Условная вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса

7. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. Ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà
7.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ
Ïóñòü A è B íåêîòîðûå ñîáûòèÿ è P(B) > 0, òîãäà P(A|B) = P(AB)
P(B) óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü A ïðè óñëîâèè B .
Ïóñòü A íåêîòîðîå ñîáûòèå, H1 , . . . , Hn ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå
ñîn
áûòèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûìè âåðîÿòíîñòÿìè è òàêèå, ÷òî A ⊂ j=1
∪ Hj . Òîãäà
P(A) =
n
X
P(Hj )P(A|Hj )
(ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè)
j=1
Îáû÷íî ñîáûòèÿ H1 , . . . , Hnn íàçûâàþò ãèïîòåçàìè. ×àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêèå ãèïîòåçû, ÷òî j=1
∪ Hj = Ω.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî îíè
îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé.
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü P(Hi |A) ðàâíà
P(Hi |A) =
P(AHi )
P(Hi )P(A|Hi )
= P
n
P(A)
P(Hj )P(A|Hj )
(ôîðìóëà Áàéåñà)
j=1
 çàäà÷àõ íà ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áàéåñà óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè
P(A|Hi ) ëèáî çàäàíû â òåêñòå, ëèáî ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ.
7.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå
 îäíîì ìàëåíüêîì ãîðîäêå ïîëèöèÿ ðàçûñêèâàåò áðîäÿãó. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî åñòü ÷åòûðå øàíñà èç ïÿòè, ÷òî îí íàõîäèòñÿ â îäíîì èç âîñüìè
áàðîâ ãîðîäêà, áåçðàçëè÷íî â êàêîì îí íå îòäàåò ïðåäïî÷òåíèÿ íè îäíîìó
èç íèõ. Äâîå ïîëèöåéñêèõ ïîñåòèëè ñåìü áàðîâ, íî áðîäÿãó íå îáíàðóæèëè.
Êàêîâû øàíñû íàéòè åãî â âîñüìîì áàðå?
Ýòî çàäà÷à íà îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè.
1/3.
Ãðóïïà ñòóäåíòîâ, ñäàþùàÿ ýêçàìåí, ñîñòîèò èç 5 îòëè÷íèêîâ, 10 õîðîøèõ ñòóäåíòîâ è 15 ñëàáûõ ñòóäåíòîâ. Îòëè÷íèê âñåãäà ïîëó÷àåò îöåíêó
¾îòëè÷íî¿, õîðîøèé ñòóäåíò ¾îòëè÷íî¿ è ¾õîðîøî¿ ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè, ñëàáûé ñòóäåíò ¾õîðîøî¿, ¾óäîâëåòâîðèòåëüíî¿ è ¾íåóäîâëåòâîðèòåëüíî¿ ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî
íàóãàä âûçâàííûé ñòóäåíò ïîëó÷èò îöåíêó ¾îòëè÷íî¿, ¾õîðîøî¿, ¾óäîâëåòâîðèòåëüíî¿, ¾íåóäîâëåòâîðèòåëüíî¿.
1/3, 1/3, 1/6, 1/6.
×èñëî ãðóçîâûõ ìàøèí, ïðîåçæàþùèõ ìèìî áåíçîêîëîíêè, îòíîñèòñÿ
ê ÷èñëó ëåãêîâûõ ìàøèí êàê 3:2. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ãðóçîâàÿ ìàøèíà
áóäåò çàïðàâëÿòüñÿ, ðàâíà 0.1, à òîãî, ÷òî áóäåò çàïðàâëÿòüñÿ ëåãêîâàÿ 1.
Óêàçàíèå.
Îòâåò.
2.
Îòâåò.
3.
1
0.2. Ó áåíçîêîëîíêè çàïðàâëÿåòñÿ ìàøèíà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ýòî
ãðóçîâàÿ ìàøèíà.
3/7.
Äâà îõîòíèêà îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî ñòðåëÿþò â êàáàíà. Èçâåñòíî,
÷òî ïåðâûé ïîïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8, à âòîðîé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.4. Êàáàí
óáèò, è â í¼ì îáíàðóæåíà îäíà ïóëÿ. Êàê äåëèòü êàáàíà?
