Поиск оптимальной цены

Áîíóñíàÿ çàäà÷à 2
Ïîèñê îïòèìàëüíîé öåíû
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîì ðàéîíå ãîðîäà
N
ðàñïîëîæåíû
14
ìàãàçèíîâ, ïðîäàþùèõ
îäèí è òîò æå òîâàð, ïðè÷åì ðàñïðåäåëåíèå öåí â ýòèõ ìàãàçèíàõ çàäàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
è òàê äàëåå äî
377.
Ïîêóïàòåëü íå îáëàäàåò èíôîðìàöèåé î öåíàõ â
êàæäîì èç ìàãàçèíîâ, íî çíàåò îáùèé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ öåí. Ó íåãî åñòü âîçìîæíîñòü
çàéòè â îäèí ïðîèçâîëüíî-âûáðàííûé ìàãàçèí è çàòåì ëèáî êóïèòü òîâàð òàì, ëèáî ïðîäîëæèòü ïîèñêè è îòïðàâèòüñÿ â ñëåäóþùèé ìàãàçèí. Ïðè ýòîì èçäåðæêè ïåðåêëþ÷åíèÿ ñ îäíîãî
ìàãàçèíà íà äðóãîé ñîñòàâëÿþò
c = 2.
1. Íàéäèòå îæèäàåìîå óìåíüøåíèå öåíû îò ïîñåùåíèÿ ñëåäóþùåãî ìàãàçèíà, åñëè â òåêóùåì ìàãàçèíå öåíà ðàâíà Ð.
2. Ðàññ÷èòàéòå âåëè÷èíó ðåçåðâíîé öåíû ïîêóïàòåëÿ. ×òî îòðàæàåò ýòà öåíà?
3. Íàéäèòå îæèäàåìîå êîëè÷åñòâî ïîñåùåíèé ìàãàçèíîâ (äëÿ ïðîñòîòû âû÷èñëåíèé ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé ñëåäóþùèé ìàãàçèí âûáèðàåòñÿ àáñîëþòíî ñëó÷àéíî, òàê ÷òî
ïðè î÷åðåäíîì ïåðåêëþ÷åíèè ïîêóïàòåëü ìîæåò âåðíóòüñÿ â òîò æå ñàìûé ìàãàçèí).
Ðåøåíèå:
1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 è.ò.ä. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä ÷èñåë Ôè-
áîíà÷÷è (êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî ðàâíÿåòñÿ ñóììå äâóõ ïðåäûäóùèõ ÷èñåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ðàññ÷èòàåì îæèäàåìîå óìåíüøåíèå öåíû, èñïîëüçóÿ äëÿ óïðîùåíèÿ âûðàæåíèÿ ôîðìóëó ñóììû ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è:
V (Pn ) =
(Pn − Pn−1 ) + (Pn − Pn−2 ) + . . . + (Pn − 1)
=
N
(n − 1)Pn − (Pn−1 + Pn−2 + . . . + 1)
=
=
N
(n − 1)Pn − Pn+1 + 1
(n − 2)Pn − Pn−1 + 1
=
=
N
N
2. Ðåçåðâíàÿ öåíà - òàêàÿ öåíà Pr, ïðè êîòîðîé
(n−2)P n−P n−1+1
14
V (P r) = c,
ò.å.
= 2,
îòêóäà ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî
n = 6, P n = P r = 8
- ýòî âåëè÷èíà ðåçåðâíîé öåíû. Ñìûñë
ýòîé öåíû òàêîâ - ïîêóïàòåëü ïðåêðàòèò ñâîè ïîèñêè è íå ñòàíåò ïåðåõîäèòü â ñëåäóþùèé ìàãàçèí, êîãäà öåíà â î÷åðåäíîì ìàãàçèíå îêàæåòñÿ ìåíüøå ðåçåðâíîé öåíû (â
ýòîì ñëó÷àå èçäåðæêè ïåðåêëþ÷åíèÿ ïðåâûñÿò îæèäàåìîå ñíèæåíèå öåíû).
3. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â ìàãàçèí, ãäå öåíà âûøå ðåçåðâíîãî óðîâíÿ
Pr
ðàâíà
Ñîîòâåòñòâåííî, âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â ìàãàçèí ñ öåíîé íèæå ðåçåðâíîé öåíû -
α.
(1 − α).
Òîãäà îæèäàåìîå ÷èñëî ïîñåùåííûõ ìàãàçèíîâ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(1 − α) · 1 + α(1 − α) · 2 + (α)2 (1 − α) · 3 + . . . + (α)t−1 (1 − α) · t =
1
P∞
t−1
(1
t=1 (α)
− α)t
Òåïåðü ñóììó ìîæíî ðàñêðûòü è óïðîñòèòü:
∞
X
(α)t−1 (1 − α)t = (1 − α)(1 + 2α + 3α2 + . . . + tαt−1 ) =
t=1
(1 − α)(α + α2 + α3 + . . . + αt )0 = (1 − α)
 íàøåì ñëó÷àå
2, 33.
α =
1
(1 − α) + α
=
(1 − α)2
1−α
4
1
7 , ïîýòîìó îæèäàåìîå êîëè÷åñòâî ïîñåùåíèé ðàâíî 1− 47
2
=
7
3
≈