Формула любви

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Ôîðìóëà
ëþáâè
Å.ÌÅÉËÈÕÎÂ
Ï
Å×ÀËÜÍÀß ÈÑÒÎÐÈß ËÞÁÂÈ, ÎÏÈÑÀÍÍÀß ØÅÊÑÏÈ-
ðîì, èçâåñòíà âñåì. Â íàøå âðåìÿ ãåðîè ýòîé èñòîðèè
ó÷èëèñü áû â øêîëå, õîäèëè íà äèñêîòåêó, «ñèäåëè» áû â
Èíòåðíåòå. Ìîãëà ëè ñåãîäíÿ ñëó÷èòüñÿ ñ íèìè òàêàÿ æå
ãðóñòíàÿ èñòîðèÿ? È âîîáùå, îò÷åãî áûâàåò ñ÷àñòëèâàÿ èëè
íåñ÷àñòíàÿ ëþáîâü? Îáû÷íî òàêèå âîïðîñû îáñóæäàþòñÿ íà
øêîëüíûõ óðîêàõ ëèòåðàòóðû, ãäå àíàëèçèðóþòñÿ îòíîøåíèÿ ïåðñîíàæåé çíàìåíèòûõ ðîìàíîâ, ïîäðîáíî ðàçáèðàþòñÿ ìîòèâû èõ ïîñòóïêîâ, ïðåâîçíîñÿòñÿ èõ äîñòîèíñòâà è
êðèòèêóþòñÿ íåäîñòàòêè. Óâåðåí, ÷òî ïðîñâåùåííûõ ñîâðåìåííèêîâ ïîñòèíäóñòðèàëüíîãî XXI âåêà òàêîé êà÷åñòâåííûé àíàëèç, íå ïîäêðåïëåííûé óðàâíåíèÿìè è ãðàôèêàìè,
ïîëíîñòüþ óäîâëåòâîðèòü íå ìîæåò.
 ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ: «À ìîæíî ëè ïåðåëîæèòü
íà ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê è èññëåäîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèìè
ìåòîäàìè òàêóþ òîíêóþ ìàòåðèþ, êàê ëþáîâü?» Îòâåò ïîýòà:
«Â îäíó òåëåãó âïðÿ÷ü íå ìîæíî êîíÿ è òðåïåòíóþ ëàíü», ò.å.
íåëüçÿ «ïîâåðèòü àëãåáðîé ãàðìîíèþ». Îòâåò ìàòåìàòèêà
èëè ôèçèêà: «Íåñîìíåííî, ìîæíî. Íóæíî ëèøü âûáðàòü
ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ ÿâëåíèå, è âûðàçèòü åå â êîëè÷åñòâåííîé ôîðìå – â âèäå óðàâíåíèé, ôîðìóë, ãðàôèêîâ».
Ñàìîå òðóäíîå çäåñü (òàê æå, êàê ïðè ðåøåíèè ëþáîé
ôèçè÷åñêîé çàäà÷è) – èìåííî ñîçäàíèå ìîäåëè. Îáðàçîâàíèå, îïûò è òàëàíò íóæíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü
«õîðîøóþ» ìîäåëü – òàêóþ, â ðàìêàõ êîòîðîé ó÷èòûâàþòñÿ
ñàìûå îñíîâíûå ôàêòîðû, îïðåäåëÿþùèå èçó÷àåìîå ÿâëåíèå
èëè ïðîöåññ, è îòáðàñûâàåòñÿ ìíîæåñòâî äðóãèõ, îêàçûâàþùèõ íà íåãî ëèøü ñëàáîå âëèÿíèå. Â òàêîé «õîðîøåé»
ìîäåëè è óðàâíåíèÿ îêàçûâàþòñÿ «õîðîøèìè» – èõ óäàåòñÿ
ðåøèòü è ïîëó÷èòü íåîáõîäèìûå (àíàëèòè÷åñêèå èëè ÷èñëåííûå) ðåçóëüòàòû.
Èòàê, íàøà çàäà÷à – ñîçäàòü ìîäåëü ëþáâè, íàïèñàòü
ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ, ðåøèòü èõ è ïðîàíàëèçèðîâàòü
ðåçóëüòàòû.
Êàê âñåãäà â íàóêå, íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ òåõ âåëè÷èí,
êîòîðûå ìû ñîáèðàåìñÿ èçó÷àòü, è ââåäåì äëÿ íèõ åäèíèöû
èçìåðåíèÿ. Íàñ èíòåðåñóåò, êàê ðàçâèâàþòñÿ âî âðåìåíè
ëþáîâíûå îòíîøåíèÿ ìåæäó Ðîìåî è Äæóëüåòòîé èëè ìåæäó
Ñàøåé è Ìàøåé. Ñîîòâåòñòâåííî, ìû èìååì äâå õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî ïðîöåññà – ëþáîâü è âðåìÿ.
×òî êàñàåòñÿ âðåìåíè, òî çäåñü âñå ïðîñòî: ìû çíàåì
ìíîæåñòâî åäèíèö, â êîòîðûõ îíî èçìåðÿåòñÿ, – ñåêóíäà,
ìèíóòà, ÷àñ è ò.ä., – è íàäî ëèøü âûáðàòü òó åäèíèöó,
êîòîðàÿ äëÿ íàñ íàèáîëåå óäîáíà. Èç ïðàêòèêè ëþáîâíûõ
îòíîøåíèé èçâåñòíî, ÷òî õàðàêòåðíîå âðåìÿ èõ ðàçâèòèÿ
(çàðîæäåíèÿ èëè çàòóõàíèÿ) ñîñòàâëÿåò ìåñÿöû è ãîäû.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè îñòàíîâèì ñâîé âûáîð íà åäèíèöå
âðåìåíè, ðàâíîé ãîäó, áóäåì îáîçíà÷àòü âðåìÿ, êàê îáû÷íî,
ñèìâîëîì t è â äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü
ïðîñòî t = 1 èëè t = 10, èìåÿ â âèäó t = 1 ãîä èëè t = 10 ëåò
ñîîòâåòñòâåííî.
Ãîðàçäî ñëîæíåå îáñòîèò äåëî ñ îïðåäåëåíèåì ëþáâè. Î
íåé ïèñàëè òûñÿ÷è ïîýòîâ, åå èñïûòûâàëè ìèëëèîíû âëþáëåí-
íûõ, íî íèêòî òàê è íå âûðàáîòàë ÷åòêîé ôîðìóëèðîâêè
òèïà: «Ëþáîâü – ýòî ïðîöåññ (èëè ñîñòîÿíèå?), õàðàêòåðèçóþùèéñÿ ñëåäóþùèì íàáîðîì ïàðàìåòðîâ (êàêèõ?): α = K ,
β = K ,K » Òîò ôàêò, ÷òî îáùåïðèíÿòîãî îïðåäåëåíèÿ ëþáâè
íå ñóùåñòâóåò, ðàçâÿçûâàåò íàì ðóêè è îñâîáîæäàåò íàøó
ôàíòàçèþ – ìû ìîæåì ñàìè ïðèäóìàòü ýòî îïðåäåëåíèå. Ïðè
ýòîì íå áóäåì ñëèøêîì êîíêðåòíûìè (íå ñëåäóåò, íàïðèìåð,
ïîäðîáíî îïèñûâàòü îòëè÷èå áèîõèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â
îðãàíèçìå âëþáëåííîãî îò òàêîâûõ â îòñóòñòâèå ëþáâè) è
ïîñòàðàåìñÿ ïðåäëîæèòü ÷òî-íèáóäü äîñòàòî÷íî ïðîñòîå è
ïîääàþùååñÿ êîëè÷åñòâåííîìó èçìåðåíèþ è îïèñàíèþ. Âåäü
â íàóêå èìåþò ñìûñë òîëüêî òå ñóùíîñòè, êîòîðûå ìîãóò
áûòü èçìåðåíû.
Äîéäÿ äî ýòîãî ìåñòà, àâòîð îñîçíàë, ÷òî îí íå â ñîñòîÿíèè
äàòü ðàçóìíîãî îïðåäåëåíèÿ ëþáâè. Íî, ìîæåò áûòü, ýòî è íå
ñòðàøíî? Âåäü èñïîëüçóåì æå ìû, íàïðèìåð, òàêîå ïîíÿòèå,
êàê ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, õîòÿ åãî îïðåäåëåíèÿ íå ñóùåñòâóåò. Íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå çàðÿäà è åãî âåëè÷èíó ìû
îïðåäåëÿåì êîñâåííî – íàïðèìåð, ïî ñèëå âçàèìîäåéñòâèÿ
çàðÿäîâ äðóã ñ äðóãîì èëè ïî èõ ïîâåäåíèþ â ìàãíèòíîì
ïîëå. Ïîñòóïèì òàê æå è ñ ëþáîâüþ – áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî
íå÷òî, çàñòàâëÿþùåå äîòîëå íîðìàëüíûõ ëþäåé ñîâåðøàòü
áåçóìíûå ïîñòóïêè, ïîäâèãè, ãëóïîñòè, ì÷àòüñÿ íà äðóãîé
êîíåö ñâåòà, ñòðåëÿòüñÿ è ò.ï.
Îäíàêî óõîä îò îïðåäåëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé âåëè÷èíû
íå ñíèìàåò (êàê è â ñëó÷àå ñ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì)
íåîáõîäèìîñòè äàòü ðåöåïò åå êîëè÷åñòâåííîãî èçìåðåíèÿ.
Ïðèäóìàòü òàêîé ðåöåïò òîæå íåïðîñòî. Äåéñòâèòåëüíî,
êàêîâ ñìûñë óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî Ñàøà ëþáèò Ìàøó â äâà
ðàçà ñèëüíåå, ÷åì Äàøó? Îçíà÷àåò ëè ýòî, ÷òî îí äàðèò Ìàøå
âäâîå áîëüøå öâåòîâ, ïðîâîäèò ñ íåé âäâîå áîëüøå âðåìåíè
èëè, íàêîíåö, ÷òî óâåëè÷åíèå åãî ïóëüñà ïðè âñòðå÷å ñ
Ìàøåé âäâîå âûøå? Äëÿ íàøåé öåëè ãîäèòñÿ ëþáîé èç
ïðèâåäåííûõ ñïîñîáîâ èçìåðåíèÿ ëþáâè, íî äëÿ îïðåäåëåííîñòè âûáåðåì ïîñëåäíèé âàðèàíò ñ ïóëüñîì, êîòîðûé óäîáåí òåì, ÷òî äîïóñêàåò ïðîñòîå èçìåðåíèå è, êðîìå òîãî,
ìîæåò äàâàòü äëÿ ëþáâè íå òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå, íî è
îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ – ñíèæåíèå ïóëüñà õàðàêòåðèçóåò
àíòèïàòèþ (îòðèöàòåëüíóþ ëþáîâü).
Äëÿ òîãî ÷òîáû îòñòðàíèòüñÿ îò èíäèâèäóàëüíûõ îñîáåííîñòåé ðàçíûõ ëþäåé, áóäåì êîëè÷åñòâåííî õàðàêòåðèçîâàòü
ëþáîâü áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì
æ Pö
Y = 10 ln ç ÷ ,
è P0 ø
ïðîïîðöèîíàëüíûì ëîãàðèôìó îòíîøåíèÿ ïóëüñà Ð ê åãî
íîðìàëüíîìó (äëÿ äàííîãî èíäèâèäà) çíà÷åíèþ P0 . Ñîîòâåòñòâóþùèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ íàçûâàþòñÿ äåöèáåëàìè.
Ìíîæèòåëü 10 âûáðàí ïðîèçâîëüíî ñ òåì, ÷òîáû òèïè÷íûå
çíà÷åíèÿ ëþáâè ïîïàäàëè â óäîáíûé ÷èñëåííûé äèàïàçîí.
Íàïðèìåð, ïîâûøåíèå ïóëüñà íà 10% ïî ñðàâíåíèþ ñ íîðìàëüíûì çíà÷åíèåì ïðîèñõîäèò ïðè âåëè÷èíå ëþáâè
Y = 10 ln 1,1 » 1 , à äâóêðàòíîå óâåëè÷åíèå ïóëüñà ïðîèñõîäèò ïðè ëþáâè Y = 10 ln 2 » 7 . Íåèçìåííîñòü æå ïóëüñà
óêàçûâàåò íà îòñóòñòâèå ëþáâè: Y = 0 ïðè Ð = P0 .
Ïîñêîëüêó ëþáîâü – ýòî îòíîøåíèå äâóõ ëþäåé, íåîáõîäèìî ñîñòàâèòü äâà óðàâíåíèÿ: îäíî ïóñòü îïèñûâàåò ýâîëþöèþ
ëþáâè Ðîìåî, à äðóãîå – ýâîëþöèþ ëþáâè Äæóëüåòòû.
Ëþáîâü Äæóëüåòòû áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü ôóíêöèåé J t ,
à ëþáîâü Ðîìåî – ôóíêöèåé R t .
Òåïåðü ìû ãîòîâû ê íàïèñàíèþ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ
ýâîëþöèþ ëþáâè, ò.å. ïîêàçûâàþùèõ, êàê îíà ìåíÿåòñÿ ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè. Òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ êèíåòè÷åñêèìè. Èòàê, ìû ïðèñòóïàåì ê âûâîäó êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ëþáâè.
$
ÊÂÀÍT 2008/¹6
Ñ êèíåòè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ìíîãèå èç ÷èòàòåëåé íàâåðíÿêà èìåëè äåëî. Òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, óðàâíåíèå,
ñîîòâåòñòâóþùåå âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà:
dp
= F - Fòð ,
dt
â êîòîðîì ð – èìïóëüñ òåëà, F – ñèëà, óâåëè÷èâàþùàÿ åãî
èìïóëüñ, è Fòð – ñèëà òðåíèÿ, óìåíüøàþùàÿ èìïóëüñ òåëà.
Ýòè ñèëû ìîãóò çàâèñåòü êàê îò ñâîéñòâ ñàìîãî òåëà, òàê è îò
ñâîéñòâ äðóãèõ òåë, ñ êîòîðûìè îíî âçàèìîäåéñòâóåò. Ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò âðåìåííýþ ýâîëþöèþ èìïóëüñà: îíî ïîêàçûâàåò, êàê áûñòðî èçìåíÿåòñÿ èìïóëüñ â
ðåçóëüòàòå ñîâìåñòíîãî äåéñòâèÿ äâóõ ñèë.
Çàïèøåì â òàêîì æå âèäå íàøè êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
ëþáâè:
dJ
= F11 + F12 ,
dt
dR
= F21 + F22 ,
dt
â êîòîðûå ìû âêëþ÷èëè ÷åòûðå «ëþáîâíûå» ñèëû F11 , F12 ,
F21 è F22 , îïðåäåëÿþùèå ýâîëþöèþ ôóíêöèé ëþáâè J t è
R t . ßñíî, ÷òî ýòè ñèëû íå ìîãóò áûòü ïîñòîÿííûìè, òàê
êàê òîãäà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ëþáâè dJ/dt è dR/dt òàêæå
áûëè áû ïîñòîÿííûìè, à ýòî îçíà÷àëî áû áåñêîíå÷íûé ðîñò
(èëè ñïàä) ëþáâè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïûòíûì äàííûì.
Íåîáõîäèìî ïîýòîìó ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëû ëþáâè çàâèñÿò îò
âðåìåíè t è îò âåëè÷èí ëþáâè îáîèõ âëþáëåííûõ J è R:
Fik = Fik t, J t , R t , ãäå i, k = 1, 2. Îäíàêî â íàøåé
ïðîñòîé ìîäåëè ìû íå áóäåì ó÷èòûâàòü ÿâíóþ çàâèñèìîñòü
ýòèõ ñèë îò âðåìåíè (â ìåõàíèêå òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ
àâòîíîìíîé) è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ëþáîâíûå ñèëû çàâèñÿò
èñêëþ÷èòåëüíî îò èíòåíñèâíîñòè ëþáâè ïàðòíåðîâ, ò.å.
Fik = Fik J t , R t .
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ìîäåëü, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùàÿ
ðåàëüíóþ ñèòóàöèþ, õîðîøà òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå
óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøèòü. Ïîëó÷åííàÿ íàìè ñèñòåìà êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ëþáâè ëåãêî ðåøàåòñÿ, åñëè îíà ëèíåéíà,
ò.å. ñèëû Fik ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè J t è R t .
