Разрезания металлического прямоугольника
advertisement
Ðàçðåçàíèÿ ìåòàëëè÷åñêîãî ïðÿìîóãîëüíèêà Ì.ÑÊÎÏÅÍÊÎÂ, Ì.ÏÐÀÑÎËÎÂ, Ñ.ÄÎÐÈ×ÅÍÊÎ Ç ÀÄÀ×È ÍÀ ÐÀÇÐÅÇÀÍÈÅ ÍÀÃËßÄÍÛ È ÊÐÀÑÈ- âû, íî èíîãäà èõ ñîâñåì íå ïðîñòî ðåøèòü. Ñ äàâíèõ ïîð îíè âäîõíîâëÿëè äèçàéíåðîâ è àðõèòåêòîðîâ. Ó÷åíûå îáðàòèëè íà íèõ âíèìàíèå, êîãäà îáíàðóæèëàñü èõ íåîæèäàííàÿ ñâÿçü ñ ôèçèêîé è òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Îá îäíîé èç òàêèõ çàäà÷ è ïîéäåò ðå÷ü â ýòîé ñòàòüå. Êàê íàéòè ñòîðîíû êâàäðàòîâ Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíî ôîòî 2 ïðÿìîóãîëüíîãî øêàôà ñ êâàäðàòíûìè ïîëêàìè. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìû õîòèì èçãîòîâèòü òàêîé æå øêàô. Äëÿ ýòîãî íàì â Êàêèå ïðÿìîóãîëüíèêè ìîæíî ðàçðåçàòü íà êâàäðàòû Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçìåðîì a × b , ãäå a è b öåëûå ÷èñëà, ëåãêî ðàçðåçàåòñÿ íà a ⋅ b îäèíàêîâûõ êâàäðàòîâ (ðèñ.1). Òàê æå ëåãêî ðàçðåçàòü íà ðàâíûå êâàäðàòû ïðÿìîóãîëüÐèñ.1. Ïðÿìîóãîëüíèê a × b ðàç- íèê ñ ðàöèîíàëüíûì îòðåçàåòñÿ íà a ⋅ b îäèíàêîâûõ íîøåíèåì ñòîðîí. êâàäðàòîâ Åñòåñòâåííûé âîïðîñ: êàêèå ïðÿìîóãîëüíèêè ìîæíî ðàçðåçàòü íà êâàäðàòû íå îáÿçàòåëüíî îäíîãî è òîãî æå ðàçìåðà? Îêàçûâàåòñÿ, îòâåò òîò æå ñàìûé: Òåîðåìà Äåíà î ðàçðåçàíèè ïðÿìîóãîëüíèêà. Åñëè ïðÿìîóãîëüíèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà êâàäðàòû (íå îáÿçàòåëüíî ðàâíûå), òî îòíîøåíèå äëèí åãî ñòîðîí ðàöèîíàëüíî. Ýòó òåîðåìó îòêðûë Ìàêñ Äåí â 1903 ãîäó. Åãî äîêàçàòåëüñòâî áûëî äîâîëüíî ñëîæíûì. Âïîñëåäñòâèè ïîÿâèëèñü áîëåå ïðîñòûå. Ìû ïðèâåäåì îäíî èç íèõ, ïðèíàäëåæàùåå Ð.Ë.Áðóêñó, Ê.À.Á.Ñìèòó, À.Ã.Ñòîóíó è Ó.Ò.Òàòòó. Îíè ïðèäóìàëè åãî, åùå áóäó÷è ñòóäåíòàìè. 1 Ýòî äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè, èñïîëüçóþùåé ýëåêòðè÷åñêèå öåïè. Ïðè ýòîì ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ ñëóæàò îòïðàâíîé òî÷êîé, à ñàìî äîêàçàòåëüñòâî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîå. Èòàê, ïóñòü ïðÿìîóãîëüíèê ðàçðåçàí íà êâàäðàòû. ×òîáû íàéòè îòíîøåíèå åãî ñòîðîí, äîñòàòî÷íî íàéòè ñòîðîíû ýòèõ êâàäðàòîâ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ïîêàæåì íà ïðèìåðå, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü. 1 Óâëåêàòåëüíûé ðàññêàç îá ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü â ãëàâå «Êâàäðèðîâàíèå êâàäðàòà» êíèãè Ì. Ãàðäíåðà «Ìàòåìàòè÷åñêèå ãîëîâîëîìêè è ðàçâëå÷åíèÿ» (Ì.: Ìèð, 1999). Ðèñ.2. Ïðÿìîóãîëüíûé øêàô ñ êâàäðàòíûìè ïîëêàìè ïåðâóþ î÷åðåäü íóæíî óçíàòü ðàçìåðû ïîëîê. Ïðîñòî èçìåðèòü ýòè âåëè÷èíû íà ôîòîãðàôèè íå óäàñòñÿ, òàê êàê ìû âèäèì øêàô «ïîä óãëîì», à çíà÷èò, èñòèííûå äëèíû èñêàæåíû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ýòè ðàçìåðû, çàíóìåðóåì êâàäðàòû (ïîëêè), êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãîðèçîíòàëüíàÿ ñòîðîíà ïðÿìîóãîëüíèêà (øêàôà) ðàâíà 1, à âåðòèêàëüíóþ ñòîðîíó (áåç ó÷åòà íîæåê) îáîçíà÷èì ÷åðåç x. Ñòîðîíó êâàäðàòà k îáîçíà÷èì ÷åðåç xk . 2 Ôîòî ñ ñàéòà http://www.mynl.com/ww/project11.html ÐÀÇÐÅÇÀÍÈß ÌÅÒÀËËÈ×ÅÑÊÎÃÎ Ê ëåâîé ñòîðîíå ïðÿìîóãîëüíèêà ïðèìûêàþò êâàäðàòû 2, 3 è 8, îòêóäà x = x2 + x3 + x8 . Ê ïðàâîé ñòîðîíå êâàäðàòà 3 ïðèìûêàþò êâàäðàòû 1 è 4: x3 = x1 + x4 . Àíàëîãè÷íî, x6 + x8 = x7 , x1 + x2 = = x5 + x6 , x4 + x5 = x9 . Ðàâåíñòâî äëÿ ïðàâîé ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ìû íå çàÐèñ.3. Íóìåðàöèÿ êâàäðà- ïèñûâàåì, ïîñêîëüêó îíî òîâ ñëåäóåò èç ïðåäûäóùèõ (ïîëó÷àåòñÿ ñëîæåíèåì âñåõ âûïèñàííûõ ðàâåíñòâ). Ñôîðìóëèðóåì íàøå íàáëþäåíèå, (ðèñ. 4): Óñëîâèå âåðòèêàëüíîé ñòûêîâêè. Äëÿ êàæäîãî âåðòèêàëüíîãî ðàçðåçà ñóìÐèñ.4. Óñëîâèå âåðòèêàëüíîé ñòûìà ñòîðîí êâàäðàêîâêè: x1 + x 2 = x 5 + x6 òîâ, ïðèìûêàþùèõ ê ðàçðåçó ñëåâà, ðàâíà ñóììå ñòîðîí êâàäðàòîâ, ïðèìûêàþùèõ ñïðàâà. Âåðòèêàëüíàÿ ñòîðîíà ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ñóììå ñòîðîí ïðèìûêàþùèõ ê íåé êâàäðàòîâ. 