коэффициенты фурье функций из анизотропного пространства

Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë.
Àëìàòû. 2005. Òîì 5.  4 (18) . C. 97 101
ÓÄÊ 517.5
ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÛ ÔÓÐÜÅ ÔÓÍÊÖÈÉ ÈÇ
ÀÍÈÇÎÒÐÎÏÍÎÃÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ ËÎÐÅÍÖÀ
Í.Ò. Òëåóõàíîâà
Åâðàçèéñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Ë.Í.Ãóìèëåâà
473021 ã. Àñòàíà óë. Ìóíàéòïàñîâà, 5 [email protected]
Èññëåäîâàíû âîïðîñû ñóììèðóåìîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ïî ðåãóëÿðíûì ñèñòåìàì ôóíêöèè èç
àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîðåíöà. Ïîëó÷åíû íèæíèå îöåíêè íîðìû ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà
Ëîðåíöà ÷åðåç êîýôôèöèåíòû Ôóðüå, êîòîðûå óòî÷íÿþò èçâåñòíûå. Ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè
è â ñëó÷àå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ.
Ïóñòü 1 < p < ∞, Φ = {φ}∞
k=1 îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà, îãðàíè÷åííàÿ â ñîâîêóïíîï.â. P∞
ñòè, f ∈ Lp [0, 1], f =
k=1 ak φk (x). Çàäà÷à î ñâîéñòâàõ ñóììèðóåìîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå
{ak }∞
ôóíêöèè
f
â
ñëó÷àå
1 < p < 2 ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà Õàðäèk=0
Ëèòëâóäà-Ïýëè [1]
∞
X
k p−2 (a∗k )p ≤ ckf kpLp ,
(1)
k=1
íåâîçðàñòàþùàÿ ïåðåñòàíîâêà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {|ak |}∞
k=1 .
∞
Åñëè 2 ≤ p < ∞ è îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà Φ = {φ}k=1 ðåãóëÿðíà, òî èç íåðàâåíñòâà,
äîêàçàííîãî Íóðñóëòàíîâûì [2],
ãäå
{a∗k }∞
k=1
∞
X
k p−2 |a¯k |p ≤ ckf kpLp ,
(2)
k=1
¯
¯P
¯
¯
ãäå a¯k = k1 ¯ km=1 am ¯ .
Äàííûå íåðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî è â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå [2,3]. Åñëè æå ðàññìàòðèâàòü
ôóíêöèè èç àíèçîòðîïíûõ ïðîñòðàíñòâ, çàâèñÿùèõ îò âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà p = (p1 , ..., pn ),
òî ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó î ñóììèðóåìîñòè êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå, êîãäà
îäíè ïàðàìåòðû pi áîëüøå 2, à îñòàëüíûå ìåíüøå èëè ðàâíû 2.
Ïóñòü 1 ≤ p = (p1 , . . . , pn ) < ∞, 1 ≤ q = (q1 , ..., qn ) ≤ ∞.
Keywords: Fourier series, anisotropic Lorentz space, lower estimates
2000 Mathematics Subject Classication: 42C10
c Í.Ò. Òëåóõàíîâà, 2005.
98
Í.Ò. Òëåóõàíîâà
Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî Ëåáåãà Lp [0, 1]n ñî ñìåøàííîé ìåòðèêîé êàê ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà [0, 1]n ñ íîðìîé
ÃZ
kf kLp =
µZ
1
1
...
0
0
|f (x1 , ..., xn )|p1 dx1
! p1n
¶ pp2
1
. . . dxn
.
Ïóñòü f (x1 , ..., xn ) èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà [0, 1]n . ×åðåç f ∗ (t) = f ∗1 ,...,∗n (t1 , ..., tn )
îáîçíà÷èì ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ ïðèìåíåíèåì íåâîçðàñòàþùåé ïåðåñòàíîâêè ïîñëåäîâàòåëüíî
ïî ïåðåìåííûì x1 , ..., xn â [0, 1]n , ñ÷èòàÿ îñòàëüíûå ïåðåìåííûå ôèêñèðîâàííûìè. Äàííóþ
ôóíêöèþ f ∗ (t) áóäåì íàçûâàòü íåâîçðàñòàþùåé ïåðåñòàíîâêîé ôóíêöèè f .
Ïðîñòðàíñòâî Lpq [0, 1]n [2,4] îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ
ÃZ
kf kLpq [0,1]n =
µZ
1
...
0
! q1n
¯q1
¯ 1
¶ qq2
1
¯
1
dt
dt
n
1
p
pn ∗1 ...∗n
¯ 1
(t1 , . . . , tn )¯¯
...
< ∞.
¯t1 . . . tn f
t1
tn
1¯
0
Ïóñòü Wj íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ñåìåéñòâà êîíå÷íûõ íàáîðîâ ej ìóëüòèèíäåêñîâ èç
N. Ñåìåéñòâî W = W1 × . . . × Wn ïîäìíîæåñòâ èç Nn íàçîâåì àíèçîòðîïíîé ñåòüþ â Nn .
Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
npq (W ) = {{as1 ,...,sn }s1 ∈Zm1 ,...,sn ∈Zmn :} .


