( ) m - Квант

34
ÊÂÀÍT 2000/¹2
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 30)
îòêóäà è íàõîäèì ñêîðîñòü êîðîáêè:
Âåëè÷èíó ∆W óâåëè÷åíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè áðóñêà, ïëàñòèëèíà è îêðóæàþùèõ òåë íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè:
mv
2
2
+
> C = > m + 6 m Cu
6m v 4
2
2
2
2
+ ∆W ,
îòêóäà, ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ äëÿ u,
ïîëó÷àåì
45
2
∆W =
mv = 0,63 Äæ .
112
Çàäà÷à 4. Ïóëÿ ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v0 , ïðîáèâàåò ëåæàùóþ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè
ñòîëà íåáîëüøóþ êîðîáêó è âûëåòàåò â òîì æå íàïðàâëåíèè ñ âòðîå
ìåíüøåé ñêîðîñòüþ. Ìàññà êîðîáêè â
5 ðàç áîëüøå ìàññû ïóëè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó êîðîáêîé è ñòîëîì µ . Íàéäèòå ñêîðîñòü
êîðîáêè ñðàçó ïîñëå âûëåòà èç íåå
ïóëè. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå ïåðåäâèíåòñÿ ïðè ýòîì êîðîáêà?
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç êîðîáêè è
ïóëè. Ïóñòü ìàññà ïóëè m, ìàññà êîðîáêè 5m, ñêîðîñòü êîðîáêè ñðàçó ïîñëå âûëåòà ïóëè v. Çà âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ∆t (ïðîëåòà ïóëè ÷åðåç êîðîáêó) íà ñèñòåìó äåéñòâóþò òàêèå âíåøíèå ñèëû: íàïðàâëåííûå →âåðòèêàëü→
íî âíèç ñèëû òÿæåñòè m g è 5m g ,
íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî âåðõ è ìàëî
èçìåíÿþùàÿñÿ ñî âðåìåíåì ñèëà íîð→
ìàëüíîé ðåàêöèè ñòîëà N è íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ ñêîðîñòè êîðîáêè ñèëà
→
òðåíèÿ ñî ñòîðîíû ñòîëà Fòð (ðèñ.4).
N
X
v
mg
Ðèñ. 4
Fòð
#mg
→
ßñíî, ÷òî ñóììà âíåøíèõ ñèë F =
→
→
→
→
= m g + 5mg + N + Fòð â òå÷åíèå ∆t
íå ðàâíà íóëþ. Íå ðàâíà íóëþ è ïðîåêöèÿ Fx íà ãîðèçîíòàëüíóþ îñü Õ,
íàïðàâëåííóþ âäîëü ñêîðîñòè êîðîáêè: Fx = – Fòð . Íî äåéñòâèåì îãðàíè÷åííîé ïî âåëè÷èíå ñèëû òðåíèÿ çà
ìàëîå âðåìÿ ïðîëåòà ∆t ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è ñ÷èòàòü, ÷òî Fx ∆t = 0. Òîãäà
çà âðåìÿ ïðîëåòà ïóëè ïðîåêöèÿ íà îñü
Õ èìïóëüñà ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ (ïðèáëèæåííî):
mv0
+ 5 mv ,
mv0 =
3
v=
2
15
v0 .
Ïîñëå âûëåòà ïóëè ñêîðîñòü êîðîáêè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè óìåíüøàåòñÿ
ïîä äåéñòâèåì ñèëû òðåíèÿ, ðàâíîé
5µmg . Ðàññòîÿíèå s, íà êîòîðîå ïåðåäâèíåòñÿ êîðîáêà, íàéäåì èç çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè:
5mv
s=
>C
0 = mv2 − 3 mu .
2
= 5µmgs ,
2
è
→
N t . Çàìåòèì, ÷òî ∆t çäåñü íå ñ÷èòàåòñÿ ìàëûì! Íàïðàâèì îñü Õ ãîðèçîíòàëüíî â íàïðàâëåíèè ñêîðîñòè âûëåòåâøåãî øàðèêà. ßñíî, ÷òî ïðîåêöèÿ
íà îñü Õ ñóììû âñåõ òðåõ âåðòèêàëüíûõ ñèë ðàâíà íóëþ â ëþáîé ìîìåíò
èç èíòåðâàëà âðåìåíè ∆t . Çíà÷èò, ïðîåêöèÿ íà îñü Õ èìïóëüñà ñèñòåìû
ñîõðàíÿåòñÿ:
v
2
2µg
Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ
ýíåðãèè,
2
2
=
2v0
225µg
mgH = mgh +
.
Çàäà÷à 5. Òðóáêà â ôîðìå ïåòëè
óêðåïëåíà íà áðóñêå, íàõîäÿùåìñÿ íà
ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè
ñòîëà (ðèñ.5). Íèæíèé êîíåö òðóáêè
m
2
+
3mu
2
2
.