3 Çàìåíÿÿ ñëîâî «âåðòèêàëüíûé» íà «ãîðèçîíòàëüíûé», à ñëîâà «ñëåâà» è ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊÀ Èç ýòîãî óñëîâèÿ â íàøåì ïðèìåðå ñî øêàôîì ïîëó÷èì: 1 = x3 + x4 + x9 , x4 = x1 + x5 , x1 + x3 = x2 , x5 + x9 = x6 + x7 , x2 + x6 = x8 . Óñëîâèå äëÿ íèæíåé ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ìû íå çàïèñûâàåì, ïîñêîëüêó îíî ñëåäóåò èç îñòàëüíûõ. Èòàê, îñòàëîñü ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé x = x2 + x3 + x8 , x3 = x1 + x4 , x6 + x8 = x7 , x1 + x2 = x5 + x6 , x4 + x5 = x9 , x3 + x4 + x9 = 1 , x4 = x1 + x5 , x1 + x3 = x2 , x5 + x9 = x6 + x7 , x2 + x6 = x8 . Òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè. Êàê ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé 4 Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî âûðàæàòü íåèçâåñòíûå.  ïåðâîì óðàâíåíèè íåèçâåñòíàÿ x âûðàæåíà ÷åðåç äðóãèå íåèçâåñòíûå. Áîëüøå x íèãäå íå ó÷àñòâóåò, ïîýòîìó ïåðåõîäèì êî âòîðîìó óðàâíåíèþ.  íåì íåèçâåñòíàÿ x3 âûðàæåíà ÷åðåç x1 è x4 . Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â äðóãèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ñîäåðæàùèå íåèçâåñòíóþ x3 â ïåðâîå, øåñòîå è âîñüìîå. Ïîëó÷èì ñèñòåìó x = x2 + x1 + x4 + x8 , x3 = x1 + x4 , x6 + x8 = x7 , x1 + x2 = x5 + x6 , x4 + x5 = x9 , x1 + 2x4 + x9 = 1 , x4 = x1 + x5 , 2x1 + x4 = x2 , x5 + x9 = x6 + x7 , x2 + x6 = x8 . Îíà ðàâíîñèëüíà èñõîäíîé. Íî òåïåðü íåèçâåñòíàÿ x3 ó÷àñòâóåò òîëüêî âî âòîðîì óðàâíåíèè. Ïåðåéäåì ê òðåòüåìó óðàâíåíèþ. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå x7 = x6 + x8 â äåâÿòîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì ñèñòåìó, ñîäåðæàùóþ x7 òîëüêî â òðåòüåì óðàâíåíèè: x = x2 + x1 + x4 + x8 , x3 = x1 + x4 , x6 + x8 = x7 , x1 + x2 = x5 + x6 , x4 + x5 = x9 , x1 + 2x4 + x9 = 1 , x4 = x1 + x5 , 2x1 + x4 = x2 , Ðèñ.5. Óñëîâèå ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè: x 5 + x 9 = = x6 + x 7 Ðèñ.6.  òàêîì ðàçðåçàíèè îäèí ãîðèçîíòàëüíûé è äâà âåðòèêàëüíûõ ðàçðåçà «ñïðàâà» íà «ñâåðõó» è «ñíèçó», ìû ïîëó÷àåì óñëîâèå ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè, (ðèñ. 5). 3 Äëÿ ðàçðåçàíèé, ó êîòîðûõ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ñõîäèòñÿ ñðàçó 4 êâàäðàòà (êàê íà ðèñóíêàõ 1 èëè 6), íàäî óòî÷íèòü ïîíÿòèå ðàçðåçà. Ïîêðàñèì âñå ãîðèçîíòàëüíûå ñòîðîíû êâàäðàòîâ, íå ëåæàùèå íà ïåðèìåòðå ïðÿìîóãîëüíèêà, â çåëåíûé öâåò. Îíè îáúåäèíÿòñÿ â íåñêîëüêî çåëåíûõ îòðåçêîâ, êîòîðûå ìû è íàçîâåì ãîðèçîíòàëüíûìè ðàçðåçàìè. Âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû êâàäðàòîâ, íå ëåæàùèå íà ïåðèìåòðå, ïîêðàñèì â îðàíæåâûé öâåò. Ïîëó÷åííûå îðàíæåâûå îòðåçêè äåëÿòñÿ ãîðèçîíòàëüíûìè ðàçðåçàìè íà ÷àñòè, èìåííî ýòè ÷àñòè ìû è íàçîâåì âåðòèêàëüíûìè ðàçðåçàìè (ðèñ. 6). x5 + x9 = 2x6 + x8 , x2 + x6 = x8 . Áóäåì ïðîäîëæàòü òàêèì æå îáðàçîì äàëüøå.  èòîãå ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó «óðàâíåíèé» x = 33 32 , x3 = 9 32 , x7 = 1 2 , x1 = 1 32 , x4 = 1 4 , x9 = 15 32 , x5 = 7 32 , x2 = 5 16 , x8 = 7 16 , x6 = 1 8 . Ðåøåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû íàéäåíî! Çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ x1,…, x9 ýòî è åñòü ñòîðîíû êâàäðàòîâ.  íàøåì ïðèìåðå ïðÿìîóãîëüíèê îêàçàëñÿ ðàçðåçàí íà ïîïàðíî ðàçëè÷íûå êâàäðàòû. Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîñêîñòü ìîæíî çàìîñòèòü ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè êâàäðàòàìè, äëèíû ñòîðîí êîòîðûõ: à) ðàöèîíàëüíûå; á) öåëûå ÷èñëà. À ìîæíî ëè êâàäðàò ðàçðåçàòü íà ïîïàðíî ðàçëè÷íûå êâàäðàòû? Çàäà÷à ýòà ïîÿâèëàñü â íà÷àëå ïðîøëîãî âåêà è îêàçàëàñü î÷åíü ñëîæíîé. Ðåøèëè åå òîëüêî 4 Ïîäðîáíî îá ýòîì ðàññêàçûâàåòñÿ â ñòàòüå Â.Ãóòåíìàõåðà «Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé» â «Êâàíòå» ¹1 çà 1984 ãîä. ñïóñòÿ íåñêîëüêî äåñÿòèëåòèé óæå èçâåñòíûå íàì ÷åòûðå ñòóäåíòà è íåçàâèñèìî îò íèõ Ð.Øïðàã. Íî åñëè Ð.