 ýòîì ïðèáëèæåíèè íàøó ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
dJ
= a11J + a12 R ,
dt
(1)
dR
= a21J + a22 R ,
dt
ãäå êîýôôèöèåíòû a11 , a12 , a21 è a22 – ïîñòîÿííûå (íå
çàâèñÿùèå îò âðåìåíè) âåëè÷èíû. Ìû áóäåì çàäàâàòü ïîëíûé íàáîð çíà÷åíèé ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ òàáëèöåé (îíà
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé):
æ a11 a12 ö
Α=ç
.
è a21 a22 ÷ø
Äëÿ ïîëíîé îïðåäåëåííîñòè íóæíî åùå çàäàòü íà÷àëüíûå
óñëîâèÿ. Ïóñòü çíàêîìñòâî Ðîìåî è Äæóëüåòòû ñîñòîÿëîñü
â ìîìåíò âðåìåíè t = 0. Î÷åâèäíî, ÷òî äî ýòîãî ìîìåíòà J =
= 0 è R = 0. Îäíàêî â ìîìåíò t = 0 âåëè÷èíû J è R ìîãóò
èçìåíèòüñÿ – ïðèîáðåñòè, íàïðèìåð, çíà÷åíèÿ J(0) = 1 è
R(0) = 1 (ýòî íàçûâàåòñÿ âçàèìíàÿ ëþáîâü ñ ïåðâîãî âçãëÿäà)
èëè J(0) = –1 è R(0) = –1 (âçàèìíàÿ àíòèïàòèÿ) è ò.ï.
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ J(0) è R(0) âêóïå ñ êîýôôèöèåíòàìè
aik ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò âñå äàëüíåéøåå ðàçâèòèå îòíîøåíèé ìåæäó Ðîìåî è Äæóëüåòòîé. Åñëè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè âñå áîëåå èëè ìåíåå ÿñíî, òî êîýôôèöèåíòû aik ìîãóò
ïðèíèìàòü ðàçíûå (â òîì ÷èñëå è ïî çíàêó) çíà÷åíèÿ,
êîòîðûå çàâèñÿò îò èíäèâèäóàëüíûõ îñîáåííîñòåé âëþáëåííûõ. Ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ïîíÿòü, êàêèå ôàêòîðû
âëèÿþò íà ëþáîâü – ñïîñîáñòâóþò åå ðîñòó èëè óãàñàíèþ.
Äëÿ ýòîãî ìû îáðàòèìñÿ ê áîëüøîìó ìàññèâó ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, íàêîïëåííûõ â ëèòåðàòóðå è ïîêàçûâàþùèõ áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ. Âîò íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
×åì ìåíüøå æåíùèíó ìû ëþáèì,
• Òåì ëåã÷å íðàâèìñÿ ìû åé...
(À.Ñ.Ïóøêèí, «Åâãåíèé Îíåãèí»)
•
Ñòûäëèâî-õîëîäíà, âîñòîðãó ìîåìó
Åäâà îòâåòñòâóåøü, íå âíåìëåøü íè÷åìó
È îæèâëÿåøüñÿ ïîòîì âñå áîëå, áîëå –
È äåëèøü íàêîíåö ìîé ïëàìåíü ïîíåâîëå!
® a12 < 0 .
® a12 > 0 .
(À.Ñ.Ïóøêèí, «Íåò, ÿ íå äîðîæó ìÿòåæíûì íàñëàæäåíüåì»)
Ëþáîâü, êîòîðàÿ âíóòðè ïûëàåò, –
• Äóøà âñåãäà èçãíàòü åå âîëüíà.
(Äàíòå, «Áîæåñòâåííàÿ êîìåäèÿ»)
•
Ñ óñèëüåì òÿæêèì è áåñïëîäíûì,
ß öåïü ëþáâè õî÷ó ðàçáèòü.
Î, åñëè á âíîâü ìíå áûòü ñâîáîäíûì,
Î, åñëè á ìîã ÿ íå ëþáèòü!
® a11, a22 < 0 .
® a11, a22 < 0 .
(Ä. Ìåðåæêîâñêèé, «Ïðîêëÿòèå ëþáâè»)
Ëþáîâü, ëþáèòü âåëÿùàÿ ëþáèìûì,
• Ìåíÿ ê íåìó òàê âëàñòíî ïðèâëåêëà…
(Äàíòå, «Áîæåñòâåííàÿ êîìåäèÿ»)
• ß íå ëþáèì, íî êàê æå ÿ âëþáëåí!
(Â.Øåêñïèð, «Ðîìåî è Äæóëüåòòà»)
Íî ÿ ïîëþáèë åå ñ ïåðâîãî äíÿ
• Çà òî, ÷òî îíà ïîëþáèëà ìåíÿ!
(Ðîáåðò Áåðíñ)
® a11, a22 > 0 .
® a21 < 0 .
a21 > 0 .
Ïîñêîëüêó íàøà çàäà÷à – íå ñîöèîëîãè÷åñêàÿ, à ìàòåìàòè÷åñêàÿ, íå áóäåì óãëóáëÿòüñÿ â ïñèõîëîãè÷åñêèå òîíêîñòè è
ðàññìîòðèì äàëåå íåñêîëüêî ðàçíûõ ñèòóàöèé, êîòîðûå
ìîãóò âñòðåòèòüñÿ â æèçíè.
 ïðèíöèïå, àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íàøåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (1) íåñëîæíî íàéòè. Îäíàêî ìû íå áóäåì
çäåñü ýòèì çàíèìàòüñÿ è âîñïîëüçóåìñÿ îäíîé èç ïðîãðàìì
êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ òàê è íàçûâàåòñÿ
Mathematica (ñåé÷àñ äîñòóïíà óæå ïÿòàÿ âåðñèÿ ýòîé ïðîãðàììû – Mathematica 5). Ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (à íàøè óðàâíåíèÿ – äèôôåðåíöèàëüíûå,
òàê êàê ñîäåðæàò íå òîëüêî ôóíêöèè, íî è èõ ïðîèçâîäíûå)
â ïðîãðàììå Mathematica ïðîèçâîäèòñÿ î÷åíü ïðîñòî –
äîñòàòî÷íî â îêíå ýòîé ïðîãðàììû íàïèñàòü:
J0 = 0; R0 = 1;
a11 = 1; a12 = 1; a21 = 1; a22 = 1;
t1 = 5;
NDSolve [ {J’[t] = = a11 J[t] + a12 R[t] , R’[t] == a21 J[t]
+ a22 R[t], J[0] == J0, R[0] == R0}, {J, R}, {t, 0, t1} ];
Plot [Evaluate[{J[t], R[t]}/.%], {t, 0, t1}]
Çäåñü ïåðâûå òðè ñòðîêè – ýòî íà÷àëüíûå äàííûå J(0) è
R(0), çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ aik è ïðîäîëæèòåëüíîñòü t1
èíòåðåñóþùåãî íàñ ïðîìåæóòêà âðåìåíè (ïðèâåäåíû ÷èñòî
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
èëëþñòðàòèâíûå çíà÷åíèÿ), äâå ïîñëåäóþùèå ñòðîêè – äèðåêòèâà NDSolve äëÿ ðåøåíèÿ íàøåé ñèñòåìû óðàâíåíèé
(N=Numerical – ÷èñëåííûé, D=Differential – äèôôåðåíöèàëüíûé, Solve – ðåøàòü) è, íàêîíåö, ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà –
êîìàíäà ïðåäñòàâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ â âèäå ãðàôèêà äëÿ
èíòåðâàëà âðåìåíè 0 < t < t1 (Plot – ãðàôèê, Evaluate –
âû÷èñëèòü). Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî ìåíÿòü ïàðàìåòðû ìîäåëè è àíàëèçèðîâàòü ïîëó÷àþùèåñÿ ðåçóëüòàòû. Èìåííî ýòèì
ìû ñåé÷àñ è çàéìåìñÿ.
Îäíàêî ïðåæäå ââåäåì äëÿ óäîáñòâà ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ íåñêîëüêî òåðìèíîâ-îïðåäåëåíèé:
• Íàðöèññ ( H + ) – ÷åëîâåê, ÷üÿ ëþáîâü ê ïàðòíåðó ðàñòåò
òåì áûñòðåå, ÷åì áîëüøå îí ñàì åãî ëþáèò (Äæóëüåòòà –
Íàðöèññ, åñëè a11 > 0 , Ðîìåî – Íàðöèññ, åñëè a22 > 0 );
• àíòè-Íàðöèññ ( H - ) – ÷åëîâåê, ÷üÿ ëþáîâü ê ïàðòíåðó
óãàñàåò òåì áûñòðåå, ÷åì áîëüøå îí ñàì åãî ëþáèò (Äæóëüåòòà – àíòè-Íàðöèññ, åñëè a11 < 0 , Ðîìåî – àíòè-Íàðöèññ,
åñëè a22 < 0 );
• Äîí Æóàí ( ÄÆ + ) – ÷åëîâåê, ÷üÿ ëþáîâü ê ïàðòíåðó
óãàñàåò òåì áûñòðåå, ÷åì áîëüøå ïîñëåäíèé åãî ëþáèò
(Äæóëüåòòà – Äîí Æóàí, åñëè a12 < 0 , Ðîìåî – Äîí Æóàí,
åñëè a21 < 0 );
• àíòè-Äîí Æóàí ( ÄÆ - ) – ÷åëîâåê, ÷üÿ ëþáîâü ê
ïàðòíåðó ðàñòåò òåì áûñòðåå, ÷åì áîëüøå ïîñëåäíèé åãî
ëþáèò (Äæóëüåòòà – àíòè-Äîí Æóàí, åñëè a12 > 0 , Ðîìåî –
àíòè-Äîí Æóàí, åñëè a21 > 0 ).
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êëàññè÷åñêèå
ïåðñîíàæè Äîí Æóàí è Íàðöèññ (â ìóæñêîé èëè æåíñêîé
èïîñòàñè) èìåþò êîýôôèöèåíòû a21 = +1 (èëè a12 = +1 ) è
a22 = +1 (èëè a11 = +1 ) ñîîòâåòñòâåííî.
 íàøåé ìîäåëè ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïàð
âëþáëåííûõ, îòëè÷àþùèõñÿ çíàêîì è âåëè÷èíîé êîýôôèöèåíòîâ aik , à òàêæå íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. ×èñëî ðàçëè÷íûõ
ïàð âåëèêî, äàæå åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè êîýôôèöèåíòû è
íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ëþáâè ìîãóò ïðèíèìàòü âñåãî ëèøü òðè
çíà÷åíèÿ: 0, ±1 . Êîëè÷åñòâî òàêèõ ïàð ðàâíî 35 = 243. Íèæå
ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî ýòîãî âàðèàíòà, â
ðàìêàõ êîòîðîãî ïðîàíàëèçèðóåì ýâîëþöèþ âçàèìíîé è
íåðàçäåëåííîé ëþáâè íåñêîëüêèõ ðàçíûõ ïàð.
Âçàèìíàÿ ëþáîâü ñ ïåðâîãî âçãëÿäà
(J(0) = +1, R(0) = +1)
æ 0 1ö
1. Ïàðà: Äæóëüåòòà – ÄÆ - , Ðîìåî – ÄÆ + ; Α = ç
è -1 0÷ø
Ýòîò, íà ïåðâûé âçãëÿä ïðîñòîé, ñëó÷àé ïðèâîäèò ê
äîâîëüíî èíòåðåñíîìó ðåçóëüòàòó (ðèñ.1): ÷óâñòâà âëþáëåííûõ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþò çíàê, ïåðåõîäÿ îò ëþáâè ê àíòèïàòèè. Îäíàêî ÷óâñòâà îáîèõ îñòàþòñÿ â îãðàíè÷åííîì
äèàïàçîíå çíà÷åíèé – íè áåñêîíå÷íîé ëþáâè, íè áåñêîíå÷íîé íåíàâèñòè íå âîçíèêàåò. Ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðèîäè÷åñêèå (ãàðìîíè÷åñêèå) ôóíêöèè ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî
Ðèñ.1. Ïåðèîäè÷åñêèå èçìåíåíèÿ îòíîøåíèé
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
%
äðóãà íà ÷åòâåðòü ïåðèîäà, òàê ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íîãî ïðîöåññà âçàèìíàÿ ëþáîâü (J > 0, R > 0) èìåëà áû ìåñòî â òå÷åíèå
25% âðåìåíè. Â õîäå ïåðâûõ äåñÿòè ëåò ýòîò ïðîöåíò
íåñêîëüêî ìåíüøå – òîëüêî 23,5%. Ïðè äîñòàòî÷íîì òåðïåíèè íàøà ïàðà âñåãäà ìîæåò äîæäàòüñÿ ìîìåíòà, êîãäà
îòíîøåíèÿ âíîâü íàëàäÿòñÿ.
2. Ïàðà: Äæóëüåòòà – Í + , Ðîìåî – ( ÄÆ + + Í + );
æ 1 0ö
Α=ç
è -1 1÷ø
Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì ñëó÷àåì Äæóëüåòòà – íå
àíòè-Äîí Æóàí, à Íàðöèññ. Ýòî ïðèâîäèò ê ñåðüåçíîìó
êîíôëèêòó îòíîøåíèé. Äæóëüåòòà ðóêîâîäñòâóåòñÿ òîëüêî
ñîáñòâåííûì ïîëîæèòåëüíûì ÷óâñòâîì ê Ðîìåî, è åå ëþáîâü
ê íåìó íåïðåðûâíî ðàñòåò, â òî âðåìÿ êàê ÷óâñòâî Ðîìåî
Ðèñ.2. Êðèçèñ îòíîøåíèé
ïîñòåïåííî îõëàäåâàåò (ðèñ.2). Âçàèìíàÿ ëþáîâü îãðàíè÷åíà âî âðåìåíè è èñ÷åçàåò ÷åðåç ãîä, ÷òîáû íèêîãäà áîëüøå íå
âåðíóòüñÿ. Òðàãåäèÿ!
Ýòîò ïðèìåð âûÿâëÿåò îäèí èç äåôåêòîâ íàøåé ïðîñòîé
ìîäåëè – åå ðåçóëüòàòîì ìîæåò áûòü íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùàÿ (èëè óáûâàþùàÿ) âî âðåìåíè ëþáîâü. Î÷åâèäíî,
ýòîò ðåçóëüòàò ïðîòèâîðå÷èò ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Â
ðåàëüíîé æèçíè ñóùåñòâóåò íåêèé ìåõàíèçì îãðàíè÷åíèÿ
ëþáâè è íåíàâèñòè. Êàê ìîæíî ýòî ó÷åñòü â íàøåé ìîäåëè (è
òåì ñàìûì èñïðàâèòü åå), ìû îáñóäèì íèæå.
Ëþáîâü/àíòèïàòèÿ ñ ïåðâîãî âçãëÿäà
(J(0) = +1, R(0) = –1)
æ 1 0ö
1. Ïàðà: Äæóëüåòòà – Í + , Ðîìåî – ÄÆ - ; Α = ç
è1 0÷ø
Îêàçûâàåòñÿ, äàæå â ýòîì, êàçàëîñü áû áåçíàäåæíîì,
ñëó÷àå íåóäà÷íîãî çíàêîìñòâà áûâàåò ñ÷àñòëèâûé èñõîä.
Íåìíîãî (÷óòü áîëåå ïîëóãîäà) òåðïåíèÿ ñî ñòîðîíû Äæóëüåòòû, è Ðîìåî ïàäàåò ê åå íîãàì, ñðàæåííûé ñèëîé åå ëþáâè
(ðèñ.3). Èíòåðåñíî, ÷òî ïîõîæàÿ ñèòóàöèÿ íàáëþäàåòñÿ è
Ðèñ.3. Ñ÷àñòëèâûé èñõîä ñëîæíûõ îòíîøåíèé
&
ÊÂÀÍT 2008/¹6
ïðè äðóãèõ «êîíôèãóðàöèÿõ» ïåðñîíàæåé. Ëþáîâü ïîáåæäàåò àíòèïàòèþ, åñëè
æ1 1ö
æ 1 0ö
èëè Α = ç
.