kaknpq (W ) = 
∞
X
kn =1

qn
−1
pn
kn
...
∞
X
q1
−1
p1
k1
1/qn
q2 /q1
(āk1 ...kn (W ))q1 

. . .
=
k1 =1
= Fpq ({āk (W )}) < ∞} ,
çäåñü
¯
¯
1 ¯¯X ¯¯
āk1 ,...,kn (W ) = sup
ak ¯ ,
¯
¯
|ej |>kj |e| ¯
e∈W
k∈e
ãäå |e| êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà e = e1 × . . . × en , à |ej | êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ
ìíîæåñòâà ej , j = 1, . . . , n.
Äëÿ ïðîñòðàíñòâ npq (W ), Lpq [0, 1]n âåðíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.
a). Åñëè W1 ⊂ W2 , òî
npq (W2 ) ,→ npq (W1 ).
b). Ïðè q ≤ q1 âåðíî
npq (W ) ,→ npq1 (W ),
Lpq [0, 1]n ,→ Lpq1 [0, 1]n .
c) Åñëè pj0 < ∞, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 èìåþò ìåñòî âëîæåíèÿ
np̄q1 (W ) ,→ npq (W ),
Lpq [0, 1]n ,→ Lp̄q [0, 1]n ,
ãäå p = (p1 , ..., pn ), q = (q1 , ..., qn ), p̄ = (p1 , ..., pj0 −1 , pj0 −ε, pj0 +1 , ..., pn ), q1 = (q1 , ..., qj0 −1 , ∞, qj0 +1 , ..., qn ).
Òåîðåìà 1 ([2]). Ïóñòü W ïðîèçâîëüíàÿ àíèçîòðîïíàÿ ñåòü â Nn , E = {ε = (ε1 , ..., εn ) :
εi = 0èëè εi = 1} âåðøèíû åäèíè÷íîãî êóáà, 1 < p0 = (p01 , ..., p0n ) < p1 = (p01 , ..., p0n ) < ∞,
Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë
2005. Òîì 5.  4 (18)
Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèé èç àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîðåíöà99
1 < q0 = (q10 , ..., qn0 ), q1 = (q10 , ..., qn0 ) < ∞, qi0 6= qi1 , i = 1, 2, ...n. Åñëè T ëèíåéíûé îïåðàòîð
òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε ∈ E îãðàíè÷åí
T : Lpε [0, 1]n → npε ∞ (W ) ñ íîðìîé Mε ,
ãäå pε = (pε11 , ..., pεnn ), òîãäà
T : Lpr [0, 1]n → nqr (W ), ñ íîðìîékT k ≤ c max Mε ,
ε∈E
ãäå
1
p
=
1−θ
p0
+
θ
p1 ,
1
q
=
1−θ
q0
+
θ
q1 ,
0 < θ = (θ1 , . . . , θn ) < 1, 0 < r = (r1 , . . . , rn ) ≤ ∞ .
Îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó Φ = {φk (x)}∞
k=1 íàçîâåì ðåãóëÿðíîé, åñëè ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà B , ÷òî
1) äëÿ ëþáîãî îòðåçêà e èç [0, 1] è k ∈ N âåðíî
¯Z
¯
¯
¯
¯ φk (x)dx¯ ≤ B min(|e|, 1/k),
¯
¯
e
2) äëÿ ëþáîãî îòðåçêà w èç N è t ∈ [0, 1]
!∗
Ã
X
φk (·) (t) ≤ B min(|w|, 1/t),
k∈w
ãäå
¡P
¢∗
P
k∈w φk (·) (t) íåâîçðàñòàþùàÿ ïåðåñòàíîâêà ôóíêöèé
k∈w φk (x).
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû, ìóëüòèïëèêàòèâíûå ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, ñèñòåìà Óîëøà
ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè.
n
∞
Ïóñòü Ψ1 = {ψk1 (x)}∞
k=1 , . . . , Ψn = {ψk (x)}k=1 îðòîíîðìèðîâàííûå â L2 [0, 1] ðåãóëÿðíûå
ñèñòåìû ôóíêöèé. Îïðåäåëèì Φ = {φk (x)}k∈Nn ñëåäóþùèì îáðàçîì:
φk (x) = φk1 ...kn (x1 , . . . , xn ) = ψk11 (x1 ) . . . ψknn (xn ).
Íàçîâåì åå ðåãóëÿðíîé ñèñòåìîé â [0, 1]n .
Äëÿ f ∈ L1 [0, 1]n îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ïî ñèñòåìå Ψ = {φk }k∈Nn
Z
ak =
f (x)φk (x)dx, k ∈ Nn .
[0,1]n
×åðåç Mp îïðåäåëèì ñåòü â N ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè 1 < p ≤ 2, òî ýòî ìíîæåñòâî âñåõ
îòðåçêîâ èç N, åñëè æå 2 < p < ∞, òî ýòî ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòîâ èç N.
Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞, Mpi ñåòü, îïðåäåëåííàÿ âûøå,
Mp = Mp1 × ... × Mpn −
(3)
ñåòü â Nn
Òåîðåìà 2. Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞, p0i = pi /(pi − 1), 1 ≤ q = (q1 , ..., qn ) ≤ ∞, Mp
ï.â.
ñåòü, îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (3), f ∈ Lpq [0, 1]n , f =
íåðàâåíñòâî