Èç ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíåíèé íàõîäèì ñêîðîñòü øàðèêà:
v2 =
>
3g H − h
2
C.
Óïðàæíåíèÿ
H
h
!m
Ðèñ. 5
ãîðèçîíòàëåí è íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè h îò ñòîëà. Øàðèê ìàññîé m,
êîòîðûé ìîæåò ñêîëüçèòü ïî òðóáêå
áåç òðåíèÿ, óäåðæèâàåòñÿ íà âûñîòå
Í îò ñòîëà. Ìàññà ïëàòôîðìû ñ
òðóáêîé 3m. Âíà÷àëå ñèñòåìà ïîêîèëàñü. Øàðèê îòïóñòèëè. Íàéäèòå
ñêîðîñòü âûëåòåâøåãî èç òðóáêè
øàðèêà, åñëè: 1) áðóñîê çàêðåïëåí íà
ñòîëå; 2) áðóñîê íå çàêðåïëåí è ïîñëå
âûëåòà øàðèêà äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî.
1)  ñëó÷àå çàêðåïëåííîãî áðóñêà
ñêîðîñòü v1 âûëåòåâøåãî øàðèêà íàéäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè:
2
mv1
,
mgH = mgh +
2
îòêóäà
>
mv2
C
v1 = 2 g H − h .
2)  ñëó÷àå íåçàêðåïëåííîãî áðóñêà
áóäåì ðàññóæäàòü òàê. Ïóñòü øàðèê
âûëåòåë èç òðóáêè ñî ñêîðîñòüþ v2 , à
áðóñîê ñ òðóáêîé ïðèîáðåë ñêîðîñòü u
â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Íà
ñèñòåìó èç øàðèêà è áðóñêà ñ òðóáêîé
çà âðåìÿ ∆t äâèæåíèÿ øàðèêà â òðóáêå
äåéñòâóþò òàêèå âíåøíèå ñèëû: íàïðàâëåííûå âåðòèêàëüíî âíèç ñèëû
→
→
òÿæåñòè mg è 3mg è íàïðàâëåííàÿ
âåðòèêàëüíî ââåðõ è çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè ñòîëà
1. Íåïîäâèæíûé ñíàðÿä ðàçîðâàëñÿ
íà ÷åòûðå îñêîëêà. Îñêîëêè ìàññàìè
m1 = 3 êã, m2 = 2 êã è m 3 = 4 êã ïîëåòåëè,
ñîîòâåòñòâåííî, ñî ñêîðîñòÿìè v1 =
= 200 ì/ñ âåðòèêàëüíî ââåðõ, v2 =
= 150 ì/ñ ãîðèçîíòàëüíî íà ñåâåð è v3 =
= 100 ì/ñ ãîðèçîíòàëüíî íà âîñòîê. Ïîä
êàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòó ïîëåòåë ÷åòâåðòûé îñêîëîê?
2. Êàìåíü ìàññîé m = 1 êã ïîäíÿëè íà
íåêîòîðóþ âûñîòó è îòïóñòèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. ×åðåç âðåìÿ t = 1 ñ
ïðàêòè÷åñêè ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ êàìåíü
ïîïàë â ÿùèê ñ ïåñêîì ìàññîé 5m, ñêîëüçèâøèé ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòüþ v = 6 ì/ñ.
Íàéäèòå ñêîðîñòü ÿùèêà ñ êàìíåì. Íà
ñêîëüêî óâåëè÷èëàñü ñóììàðíàÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ÿùèêà, ïåñêà, êàìíÿ è
îêðóæàþùèõ òåë?
3. Òðóáêà â âèäå ïåòëè æåñòêî óêðåïëåíà íà ïëàòôîðìå, íàõîäÿùåéñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà
(ðèñ.6). Ïðàâûé êîíåö òðóáêè ãîðèçîíòàëåí, åãî ðàññòîÿíèå äî ñòîëà h. Â
òðóáêå íà âûñîòå Í óäåðæèâàåòñÿ øàðèê
ìàññîé m, êîòîðûé ìîæåò ñêîëüçèòü ïî
òðóáêå áåç òðåíèÿ. Ìàññà ïëàòôîðìû ñ
òðóáêîé 4m. Ñèñòåìà ïîêîèòñÿ. Øàðèê
îòïóñêàþò. Íàéäèòå ñêîðîñòü âûëåòåâøåãî èç òðóáêè øàðèêà, åñëè: 1) ïëàòôîðìà çàêðåïëåíà íà ñòîëå; 2) ïëàòôîðìà íå çàêðåïëåíà è ïîñëå âûëåòà øàðèêà
äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî.
m
H
"m
Ðèñ. 6
h