Α=ç
è1 0÷ø
è1 1÷ø
Ïðàâäà, â ïîñëåäíåì ñëó÷àå Äæóëüåòòå íàäî áûòü áîëåå
òåðïåëèâîé: ñðîê «ñîçðåâàíèÿ» Ðîìåî ñîñòàâëÿåò öåëûé ãîä.
2. Ïàðà: Äæóëüåòòà – ÄÆ - , Ðîìåî – ( ÄÆ - + Í - );
æ0 1 ö
Α=ç
è 1 -1÷ø
Ýòîò ñëó÷àé èíòåðåñåí ñëîæíûìè äóøåâíûìè ïåðåæèâàíèÿìè Äæóëüåòòû: ñíà÷àëà â îòâåò íà õîëîäíîñòü Ðîìåî åå
÷óâñòâî íà÷èíàåò ñïàäàòü, íî ÷åðåç 10 ìåñÿöåâ, ïðîéäÿ ÷åðåç
Ðèñ.6. Âå÷íàÿ ëþáîâü
Êîãäà ëþäè ñõîæè õàðàêòåðîì (à ýòî – òîò ñàìûé ñëó÷àé),
ïðîèñõîäèò ìàëåíüêîå ÷óäî: äîñòàòî÷íî îäíîìó èç íèõ
ïîëþáèòü äðóãîãî – è ÷åðåç êàêèå-íèáóäü ïàðó ëåò ýòîò
äðóãîé (âíà÷àëå ñîâåðøåííî ðàâíîäóøíûé) âîñïûëàåò ëþáîâüþ ê ïåðâîìó (ðèñ.6). Íàñòóïèò èäèëëèÿ – îíè áóäóò
ëþáèòü äðóã äðóãà îäèíàêîâî êðåïêî, è ýòî áóäåò äëèòüñÿ
âå÷íî!
Íî íàñòîÿùåå ÷óäî ïðîèñõîäèò â ïîñëåäíåì èç ïðèâîäèìûõ çäåñü ïðèìåðîâ.
Âçàèìíàÿ àíòèïàòèÿ ñ ïåðâîãî âçãëÿäà
(J(0) = –1, R(0) = –1)
Ðèñ.4. Ïðåâðàòíîñòè ëþáâè
ìèíèìóì, óñòðåìëÿåòñÿ ââåðõ, âîçáóæäàÿ â Ðîìåî âñå áîëåå
íàðàñòàþùåå îòâåòíîå ÷óâñòâî (ðèñ.4). Ëþáîâü òîðæåñòâóåò!
Ðàâíîäóøèå/ëþáîâü ñ ïåðâîãî âçãëÿäà
(J(0) = 0, R(0) = +1)
æ0 1 ö
1. Ïàðà: Äæóëüåòòà – ÄÆ - , Ðîìåî – Í - ; Α = ç
è 0 -1÷ø
Ñîâåðøåííî íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò ðàçâèòèÿ ñîáûòèé â
ýòîì ñëó÷àå: ïîëíîå ðàâíîäóøèå Äæóëüåòòû ïîñòåïåííî
ïåðåðàñòàåò â ëþáîâü. Æàëü òîëüêî, ÷òî ïîçäíî – Ðîìåî, â
Ïàðà: Äæóëüåòòà – ( ÄÆ + + Í - ), Ðîìåî – ( ÄÆ - + Í - );
æ -1 -1ö
Α=ç
è 1 -1÷ø
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå íàñòîÿùåãî ÷óäà: îáà ïàðòíåðà –
àíòè-Íàðöèññû, íî îäèí èç íèõ – Äîí Æóàí, à äðóãîé – àíòèÄîí Æóàí.  ýòîì ñëó÷àå âçàèìíàÿ àíòèïàòèÿ íåïîñòèæèìûì îáðàçîì ïåðåðàñòàåò âî âçàèìíóþ ëþáîâü. Âïðî÷åì, ýòî
Ðèñ.7. Îò íåíàâèñòè äî ëþáâè – îäèí øàã
÷óäî íå âå÷íî: ëþáîâü ñìåíÿåòñÿ ïîëíûì ðàâíîäóøèåì äðóã
ê äðóãó (ðèñ.7). Íî ãîä îáùåãî ñ÷àñòüÿ ãàðàíòèðîâàí!
Ðèñ.5. Íåïðîäîëæèòåëüíîå ñ÷àñòüå
îòñóòñòâèå ïûëêîãî îòâåòíîãî ÷óâñòâà, íàîáîðîò, ñòàíîâèòñÿ
ðàâíîäóøåí ê Äæóëüåòòå (ðèñ.5). Óòåøèòü èõ ìîæåò ëèøü
ïðèìåðíî ïîëóòîðî-äâóõëåòíèé ïåðèîä âçàèìíîãî óâëå÷åíèÿ, êîãäà Äæóëüåòòà óæå íåðàâíîäóøíà ê Ðîìåî, à îí åùå
íå óñïåë ðàçëþáèòü åå. Î÷åíü æèçíåííàÿ ñèòóàöèÿ!
-
-
2. Ïàðà: Äæóëüåòòà – ( ÄÆ + Í ), Ðîìåî –
æ -1 1 ö
( ÄÆ - + Í - ); Α = ç
è 1 -1÷ø
Âûøå óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî íàøà ïðîñòàÿ ìîäåëü â ðÿäå
ñëó÷àåâ ïðèâîäèò ê âûâîäó î âîçìîæíîñòè íåîãðàíè÷åííîãî
ðîñòà ëþáâè (èëè àíòèïàòèè). Íî òàê ìîæíî è çäîðîâüå
ïîäîðâàòü! Ìåæäó òåì, äàâíî çàìå÷åíî:
Ëþáè óìåðåííî – ïðîëþáèøü äîëüøå.
(Â.Øåêñïèð, «Ðîìåî è Äæóëüåòòà»)
Îøèáêà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìû íå ââåëè â íàøè
êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (1) íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé ðîñòà
ôóíêöèé J(t) è R(t) – ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé ëèíåéíû
ïî J è R. Îãðàíè÷èòü ôóíêöèè J(t) è R(t) ìîæíî ââåäåíèåì
íåëèíåéíîñòè â êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Äîáàâèì, íàïðè-
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÊÐÓÆÎÊ
'
ìåð, â èõ ïðàâûå ÷àñòè äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå, êâàäðàòè÷íûå ïî J è R:
dJ
= a11J + a12 R - γJ2 ,
dt
(2)
dR
= a21J + a22 R - γR2 .
dt
Ïàðàìåòð γ äîëæåí áûòü ïîëîæèòåëüíûì – òîãäà ñ ðîñòîì
J è R ñêîðîñòè dJ/dt è dR/dt èçìåíåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé
áóäóò ïàäàòü, ÷òî è ïðåäîòâðàòèò èõ íåîãðàíè÷åííûé ðîñò.
Ïîñìîòðèì, êàê ïîâëèÿåò ýòà íåëèíåéíîñòü íà ðàçâèòèå
ñîáûòèé â óæå ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå «Ëþáîâü/
àíòèïàòèÿ ñ ïåðâîãî âçãëÿäà» äëÿ âòîðîé ïàðû (ñì. ðèñ.4).
×òîáû íå ìåíÿòü ïîëó÷åííûå ðàíåå ðåçóëüòàòû â òîì èíòåðâàëå, ãäå J(t) è R(t) íå î÷åíü âåëèêè, íàäî âûáðàòü γ = 1 –
òîãäà äîïîëíèòåëüíûìè íåëèíåéíûìè ñëàãàåìûìè â óðàâíåíèÿõ (2) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîëîæèì, íàïðèìåð, γ = 0,1 (è,
åñòåñòâåííî, äîáàâèì íîâûå ñëàãàåìûå â ïðîãðàììó
Mathematica). Ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ ïîäïðàâëåííîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé ïîêàçàí íà ðèñóíêå 8. Âèäíî, ÷òî ëþáîâü ïàðòíåðîâ ÷åðåç 10 ëåò íàñûùàåòñÿ.
Èòàê, îãðàíè÷åíèå ëþáâè (èëè íåíàâèñòè) ìîæíî îáúÿñíèòü íåëèíåéíîñòüþ ÷óâñòâ, çàëîæåííîé â íàñ Ïðèðîäîé.
Íóæíî ëè âñåðüåç îòíîñèòüñÿ êî âñåìó âûøåèçëîæåííîìó? È äà, è íåò. Êîíå÷íî, íàèâíî äóìàòü, ÷òî ñòîëü ïðîñòàÿ
ìîäåëü äåéñòâèòåëüíî ìîæåò îïèñàòü âñå ìíîãîîáðàçèå îòíîøåíèé ìåæäó âëþáëåííûìè. Íàïðèìåð, îíà íå âêëþ÷àåò â
ñåáÿ âçàèìîäåéñòâèå ïåðñîíàæåé ñ äðóãèìè ëþäüìè. Åùå
îäíî íåó÷òåííîå îñëîæíåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî âèä óðàâíå-
Ðèñ.8. Íàñûùåíèå îòíîøåíèé
íèé èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, çíà÷åíèÿ âõîäÿùèõ â íåãî
ïàðàìåòðîâ ìîãóò ìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì. Ýòî íàçûâàåòñÿ
íåàâòîíîìíîñòüþ, è ïîýòû äàâíî åå çàìåòèëè:
Âåñíîé ôàíòàçèÿ ìóæ÷èíû
Ëåãêî ñêëîíÿåòñÿ ê ëþáâè.
(À.Òåííèñîí, «Ëîêñëè-Õîëë»)
Íî äàæå ó ïðèìèòèâíûõ ìîäåëåé åñòü òî ïîëîæèòåëüíîå
ñâîéñòâî, ÷òî èõ îïðîâåðæåíèå èëè óñîâåðøåíñòâîâàíèå
çàñòàâëÿåò ãëóáæå âçãëÿíóòü íà ñóòü ÿâëåíèÿ, âûÿâèòü
íîâûå, íå ó÷òåííûå ðàíåå ôàêòîðû, îöåíèòü ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè ñòàðîé ìîäåëè, âûðàáîòàòü äðóãîé ÿçûê îïèñàíèÿ è,
â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ïðåäëîæèòü áîëåå òî÷íóþ íîâóþ ìîäåëü.
Õîòåëîñü áû, îäíàêî, ÷òîáû â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
òàêàÿ ìîäåëü íå ïîÿâëÿëàñü êàê ìîæíî äîëüøå!
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Çîëîòîå ñå÷åíèå
è ÷èñëà
Ôèáîíà÷÷è
Â.ÁÓÃÀÅÍÊÎ
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Ï
ÓÑÒÜ ÍÀ ÎÒÐÅÇÊÅ AB ÐÀÑÏÎËÎÆÅÍÀ ÒÎ×ÊÀ M. ÎÍÀ
äåëèò îòðåçîê íà äâå ÷àñòè. Åñëè îòíîøåíèå äëèí áîëüøåé ÷àñòè ê ìåíüøåé ðàâíî îòíîøåíèþ äëèíû âñåãî îòðåçêà
ê äëèíå áîëüøåé ÷àñòè, òî ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êà äåëèò îòðåçîê
â êðàéíåì è ñðåäíåì îòíîøåíèè, à ñàìî ýòî îòíîøåíèå
íàçûâàþò çîëîòûì ñå÷åíèåì. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî AM ³ MB ,
òî ïðèâåäåííîå óñëîâèå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ñîîòíîøåíèÿ
AB
AM
=
.
AM MB
(1)
Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü çîëîòîãî ñå÷åíèÿ ìû äîêàæåì ÷óòü íèæå.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïåðâûå äâà ÷ëåíà êîòîðîé ðàâíû
åäèíèöå, à êàæäûé ñëåäóþùèé ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäûäóùèõ, íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Ôèáîíà÷÷è, à åå
÷ëåíû – ÷èñëàìè Ôèáîíà÷÷è. Âîò íåñêîëüêî ïåðâûõ ÷ëåíîâ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ôèáîíà÷÷è:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
Íà ïåðâûé âçãëÿä, çîëîòîå ñå÷åíèå è ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è íèêàê
íå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Áîëåå òîãî, îíè îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì
ðàçäåëàì ìàòåìàòèêè: çîëîòîå ñå÷åíèå – ê ãåîìåòðèè, à ÷èñëà
Ôèáîíà÷÷è – ê àëãåáðå. Îäíàêî æå óäèâèòåëüíûì îáðàçîì
âî ìíîãèõ çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ çîëîòûì ñå÷åíèåì, âîçíèêàþò ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è. È íàîáîðîò, â çàäà÷àõ î ÷èñëàõ
Ôèáîíà÷÷è ïîÿâëÿåòñÿ çîëîòîå ñå÷åíèå. Ñ íåêîòîðûìè òàêèìè ïðèìåðàìè ìû ïîçíàêîìèìñÿ â ýòîé ñòàòüå. Êðîìå òîãî,
ìû óâèäèì, ÷òî çîëîòîå ñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì íåêîòîðûõ åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþùèõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èì íàãëÿäíóþ èëëþñòðàöèþ òîãî, ÷òî âñÿ ìàòåìàòèêà åäèíà, à ðàçëè÷íûå åå
ðàçäåëû (àëãåáðà, ãåîìåòðèÿ, ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç) òåñíî
âçàèìîñâÿçàíû.
Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì äâå íåñëîæíûå ãåîìåòðè÷åñêèå
çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ çîëîòîãî ñå÷åíèÿ.
Çîëîòîé ïðÿìîóãîëüíèê
Çàäà÷à 1. Ñóùåñòâóåò ëè ïðÿìîóãîëüíèê, êîòîðûé ìîæíî ðàçðåçàòü íà äâå ÷àñòè, îäíà èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòîì, à âòîðàÿ – ïðÿìîóãîëüíèêîì, ïîäîáíûì èñõîäíîìó?
!
ÊÂÀÍT 2008/¹6
Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî,
äëÿ òîãî ÷òîáû ïðÿìîóãîëüíèê áûë ðàçðåçàí íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà, ëèíèÿ ðàçðåçà
äîëæíà áûòü ïàðàëëåëüíà åãî
ñòîðîíå. Ïóñòü äàííûé ïðÿìîóãîëüíèê ABCD ðàçðåçàí
ïðÿìîé MN òàê, ÷òî îáðàçîÐèñ. 1
âàëèñü êâàäðàò AMND è ïðÿìîóãîëüíèê BCNM (ðèñ.1). Òîãäà óñëîâèå ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ABCD è BCNM çàïèøåòñÿ â âèäå
Èòàê, ìû íàøëè äâà òèïà èñêîìûõ òðåóãîëüíèêîâ. Â îáîèõ
ñëó÷àÿõ îòíîøåíèå ñòîðîí òàêîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî çîëîòîìó ñå÷åíèþ. Âî âòîðîì ñëó÷àå ýòî îòíîøåíèå áîêîâîé
ñòîðîíû ê îñíîâàíèþ, è òðåóãîëüíèê ïîëó÷àåòñÿ îñòðîóãîëüíûì, à â ïåðâîì ñëó÷àå – íàîáîðîò, çîëîòîìó ñå÷åíèþ ðàâíî
îòíîøåíèå îñíîâàíèÿ ê áîêîâîé ñòîðîíå, è â ýòîì ñëó÷àå
òðåóãîëüíèê òóïîóãîëüíûé. Êàæäûé èç äâóõ òèïîâ çîëîòûõ
òðåóãîëüíèêîâ ðàçðåçàåòñÿ íà äâà çîëîòûõ òðåóãîëüíèêà
ðàçíûõ òèïîâ.
AB
BC
=
;
BC MB
Ïðèøëî âðåìÿ äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü
çîëîòîãî ñå÷åíèÿ, à çàîäíî è âû÷èñëèòü åãî çíà÷åíèå. Èòàê,
ïóñòü òî÷êà M äåëèò îòðåçîê AB â êðàéíåì è ñðåäíåì îòíîøåíèè, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî AM > MB. Îáîçíà÷èì AM =
b a
a+b a
= a, MB = b, a b = ϕ . Ïî óñëîâèþ,
= , èëè 1 + = ,
a b
a
b
îòêóäà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
1
1+ = ϕ,
(2)
ϕ
êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ϕ :
ó÷èòûâàÿ, ÷òî BC = AM, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (1), à ýòî è
îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà M äåëèò îòðåçîê AB â êðàéíåì è ñðåäíåì
îòíîøåíèè. Ïîýòîìó òàêîé ïðÿìîóãîëüíèê ñóùåñòâóåò, è
îòíîøåíèå åãî ñòîðîí ðàâíî çîëîòîìó ñå÷åíèþ. Áóäåì íàçûâàòü åãî çîëîòûì ïðÿìîóãîëüíèêîì.
