáî÷êó ïî îäíîìó øàðèêó.
à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè øàðèêè âñåãäà áåðóò èç òîé êîðîáî÷êè, â êîòîðóþ
ïîïàë ïîñëåäíèé øàðèê íà ïðåäûäóùåì õîäå, òî â êàêîé-òî ìîìåíò ïîâòîðèòñÿ íà÷àëüíîå ðàçìåùåíèå øàðèêîâ.
á) Äîêàæèòå, ÷òî çà íåñêîëüêî õîäîâ èç ëþáîãî íà÷àëüíîãî ðàçìåùåíèÿ
øàðèêîâ ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå äðóãîå.
Â.Ãóðîâèö
Избранные задачи отбора на
Российскуюолимпиаду
1. Íàïîìíèì ïðàâèëà èãðû
«Æèçíü». Íà êëåò÷àòîì ëèñòå ñòîèò
íåñêîëüêî ôèøåê. Èõ ðàñïîëîæåíèå
âî âñåõ êëåòêàõ îäíîâðåìåííî ìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè â êëåòêàõ, ñîñåäíèõ ñ äàííîé (ïî ñòîðîíå
èëè óãëó), ñòîèò ðîâíî 3 ôèøêè, òî â
äàííóþ êëåòêó ñòàâèòñÿ ôèøêà (åñëè
åå íå áûëî). Åñëè â ñîñåäíèõ êëåòêàõ
áîëåå 3 èëè ìåíåå 2 ôèøåê, òî ôèøêà
ñíèìàåòñÿ (åñëè îíà áûëà). Åñëè â
ñîñåäíèõ êëåòêàõ ðîâíî 2 ôèøêè, òî
ñîñòîÿíèå êëåòêè íå ìåíÿåòñÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî â èãðå «Æèçíü» íà
êâàäðàòå 2001 × 2001 ñóùåñòâóåò êîíôèãóðàöèÿ, íå èìåþùàÿ ïðîîáðàçà.
(9) 2
À.Áåëîâ
2. Åäèíè÷íûé êâàäðàò ðàçáèò íà òðè
ìíîãîóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî äèàìåòð õîòÿ áû îäíîãî èç íèõ íå ìåíüøå
65 8 . (9)
Ôîëüêëîð
2  ñêîáêàõ ïîñëå óñëîâèÿ çàäà÷è óêàçàí êëàññ, â êîòîðîì îíà ïðåäëàãàëàñü.