 ïðîïîðöèè 6:1.
 ïóíêòå ïðîêàòà èìååòñÿ 10 òåëåâèçîðîâ, äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü èñïðàâíîé ðàáîòû â òå÷åíèå ìåñÿöà ðàâíà 0.9, è 5 òåëåâèçîðîâ ñ àíàëîãè÷íîé
âåðîÿòíîñòüþ 0.95. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâà òåëåâèçîðà, âçÿòûå íàóäà÷ó â ïóíêòå ïðîêàòà, áóäóò ðàáîòàòü èñïðàâíî â òå÷åíèå ìåñÿöà.
3529
4200 ≈ 0.8402.
Îòâåò.
4.
Îòâåò.
5.
Îòâåò.
7.3. Äîìàøíåå çàäàíèå
 ãîðîäå N äîæäëèâûìè áûâàþò ÷åòâåðòü âñåõ äíåé. Êðîìå òîãî, çàìå÷åíî, ÷òî åñëè â êàêîé-òî äåíü äîæäü øåë, òî â äâóõ ñëó÷àÿõ èç òðåõ îí
áóäåò èäòè è íà ñëåäóþùèé äåíü. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàâòðà
áóäåò õîðîøàÿ ïîãîäà, åñëè ñåãîäíÿ äîæäÿ íå áûëî?
8/9.
Íà ôàáðèêå, èçãîòîâëÿþùåé áîëòû, ïåðâàÿ ìàøèíà ïðîèçâîäèò 25%,
âòîðàÿ 35%, òðåòüÿ 40% âñåõ èçäåëèé. Â èç ïðîäóêöèè áðàê ñîñòàâëÿåò
5, 4 è 2%.
• Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíî âûáðàííûé áîëò äåôåêòíûé?
• Ñëó÷àéíî âûáðàííûé áîëò îêàçàëñÿ äåôåêòíûì. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî îí áûë ïðîèçâåä¼í ïåðâîé, âòîðîé, òðåòüåé ìàøèíîé?
140
80
0.0345; 125
345 , 345 , 345 .
 êîðîáêå ëåæàò 3 íîâûõ è 3 óæå èñïîëüçîâàííûõ òåííèñíûõ ìÿ÷à. Äëÿ
ïåðâîé èãðû íàóäà÷ó áåðóò èç êîðîáêè 2 ìÿ÷à è çàòåì èõ âîçâðàùàþò â
êîðîáêó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü äëÿ âòîðîé èãðû èç ýòîé êîðîáêè íàóäà÷ó
âûíóòü 2 íîâûõ ìÿ÷à?
2/25.
 óðíå ëåæàëî 8 áåëûõ è 4 ÷¼ðíûõ øàðà. Îäèí øàð ïîòåðÿí, è öâåò åãî
íåèçâåñòåí. Èç óðíû áåç âîçâðàùåíèÿ èçâëåêëè äâà øàðà, è îáà îêàçàëèñü
áåëûìè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûë ïîòåðÿí ÷¼ðíûé øàð? Êàêîâ
áóäåò îòâåò çàäà÷è, åñëè ðåçóëüòàò èçâëå÷åíèÿ äâóõ øàðîâ íåèçâåñòåí?
2/5; 1/3.
Ñòðåëîê A ïîðàæàåò ìèøåíü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.6, ñòðåëîê B ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5, ñòðåëîê C ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.4. Ñòðåëêè äàëè çàëï ïî ìèøåíè,
è äâå ïóëè ïîïàëè â öåëü. ×òî âåðîÿòíåå: ïîïàë ñòðåëîê C â ìèøåíü èëè
íåò? Íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè.
10/19 è 9/19, ò. å. âåðîÿòíåå, ÷òî C ïîïàë â ìèøåíü.
6.
Îòâåò.
7.
Îòâåò.
8.
Îòâåò.
9.
Îòâåò.
10.
Îòâåò.
2