Çîëîòûå òðåóãîëüíèêè
Çàäà÷à 2. Ñóùåñòâóåò ëè ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê,
êîòîðûé ìîæíî ðàçðåçàòü íà äâà ðàçëè÷íûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêà, îäèí èç êîòîðûõ ïîäîáåí äàííîìó?
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì èñõîäíûé òðåóãîëüíèê ABC. Ëèíèÿ
ðàçðåçà, î÷åâèäíî, äîëæíà ïðîõîäèòü ÷åðåç îäíó èç åãî
Çîëîòîå ñå÷åíèå
ϕ2 - ϕ - 1 = 0 .
(3)
1± 5
, îäíàêî ëèøü
2
îäèí èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì. Ñëåäîâàòåëü1+ 5
.
íî, èñêîìîå îòíîøåíèå ϕ ðàâíî
2
Ýòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò êîðíè
Óãëû çîëîòûõ òðåóãîëüíèêîâ
Ðèñ. 2
âåðøèí. Ïóñòü ëèíèåé ðàçðåçà áóäåò îòðåçîê CM, ãäå M –
òî÷êà íà ñòîðîíå AB. Ðàçáåðåì îòäåëüíî äâà ñëó÷àÿ, êîãäà
AB – îñíîâàíèå è êîãäà AB – áîêîâàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà.
Ïóñòü AB – îñíîâàíèå, à C – âåðøèíà ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ.2). Ïóñòü òðåóãîëüíèê CMB ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó ABC, à ACM – íå ðàâíûé åìó ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. Òîãäà AM = AC = BC, MB = MC. Èç
ïîäîáèÿ ñëåäóåò
AC
AB
=
;
MB BC
çàìåíÿÿ AC â ÷èñëèòåëå ëåâîé ÷àñòè è BC â çíàìåíàòåëå
ïðàâîé ÷àñòè íà AM, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (1). À ýòî è
îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà M äåëèò îòðåçîê â êðàéíåì è ñðåäíåì
îòíîøåíèè. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê
òàêîâ, ÷òî îòíîøåíèå åãî îñíîâàíèÿ
ê áîêîâîé ñòîðîíå ðàâíî çîëîòîìó
ñå÷åíèþ.
Òåïåðü ïóñòü îñíîâàíèåì òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ BC (ðèñ.3). Î÷åâèäíî, ÷òî èç äâóõ ÷àñòåé ïîäîáíûì
òðåóãîëüíèêó ABC ìîæåò ÿâëÿòüñÿ
òîëüêî BCM. Èìååì BC = CM = MA
è AB = AC. Èç ïîäîáèÿ ñëåäóåò
BC
AB
=
,
MB
BC
Ðèñ. 3
è, çàìåíÿÿ BC íà AM, îïÿòü ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (1). Çíà÷èò, è â ýòîì ñëó÷àå òî÷êà M äåëèò
îòðåçîê â êðàéíåì è ñðåäíåì îòíîøåíèè.  ýòîì òðåóãîëüíèêå îòíîøåíèå ñòîðîíû ê îñíîâàíèþ ðàâíî çîëîòîìó ñå÷åíèþ.
Íàéäåì, ÷åìó ðàâíû óãëû çîëîòûõ òðåóãîëüíèêîâ. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì òóïîóãîëüíûé çîëîòîé òðåóãîëüíèê (ñì. ðèñ.2).
Îáîçíà÷èì óãîë ïðè åãî îñíîâàíèè ÷åðåç α . Òîãäà
ÐCAB = ÐCBA = ÐBCM = α . Ñëåäîâàòåëüíî, ÐAMC =
= 2α , êàê âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà MBC. Îòñþäà
ÐACM = ÐAMC = 2α , è ÐACB = 3α . Ïîëó÷àåì, ÷òî ñóììà
óãëîâ òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 5α , îòêóäà α = 36° . Èòàê,
óãëû òóïîóãîëüíîãî çîëîòîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 36° , 36°
è 108° .
Òåïåðü ïåðåéäåì ê îñòðîóãîëüíîìó çîëîòîìó òðåóãîëüíèêó
(ñì. ðèñ.3). Íà ýòîò ðàç îáîçíà÷èì ÷åðåç α
óãîë BAC ïðè âåðøèíå. Òîãäà ÐACM = α ,
ïîñêîëüêó òðåóãîëüíèê MAC ðàâíîáåäðåííûé,
è ÐBCM = α , ïîñêîëüêó òðåóãîëüíèêè ABC è
CMB ïîäîáíû. Òàêèì îáðàçîì, óãîë ïðè îñíîâàíèè òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí 2α ,
ïîýòîìó ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà
ðàâíà 5α , îòêóäà
Ðèñ. 4
α = 36° . Èòàê,
óãëû îñòðîóãîëüíîãî çîëîòîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 36° , 72°
è 72° .
Ðàçðåçàâ çîëîòûå òðåóãîëüíèêè ïî îñè ñèììåòðèè íà äâà
ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 4), ìîæíî ëåãêî
íàéòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè íåêîòîðûõ óãëîâ, ñâÿçàííûõ ñ ýòèìè òðåóãîëüíèêàìè:
sin 54° = cos 36° =
5 +1
; sin 18° = cos 72° =
4
5 -1
.
4
Ýòè ðàâåíñòâà äàþò âîçìîæíîñòü íàéòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè âñåõ óãëîâ, êðàòíûõ 18° . Îíè äîïîëíÿþò õîðîøî
èçâåñòíûå «òàáëè÷íûå» ñèíóñû è êîñèíóñû óãëîâ, êðàòíûõ
30° è 45° .
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê
Åñëè ïðîâåñòè âñå äèàãîíàëè ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà
ABCDE (ðèñ.5), òî ïîëó÷èòñÿ ïðàâèëüíàÿ ïÿòèêîíå÷íàÿ
çâåçäà, âûñåêàþùàÿ âíóòðè ñåáÿ ìåíüøèé ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê A1B1C1D1E1 . Óãëû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà
ðàâíû 108° , à óãëû ïðè
ëó÷àõ ïðàâèëüíîé ïÿòèêîíå÷íîé çâåçäû ðàâíû 36° .
Ýòè æå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ óãëàìè çîëîòûõ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîýòîìó â ïîëó÷èâøåéñÿ êîíñòðóêöèè
ìîæíî íàéòè ìíîãî çîëîòûõ òðåóãîëüíèêîâ, íåêîòîðûå èç íèõ ðàçðåçàíû íà
ìåíüøèå çîëîòûå òðåóãîëüíèêè îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì. Íàïðèìåð, çîëîòîé
òóïîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
Ðèñ. 5
ABC ðàçðåçàí ëèíèåé BD1
íà äâà çîëîòûõ òðåóãîëüíèêà. Îäèí èç íèõ – òðåóãîëüíèê BD1C – â ñâîþ î÷åðåäü
ðàçðåçàí íà äâà ìåíüøèõ çîëîòûõ òðåóãîëüíèêà îòðåçêîì
BE1 . À îòðåçîê AE1 ðàçðåçàåò çîëîòîé îñòðîóãîëüíûé
òðåóãîëüíèê ABD íà äâà çîëîòûõ òðåóãîëüíèêà.
Çîëîòûå òðåóãîëüíèêè ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþ
öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî
ïîñòðîèòü äâà îòðåçêà, îòíîøåíèÿ äëèí êîòîðûõ ðàâíî ϕ .
Çàòåì èç äâóõ äëèííûõ è îäíîãî êîðîòêîãî ïîëó÷àåòñÿ
îñòðîóãîëüíûé çîëîòîé òðåóãîëüíèê, à èç äâóõ êîðîòêèõ è
îäíîãî äëèííîãî – òóïîóãîëüíûé. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, êàê
óâåëè÷èòü äàííûé îòðåçîê â ϕ ðàç. Îäèí èç âîçìîæíûõ
ñïîñîáî⠖ ýòî äåéñòâîâàòü «â ëîá». Ïóñòü ìû èìååì îòðåçîê äëèíû b. Ñíà÷àëà ñòðîèì ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
ñ êàòåòàìè b è 2b. Åãî ãèïîòåíóçà ðàâíà 5b . Çàòåì ýòó
ãèïîòåíóçó óäëèíÿåì íà b è ðåçóëüòàò äåëèì ïîïîëàì.
Òåì ñàìûì, ìû óìååì ñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è
ëèíåéêè óãîë â 108° , ÿâëÿþùèéñÿ óãëîì ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà. À çíà÷èò, ìû ïîïóòíî íàøëè ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà.
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïÿòèçâåííóþ ëîìàíóþ ñ ðàâíûìè çâåíüÿìè è óãëàìè ïî 108° .
Ïîñëå îòêëàäûâàíèÿ ïÿòîãî çâåíà îíà çàìêíåòñÿ, è òåì
ñàìûì áóäåò ïîëó÷åí ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê. Îñíîâàííûé íà òîé æå èäåå, íî áîëåå èçÿùíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ
ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà ïðèâåäåí â óïðàæíåíèè 2.
×èñëî j è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ôèáîíà÷÷è
Íàéäåì ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà ϕ : ϕ = 1,61803...
Îáðàòíàÿ âåëè÷èíà ê ϕ ðàâíà 0,61803... Çîëîòîå ñå÷åíèå –
åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, îáðàòíîå ê êîòîðîìó
ïîëó÷àåòñÿ âû÷èòàíèåì åäèíèöû. Ýòî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà
(2). Àíàëîãè÷íî, èç ðàâåíñòâà (3) ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âîçâåäåíèÿ ÷èñëà ϕ â êâàäðàò äîñòàòî÷íî äîáàâèòü ê íåìó
åäèíèöó: ϕ2 = 1 + ϕ . Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: ìîæíî ëè òàê æå
ïðîñòî âû÷èñëèòü äðóãèå ñòåïåíè ÷èñëà ϕ ? Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé äëÿ êâàäðàòà, ïîëó÷àåì èñêîìûå ôîðìóëû
äëÿ ïîñëåäóþùèõ ñòåïåíåé:
ϕ = ϕ ϕ = 1 + 2ϕ ϕ = ϕ + 2ϕ
ϕ = ϕ ϕ = 2 + 3ϕ ϕ = 2ϕ + 3ϕ
ϕ3 = ϕ2 ϕ = 1 + ϕ ϕ = ϕ + ϕ2 = ϕ + 1 + ϕ = 1 + 2ϕ ;
4
5
…
3
4
2
= ϕ + 2 1 + ϕ = 2 + 3ϕ ;
2
= 2ϕ + 3 1 + ϕ = 3 + 5ϕ ;
!
ÊÐÓÆÎÊ
Íåòðóäíî çàìåòèòü çàêîíîìåðíîñòü:
ϕn = fn -1 + fnϕ ,
(4)
ãäå fn – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ôèáîíà÷÷è. Åå ëåãêî äîêàçàòü,
èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.  êà÷åñòâå áàçû
èíäóêöèè ìîæíî âçÿòü óæå ïðîâåðåííûå ðàâåíñòâà äëÿ n =
= 2 è 3. À øàã èíäóêöèè çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîñòîé âûêëàäêå:
ϕn +1 = ϕn ϕ = fn -1 + fnϕ ϕ =
= fn -1ϕ + fnϕ2 = fn -1ϕ + fn ϕ + 1 =
= fn -1 + fn ϕ + fn = fn + fn +1ϕ .
1- 5
– îòðèöàòåëüíûé
2
êîðåíü óðàâíåíèÿ (3). Äëÿ åãî n-é ñòåïåíè âûïîëíÿåòñÿ
òàêàÿ æå ôîðìóëà, êàê è äëÿ ÷èñëà ϕ :
Ðàññìîòðèì òåïåðü ÷èñëî ϕ =
ϕn = fn -1 + fn ϕ .
(5)
Äåéñòâèòåëüíî, äîêàçûâàÿ ôîðìóëó (4), ìû ïîëüçîâàëèñü
ëèøü òåì, ÷òî ÷èñëî ϕ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (3), à
çíà÷èò, îíà îñòàíåòñÿ âåðíîé ïðè çàìåíå ϕ íà äðóãîé êîðåíü
òîãî æå óðàâíåíèÿ. Âû÷òÿ (5) èç (4), ïîëó÷àåì
ϕn - ϕn
ϕn - ϕn = fn ϕ - ϕ , îòêóäà ñëåäóåò fn =
, èëè, ïîñëå
ϕ-ϕ
çàìåíû ϕ è ϕ íà èõ ÿâíûå âûðàæåíèÿ,
n
fn =
æ1 + 5 ö
æ1 - 5 ö
ç 2 ÷ -ç 2 ÷
è
ø
è
ø
n
5
.
(6)
Ýòà ôîðìóëà ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç åãî íîìåð, íå âû÷èñëÿÿ âñå ïðåäûäóùèå, è
íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áèíý. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ óäèâèòåëüíûì, ÷òî èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â åå ïðàâîé ÷àñòè, äàåò öåëîå ÷èñëî ïðè ëþáîì n.
Çàïèñàâ ôîðìóëó Áèíý â âèäå ðàçíîñòè
fn =
ϕn
ϕn
,
5
5
(7)
çàìåòèì, ÷òî âû÷èòàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, ïî
ìîäóëþ ìåíüøèì 1 5 , à åãî çíàê çàâèñèò îò ÷åòíîñòè n.
Ïîýòîìó n-å ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è ìîæíî âû÷èñëèòü êàê áëèϕn
æàéøåå öåëîå ÷èñëî ê fn =
. Ïðè ýòîì îêðóãëåíèå ïðîèñ5
õîäèò â ìåíüøóþ ñòîðîíó ïðè ÷åòíûõ n è â áîëüøóþ ñòîðîíó
ïðè íå÷åòíûõ n.
Çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû, ñâÿçàííûå ñ çîëîòûì ñå÷åíèåì
Ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå çîëîòîãî ñå÷åíèÿ îáîñíîâûâàåòñÿ òàêæå òåì, ÷òî ϕ ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì íåêîòîðûõ ïðîñòûõ
è åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåííûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì äâà áåñêîíå÷íûõ
âûðàæåíèÿ äëÿ ÷èñëà ϕ :
ϕ = 1+ 1+ 1+ 1+K ,
ϕ =1+
1
1+
1+
1
.
1
1+
1
O
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 34)
(8)
(9)
!
Áåñêîíå÷íîñòü â çàäà÷àõ
 êàæäîé çàäà÷å ýòîãî êàëåéäîñêîïà ðå÷ü èäåò òàê èëè
èíà÷å î ÷åì-òî áåñêîíå÷íîì (íàïðèìåð, î ïëîñêîñòè èëè
äåñÿòè÷íîé äðîáè). Ðàçóìååòñÿ, ìîæíî ïðèäóìàòü ñêîëü
óãîäíî ìíîãî çàäà÷, â êîòîðûõ ó÷àñòâóåò íå÷òî áåñêîíå÷íîå. Ìû æå îãðàíè÷èìñÿ î÷åíü íåáîëüøèì ÷èñëîì
òåì, è â êàæäîé ïðèâåäåì íåñêîëüêî êðàñèâûõ ïðèìåðîâ.
Ôèãóðû íà ïëîñêîñòè
1. Ìîæíî ëè ïîêðûòü ïëîñêîñòü áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì êâàäðàòîâ, ñðåäè êîòîðûõ ðîâíî äâà îäèíàêîâûõ?
Êâàäðàòû íå ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ.