Øïðàã èñïîëüçîâàë ñëîæíûé ïåðåáîð, òî íàøèì ñòóäåíòàì íàéòè ðåøåíèå ïîìîãëà ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ. Ïîòîì áûëî íàéäåíî ìíîãî ðàçíûõ ïðèìåðîâ, ïðèìåð ñ íàèìåíüøèì êîëè÷åñòâîì êâàäðàòîâ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 7. ñèñòåìà, ïîñòðîåííàÿ ïî ðåàëüíîìó ðàçðåçàíèþ, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî âñåãäà òàê: íàø ìåòîä ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü âñå ðàçìåðû ïî ôîòîãðàôèè ðàçðåçàíèÿ (åñëè ìû ñ÷èòàåì ãîðèçîíòàëüíóþ ñòîðîíó ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíîé 1). Ìû äîêàæåì ýòî ñ ïîìîùüþ ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè. À òåîðåìà Äåíà î ðàçðåçàíèè ïðÿìîóãîëüíèêà îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò ïî òåîðåìå î ðåøåíèè ñèñòåìû. Çàäà÷à 3. Àðõèòåêòîð íàðèñîâàë ïëàí êâàðòèðû. Íà ïëàíå (ðèñ. 8) ïîêàçàíî, êàê Ðèñ.8. Ïëàí êâàðòèðû äîëæíû ïðèìûêàòü êîìíàòû äðóã ê äðóãó, íî èõ ðàçìåðû èñêàæåíû. Ìîæíî ëè ñäåëàòü âñå êîìíàòû êâàäðàòíûìè? Ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ Ðèñ.7. Êâàäðàòíîå îäåÿëî, ñøèòîå èç êâàäðàòíûõ ëîñêóòêîâ Çàäà÷à 2*. Ìîæíî ëè êóá ðàçðåçàòü íà íåñêîëüêî ïîïàðíîðàçëè÷íûõ êóáèêîâ? Êîãäà íàø ìåòîä ðàáîòàåò Èòàê, äëÿ øêàôà ìû íàøëè âñå èíòåðåñóþùèå íàñ ðàçìåðû. Íî áóäåò ëè òàê è äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ðàçðåçàíèÿ? ßñíî, ÷òî åñëè ðåøåíèå ñèñòåìû, ïîñòðîåííîé ïî óñëîâèÿì ñòûêîâêè, åäèíñòâåííî, òî ìû íàéäåì åãî íàøèì ìåòîäîì. È, êîíå÷íî æå, îíî áóäåò ðàöèîíàëüíûì: âåäü êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ðàöèîíàëüíû, à ìû, âûðàæàÿ íåèçâåñòíûå, èñïîëüçóåì òîëüêî ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå. Ýòî ïðîñòîå íàáëþäåíèå ìû íàçîâåì òàê: Òåîðåìà î ðåøåíèè ñèñòåìû. Ïóñòü ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Òîãäà ýòî ðåøåíèå ñîñòîèò èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Áûâàþò ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ó êîòîðûõ ðåøåíèå íå åäèíñòâåííî. Íàïðèìåð, ñèñòåìà x1 + x2 = 0 , x1 + x3 = 1 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé: â êà÷åñòâå x1 ìîæíî âçÿòü ëþáîå ÷èñëî t, â êà÷åñòâå x2 ÷èñëî t, à â êà÷åñòâå x3 ÷èñëî 1 t. Ó íåå åñòü è èððàöèîíàëüíûå ðåøåíèÿ (êîãäà t èððàöèîíàëüíî). Ñîâåðøåííî íå î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèé ñòûêîâêè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàéòè ñòîðîíû êâàäðàòîâ, ò.å. ÷òî Îêàçûâàåòñÿ, êàæäîìó ðàçðåçàíèþ ïðÿìîóãîëüíèêà íà êâàäðàòû ìîæíî ñîïîñòàâèòü ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü. Åñëè ìû íàéäåì òîêè â ýòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, òî ìû íàéäåì è ñòîðîíû êâàäðàòîâ. Íî îáî âñåì ïî ïîðÿäêó. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. 5 Âìåñòî ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è îïûòíûõ ôàêòîâ ó íàñ áóäóò îïðåäåëåíèÿ, àêñèîìû, òåîðåìû. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ýòî ñâÿçíûé ïëîñêèé ãðàô, êàæäîìó ðåáðó êîòîðîãî ñîïîñòàâëåíî íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ïðè÷åì êîíöû îäíîãî èç ðåáåð îòìå÷åíû çíàêàìè «+» è «». Ðåáðî ñ îòìå÷åííûìè êîíöàìè íàçûâàåòñÿ áàòàðåéêîé, îñòàëüíûå ðåçèñòîðàìè. ×èñëî, ñîïîñòàâëåííîå áàòàðåéêå, íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì áàòàðåéêè, à ÷èñëà, ñîïîñòàâëåííûå ðåçèñòîðàì, èõ ñîïðî- Ðèñ.9. à) Ïîñòðîåíèå ýëåêòðè÷åñêîé òèâëåíèÿìè. Âåð- öåïè ïî ðàçðåçàíèþ. øèíû ãðàôà íàçû- á) Îáùåïðèíÿòîå èçîáðàæåíèå âàþòñÿ óçëàìè, îò- ýëåêòðè÷åñêîé öåïè 5 Æåëàþùèì ïîäðîáíî ðàçîáðàòüñÿ â ôèçèêå ïðîèñõîäÿùåãî ðåêîìåíäóåì, íàïðèìåð, ñòàòüþ «Ïðàâèëà Êèðõãîôà» â «Êâàíòå» ¹1 çà 1985 ãîä. ÐÀÇÐÅÇÀÍÈß ÌÅÒÀËËÈ×ÅÑÊÎÃÎ ìå÷åííûå óçëû áàòàðåéêè ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé êëåììàìè. Ïî ðàçðåçàíèþ öåïü ñòðîèòñÿ òàê (ðèñ. 9,à). Íà êàæäîé âåðòèêàëüíîé ëèíèè ðàçðåçà îòìåòèì ïî òî÷êå ýòî áóäóò óçëû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Íà âåðòèêàëüíûõ ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíèêà âûáåðåì ïî êëåììå, îòìåòèì èõ çíàêàìè «+» (íà ëåâîé ñòîðîíå) è «» (íà ïðàâîé ñòîðîíå) è ñîåäèíèì ñ áàòàðåéêîé. Êàæäûé êâàäðàò îãðàíè÷åí ñëåâà è ñïðàâà äâóìÿ âåðòèêàëüíûìè ðàçðåçàìè.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè åãî èçîáðàæåíèåì ñëóæèò ðåçèñòîð, ñîåäèíÿþùèé äâà óçëà íà ýòèõ ðàçðåçàõ (óçëû ìîãóò îêàçàòüñÿ íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîí êâàäðàòà). Ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî ðåçèñòîðà ïîëîæèì ðàâíûì 1. 