∞
X
kn =1

···
∞
X
Ã
1
p01
1
p0n
!q1
k1 . . . kn āk1 ...kn (Mp )
k1 =1
Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë
P
 q2
1
k1
Nn ak φk (x). Òîãäà èìååò ìåñòî
k∈
q1
 q1
n
1
... 
kn
≤ ckf kLpq .
2005. Òîì 5.  4 (18)
100
Í.Ò. Òëåóõàíîâà
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñëàáîå íåðàâåíñòâî ïðè 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞
1
p01
1
0
sup k1 . . . knpn āk1 ...kn (Mp ) ≤ ckf kLp .
Nn
(4)
k∈
Ïóñòü 1 < p < 2, {φk }∞
k=1 ðåãóëÿðíàÿ ñèñòåìà, ñëåäîâàòåëüíî îíà îãðàíè÷åíà â ñîâîêóïíîñòè. Ïóñòü e ïðîèçâîëüíûé êîìïàêò èç N, |e| êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â e. ×åðåç g(x) îïðåäåëèì
ôóíêöèþ
¯
¯
¯
1 ¯¯X
¯
g(x) = 1/p ¯
φk (x)¯ .
¯
|e| ¯
k∈e
Èç íåðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò
¯Z
¯
¯
¯
0
=
1
|e|1/p
1
¯
¯ ¯¯Z 1
¯
X
¯ ¯
1
¯
f (x) 1/p
f (x)g(x)dx¯¯ = ¯
φk (x)dx¯ =
¯ 0
¯
|e|
k∈e