Îòâåò: äà, ìîæíî. Íàðèñóåì êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, ïðèñòàâèì ê íåìó ñëåâà êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ
ïðÿìîóãîëüíèê 1 ´ 2 , ê ýòîìó ïðÿìîóãîëüíèêó ïðèñòàâèì ñíèçó êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 2, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ
ïðÿìîóãîëüíèê 2 ´ 3 , ê íåìó ïðèñòàâèì ñïðàâà êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 3 è òàê
äàëåå: áóäåì çàïîëíÿòü ïëîñêîñòü «ïî
ñïèðàëè», êàæäûé ðàç ïðèñòàâëÿÿ ê
èìåþùåéñÿ ôèãóðå êâàäðàò òàê, ÷òîáû åãî ñòîðîíà ñîâïàëà ñ îäíîé èç
ñòîðîí ôèãóðû. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè áóäåò ïîêðûòà îäíèì èç
êâàäðàòîâ. Êñòàòè, äëèíû ñòîðîí ýòèõ
êâàäðàòîâ îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ôèáîíà÷÷è 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...– ïîäðîáíî î íåé
ðàññêàçàíî â ýòîì íîìåðå æóðíàëà â ðóáðèêå «Ìàòåìàòè÷åñêèé êðóæîê».
Ïîäóìàéòå íàä áîëåå ñëîæíûì âîïðîñîì: ìîæíî ëè ïîêðûòü ïëîñêîñòü áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì íåïåðåêðûâàþùèõñÿ
êâàäðàòîâ, ñðåäè êîòîðûõ íåò îäèíàêîâûõ?
2. Ìîæíî ëè ïîêðûòü ïëîñêîñòü êîíå÷íûì ÷èñëîì
à) âíóòðåííîñòåé ïàðàáîë;
á) âíóòðåííîñòåé óãëîâ,
ñóììà êîòîðûõ ìåíüøå 360o ?
Ïðèâåäåì ðåøåíèå ïóíêòà à).
Îòâåò: íåëüçÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
òàêèå ïàðàáîëû íàéäóòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî âíóòðåííîñòü ïàðàáîëû
ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé ïî áåñêîíå÷íîìó êóñêó òîëüêî â ñëó÷àå,
åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè ïàðàáîëû. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ, íå ïàðàëëåëüíóþ íè îäíîé èç îñåé íàøèõ ïàðàáîë (ýòî âîçìîæíî,
òàê êàê èõ êîíå÷íîå ÷èñëî). Òîãäà êàæäàÿ ïàðàáîëà ïåðåñå÷åò
ýòó ïðÿìóþ ïî îòðåçêó, à òàê êàê îòðåçêîâ áóäåò êîíå÷íîå
÷èñëî, òî äàæå ýòà ïðÿìàÿ íå áóäåò ïîêðûòà.
Áåñêîíå÷íûå ãðàôû
3. Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî ÷åëîâå÷åñòâî áåññìåðòíî, à
êàæäûé ÷åëîâåê ñìåðòåí. ×èñëî ëþäåé â êàæäîì
ïîêîëåíèè êîíå÷íî. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ áåñêîíå÷íàÿ öåïî÷êà ìóæ÷èí, íà÷èíàþùàÿñÿ ñ Àäàìà (êàæäûé ñëåäóþùèé â öåïî÷êå – ñûí ïðåäûäóùåãî).
Ïîñòðîèì òàêóþ êàðòèíêó. Íà ïåðâîì ýòàæå ðàçìåñòèì
îäíó òî÷êó – îíà áóäåò èçîáðàæàòü Àäàìà. Èç íåå âûïóñòèì
ñòîëüêî ñòðåëîê, ñêîëüêî áûëî
ó Àäàìà ñûíîâåé, íà âòîðîé
ýòàæ (êîíöû ñòðåëîê ñîîòâåòñòâóþò ñûíîâüÿì Àäàìà). Èç
êàæäîé òî÷êè–÷åëîâåêà âòîðîãî ýòàæà âûïóñòèì ñòðåëêè íà
òðåòèé ýòàæ (ñòðåëêè îïÿòü
ñîîòâåòñòâóþò ñûíîâüÿì), è òàê
äàëåå. Ïîëó÷èì ñèñòåìó òî÷åê
è ñòðåëîê èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýòàæåé (òàê êàê ÷åëîâå÷åñòâî
áåññìåðòíî), íî íà êàæäîì ýòàæå áóäåò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê.
ßñíî, ÷òî åñòü áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî êîíå÷íûõ ïóòåé,
èäóùèõ ïî ñòðåëêàì, ñ íà÷àëîì â òî÷êå ïåðâîãî ýòàæà. Íàäî
äîêàçàòü, ÷òî åñòü áåñêîíå÷íûé ïóòü. Îáúÿñíèì, êàê åãî
íàéòè. Ïåðâîé â íåì áóäåò òî÷êà ïåðâîãî ýòàæà. Òàê êàê åñòü
áåñêîíå÷íî ìíîãî ïóòåé, âåäóùèõ èç òî÷êè ïåðâîãî ýòàæà, òî
íà âòîðîì ýòàæå íàéäåòñÿ òî÷êà, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò
áåñêîíå÷íî ìíîãî ïóòåé. Ýòà òî÷êà áóäåò âòîðîé â íàøåì ïóòè.
Ðàññìîòðèì âñå ïóòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âûáðàííûå äâå
òî÷êè, – èõ áåñêîíå÷íî ìíîãî, è çíà÷èò, íà òðåòüåì ýòàæå
íàéäåòñÿ òî÷êà, ÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò áåñêîíå÷íî ìíîãî èç
íèõ. Âûáåðåì åå òðåòüåé. Êàæäûé ðàç ìû ñìîæåì äîñòðàèâàòü
íàø ïóòü, óâåëè÷èâàÿ åãî äëèíó, è â èòîãå ïîëó÷èòñÿ áåñêîíå÷íûé ïóòü.
4. Èìååòñÿ ÿçûê ñ êîíå÷íûì àëôàâèòîì. Ñëîâîì â
ýòîì ÿçûêå íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóêâ èç àëôàâèòà ýòîãî
ÿçûêà. ×àñòü ñëîâ (êîíå÷íîé äëèíû) â ÿçûêå – íåïðèëè÷íûå. Íàçîâåì ñëîâî àáñîëþòíî ïðèëè÷íûì, åñëè â
íåì íåò íåïðèëè÷íûõ ïîäñëîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò ñêîëü óãîäíî äëèííûå àáñîëþòíî ïðèëè÷íûå
ñëîâà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî äëèííîå àáñîëþòíî ïðèëè÷íîå ñëîâî.
Ïðåñëåäîâàíèÿ íà ïëîñêîñòè
5. Èãðà ïðîèñõîäèò íà ïëîñêîñòè. Èãðàþò äâîå:
ïåðâûé ïåðåäâèãàåò îäíó ôèøêó-âîëêà, âòîðîé – 99
ôèøåê-îâåö. Ïîñëå õîäà âîëêà õîäèò îäíà èç îâåö,
çàòåì ïîñëå ñëåäóþùåãî õîäà âîëêà – îïÿòü êàêàÿíèáóäü èç îâåö è ò.ä. È âîëê, è îâöû ïåðåäâèãàþòñÿ çà
îäèí õîä â ëþáóþ ñòîðîíó íå áîëåå ÷åì íà îäèí ìåòð.
Âåðíî ëè, ÷òî ïðè ëþáîé ïåðâîíà÷àëüíîé ïîçèöèè âîëê
ïîéìàåò õîòÿ áû îäíó îâöó (îêàæåòñÿ ñ íåé â îäíîé
òî÷êå)?
Îòâåò: íåâåðíî. Íàðèñóåì íà ïëîñêîñòè 100 ïàðàëëåëüíûõ
ïðÿìûõ òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ïðÿìûìè
ðàâíÿëîñü 3 ìåòðàì. Ðàçìåñòèì îâåö íà ðàçíûå ïðÿìûå,
êàæäàÿ â äàëüíåéøåì áóäåò äâèãàòüñÿ òîëüêî ïî ñâîåé ïðÿìîé. Âîëêà ïîìåñòèì íà ñîòóþ ïðÿìóþ.
Ïðèâåäåì àëãîðèòì ïîâåäåíèÿ îâåö, ïðè êîòîðîì ðàññòîÿíèå îò âîëêà äî ëþáîé îâöû ïåðåä õîäîì âîëêà âñåãäà áóäåò
áîëüøå ìåòðà. Åñëè ðàññòîÿíèå îò âîëêà äî êàæäîé èç îâåö
áîëüøå ìåòðà, äâèãàåì ëþáóþ îâöó (âäîëü åå ïðÿìîé) òàê,
÷òîáû îíà óäàëèëàñü îò âîëêà. Êàê òîëüêî âîëê ïðèáëèæàåòñÿ
ê êàêîé-òî èç îâåö íà ðàññòîÿíèå 1 ìåòð èëè áëèæå (òàêàÿ îâöà
ìîæåò áûòü ðîâíî îäíà), ñäâèãàåì îâöó ïî åå ïðÿìîé â îäíó
èç ñòîðîí íà 1 ìåòð òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó íåé è âîëêîì
ñòàëî áîëüøå ìåòðà.
6. Ãîðîä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íóþ êëåò÷àòóþ ïëîñêîñòü (ëèíèè – óëèöû, êëåòî÷êè – êâàðòàëû). Íà îäíîé èç óëèö ÷åðåç êàæäûå 100 êâàðòàëîâ íà
ïåðåêðåñòêàõ ñòîèò ïî ìèëèöèîíåðó. Ãäå-òî â ãîðîäå
åñòü áàíäèò (åãî ìåñòîíàõîæäåíèå íåèçâåñòíî, íî
ïåðåìåùàåòñÿ îí òîëüêî ïî óëèöàì). Öåëü ìèëèöèè –
óâèäåòü áàíäèòà. Åñòü ëè ó ìèëèöèè àëãîðèòì íàâåðíÿêà äîñòèãíóòü ñâîåé öåëè? Ìàêñèìàëüíûå ñêîðîñòè
ìèëèöèè è áàíäèòà – êàêèå-òî êîíå÷íûå, íî íåèçâåñòíûå íàì âåëè÷èíû (ó áàíäèòà ñêîðîñòü ìîæåò áûòü
áîëüøå, ÷åì ó ìèëèöèè). Ìèëèöèÿ âèäèò âäîëü óëèö âî
âñå ñòîðîíû íà áåñêîíå÷íîå ðàññòîÿíèå.
Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû ìèëèöèîíåðû ñòîÿëè íà óëèöå y = 0 â òî÷êàõ (0; 0), (100; 0), (–100; 0), (200;0),
(–200;0) è ò.ä. Ïóñòü ìèëèöèîíåðû, ñòîÿùèå â òî÷êàõ âèäà
(200k; 0), ãäå k = 0, ± 1, ± 2,K , îñòàíóòñÿ íà ìåñòå. Òîãäà
áàíäèò îêàæåòñÿ âíóòðè íåêîòîðîé ïîëîñû ìåæäó ïðÿìûìè
x = 200m è x = 200(m + 1); îí ñìîæåò äâèãàòüñÿ âíóòðè ýòî
ïîëîñû, íî íå ñìîæåò âûáðàòüñÿ çà åå ïðåäåëû.
Îñòàëüíûå ìèëèöèîíåðû (íàçîâåì èõ ïàòðóëüíûìè) ïóñòü
äâèæóòñÿ ïî óëèöå y = 0 â íàïðàâëåíèè òî÷êè (0; 0) äî
áëèæàéøåãî ê íåé ïåðåêðåñòêà, äî êîòîðîãî åùå íå äîõîäèë
íèêòî èç ïàòðóëüíûõ. Äîéäÿ äî ïåðåêðåñòêà (n; 0), ïàòðóëüíûé ñâîðà÷èâàåò íà ïåðïåíäèêóëÿðíóþ óëèöó è äâèæåòñÿ ïî
íåé äî òî÷êè (n; n) è òàì îñòàíàâëèâàåòñÿ.  ðåçóëüòàòå
ïîñòåïåííî ïàòðóëüíûå áóäóò çàíèìàòü âñå ïåðåêðåñòêè íà
ïðÿìîé y = x. Äîêàæèòå, ÷òî, äåéñòâóÿ òàêèì îáðàçîì,
ìèëèöèîíåðû ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñìîãóò óâèäåòü áàíäèòà.
7*.  ãîðîäå èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è òðîå ïîëèöåéñêèõ
ëîâÿò âîðà (ìåñòîíàõîæäåíèå âîðà íåèçâåñòíî, íî
ïåðåìåùàåòñÿ îí òîëüêî ïî óëèöàì). Ìàêñèìàëüíûå
ñêîðîñòè ó ïîëèöåéñêèõ è âîðà îäèíàêîâû. Âîð ñ÷èòàåòñÿ ïîéìàííûì, åñëè îí îêàçàëñÿ íà îäíîé óëèöå ñ
ïîëèöåéñêèì. Êàê ïîëèöåéñêèì ïîéìàòü âîðà?
Áåñêîíå÷íûå äåñÿòè÷íûå äðîáè
8. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû
äåâÿòè ÷èñåë, äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü êàæäîãî èç êîòîðûõ
ñîñòîèò òîëüêî èç öèôð 0 è 8.
Ëåãêî ïðåäñòàâèòü ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî â âèäå
ñóììû äåâÿòè ÷èñåë, çàïèñü êîòîðûõ ñîñòîèò òîëüêî èç íóëåé
è åäèíèö (ïðîâåðüòå). Òåïåðü ðåøèì èñõîäíóþ çàäà÷ó. Ïóñòü
íàì íàäî ïðåäñòàâèòü ÷èñëî a. Ïðåäñòàâèì ñíà÷àëà ÷èñëî
a/8 â âèäå ñóììû äåâÿòè ÷èñåë, çàïèñè êîòîðûõ ñîñòîÿò òîëüêî
èç íóëåé è åäèíèö, à çàòåì äîìíîæèì êàæäîå èç ýòèõ ÷èñåë íà
8 – ïîëó÷èì èñêîìûå 9 ÷èñåë, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà a.
9. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé
äðîáè ìîæíî òàê ïåðåñòàâèòü öèôðû, ÷òî ïîëó÷åííàÿ äðîáü ñòàíåò ïåðèîäè÷åñêîé (âîçìîæíî, ñ ïðåäïåðèîäîì).
Åñëè â çàïèñè äðîáè åñòü öèôðû, âñòðå÷àþùèåñÿ â ýòîé
çàïèñè êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, òî ïåðåíåñåì èõ âñå â íà÷àëî
(çàïèøåì ïîäðÿä ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé). Îñòàëüíûå öèôðû
âñòðå÷àþòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Ïóñòü ýòî, íàïðèìåð,
öèôðû 2, 5, 7 è 8. Òîãäà ìîæíî ïåðåíîñèòü èõ ïîñëåäîâàòåëüíî
â íà÷àëî òàê, ÷òîáû îíè øëè â ïîðÿäêå 257825782578...  èòîãå
ïîëó÷èòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü.
Ðîáîòû íà êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè
Ðîáîò – ýòî ìàøèíà ñ êîíå÷íîé ïàìÿòüþ, ñïîñîáíàÿ
âûïîëíÿòü ïðîãðàììó êîíå÷íîé äëèíû. Ó ðîáîòà åñòü
íåñêîëüêî ôëàæêîâ. Ðîáîò ìîæåò âûïîëíÿòü ñëåäóþ-
ùèå äåéñòâèÿ:
– ïîïàâ â êëåòêó, ïðîâåðèòü, åñòü ëè òàì ôëàæîê;
– ñäâèíóòüñÿ íà îäíó èç ñîñåäíèõ êëåòîê (íà ïëîñêîñòè – âëåâî, âïðàâî, ââåðõ, âíèç);
– óñòàíîâèòü èëè ñíÿòü ôëàæîê â êëåòêå, ãäå ðîáîò
íàõîäèòñÿ.
10. Ðîáîò ñ äâóìÿ ôëàæêàìè ñòîèò íà îäíîé èç
êëåòîê áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé ïîëîñêè øèðèíîé â
îäíó êëåòêó. Êàê åìó äåéñòâîâàòü, ÷òîáû îáîéòè âñþ
ïîëîñêó, ò.å. ïîáûâàòü íà êàæäîé åå êëåòêå õîòÿ áû
ðàç?