6 Íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè òàêæå ïîëîæèì ðàâíûì 1. Íóæíàÿ íàì ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ïîñòðîåíà (ðèñ. 9, á). Êàê íàéòè òîêè â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè Òåïåðü îáúÿñíèì, ÷òî òàêîå òîêè â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è êàê èõ ìîæíî íàéòè. Çàíóìåðóåì ðåçèñòîðû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 10 (ò.å. òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå êâàäðàòû). Íàðèñóåì íà êàæäîì ðåçèñòîðå ñòðåëêó ñëåâà íàïðàâî, à íà áàòàðåéêå ñïðàâà íàëåâî, ò.å. îò îòðèöàòåëüíîé êëåììû ê ïîëîæèòåëüíîé. 7 Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü äåëèò ïëîñêîñòü íà ÷àñòè. Îáõîäÿ ãðàíèöó ëþáîé ÷àñòè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ïîëó÷èì çàìêíóòóþ öåïî÷êó ðåáåð, íàçûâàåìóþ êîíòóðîì. 8 Ñèëà òîêà ÷åðåç Ðèñ.10. Íóìåðàöèÿ ðåçèñòîðîâ è k-é ðåçèñòîð ýòî âûáîð íàïðàâëåíèé íà ðåçèñòî- ïðîñòî íåêîòîðîå äåéðàõ è áàòàðåéêå ñòâèòåëüíîå ÷èñëî Ik , ñîïîñòàâëåííîå ðåçèñòîðó. Ñèëà òîêà ÷åðåç áàòàðåéêó ýòî íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî I. Íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå ýòî ïðîèçâåäåíèå ñèëû òîêà íà ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà. (À äëÿ áàòàðåéêè íàïðÿæåíèå âîîáùå îò òîêà íå çàâèñèò. Òàêàÿ áàòàðåéêà â ôèçèêå íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé.) Ñèëû òîêà îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè àêñèîìàìè (ïðàâèëàìè), ïðîèëëþñòðèðîâàííûìè íà ðèñóíêàõ 12, 13, 14. 6 Ìû ðàç è íàâñåãäà ôèêñèðóåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ: ñîïðîòèâëåíèÿ áóäåì èçìåðÿòü â êèëîîìàõ, íàïðÿæåíèÿ â âîëüòàõ, òîêè â ìèëëèàìïåðàõ.  äàëüíåéøåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ íå óêàçûâàþòñÿ. 7 Ìû íàðèñîâàëè ïðåäïîëàãàåìûå íàïðàâëåíèÿ òîêà. ×èòàòåëÿ ìîæåò ñìóòèòü, ÷òî â îäíîì èç ðåáåð òîê íàïðàâëåí îò «ìèíóñà» ê «ïëþñó». Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê: òîê â ðåçèñòîðàõ èäåò îò «ïëþñà» ê «ìèíóñó», à âîò â áàòàðåéêå íàîáîðîò. 8 Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòóð íå ïðîõîäèò íè ÷åðåç êàêîå ðåáðî äâàæäû. Ýòî íå âñåãäà òàê (ðèñ. 11). Îäíàêî â äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî ýòî òàê äëÿ ëþáîé öåïè, ïîñòðîåííîé ïî ðàçðåçàíèþ ïðÿìîóãîëüíèêà. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊÀ Ðèñ.11. Êîíòóð, ïðîõîäÿùèé ïî ðåáðó äâàæäû Ðèñ.12. Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà: 1 + 1 = 1 # + 1 $ Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà.  êàæäîì óçëå ñóììà âõîäÿùèõ òîêîâ ðàâíà ñóììå âûõîäÿùèõ. Äëÿ íàøåãî ïðèìåðà (ñì. ðèñ.10) ïîëó÷àåì òàêèå óðàâíåíèÿ: I = I2 + I3 + I8 , I3 = I1 + I4 , I6 + I8 = I7 , I1 + I2 = I5 + I6 , I4 + I5 = I9 . Ðèñ.13. Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà áåç áàòàðåéêè: 1 # + 1 ' - 1 $ - 1 % = (ó÷òåíî, ÷òî âñå ñîïðîòèâëåíèÿ â íàøåì ïðèìåðå ðàâíû 1) (Ìû íå çàïèñûâàåì óðàâíåíèå äëÿ ïðàâîé êëåììû, ïîñêîëüêó îíî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îñòàëüíûõ.) Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà. Äëÿ ëþáîãî êîíòóðà ñóììà íàïðÿæåíèé íà ðåçèñòîðàõ (ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíàêàìè) ðàâíà íàïðÿæåíèþ áàòàðåéêè (ñ ñîîòâåòñòâóþùèì çíàêîì), åñëè êîíòóð ñîäåðæèò áàòàðåéêó, à èíà÷å ðàâíà íóëþ. Íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå áåðåòñÿ ñî çíàêîì «+», åñëè íàïðàâëåíèå ñòðåëêè íà ðåçèñòîðå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõî- Ðèñ.14. Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà ñ áàòàðåéêîé: I3 äà êîíòóðà, à èíà÷å I I = 1 (ó÷òåíî, ÷òî íàïðÿ4 9 ñî çíàêîì «». Òàê æå æåíèå áàòàðåéêè â íàøåì ïðèìåîïðåäåëÿåòñÿ çíàê äëÿ ðå ðàâíî 1) áàòàðåéêè. Ïîñêîëüêó ó íàñ íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ðàâíî 1 è âñå ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíû 1, ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ I3 I4 I9 = 1, I4 − I1 − I5 = 0 , I1 + I3 − I2 = 0 , I5 + I9 − I6 − I7 = 0 , I2 + I6 − I8 = 0 . (Ìû íå çàïèñûâàåì óðàâíåíèå äëÿ êîíòóðà âîêðóã âñåé öåïè, ïîñêîëüêó îíî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç îñòàëüíûõ.) Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì âñå ñèëû òîêîâ: I = 33 32 , I3 = 9 32 , I7 = 1 2 , I1 = 1 32 , I4 = 1 4 , I9 = 15 32 , I5 = 7 32 , I2 = 5 16 , I8 = 7 16 , I6 = 1 8 . Ó íàñ åñòü àêñèîìû (ïðàâèëà Êèðõãîôà), êîòîðûå ìû çàèìñòâîâàëè èç ôèçèêè, à âñå îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ îá ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ìû âûâîäèì èç íèõ ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêè. Çàäà÷à 4. Âûâåäèòå èç âòîðîãî ïðàâèëà Êèðõãîôà áîëåå îáùåå ïðàâèëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè çàìåíèòü â ôîðìóëèðîâêå êîíòóð íà ëþáóþ çàìêíóòóþ öåïî÷êó ðåáåð (íå ïðîõîäÿùóþ íè ÷åðåç êàêóþ âåðøèíó äâàæäû). Ïðàâèëà Êèðõãîôà ñîâïàäàþò ñ óñëîâèÿìè ñòûêîâêè Óäèâèòåëüíûì îáðàçîì ïðàâèëà Êèðõãîôà äàþò íàì òó æå ñàìóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé íà ñèëû òîêîâ, ÷òî è óñëîâèÿ ñòûêîâêè íà äëèíû ñòîðîí êâàäðàòîâ! Äîêàæåì ýòî. Ðàññìîòðèì ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà. Çàôèêñèðóåì âåðòèêàëüíûé ðàçðåç è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó óçåë. Âõîäÿùèå â óçåë òîêè ñîîòâåòñòâóþò ñòîðîíàì êâàäðàòîâ, ïðèìûêàþùèì ê ðàçðåçó ñëåâà, à âûõîäÿùèå èç óçëà ñòîðîíàì êâàäðàòîâ ñïðàâà (ðèñ. 15). Çíà÷èò, ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà â ýòîì óçëå äëÿ òîêîâ ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì âåðòèêàëüíîé ñòûêîâêè. Ðàññìîòðèì âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà. Âîçüìåì ëþáîé ãîðèÐèñ.15. Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà çîíòàëüíûé ðàçðåç. è óñëîâèå âåðòèêàëüíîé ñòûêîâêè ßñíî, ÷òî ðåçèñòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìûêàþùèì ê íåìó êâàäðàòàì, îáðàçóþò êîíòóð (ðèñ. 16). Êâàäðàòû ñâåðõó îáðàçóþò âåðõíþþ ÷àñòü êîíòóðà, à êâàäðàòû ñíèçó íèæíþþ. Ïîñêîëüêó âñå ñîïðîòèâëåíèÿ åäèíè÷íû, íàïðÿæåíèå íà êàæäîì ðåçèñòîðå ðàâíî ñèëå òîêà íà íåì. Çíà÷èò, ïðàâèëî ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè äëÿ íàøåãî ðàçðåçà ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ïðàâèëîì Êèðõãîôà. Íàîáîðîò, âîçüìåì ëþáîé êîíòóð. Åãî ñàìûé ëåâûé óçåë ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó âåðòèêàëüíîìó ðàçðåçó. Ê ðàçðåçó ïðèìûêàþò ñïðàâà äâà êâàäðàòà, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì âûõîäÿùèì èç óçëà ðåçèñòîðàì êîíòóðà. Ðàññìîòðèì ãîðèçîíòàëüíûé ðàçðåç, ê êîòîðîìó ïðèìûêàþò ýòè êâàäðàòû. Ñíîâà, âñå êâàäðàòû, ïðèìûêàþùèå ê ðàçðåçó ñâåðõó, îáðàçóþò âåðõíþþ ÷àñòü íàÐèñ.16. Âòîðîå ïðàâèëî øåãî êîíòóðà, à âñå ïðèìûÊèðõãîôà è óñëîâèå ãîðè- êàþùèå ñíèçó íèæíþþ. çîíòàëüíîé ñòûêîâêè Çíà÷èò, âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà äëÿ íàøåãî êîíòóðà ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì ãîðèçîíòàëüíîé ñòûêîâêè. Èòàê, ïðàâèëà Êèðõãîôà ñîâïàäàþò ñ óñëîâèÿìè ñòûêîâêè. Çíà÷èò ëè ýòî, ÷òî òîêè ñîâïàäàþò ñ äëèíàìè ñòîðîí êâàäðàòîâ? Äà, íî òîëüêî åñëè íàøà ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò ëèøü îäíî ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå, èçãîòîâèâ ïî ðàçðåçàíèþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, äëèíû ñòîðîí êâàäðàòîâ ìîæíî áûëî áû íàéòè... ïðîñòî èçìåðèâ òîêè! Åäèíñòâåííîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ ðåçèñòîðîâ öåïè ïîëîæèòåëüíû. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé, ïîñòðîåííàÿ ïî ïðàâèëàì Êèðõãîôà, â êîòîðîé ñèëû òîêà íåèçâåñòíûå, à íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè è ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ èçâåñòíû, èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Íà «ôèçè÷åñêîì óðîâíå ñòðîãîñòè» ýòà òåîðåìà ïî÷òè î÷åâèäíà. Ïóñòü ðåøåíèé äâà. Âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî. Òîãäà íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ñòàíåò íóëåâûì, à òîê íå âåçäå áóäåò ðàâåí íóëþ, ÷åãî íå áûâàåò. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè ýòî îáúÿñíåíèå íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâîì. Íåëüçÿ èñêëþ÷èòü âîçìîæíîñòü, ÷òî íàøà ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò êàêèå-òî «ïîñòîðîííèå» ðåøåíèÿ, êîòîðûõ íå áûâàåò â «ðåàëüíîé» ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Äà è â íàøåì ðàññóæäåíèè ìû íèãäå íå èñïîëüçîâàëè, ÷òî ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ ðåçèñòîðîâ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû. À áåç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìà íåâåðíà: â êîëüöå èç ñâåðõïðîâîäíèêà (ò.å. ðåçèñòîðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì) ìîæåò òå÷ü íåíóëåâîé òîê ïðè íóëåâîì íàïðÿæåíèè! Âîò êàê ìîæíî ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãî äîêàçàòü òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè: Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü åñòü äâà ðåøåíèÿ. Ïåðâîå áóäåì îáîçíà÷àòü I1, I2,…, âòîðîå J1, J2,… Íàøà öåëü äîêàçàòü, ÷òî èõ ðàçíîñòü I1 − J1, I2 − J2,… íóëåâàÿ. Ðàññìîòðèì ëþáîå óðàâíåíèå íàøåé ñèñòåìû. Ïóñòü, íàïðèìåð, îíî çàïèñàíî äëÿ óçëà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 12. Ïîäñòàâèâ â íåãî ïåðâîå ðåøåíèå, ïîëó÷èì: I1 + I2 = I5 + I6 . Ïîäñòàâèâ âòîðîå, ïîëó÷èì J1 + J2 = J5 + J6 . Âû÷òåì îäíî ðàâåíñòâî èç äðóãîãî: ( I1 − J1 ) + ( I2 − J2 ) = ( I5 − J5 ) + ( I6 − J6 ) . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðàçíîñòü íàøèõ ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿåò òîìó æå ñàìîìó óðàâíåíèþ. Òàê áóäåò è äëÿ óðàâíåíèÿ, çàïèñàííîãî äëÿ ëþáîãî äðóãîãî óçëà èëè ëþáîãî êîíòóðà, íå ñîäåðæàùåãî áàòàðåéêó. Ïóñòü òåïåðü óðàâíåíèå çàïèñàíî äëÿ êîíòóðà, ñîäåðæàùåãî áàòàðåéêó, íàïðèìåð äëÿ êîíòóðà íà ðèñóíêå 14. Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óðàâíåíèå íàøè ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà I3 + I4 + I9 = 1 è J3 + J4 + J9 = 1 . Âû÷òåì îäíî ðàâåíñòâî èç äðóãîãî: ( I3 − J3 ) + ( I4 − J4 ) + + ( I9 − J9 ) = 0 . Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðàçíîñòü íàøèõ ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿåò òîìó æå ñàìîìó óðàâíåíèþ, òîëüêî ñ íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Íî â ïðàâîé ÷àñòè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ñòîÿëî íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè. Ïîëó÷àåì, ÷òî ðàçíîñòü íàøèõ ðåøåíèé ïîä÷èíÿåòñÿ ïðàâèëàì ÐÀÇÐÅÇÀÍÈß ÌÅÒÀËËÈ×ÅÑÊÎÃÎ Êèðõãîôà äëÿ òîé æå öåïè, òîëüêî ñ íóëåâûì íàïðÿæåíèåì áàòàðåéêè. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ñâåëàñü ê òàêîìó óòâåðæäåíèþ: Ïðèíöèï òåõíèêè áåçîïàñíîñòè. Åñëè íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ðàâíî íóëþ, òî è âñå ñèëû òîêà â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íóëåâûå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â öåïè åñòü íåíóëåâûå òîêè. Åñëè ñèëà òîêà íà êàêèõ-òî ðåáðàõ îòðèöàòåëüíà, òî ïîìåíÿåì íà êàæäîì èç íèõ íàïðàâëåíèå ñòðåëêè, çíàê ñèëû òîêà è çíàê íàïðÿæåíèÿ. ßñíî, ÷òî ïðàâèëà Êèðõãîôà ïî-ïðåæíåìó áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, à âñå ñèëû òîêà ñòàíóò íåîòðèöàòåëüíû. Íà÷íåì äâèæåíèå ñ ðåáðà, íà êîòîðîì ñèëà òîêà íåíóëåâàÿ, è áóäåì äâèãàòüñÿ â íàïðàâëåíèè ñòðåëîê. Èç ïåðâîãî ïðàâèëà Êèðõãîôà ñëåäóåò, ÷òî ìû ìîæåì íåîãðàíè÷åííî ïðîäîëæàòü äâèæåíèå (âåäü åñëè ó âåðøèíû åñòü ïîëîæèòåëüíûé âõîäÿùèé òîê, òî åñòü è âûõîäÿùèé). Ðàíî èëè ïîçäíî ìû âïåðâûå âåðíåìñÿ â âåðøèíó, â êîòîðîé óæå ïîáûâàëè. Çíà÷èò, ìû ïîëó÷èì çàìêíóòóþ öåïî÷êó ðåáåð, íà êîòîðûõ ñèëà òîêà íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì õîòÿ áû íà îäíîì èç íèõ îíà áîëüøå íóëÿ. Ïî çàäà÷å 4 ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñî âòîðûì ïðàâèëîì Êèðõãîôà, ïîòîìó ÷òî íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ðàâíî íóëþ. Ïðèíöèï òåõíèêè áåçîïàñíîñòè, à âìåñòå ñ íèì è òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äîêàçàíû. Çàäà÷à 5*. Âûâåäèòå èç ïðàâèë Êèðõãîôà, ÷òî åñëè íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè ïîëîæèòåëüíî, òî ñèëà òîêà ÷åðåç íåå: à) íå ðàâíà íóëþ; á) ïîëîæèòåëüíà. Çàäà÷à 6. Íàïðÿæåíèå áàòàðåéêè óâåëè÷èëè â n ðàç. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ñèëû òîêà â öåïè òàêæå óâåëè÷èëèñü â n ðàç. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Äåíà î ðàçðåçàíèè ïðÿìîóãîëüíèêà Ïóñòü ïðÿìîóãîëüíèê ðàçðåçàí íà êâàäðàòû. Ðàñïîëîæèì åãî òàê, ÷òîáû äâå åãî ñòîðîíû áûëè âåðòèêàëüíû, à äâå äðóãèå ãîðèçîíòàëüíû. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëèíà ãîðèçîíòàëüíîé ñòîðîíû ðàâíà 1. ßñíî, ÷òî ñòîðîíû âñåõ êâàäðàòîâ ëèáî âåðòèêàëüíû, ëèáî ãîðèçîíòàëüíû. Ðàññìîòðèì ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçðåçàíèþ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé, ïîñòðîåííàÿ ïî ïðàâèëàì Êèðõãîôà äëÿ ýòîé öåïè, èìååò ðåøåíèå â êà÷åñòâå ñèë òîêîâ ìîæíî âçÿòü äëèíû ñòîðîí êâàäðàòîâ. Ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè äðóãèõ ðåøåíèé ó ýòîé ñèñòåìû íåò. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå î ðåøåíèè ñèñòåìû îíî ñîñòîèò èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó äëèíû ñòîðîí âñåõ êâàäðàòîâ, à ñëåäîâàòåëüíî, è îòíîøåíèå ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà ðàöèîíàëüíû. Òåîðåìà Äåíà äîêàçàíà. Çàäà÷à 7. Ïîêàæèòå, ÷òî êâàäðàò íåëüçÿ ðàçðåçàòü íà ïîäîáíûå (íî íå îáÿçàòåëüíî ðàâíûå) ïðÿìîóãîëüíèêè ñ îòíîøåíèåì ñòîðîí 2 . Äåñåðò Ìû îòâåòèëè íà âñå âîïðîñû, ïîñòàâëåííûå â ñòàòüå, íî åå íàçâàíèå îñòàëîñü çàãàäêîé. Îáúÿñíåíèå íàçâàíèÿ ìû îñòàâèëè íà äåñåðò: ýòî áóäåò íàãëÿäíàÿ êàðòèíêà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîñòðîåííîé ïî ðàçðåçàíèþ. Ðàíüøå ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ âûãëÿäåëà ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÈÊÀ êàê íåêîòîðûé òðþê, òåïåðü íàøà öåëü ïîêàçàòü, êàê äî íåå ìîæíî äîäóìàòüñÿ. Ïóñòü áîëüøîé ïðÿìîóãîëüíèê ðàçðåçàí íà ìåíüøèå (íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòû), è òðåáóåòñÿ âûðàçèòü îòíîøåíèå ñòîðîí áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ÷åðåç îòíîøåíèÿ ñòîðîí ìåíüøèõ. Ðàñïîëîæèì áîëüøîé ïðÿìîóãîëüíèê òàê, ÷òîáû äâå åãî ñòîðîíû áûëè âåðòèêàëüíû, à äâå äðóãèå ãîðèçîíòàëüíû. Îòíîøåíèåì ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü îòíîøåíèå äëèíû åãî ãîðèçîíòàëüíîé ñòîðîíû ê äëèíå âåðòèêàëüíîé. Ïðèìåð 1. Ïðÿìîóãîëüíèê ñ îòíîøåíèåì ñòîðîí R ðàçäåëåí âåðòèêàëüíûì ðàçðåçîì íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà ñ îòíîøåíèÿìè ñòîðîí R1 è R2 (ðèñ.17,à). Ïîêàæåì, ÷òî R = R1 + R2 . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âåðòèêàëüíàÿ ñòîðîíà áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà x. Òîãäà ãîðèçîíòàëüíûå ñòîðîíû ìåíüøèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàâíû R1x è R2 x . Çíà÷èò, R = ( R1x + R2 x ) x = = R1 + R2 . Ðèñ.17. Ðàçðåçàíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà íà 2 ïðÿìîóãîëüíèêà Ïðèìåð 2. Ïðÿìîóãîëüíèê ñ îòíîøåíèåì ñòîðîí R ðàçäåëåí ãîðèçîíòàëüíûì ðàçðåçîì íà äâà ïðÿìîóãîëüíèêà ñ îòíîøåíèÿìè ñòîðîí R1 è R2 (ðèñ.17,á). R1R2 Ïîêàæåì, ÷òî R = . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ãîR1 + R2 ðèçîíòàëüíàÿ ñòîðîíà áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà y. Òîãäà âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû ìåíüøèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàâíû y R1 è y R2 . Çíà÷èò, R= y R1R2 = . y R1 + y R2 R1 + R2 Äà ýòî æå ôîðìóëû ñîïðîòèâëåíèÿ öåïåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ! Îáúÿñíåíèå î÷åíü ïðîñòîå (ðèñ. 18, 19). Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ó íàñ åñòü ïðÿìîóãîëüíàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà. Ñîåäèíèì åå âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû ñ êëåììàìè áàòàðåéêè (òî÷íåå, ê êàæäîé èç âåðòèêàëüíûõ ñòîðîí ïî âñåé äëèíå ïðèëîæèì ïðîâîäíèê, ñîåäèíåííûé ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êëåììîé). Òîãäà ÷åðåç ïëàñòèíêó ïîéäåò òîê â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè. Ïëàñòèíêà èãðàåò ðîëü ðåçèñòîðà. Êàê èçâåñòíî èç ôèçèêè, åå ñîïðîòèâëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî îòíîøåíèþ äëèíû ê ïëîùàäè âåðòèêàëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, ñîïðîòèâëåíèå ïëàñòèíêè ïðîïîðöèîíàëüíî îòíîøåíèþ åå ñòîðîí. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàâíûì 1. Äëÿ ïðèìåðà 1 ïðèñòàâèì äðóã ê äðóãó äâå ïðÿìîóãîëüíûå ïëàñòèíêè îäèíàêîâûìè âåðòèêàëüíûìè ñòî- Ðèñ.18. Ôîðìóëû äëÿ îòíîøåíèÿ ñòîðîí òàêèå æå, êàê è äëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ðîíàìè. Îñòàâøèåñÿ âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû ñîåäèíèì ñ ïîëþñàìè áàòàðåéêè. Ïîëó÷èì öåïü èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ (ðèñ.19,à). Åñëè îòíîøåíèÿ ñòîðîí ýòèõ ïëàñòèíîê R1 è R2 , òî èõ ñîïðîòèâëåíèÿ òîæå R1 è R2 . Ñîïðîòèâëåíèå áîëüøîé ïëàñòèíêè, ñîñòàâëåííîé èç äâóõ, ðàâíî R1 + R2 êàê ñîïðîòèâëåíèå äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ. Âîò «ôèçè÷åñêîå» îáúÿñíåíèå òîãî, ÷òî îòíîøåíèå ñòîðîí áîëüøîé ïëàñòèíêè ðàâíî R1 + R2 . Ïåðåéäåì ê ïðèìåðó 2. Ïðèñòàâèì äâå ïëàñòèíêè äðóã ê äðóãó îäèíàêîâûìè ãîðèçîíòàëüíûìè ñòîðîíàìè, à âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû ñîåäèíèì ñ ïîëþñàìè áàòàðåéêè (ðèñ.19,á). Ïîñêîëüêó òîê òå÷åò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, òî ÷åðåç ëèíèþ ñòûêîâêè òîê íå èäåò. Èçîëèðóåì ïëàñòèíêè äðóã îò äðóãà: òîê è ñîïðîòèâëåíèå öåïè íå èçìåíÿòñÿ. Ìû ïîëó÷èì ïàðó ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ, çíà÷èò, îòíîøåíèå ñòîðîí áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ ïî R1R2 ôîðìóëå . R1 + R2 Ýòî æå ïîñòðîåíèå ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ëþáîãî ðàçðåçàíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà íà ïðÿìîóãîëüíèêè, ñêàæåì äëÿ èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 3. Ïðåäñòàâèì ñåáå áîëüøóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ïëàñòèíêó, ðàçáèòóþ íà ìåíüøèå. Âåðòèêàëüíûå ñòîðîíû áîëüøîé ïëàñòèíêè ñîåäèíèì ñ ïîëþñàìè áàòàðåéêè. Âäîëü ãîðèçîíòàëüíûõ ëèíèé ðàçðåçà èçîëèðóåì ìåíüøèå ïëàñòèíêè äðóã îò äðóãà, à âäîëü âåðòèêàëüíûõ ëèíèé ðàçðåçà ïóñòü îíè ñòûêóþòñÿ. Ìû ïîëó÷èì ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé ðàâíî îòíîøåíèþ ñòîðîí áîëüøîé ïëàñòèíêè (ðèñ.19,â). Íà ñàìîì äåëå ýòî òà æå ñàìàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, êîòîðóþ ìû ïîñòðîèëè ðàíüøå. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè îòíîøåíèå ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà, äîñòàòî÷íî èçìåðèòü ñîïðîòèâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîñòðîåííîé ïî ðàçðåçàíèþ! Îá ýòîì ìû ïîäðîáíî ðàññêàæåì â îäíîì èç ñëåäóþùèõ íîìåðîâ æóðíàëà. Çàäà÷à 8. Ïðÿìîóãîëüíèê ðàçäåëåí íà ïÿòü ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îòíîøåíèÿìè ñòîðîí R1 = R2 = R3 = 1 , R4 = R5 = 3 òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 20. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîí áîëüøîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. Çàäà÷à 9**. Íà ïëîñêîñòè äàíà ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü èç ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèåì 1 è áàòàðåéêè íàïðÿæåíèåì 1. Ïðåäïîëîæèì, âñå ñèëû òîêîâ â öåïè íåíóëåâûå, à âñå êîíòóðû òðåó- Ðèñ. 20. Ðàçðåçàíèå ïðÿìîóãîëüãîëüíûå 9 . Ïîïðîáóéòå íèêà íà 5 ïðÿìîóãîëüíèêîâ äîêàçàòü, ÷òî òîãäà ýòà öåïü ïîëó÷àåòñÿ èç íåêîòîðîãî ðàçðåçàíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà íà êâàäðàòû. Àâòîðû áëàãîäàðíû Åâãåíèþ Âûðîäîâó, Ñåðãåþ Ìàðêåëîâó, Åâãåíèþ Ìîãèëåâñêîìó, Âëàäèìèðó Ïðîòàñîâó, Àëåêñàíäðó Ïðîõîðîâó, Ñâÿòîñëàâó Ôåëüäøåðîâó è Áîðèñó Ôðåíêèíó çà öåííûå çàìå÷àíèÿ. Ì.Ñêîïåíêîâ áëàãîäàðåí çà ïîìîùü Èíñòèòóòó ïðîáëåì ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ÐÀÍ è Óíèâåðñèòåòó íàóêè è òåõíèêè êîðîëÿ Àáäóëëû (Ñàóäîâñêàÿ Àðàâèÿ). 9 Íà ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî â êàæäîì êîíòóðå ïîòåíöèàëû âåðøèí ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ðèñ.19. Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè èç ìåòàëëè÷åñêèõ ïëàñòèíîê