1
¯
¯
p
|e|
|e|
¯X ¯
X
X
1
¯
¯
∗
p−2 ∗ p 

am ¯ ≤
ak ≤
k (ak )
≤ c1 kf kLp .
¯
¯m∈e ¯ |e|1/p
k=1
k=1
Âîçüìåì âåðõíþþ òî÷íóþ ãðàíü îò âûðàæåíèÿ ñëåâà ïî âñåì f ∈ Lp [0, 1] ñ íîðìîé kf kLp = 1.
Èç îáðàòíîãî íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà èìååì
kgkLp0 ≤ c1 .
(5)
Ïóñòü òåïåðü 2 ≤ p < ∞, Φ = {φk }∞
k=1 ðåãóëÿðíàÿ ñèñòåìà, ω ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê â N.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
¯
¯
¯
1 ¯¯X
¯
ψ(x) =
φk (x)¯ .
¯
1/p
¯
¯
|ω|
k∈ω
Èç íåðàâåíñòâà (2) èìååì
¯Z
¯
¯
¯
0
1
¯
¯ ¯¯Z 1
¯
X
¯ ¯
1
1
¯
φk (x)dx¯ =
f (x)ψ(x)dx¯¯ = ¯
f (x) 1/p
¯ 0
¯ |ω|1/p
|ω| k∈ω
¯
¯
¯X
¯
¯
¯
am ¯ ≤ c2 kf kLp .
¯
¯m∈ω ¯
Àíàëîãè÷íî èìååì
kψ(x)kLp0 ≤ c2 .
(6)
Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞, Mp ñåòü, óêàçàííàÿ â óñëîâèè òåîðåìû, Q ïðîèçâîëüíûé
ýëåìåíò ñåòè. Òîãäà
Q = Q1 × · · · × Qn ,
ãäå Qi îòðåçîê, åñëè 2 ≤ pi < ∞, è Qi êîìïàêò, åñëè 1 < pi < 2.
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå
¯
¯
¯
¯ X
X
¯
¯
1
¯
···
ak1 ...kn ¯¯ =
1
1 ¯
¯
|Q1 | p1 . . . |Qn | pn ¯k1 ∈Q1
kn ∈Qn
¯
¯
¯Z 1
¯
Z 1
n
Y
X
¯
¯
1
i
···
f (x1 , ..., xn )
= ¯¯
φki (x)dx1 ...dxn ¯¯ ≤
|Qi |
0
¯ 0
¯
i=1
ki ∈Qi
Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë
2005. Òîì 5.  4 (18)
Êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèé èç àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà àíèçîòðîïíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîðåíöà101
Z
≤

1
Z
· · ·
0
0
¯
¯

¯ X
¯
¯
¯
1 ¯
|f (x1 , ..., xn )| 
φ1k1 (x1 )¯¯ dx1 ... ×
|Q1 | ¯¯
¯
k1 ∈Q1
¯
¯
¯
¯
¯
1 ¯¯ X n
×
φkn (xn )¯¯ dxn .
¯
|Qn | ¯
¯
kn ∈Qn

1
Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ïî êàæäîé ïåðåìåííîé è îöåíèì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ÷åðåç
°
¯
¯°
¯
¯°
n °
Y
° 1 ¯ X i ¯°
°
¯
kf kLp ·
φki ¯¯°
° |Qi | ¯
° .
¯ki ∈Qi
¯°
i=1 °
Lp0
i
Âîñïîëüçóåìñÿ (5) è (6), ïîëó÷èì
1
1
1
|Q1 | p1 . . . |Qn | pn
¯
¯
¯ X
¯
X
¯
¯
¯
···
ak1 ...kn ¯¯ ≤ cj1 · cn−j
2 kf kLp ,
¯
¯k1 ∈Q1
¯
kn ∈Qn
ãäå j êîëè÷åñòâî pi áîëüøå 2, à êîíñòàíòû c1 è c2 èç íåðàâåíñòâ (5), (6) ñîîòâåòñòâåííî.
Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü âûáîðà Q èç Mp , äëÿ ïðîèçâîëüíîãî 1 < p =
(p1 , ..., pn ) < ∞ âåðíî
kaknp0 ∞(Mp ) ≤ ckf kLp .
(7).
Ïóñòü 1 < p = (p1 , ..., pn ) < ∞. Íàéäóòñÿ p0 = (p01 , ..., p0n ) è p1 = (p11 , ..., p1n ) òàêèå, ÷òî
1 < p0 < p < p1 < ∞, ïðè÷åì, åñëè 2 < pi < ∞, òî 2 < p0i < pi < p1i < ∞.  ýòîì ñëó÷àå èìååì
Mp ⊂ Mp0 , Mp ⊂ Mp1 è, áîëåå òîãî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ε ∈ E, Mp ⊂ Mpε , ãäå pε = (pε11 , ..., pεnn ).
Èç (7) ñëåäóåò
kaknp0 ∞ (Mp ) ≤ kaknpε ∞ (Mpε ) ≤ ckf kLp
ε
äëÿ ëþáîãî ε ∈ E.
Ïðèìåíèì èíòåðïîëÿöèîííóþ òåîðåìó 1, ïîëó÷èì íóæíîå íàì óòâåðæäåíèå.
Öèòèðîâàííàÿ ëèòåðàòóðà
1.
2.
3.
4.
Áàðè Í.Ê. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû. Ì., 1961.
Íóðñóëòàíîâ Å.Ä. //Èçâ. ÐÀÍ. 2000. Ò.64,  1. C. 95-122.
Nursultanov E.D. // East J. Approx. 1998. V 4,  2. P. 243-275
Blozinski A.P. //Transactions of the American Math. Soc. 1981. V.263,  1. P. 149-167.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10.09.2005ã.
Ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë
2005. Òîì 5.  4 (18)