Ñòàâèì â êëåòêó ôëàæîê, ñäâèãàåìñÿ âëåâî, ñòàâèì â êëåòêó
âòîðîé ôëàæîê. Äàëåå äåéñòâóåì ïî î÷åíü ïðîñòîìó àëãîðèòìó: ñäâèãàåìñÿ âïðàâî, ïîêà íå äîéäåì äî ôëàæêà, ñíèìàåì
ôëàæîê, ñäâèãàåìñÿ åùå íà
êëåòêó âïðàâî, ñòàâèì ôëàæîê è äâèæåìñÿ âëåâî äî
ôëàæêà, ïåðåäâèãàåì åãî íà
êëåòêó âëåâî è âîçâðàùàåìñÿ â íà÷àëî àëãîðèòìà (äâèæåìñÿ
âïðàâî äî ôëàæêà è ò.ä.).
11. Êàê ðîáîòó ñ ÷åòûðüìÿ ôëàæêàìè îáîéòè
êëåò÷àòóþ ïëîñêîñòü? Ìîæíî ëè îáîéòèñü òðåìÿ
ôëàæêàìè?
Àëãîðèòì «îáõîäèòü ïëîñêîñòü ïî ñïèðàëè», ÷åðåäóÿ õîäû
âëåâî, ââåðõ, âïðàâî è âíèç, ïåðèîäè÷åñêè óâåëè÷èâàÿ äëèíó
õîäà íà 1 êëåòêó, íå ãîäèòñÿ: ðîáîòó ïðèäåòñÿ çàïîìèíàòü âñå
áóëüøèå è áóëüøèå ÷èñëà, à åãî ïàìÿòü êîíå÷íà.
Ðàñïîëîæèì ÷åòûðå ôëàæêà â êëåòêàõ êâàäðàòà 2 ´ 2 .
Äàëåå áóäåì «ðàñøèðÿòü» êâàäðàò, íàïðèìåð òàê. Ñäâèãàåì
ëåâûé âåðõíèé ôëàæîê âëåâî è
ââåðõ, èäåì èç ýòîé êëåòêè âïðàâî, ïðîâåðÿÿ, íåò ëè ïîä íàìè
ôëàæêà. Åñëè åñòü, ñäâèãàåì åãî
âïðàâî è ââåðõ, çàòåì èç ýòîé
êëåòêè èäåì âíèç, ïðîâåðÿÿ, íåò
ëè ñëåâà îò íàñ ôëàæêà, è òàê
äàëåå. Â ðåçóëüòàòå ìû áóäåì îáõîäèòü ïëîñêîñòü, äâèãàÿñü «ïî
ñïèðàëè».
Îêàçûâàåòñÿ, äîñòàòî÷íî äàæå òðåõ ôëàæêîâ (ïîäñêàçêà
èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå).
12. Ñìîæåò ëè ðîáîò îáîéòè êëåò÷àòîå òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, èìåÿ âñåãî òðè ôëàæêà?
13. Êàê ðîáîòó îáîéòè êëåò÷àòóþ ïîëóïëîñêîñòü,
èìåÿ âñåãî îäèí ôëàæîê? Ãðàíèöà ïîëóïëîñêîñòè
ÿâëÿåòñÿ ñòåíêîé. Èçíà÷àëüíî ðîáîò ñòîèò ó ñòåíêè. Ðîáîò âèäèò ñòåíêó, êîãäà îêàçûâàåòñÿ ðÿäîì ñ
íåé.
14. Íà ïëîñêîñòü âûñàäèëè äâóõ ñîâåðøåííî îäèíàêîâûõ ðîáîòîâ. Ó êàæäîãî åñòü íåñêîëüêî ôëàæêîâ.
Ðîáîò îòëè÷àåò ñâîè ôëàæêè îò ÷óæèõ. Êàê èì
âñòðåòèòüñÿ? Ïðîãðàììû ó íèõ äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè.
Åñëè áû ó ðîáîòîâ ìîãëè áûòü ðàçíûå ïðîãðàììû, òî
îðãàíèçîâàòü âñòðå÷ó áûëî áû ëåãêî: îäèí ðîáîò ñòîèò íà
ìåñòå, à äðóãîé îáõîäèò ïëîñêîñòü, èñïîëüçóÿ òðè ôëàæêà. Íî
ðîáîòû ñäåëàíû íà îäíîì êîíâåéåðå, è ïðîãðàììû ïîâåäåíèÿ
ó íèõ îäèíàêîâûå. Ïîïðîáóéòå ïðèäóìàòü ïðîãðàììó, ïîçâîëÿþùóþ ðîáîòàì âñòðåòèòüñÿ, èñïîëüçóÿ êàê ìîæíî ìåíüøå
ôëàæêîâ.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèëè
Ñ.Äîðè÷åíêî, À.Íèêîëàåâ
!"
ÊÂÀÍT 2008/¹6
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 29)
ïîëó÷àåì
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ôîðìóëû (8) ðàññìîòðèì çàäàâàåìîå åþ
÷èñëî ϕ (ìû ïîêà íå çíàåì, ÷òî ýòî è åñòü çîëîòîå ñå÷åíèå,
à ëèøü áóäåì ýòî äîêàçûâàòü). Çàìåòèì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè
ôîðìóëû ïîä çíàêîì êîðíÿ ñòîèò ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ –
åäèíèöû è âûðàæåíèÿ, ñîâïàäàþùåãî ñî âñåé ïðàâîé ÷àñòüþ
ôîðìóëû. Îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ϕ = 1 + ϕ , ëåãêî
ñâîäÿùååñÿ ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ (3). Íàì ïîäõîäèò
ëèøü ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìîå ÷èñëî ϕ è åñòü çîëîòîå ñå÷åíèå. Àíàëî1
ãè÷íî, ôîðìóëà (9) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ϕ = 1 + , êîòîϕ
ðîå îïÿòü æå ïðèâîäèò íàñ ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ (3). À
çíà÷èò, ÷èñëî ϕ , îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (9), òàêæå ðàâíî
çîëîòîìó ñå÷åíèþ.
Êîíå÷íî æå, ïðèâåäåííûå â ïðåäûäóùåì àáçàöå ðàññóæäåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ âïîëíå ñòðîãèìè. ×òîáû èçáàâèòüñÿ îò ýòîãî
íåäîñòàòêà è ïðèäàòü èì ñòðîãîñòü, íóæíî ïðåæäå âñåãî
îïðåäåëèòü, ÷òî îçíà÷àþò áåñêîíå÷íûå âûðàæåíèÿ â ïðàâûõ
÷àñòÿõ ôîðìóë (8) è (9). Ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû (8) – ýòî,
ïî îïðåäåëåíèþ, ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
an = 1 + 1 + K + 1 .
14442444
3
(10)
n êîðíåé
Îíà çàäàåòñÿ ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèåì
a1 = 1 , an = 1 + an -1 .
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ϕ = 1 + ϕ âîçíèêàåò êàê ïåðåõîä ê ïðåäåëó â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðåêóððåíòíîãî
ñîîòíîøåíèÿ. Òàêîé ïåðåõîä äîïóñòèì, åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ. Òî æå ñàìîå êàñàåòñÿ è
ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9), îçíà÷àþùåé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
bn = 1 +
1
1+
1+
1
1
O
+
n «ýòàæåé»,
(11)
1
1
êîòîðàÿ ìîæåò áûòü çàäàíà ðåêóððåíòíî:
b1 = 1 , bn = 1 +
1
.
bn -1
Ïåðåõîä ê ïðåäåëó â ýòîì ñîîòíîøåíèè ïðèâîäèò íàñ ê
1
óðàâíåíèþ ϕ = 1 + . Îáå ðàññìàòðèâàåìûå ïîñëåäîâàòåëüϕ
íîñòè ñîñòîÿò èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ïîýòîìó èñêîìûé
ïðåäåë íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, à çíà÷èò, ìîæíî
îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ëèøü íåîòðèöàòåëüíûõ êîðíåé
óðàâíåíèé. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë (8) è
(9) îñòàëîñü ëèøü äîêàçàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (10) è (11) ñõîäÿòñÿ. Îñòàâèì ýòî â êà÷åñòâå
óïðàæíåíèÿ äëÿ ÷èòàòåëåé, çíàêîìûõ ñ òåîðåìîé Áîëüöàíî–
Âåéåðøòðàññà.
Íàïîñëåäîê äîêàæåì, ÷òî îòíîøåíèå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è ñòðåìèòñÿ ê çîëîòîìó ñå÷åíèþ. Ïðèϕ
< 1,
ìåíÿÿ ôîðìóëó Áèíý è âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî
ϕ
fn +1
ϕn +1 - ϕn +1
= lim
= ϕ × lim
n ®¥ fn
n ®¥ ϕn - ϕn
n ®¥
lim
æ ϕö
1- ç ÷
è ϕø
n +1
æ ϕö
1- ç ÷
è ϕø
n
= ϕ.
Áîëåå ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ î ÷èñëàõ Ôèáîíà÷÷è ìîæíî ïî÷åðïíóòü â êíèãå Í.Í.Âîðîáüåâà [1]. Ñîâåòóåì òàêæå
ïðî÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ãëàâû èç êíèã çàìå÷àòåëüíîãî
ïîïóëÿðèçàòîðà ìàòåìàòèêè Ìàðòèíà Ãàðäíåðà [2, 3] è ïîñâÿùåííóþ çîëîòîìó ñå÷åíèþ ãëàâó èç êëàññè÷åñêîé êíèãè
Ãàðîëüäà Êîêñòåðà [4].
Óïðàæíåíèÿ
1. Îáîñíóéòå ñëåäóþùèé ñïîñîá äåëåíèÿ îòðåçêà AB â êðàéíåì è ñðåäíåì îòíîøåíèè ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè
(ðèñ.6). Íà ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó AB â òî÷êå B
îòêëàäûâàåòñÿ îòðåçîê BC,
ðàâíûé ïîëîâèíå îòðåçêà
AB. Òî÷êè A è C ñîåäèíÿþòñÿ îòðåçêîì è íà íåì
îòêëàäûâàåòñÿ îòðåçîê CK,
ðàâíûé CB. Íà îòðåçêå AB
îòêëàäûâàåòñÿ îòðåçîê AM,
ðàâíûé AK. Òî÷êà M ÿâëÿ- Ðèñ. 6
åòñÿ èñêîìîé.
2. Îáîñíóéòå ñëåäóþùèé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî
ïÿòèóãîëüíèêà ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè (ðèñ.7).  îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì O ïðîâîäèòñÿ äèàìåòð BC è ïåðïåíäèêóëÿðíûé åìó ðàäèóñ OA. Äàëåå ðàäèóñ OB äåëèòñÿ ïîïîëàì òî÷êîé D. Íà îòðåçêå
DC îòêëàäûâàåòñÿ îòðåçîê
DE, ðàâíûé DA. Îòðåçîê AE
ðàâåí ñòîðîíå ïðàâèëüíîãî
ïÿòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â
èñõîäíóþ îêðóæíîñòü. Îñòàëîñü îòëîæèòü åãî ïîñëåäîâàòåëüíî ïÿòü ðàç â âèäå õîðä
Ðèñ. 7
èñõîäíîé îêðóæíîñòè.
3. Ïåðå÷èñëèòå âñå ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè, êîòîðûå
ìîæíî ðàçðåçàòü íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêà.
4. Äîêàæèòå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà, ÷òî
ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû Áèíý ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì ïðè ëþáîì n.
5. Íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé, íà÷èíàÿ ñ òðåòüåãî, ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäûäóùèõ (à ïåðâûå äâà
÷ëåíà ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè), îáîáùåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Ôèáîíà÷÷è. Íàéäèòå ôîðìóëó, âûðàæàþùóþ ïðîèçâîëüíûé ÷ëåí îáîáùåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ôèáîíà÷÷è ÷åðåç åå íîìåð n è äâà ïåðâûõ ÷ëåíà a è b.
6. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (10) è (11) ñõîäÿòñÿ.
7. Äîêàæèòå, ÷òî îáùèé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (11) ìîæåò
f
áûòü çàïèñàí â âèäå bn = n +1 .
fn
Ëèòåðàòóðà
1. Í.Í.Âîðîáüåâ. ×èñëà Ôèáîíà÷÷è. (Ì.: Íàóêà, 1992)
2. Ì.Ãàðäíåð. Ìàòåìàòè÷åñêèå ãîëîâîëîìêè è ðàçâëå÷åíèÿ.
Ãëàâà 23: ×èñëî ϕ – çîëîòîå ñå÷åíèå. (Ì.: Ìèð, 1999)
3. Ì.Ãàðäíåð. Ìàòåìàòè÷åñêèå íîâåëëû. Ãëàâà 32: ×èñëà Ôèáîíà÷÷è. (Ì.: Ìèð, 2000)
4. Ã.Ñ.Ì.Êîêñòåð. Ââåäåíèå â ãåîìåòðèþ. Ãëàâà 11: Çîëîòîå
ñå÷åíèå è ôèëëîòàêñèñ. (Ì.: Íàóêà, 1966)
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Äâèæåíèå
ïðîâîäíèêà
â ìàãíèòíîì
ïîëå
ïîëüçîâàòü ïåðâûé ïîäõîä, â äðóãèõ îäèíàêîâî óäîáíû îáà
ïîäõîäà, íî â ðÿäå ñëó÷àåâ, êàê ìû óáåäèìñÿ, âòîðîé ïîäõîä
èìååò ñóùåñòâåííîå ïðåèìóùåñòâî.
Çàäà÷à 1. Ìåäíîå êîëüöî ðàäèóñîì r = 5 ñì ïîìåùàþò â
îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 8 ìÒë ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì èíäóêöèè. Êàêîé çàðÿä ïðîéäåò ïî
êîëüöó, åñëè åãî ïîâåðíóòü íà 180° âîêðóã îñè, ñîâïàäàþùåé
ñ åãî äèàìåòðîì? Ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû êîëüöà
ρl = 2 ìÎì/ì.
Ðåøåíèå. Ýòó çàäà÷ó íàäî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû
BS (íîðìàëü
(1). Íà÷àëüíûé ìàãíèòíûé
ur ïîòîê ðàâåí Φ1 =
âûáðàíà âäîëü âåêòîðà B ), êîíå÷íûé ïîòîê ñîñòàâëÿåò
Φ 2 = - BS , è ïðîøåäøèé çàðÿä âû÷èñëÿåòñÿ òàê:
q = Iñð ∆t =
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
Ç
ÀÊÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÉ ÈÍÄÓÊÖÈÈ ÓÒÂÅÐÆÄÀÅÒ,
÷òî ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (ÝÄÑ) èíäóêöèè â êîíòóðå
âîçíèêàåò ïðè ëþáîì èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç
êîíòóð è ïî ìîäóëþ ðàâíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî
ïîòîêà:
- èíä = -
∆Φ
= -Φ ¢ t .
∆t
(1)
Çíàê «ìèíóñ» ôîðìàëüíî îòðàæàåò ïðàâèëî Ëåíöà äëÿ
îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ÝÄÑ èíäóêöèè (òî÷íåå – èíäóêöèîííîãî òîêà) è èìååò ïðàêòè÷åñêèé ñìûñë òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, åñëè êîíòóð ïðåäâàðèòåëüíî îðèåíòèðîâàí, ò.å. âçàèìîñâÿçàííî îïðåäåëåíû ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íîðìàëè ê êîíòóðó è ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå åãî îáõîäà.
Ñëîâà «ïðè ëþáîì èçìåíåíèè» âûäåëåíû äëÿ òîãî, ÷òîáû
ïîä÷åðêíóòü óíèâåðñàëüíîñòü ôîðìóëû (1): îíà äàåò ïðàâèëüíûé îòâåò â äâóõ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ.
Ïåðâûé ñëó÷àé: êîíòóð íåïîäâèæåí, ìàãíèòíîå ïîëå çàâèñèò îò âðåìåíè.  ýòîé ñèòóàöèè ðîëü ñòîðîííåé ñèëû,
ïðèâîäÿùåé â äâèæåíèå çàðÿäû â êîíòóðå, èãðàåò ñèëà ñî
ñòîðîíû âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, êîòîðîå âîçíèêàåò
ïðè ëþáîì èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñî âðåìåíåì.
Âòîðîé ñëó÷àé: ìàãíèòíîå ïîëå íå ìåíÿåòñÿ, ìàãíèòíûé
ïîòîê èçìåíÿåòñÿ çà ñ÷åò ïåðåìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå âñåãî
êîíòóðà èëè åãî ÷àñòåé.  òàêîé ñèòóàöèè ðîëü ñòîðîííåé
ñèëû âûïîëíÿåò ñèëà Ëîðåíöà, äåéñòâóþùàÿ íà ñâîáîäíûå
çàðÿäû ïðîâîäíèêà ïðè åãî äâèæåíèè.
Óíèâåðñàëüíîñòü ôîðìóëû (1) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðèíöèïà
îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà. Ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â äðóãóþ ìåíÿåòñÿ ñîñòàâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ò.å. ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì
ïîëÿìè, íî èíäóêöèîííûé òîê â êîíòóðå íàáëþäàåòñÿ â ëþáîì
ñëó÷àå.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîâîäÿùåå êîëüöî,
êîòîðîå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ïðèáëèæàåòñÿ ê íåïîäâèæíîìó
ìàãíèòó. Ñ òî÷êè çðåíèÿ íåïîäâèæíîãî íàáëþäàòåëÿ, òîê â
êîëüöå âîçíèêàåò ïîä äåéñòâèåì òîëüêî ñèë Ëîðåíöà. Åñëè æå
ïåðåéòè â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ êîëüöîì, òî èíäóêöèîííûé òîê ñîçäàåòñÿ òîëüêî âèõðåâûì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì (ñèëà
Ëîðåíöà íà íåïîäâèæíûå çàðÿäû íå äåéñòâóåò).
 ýòîé ñòàòüå ìû ðàññìîòðèì çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñî âòîðûì
ñëó÷àåì, ò.å. ñ äâèæåíèåì ïðîâîäíèêîâ â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû èíäóêöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ôîðìóëó (1), òàê è ïðÿìîå
îïðåäåëåíèå ÝÄÑ ÷åðåç ðàáîòó ñòîðîííèõ ñèë, ò.å. â äàííîì
ñëó÷àå ñèëû Ëîðåíöà.  íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ íóæíî èñ-
- ñð
R
∆t = -
∆Φ ∆t
∆Φ
2BS
= =
∆t R
R
R
-
(ìû ïðèìåíèëè çàêîí Îìà äëÿ ïîëíîé öåïè I =
). ÏîäR
ñòàâëÿÿ S = πr 2 , R = ρl × 2πr , ïîëó÷èì
Br
= 200 ìÊë .
q=
ρl
Çàäà÷à 2. Ñòîðîíà ïðÿìîóãîëüíîãî êàðêàñà, èìåþùàÿ
äëèíó l = 10 ñì, ñêîëüçèò ñî ñêîðîñòüþ v = 1 ì/ñ ïî äâóì
äðóãèì ñòîðîíàì, îñòàâàÿñü ñ íèìè â ýëåêòðè÷åñêîì êîíòàêòå. Ïëîñêîñòü ïðÿìîóãîëüíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíà ëèíèÿì èíäóêöèè îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B = 0,01 Òë.
Íàéäèòå ñèëó òîêà â ïðÿìîóãîëüíèêå ÷åðåç t = 0,9 ñ ïîñëå
íà÷àëà äâèæåíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû ïðîâîäà
ρl = 1 Îì/ì.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà íóëþ.
Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å ÝÄÑ èíäóêöèè îäèíàêîâî ïðîñòî
ïîëó÷èòü è èç ôîðìóëû (1), è ÷åðåç ñèëó Ëîðåíöà.ur
Íàïðàâèâ ïîëîæèòåëüíóþ íîðìàëü âäîëü âåêòîðà B (ðèñ.
1), ïîëó÷èì Φ = Blx , ∆Φ = Bl ∆x , îòêóäà
∆Φ
∆x
- èíä = = - Bl
= - Bvl .
∆t
∆t
Çíàê «ìèíóñ» ïîçâîëÿåò íàéòè íàïðàâëåíèå ÝÄÑ – ïðîòèâ
ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îáõîäà (ñì. ðèñ.1). Âåëè÷èíó
òîêà â êîíòóðå íàõîäèì èç çàêîíà Îìà äëÿ ïîëíîé öåïè
I = - R , ãäå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà â äàííûé ìîìåíò
âðåìåíè ðàâíî R = ρl 2l + 2vt . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
I=
Bvl
=
ρl 2l + 2vt = 500 ìêÀ.
Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê
íàõîäèòü ÝÄÑ èíäóêöèè
ïðÿìî èç îïðåäåëåíèÿ –
÷åðåç ðàáîòó ñòîðîííèõ
Ðèñ. 1
(íå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ)
ñèë ïî ïåðåíîñó åäèíè÷íîãî ïðîáíîãî çàðÿäà.  äàííîì
ñëó÷àå ñòîðîííÿÿ ñèëà – ýòî ñèëà Ëîðåíöà, âîçíèêàþùàÿ çà
ñ÷åò äâèæåíèÿ çàðÿäîâ âìåñòå ñ ïðîâîäíèêîì:
- èíä =
Añòîð
q
=
qvB l
q
= Bvl .
(2)
Âèäèì, ÷òî ìîäóëü ÝÄÑ ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì âûøå.
Ñîâïàäàþò è íàïðàâëåíèÿ èíäóêöèîííîãî òîêà: îíî â äàííîì
ïîäõîäå îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñèëû Ëîðåíöà, êîòîðîå
íàõîäèòñÿ ìãíîâåííî (áåç íåîáõîäèìîñòè îðèåíòèðîâàòü
êîíòóð è âûáèðàòü íîðìàëü).
Îñíîâíîå ïðåèìóùåñòâî âòîðîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â òîì,
÷òî îí ïîçâîëÿåò åñòåñòâåííûì îáðàçîì âû÷èñëÿòü ÝÄÑ
!$
ÊÂÀÍT 2008/¹6
èíäóêöèè â èçîëèðîâàííîì ïðîâîäíèêå, äâèæóùåìñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå. Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû (1) çàòðóäíÿåòñÿ òåì,
÷òî èíîãäà â çàäà÷å îòñóòñòâóåò êîíòóð èç ïðîâîäíèêîâ è
ïðèõîäèòñÿ ââîäèòü âîîáðàæàåìûé «çàìåòàåìûé» êîíòóð.
Âûâîä ôîðìóëû (2) ñâîáîäåí îò ýòèõ íåäîñòàòêîâ. Áîëåå
òîãî, ýòîò ïîäõîä ïîçâîëÿåò ëåãêî ðàçîáðàòüñÿ ñ âû÷èñëåíèåì ÝÄÑ èíäóêöèè ïðè ïðîèçâîëüíîì âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ïðîâîäíèêà, âåêòîðà åãî ñêîðîñòè (ïðè ïîñòóïàòåëüíîì
äâèæåíèè ïðîâîäíèêà) è âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ïîñêîëüêó â ðàáîòó ñèëû Ëîðåíöà âîéäåò òîëüêî åå ñîñòàâëÿr ur
þùàÿ, íàïðàâëåííàÿ âäîëü ïðîâîäíèêà, òî ó âåêòîðîâ v è B
íàäî îñòàâèòü òîëüêî ñîñòàâëÿþùèå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê
ïðîâîäíèêó. Åñëè óãîë ìåæäó ýòèìè ñîñòàâëÿþùèìè ðàâåí
α , òî
qv^ B^ sin α l = B v l sin α
- èíä =
.
(3)
^ ^
q
Çàäà÷à 3. Ñàìîëåò ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ
v = 900 êì/÷. Íàéäèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, âîçíèêàþùóþ ìåæäó êîíöàìè åãî êðûëüåâ, åñëè âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè Bâåðò =
= 50 ìêÒë, à ðàçìàõ êðûëüåâ l = 12 ì.
Ðåøåíèå. Èçîëèðîâàííûé ïðîâîäíèê, äâèæóùèéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, íàäî ðàññìàòðèâàòü êàê èñòî÷íèê â ðàçîìêíóòîé öåïè, à ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà çàæèìàõ òàêîãî èñòî÷íèêà ðàâíà åãî ÝÄÑ. Áîëåå ïîäðîáíî: ñòîðîííèå ñèëû (ñèëà
Ëîðåíöà) âûçûâàþò ïåðåìåùåíèå ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ äî òåõ
ïîð, ïîêà âîçíèêøåå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ðàçäåëåííûõ
çàðÿäîâ íå óðàâíîâåñèò äåéñòâèå ñòîðîííèõ ñèë. Ïîñêîëüêó
êðûëüÿ ñàìîëåòà è åãî ñêîðîñòü ãîðèçîíòàëüíû, òî îñòàåòñÿ
òîëüêî âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bâåðò
(â ôîðìóëå (3) B^ sin α = Bâåðò ). Ïîëó÷àåì
∆ϕ = Bâåðòvl = 150 ìÂ.
Ïîäõîä ñ ñèëîé Ëîðåíöà ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ÝÄÑ èíäóêöèè è ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íå òîëüêî ïðè ïîñòóïàòåëüíîì,
íî è ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè ïðîâîäíèêà.
Çàäà÷à 4. Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ íàäî âðàùàòü
ïðÿìîé ïðîâîäíèê âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îäèí åãî
êîíåö, â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ëèíèÿì îäíîðîäíîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ èíäóêöèåé B = 0,2 Òë, ÷òîáû â ïðîâîäíèêå âîçíèêëà ÝÄÑ èíäóêöèè - èíä = 0,3 Â? Äëèíà ïðîâîäíèêà l = 20 ñì.
Ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå ñèëà Ëîðåíöà, äåéñòâóþùàÿ íà
ïðîáíûé çàðÿä q, çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ x äî îñè âðàùåíèÿ:
FË = qvB = qωxB ,
íî ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü ëèíåéíàÿ, òî ðàáîòà ýòîé ñèëû
âäîëü ïðîâîäíèêà ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ:
1
Añòîð = 0 + qωlB l .
2
Òîãäà ÝÄÑ èíäóêöèè, âîçíèêàþùàÿ â ïðîâîäíèêå, ðàâíà
- èíä =
îòêóäà
ω=
Añòîð
q
2- èíä
l2 B
=
1
Bωl 2 ,
2
= 75 ðàä ñ .
Íàèáîëåå âàæíîå ïðåèìóùåñòâî ïîäõîäà ñ âû÷èñëåíèåì
- èíä ÷åðåç ñèëó Ëîðåíöà ïðîÿâëÿåòñÿ â çàäà÷àõ ñ ðàçâåòâ-
ëåííîé ñõåìîé, ãäå äâèæóùèéñÿ ïðîâîäíèê âõîäèò íå â îäèí,
à, ñêàæåì, â äâà êîíòóðà.
Çàäà÷à 5. Èç ïðîâîëîêè, ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû
êîòîðîé ρl = 0,1 Îì/ì, ñäåëàëè êâàäðàò è ïîìåñòèëè åãî
â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 4 ìÒë
ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì ïîëÿ. Ïî äâóì ïðîòèâîïîëîæíûì
ñòîðîíàì êâàäðàòà ñêîëüçèò ñî ñêîðîñòüþ v = 0,3 ì/ñ
ïåðåìû÷êà èç òàêîé æå ïðîâîëîêè, îñòàâàÿñü ïàðàëëåëüíîé
äâóì äðóãèì ñòîðîíàì. ×åìó ðàâåí òîê ÷åðåç ïåðåìû÷êó â
òîò ìîìåíò, êîãäà îíà äåëèò êâàäðàò ïîïîëàì?
Ðåøåíèå. Ïðè ïîïûòêå èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (1) ìû
ñòàëêèâàåìñÿ ñ òåì, ÷òî - èíä êàêèì-òî îáðàçîì (ôîðìóëà íå
êîíêðåòèçèðóåò) ðàñïðåäåëåíà êàê â ëåâîì, òàê è â ïðàâîì
êîíòóðå (ðèñ.2,à), êîòîðûå èìåþò îáùåå ñîïðîòèâëåíèå –
äâèæóùóþñÿ ïåðåìû÷êó. Íàðèñîâàòü â ýòèõ óñëîâèÿõ ýêâèâàëåíòíóþ ñõåìó äëÿ ðàñ÷åòà òîêîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì.
Ðèñ. 2
Íàïðîòèâ, ïðè âòîðîì ïîäõîäå ìû çíàåì, ÷òî ñòîðîííèå
ñèëû è - èíä ëîêàëèçîâàíû òîëüêî â äâèæóùåéñÿ ïåðåìû÷êå,
à â îñòàëüíûõ ÷àñòÿõ êîíòóðà ñòîðîííèå ñèëû îòñóòñòâóþò.
Ýòî ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî ñîñòàâèòü ýêâèâàëåíòíóþ ñõåìó
(ðèñ.2,á), â êîòîðîé - èíä = Bva , r = ρl a , R1 = R2 = ρl × 2a ,
ãäå à – ñòîðîíà êâàäðàòà. Ïîëíîå âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå
ðàâíî R = R1R2 R1 + R2 = ρl a , è òîê ÷åðåç ïåðåìû÷êó (÷åðåç èñòî÷íèê) ðàâåí
I=
- èíä
r+R
=
Bva
Bv
=
= 6 ìÀ.
ρl a + ρl a 2ρl
Âû÷èñëåíèå ÝÄÑ èíäóêöèè ÷åðåç ñèëó Ëîðåíöà îáëàäàåò
åùå îäíèì âàæíûì ïðåèìóùåñòâîì. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò
ïðèìåíèòü ýíåðãåòè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ, îïèðàþùèåñÿ íà
î÷åíü ïðîñòîå ñâîéñòâî ñèëû Ëîðåíöà: ïîñêîëüêó ýòà ñèëà
ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêîðîñòè çàðÿäà, ïîëíàÿ ðàáîòà ñèë Ëîðåíöà íàä âñåìè çàðÿäàìè ïðîâîäíèêà ðàâíà íóëþ. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî ðàáîòà ïîñòîÿííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàä çàðÿäàìè â çàìêíóòîì êîíòóðå â êà÷åñòâå ñòîðîííåé ñèëû òî÷íî
ðàâíà ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíà ïî çíàêó ìåõàíè÷åñêîé
ðàáîòå ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñèëû Àìïåðà) íàä äâèæóùèìñÿ
ïðîâîäíèêîì ñ òîêîì.
Çàäà÷à 6. Äëèííóþ ïðîâîëîêó ñîãíóëè ïîä óãëîì α
òàêèì, ÷òî sin α = 0,6, è ïîìåñòèëè â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 0,1 Òë ïåðïåíäèêóëÿðíî
ëèíèÿì ïîëÿ. Âäîëü ñòîðîí óãëà ðàâíîìåðíî ïåðåìåùàþò
ïåðåìû÷êó èç òàêîé æå ïðîâîëîêè òàê, ÷òî îíà âñå âðåìÿ
îáðàçóåò ïðÿìîé óãîë ñ îäíîé èç åãî ñòîðîí.  íà÷àëüíûé
ìîìåíò ïåðåìû÷êà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè x1 = 0,2 ì,
à ÷åðåç âðåìÿ t = 1 ñ – íà ðàññòîÿíèè x2 = 0,6 ì îò
âåðøèíû óãëà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèëîñü â
ñèñòåìå çà ýòî âðåìÿ?
Ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû
äëèíû ïðîâîëîêè ρl =
= 0,01 Îì/ì.
Ðåøåíèå. Íà÷íåì ñ
òîãî, ÷òî âû÷èñëèì òîê â
êîíòóðå. Åñëè â êàêîé-òî
ìîìåíò ïåðåìû÷êà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè x îò
âåðøèíû óãëà (ðèñ.3), òî Ðèñ. 3
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
äëèíà ïåðåìû÷êè ìåæäó òî÷êàìè êîíòàêòà ðàâíà l = x tg α ,
îòêóäà äëÿ ÝÄÑ èíäóêöèè ïîëó÷àåì
- èíä = Bvl = Bvx tg α ,
ãäå v = x2 - x1 t . Ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà â ýòîò æå ìîìåíò
ðàâíî
x ö
æ
R = ρl ç x + x tg α +
÷.
è
cos α ø
Âèäíî, ÷òî ñèëà òîêà â öåïè
- èíä
Bv sin α
Bv tg α
=1A
=
1 ö
ρl 1 + sin α + cos α æ
ρl ç1 + tg α +
÷
è
cos α ø
íå çàâèñèò îò x, ò.å. îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.
Òåïëîâàÿ ìîùíîñòü P = I2 R ëèíåéíî çàâèñèò îò x, à
çíà÷èò, è îò t. Ýòî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü âûäåëèâøååñÿ òåïëî
â ëîá, èñïîëüçóÿ ãðàôèê çàâèñèìîñòè P(t) (èëè èíòåãðèðóÿ). Ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî, ìû æå ïîéäåì
íåñêîëüêî èíûì ïóòåì.
Ïîñêîëüêó âûäåëèâøååñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû (òî÷íåå,
óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû) ðàâíî ðàáîòå ñòîðîííèõ ñèë, à ýòà ðàáîòà, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíà ðàáîòå ñèëû
Àìïåðà (ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì), òî ìîæíî âìåñòî
êîëè÷åñòâà òåïëîòû âû÷èñëèòü ìåõàíè÷åñêóþ ðàáîòó. Ñèëà
Àìïåðà
FA = IBl = IBx tg α
I=
R
=
ëèíåéíî çàâèñèò îò x, ïîýòîìó åå ðàáîòà (ïî ìîäóëþ) ðàâíà
1
1
A = F1 + F2 x2 - x1 = IB tg α × x22 - x12 = 12 ìÄæ .
2
2
Çàäà÷à 7. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå
ìàãíèòíîå ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ïëîñêîñòè ðàìêè, äâèæåòñÿ áåç òðåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v = 2 ì/ñ
ïåðåìû÷êà, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé R = 2 Îì. Ê ïåðåìû÷êå ïðèëîæåíà ñèëà F = 4 Í. Íàéäèòå ñèëó òîêà â ïåðåìû÷êå. Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü. Ñèëó òÿæåñòè íå
ó÷èòûâàòü.
Ðåøåíèå. Íà ïåðåìû÷êó, êðîìå âíåøíåé ñèëû F, äåéñòâóåò ñèëà Àìïåðà FA , íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ äâèæåíèÿ. Ýòî
ìîæíî ïðîâåðèòü â ëîá, íàéäÿ íàïðàâëåíèå ñèëû Ëîðåíöà â
ïåðåìû÷êå è òåì ñàìûì íàïðàâëåíèå ñèëû òîêà (ñäåëàéòå
ýòî), ìû æå ïðèâåäåì ýíåðãåòè÷åñêèé àðãóìåíò. Ïîñêîëüêó
ðàáîòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êà÷åñòâå ÝÄÑ êîíòóðà ïîëîæèòåëüíà (äðóãèõ ÝÄÑ íåò), òî ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ îòðèöàòåëüíà (åùå ðàç íàïîìíèì, ÷òî ïîëíàÿ ðàáîòà
ñèë Ëîðåíöà ðàâíà íóëþ). Çíà÷èò, ñèëà Àìïåðà íàïðàâëåíà
ïðîòèâ äâèæåíèÿ.
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ïåðåìû÷êè èìååò âèä
F - FA = 0 ,
ãäå
ëÿåò îñóùåñòâèòü ïðåîáðàçîâàíèå ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû â
ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà.
Çàäà÷à 8. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ïîä óãëîì
α = 30° ê ãîðèçîíòó è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü áåç òðåíèÿ
ïåðåìû÷êà ìàññîé m = 30 ã. Äëèíà ïåðåìû÷êè l = 10 ñì, åå
ñîïðîòèâëåíèå R = 1 ìÎì, èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ B =
= 0,1 Òë. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ
ïåðåìû÷êè. Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ðàâíîìåðíî
äâèæóùåéñÿ ïåðåìû÷êè (ðèñ.4) â ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå
ñêîðîñòè:
mg sin α - FA cos α = 0 ,
ôîðìóëó äëÿ ñèëû Àìïåðà:
FA = IBl ,
çàêîí Îìà äëÿ ïîëíîé
öåïè:
I=
- èíä
R
è ôîðìóëó äëÿ ÝÄÑ èíäóêöèè:
I=
Èç ýòèõ óðàâíåíèé íàéäåì
mgR sin α
v= 22
= 2 ì/ñ.
B l cos2 α
Ðàçáåðåì òåïåðü ïðèìåð, êîãäà òîê â êîíòóðå îïðåäåëÿåòñÿ
ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ è äîïîëíèòåëüíîãî
èñòî÷íèêà.
Çàäà÷à 9. Çàìêíóòûé êîíòóð îáðàçîâàí äâóìÿ âåðòèêàëüíûìè ðåéêàìè, ìåæäó íèæíèìè êîíöàìè êîòîðûõ âêëþ÷åí èñòî÷íèê òîêà ñ ÝÄÑ - = 60 ì è âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì r = 1 ìÎì, à âåðõíèå êîíöû çàìêíóòû
ïåðåìû÷êîé äëèíîé l = 10 ñì è ìàññîé m = 10 ã. Êîíòóð
íàõîäèòñÿ â ïåðïåíäèêóëÿðíîì åãî ïëîñêîñòè îäíîðîäíîì
ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 0,1 Òë. Êîãäà ïåðåìû÷êó
îñâîáîæäàþò, îíà íà÷èíàåò îïóñêàòüñÿ. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì ðååê è ïåðåìû÷êè, à òàêæå òðåíèåì, íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè.
Ðåøåíèå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèëà òîêà îïðåäåëÿåòñÿ
òîëüêî èñòî÷íèêîì: I0 = - r . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîò
ìîìåíò âåëè÷èíà ñèëû Àìïåðà FA0 = I0 Bl = -Bl r = 0,6 Í
áîëüøå ñèëû òÿæåñòè mg = 0,1 Í. Â óñëîâèè ñêàçàíî, ÷òî
ïåðåìû÷êà ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ ñòàëà îïóñêàòüñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, èñòî÷íèê âêëþ÷åí òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñèëà Àìïåðà
â íà÷àëüíûé ìîìåíò íàïðàâëåíà âíèç (ðèñ.5,à).
- èíä
I2 R = Fv, è I =
Fv
= 2 À.
R
Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî íàïèñàííîå ñëåâà ñîîòíîøåíèå èìååò ïðîñòîé ýíåðãåòè÷åñêèé ñìûñë è, ïîäóìàâ íåìíîãî, åãî ìîæíî áûëî áû íàïèñàòü ñðàçó. Òåïëîâàÿ ìîùíîñòü
òîêà ðàâíà ìîùíîñòè ñòîðîííèõ ñèë (ñèë Ëîðåíöà), à òà, â
ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíà ìîùíîñòè ñèëû Àìïåðà (ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì), êîòîðàÿ ðàâíà ìîùíîñòè âíåøíåé ñèëû F.
Èíûìè ñëîâàìè, ìàãíèòíîå ïîëå, íå ñîâåðøàÿ ðàáîòó, ïîçâî-
Ðèñ. 4
- èíä = Bvl sin 90o + α = Bvl cos α .
Bvl
=
.
R
R
Èñêëþ÷àÿ ëèøíèå ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì
FA = IBl,
!%
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ðèñ. 5
!&
ÊÂÀÍT 2008/¹6
Ñ óâåëè÷åíèåì ñêîðîñòè ïåðåìû÷êè ðàñòåò ÝÄÑ èíäóêöèè, íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâ òîêà (ïîëíàÿ ìîùíîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà íóëþ). Êîãäà ÝÄÑ èíäóêöèè ñðàâíÿåòñÿ ñ
ÝÄÑ èñòî÷íèêà, à çàòåì ïðåâûñèò åå, òîê ïîìåíÿåò íàïðàâëåíèå.  äàëüíåéøåì ñèëà Àìïåðà íàïðàâëåíà ââåðõ è
âîçðàñòàåò äî òåõ ïîð, ïîêà íå ñðàâíÿåòñÿ ñ ñèëîé òÿæåñòè
(ðèñ.5,á). Íà âòîðîì ýòàïå äâèæåíèÿ (ïîñëå ñìåíû íàïðàâëåíèÿ òîêà) ÝÄÑ èíäóêöèè íàïðàâëåíà ïî òîêó, à ÝÄÑ
èñòî÷íèêà – ïðîòèâ. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà è çàêîí Îìà äëÿ
ïîëíîé öåïè èìåþò âèä
Bvl - mg - IBl = 0, I =
.
r
Îòñþäà ïîëó÷àåì
mgr
= 7 ì/ñ.
v= 22 +
Bl
Bl
 ñëåäóþùåé çàäà÷å ñèñòåìà íå ïåðåõîäèò â ðåæèì óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòè, è íàäî ñëåäèòü çà åå óñêîðåíèåì.
Çàäà÷à 10. Ïî âåðòèêàëüíîé Ï-îáðàçíîé ðàìêå, ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ïëîñêîñòè ðàìêè, ìîæåò áåç òðåíèÿ ñêîëüçèòü ïåðåìû÷êà. Â
êîðîòêóþ ñòîðîíó ðàìêè âêëþ÷åíà êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,4 ìÃí. Ìàññà ïåðåìû÷êè m = 10 ã, åå äëèíà l =
= 10 ñì, èíäóêöèÿ ïîëÿ B = 0,1 Òë. Ïåðåìû÷êó ñíà÷àëà
óäåðæèâàþò íà ìåñòå, çàòåì îòïóñêàþò. Ïðåíåáðåãàÿ
ñîïðîòèâëåíèÿìè âñåõ ýëåìåíòîâ öåïè, íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü è ìàêñèìàëüíîå ñìåùåíèå ïåðåìû÷êè.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ ýëåìåíòîâ öåïè
ïðåíåáðåæèìî ìàëû, ñóììà âñåõ ÝÄÑ êîíòóðà ðàâíà íóëþ:
∆I
∆x
L
= Bl
,
∆t
∆t
îòêóäà ïîëó÷àåì
LI = Blx .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëà Àìïåðà, äåéñòâóþùàÿ íà ïåðåìû÷êó
è íàïðàâëåííàÿ ââåðõ (ðèñ.6),
ïðîïîðöèîíàëüíà åå ñìåùåíèþ:
B2l2
FA = IBl =
x.
L
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè (âòîðîé çàêîí Íüþòîíà)
B2l 2
x
L
ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ ãðóçà, ïîäâåøåííîãî
íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ
k = B2l 2 L è îòïóùåííîãî áåç
Ðèñ. 6
íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåìû÷êà ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ òàêèìè öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé è àìïëèòóäîé:
ma = mg -
ω=
k
=
m
B2l 2 , A = mgL .
B2l 2
mL
Ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè ðàâíà
vmax = ω A =
g mL
= 2ì ñ ,
Bl
à åå ìàêñèìàëüíîå ñìåùåíèå ðàâíî
xmax = 2 A =
2mgL
= 0,8 ì.
B2l 2
Ìàêñèìàëüíûå ñêîðîñòü è ñìåùåíèå ìîæíî íàéòè òàêæå ñ
ïîìîùüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
LI2
mv2
- mgx +
=0,
2
2
ïîäñòàâèâ ñþäà I = Blx L .
Óïðàæíåíèÿ
1. Ìàêñèìàëüíàÿ ÝÄÑ èíäóêöèè, âîçíèêàþùàÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ðàìêå, âðàùàþùåéñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, - max =
= 3 Â. Ñ êàêîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùàåòñÿ ðàìêà, åñëè ìàêñèìàëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ðàìêó Φ max = 0,05 Âá? Îñü
âðàùåíèÿ ðàìêè ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíû åå ïðîòèâîïîëîæíûõ
ñòîðîí è ïåðïåíäèêóëÿðíà ëèíèÿì èíäóêöèè ïîëÿ.
2. ×åìó ðàâíà ìàêñèìàëüíàÿ ÝÄÑ, êîòîðàÿ ìîæåò âîçíèêíóòü
ïðè äâèæåíèè ñàìîëåòà ñî ñêîðîñòüþ v = 900 êì/÷, åñëè ðàçìàõ
åãî êðûëüåâ l = 20 ì? Ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ Çåìëè Bã = 0,03 ìÒë, âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ Bâ =
= 0,04 ìÒë.
3. Èç ïðîâîëîêè, ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû êîòîðîé ρl =
= 0,1 Îì/ì, ñäåëàëè ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê è ïîìåñòèëè åãî â
îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 7 ìÒë ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì ïîëÿ. Ïî òðåóãîëüíèêó ñî ñêîðîñòüþ v = 0,5 ì/ñ
ñêîëüçèò ïåðåìû÷êà èç òàêîé æå ïðîâîëîêè, îñòàâàÿñü ïàðàëëåëüíîé åãî ñòîðîíå. ×åìó ðàâåí òîê ÷åðåç ïåðåìû÷êó â òîò ìîìåíò, êîãäà
îíà ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà?
4. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ê ãîðèçîíòó ïîä óãëîì α
òàêèì, ÷òî sin α = 0,8, è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå âåðòèêàëüíîå
ìàãíèòíîå ïîëå, ñîñêàëüçûâàåò ïåðåìû÷êà ìàññîé m = 20 ã. Äëèíà
ïåðåìû÷êè l = 10 ñì, åå ñîïðîòèâëåíèå R = 1,2 ìÎì, èíäóêöèÿ
ïîëÿ B = 0,1 Òë, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ïåðåìû÷êîé è ðàìêîé
µ = 0,5. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè.
Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü.
5. Çàìêíóòûé êîíòóð îáðàçîâàí äâóìÿ âåðòèêàëüíûìè ðåéêàìè,
ìåæäó êîíöàìè êîòîðûõ âêëþ÷åíû îäèíàêîâûå ðåçèñòîðû ñîïðîòèâëåíèåì R = 4 ìÎì. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ðåéêàìè l = 10 ñì, èõ
ñîïðîòèâëåíèÿ î÷åíü ìàëû. Êîíòóð íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 0,1 Òë, ëèíèè êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè êîíòóðà. Ïî ðåéêàì áåç òðåíèÿ ñîñêàëüçûâàåò
ïåðåìû÷êà ìàññîé m = 10 ã, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé r = 4 ìÎì.
Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè.
6. Çàìêíóòûé êîíòóð îáðàçîâàí äâóìÿ âåðòèêàëüíûìè ðåéêàìè,
ìåæäó âåðõíèìè êîíöàìè êîòîðûõ âêëþ÷åí èñòî÷íèê òîêà ñ ÝÄÑ - =
= 60 ì è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 1 ìÎì, à íèæíèå êîíöû
çàìêíóòû ïåðåìû÷êîé, äëèíà êîòîðîé l = 10 ñì, à ìàññà m =
= 10 ã. Êîíòóð íàõîäèòñÿ â ïåðïåíäèêóëÿðíîì åãî ïëîñêîñòè îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 0,1 Òë. Êîãäà ïåðåìû÷êó
îñâîáîæäàþò, îíà íà÷èíàåò ïîäíèìàòüñÿ. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè ðååê è ïåðåìû÷êè, à òàêæå òðåíèåì, íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ
ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè.
7. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ïîä óãëîì α = 30° ê
ãîðèçîíòó è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå
ïîëå, ñîñêàëüçûâàåò áåç òðåíèÿ ïåðåìû÷êà.  êîðîòêóþ ñòîðîíó
ðàìêè âêëþ÷åí êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C = 4 ìÔ. Ìàññà ïåðåìû÷êè m = 2 ã, åå äëèíà l = 25 ñì, èíäóêöèÿ ïîëÿ B = 4 Òë.
Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè âñåõ ýëåìåíòîâ öåïè, íàéäèòå óñêîðåíèå ïåðåìû÷êè.
8. Ïî ãîðèçîíòàëüíîé Ï-îáðàçíîé ðàìêå, ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ìîæåò áåç òðåíèÿ ñêîëüçèòü
ïåðåìû÷êà.  êîðîòêóþ ñòîðîíó ðàìêè âêëþ÷åíà êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,4 ìÃí. Ìàññà ïåðåìû÷êè m = 10 ã, åå äëèíà l =
= 10 ñì, èíäóêöèÿ ïîëÿ B = 0,1 Òë. Ïåðåìû÷êå ñîîáùàþò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 = 2 ì/ñ âäîëü ðàìêè. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèÿìè âñåõ ýëåìåíòîâ öåïè, íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå ñìåùåíèå ïåðåìû÷êè.