61

ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
2. Íóæíî ñäåëàòü ïÿòü ïåðåëèâàíèé. Óêàçàíèå. Ñ ïîìîùüþ
óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà íàõîäèì, ÷òî ðàçíîñòü òåìïåðàòóð ïîñëå ïåðâîãî ïåðåëèâàíèÿ òóäà-îáðàòíî ñîñòàâèò 6 °Ñ,
ïîñëå âòîðîãî – 3,6 °Ñ, ïîñëå òðåòüåãî – 2,16 °Ñ, ïîñëå ÷åòâåðòîãî – 1,296 °Ñ, ïîñëå ïÿòîãî – 0,7776 °Ñ. Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî ïÿòè ïåðåëèâàíèé.
9 ÊËÀÑÑ
ÐÅØÅÍÈß
61
Òåïåðü ìîæíî íàéòè ñêîðîñòü, êîòîðóþ áóäóò èìåòü îáà áðóñêà ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ ñî ñòåíîé:
u = v0 − µgt2 = v02 − 2aµg .
Ýòî âòîðîé îòâåò çàäà÷è.
2. Àâòîáóñ, âåëîñèïåäèñò è ãðóçîâèê â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, îñíîâàíèå êîòîðîãî ëåæèò íà äîðîãå, ïî êîòîðîé åäóò àâòîáóñ è âåëîñèïåäèñò
(ðèñ.10). Íàïðàâèì îñü Õ âäîëü ýòîé äîðîãè â íàïðàâëåíèè
1. Ïîñëå óäàðà âåðõíåãî áðóñêà î ñòåíó åãî ñêîðîñòü èçìåíèòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ïî íàïðàâëåíèþ, ñîõðàíèâ ñâîé
ìîäóëü, à ñêîðîñòü íèæíåãî áðóñêà íå èçìåíèòñÿ. Çàòåì
áðóñêè íà÷íóò äâèãàòüñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ îäèíàêîâûìè ïî ìîäóëþ íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè è ðàâíûìè ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè óñêîðåíèÿìè. Èç-çà
ýòîãî ñêîðîñòè áðóñêîâ áóäóò óìåíüøàòüñÿ, âñå âðåìÿ îñòàâàÿñü ðàâíûìè äðóã äðóãó. Â ðåçóëüòàòå íèæíèé áðóñîê ëèáî
íå äîñòèãíåò ñòåíû, ëèáî âñå æå óäàðèòñÿ î íåå, èìåÿ íåêîòîðóþ ñêîðîñòü u.  ïåðâîì ñëó÷àå îáà áðóñêà îñòàíóòñÿ ñòîÿòü
íåïîäâèæíî íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò ñòåíû. Âî âòîðîì
ñëó÷àå íèæíèé áðóñîê, óäàðèâøèñü î ñòåíó, ïîìåíÿåò íàïðàâëåíèå ñâîåé ñêîðîñòè íà ïðîòèâîïîëîæíîå, â ðåçóëüòàòå
÷åãî ïðîñêàëüçûâàíèå ìåæäó áðóñêàìè ïðåêðàòèòñÿ è îáà
áðóñêà ïðîäîëæàò äâèæåíèå ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé u, â íàïðàâëåíèè îò ñòåíû. Ðàññìîòðèì îòäåëüíî îáà ñëó÷àÿ.
Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàòíîé îñè Õ â óãîë ìåæäó ñòåíîé è
ïîëîì è íàïðàâèì åå â ñòîðîíó ïåðâîíà÷àëüíîãî äâèæåíèÿ
áðóñêîâ. ßñíî, ÷òî ïîñëå ïåðâîãî óäàðà ñèëà òðåíèÿ ìåæäó
áðóñêàìè ñîñòàâëÿåò Fòð = µMg , óñêîðåíèå íèæíåãî è âåðõíåãî áðóñêîâ ïî ìîäóëþ ðàâíî Fòð M = µg . Òîãäà çàêîí
äâèæåíèÿ ïåðåäíåé ãðàíè íèæíåãî áðóñêà èìååò âèä
Ðèñ. 10
µgt
,
2
à åãî ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó
Èç óñëîâèÿ çàäà÷è íàì èçâåñòåí ìîäóëü ñêîðîñòè ãðóçîâèêà,
êîòîðûé ñâÿçàí ñ ïðîåêöèÿìè ñêîðîñòè ôîðìóëîé
2
x = −a + v0t −
µgt
< 0.
2
Ðåøàÿ åãî, íàõîäèì, ÷òî äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, ñîäåðæàùåãîñÿ â íåðàâåíñòâå, îòðèöàòåëåí ïðè
x = −a + v0t −
vA+vB
Ã
äâèæåíèÿ àâòîáóñà è âåëîñèïåäèñòà, à îñü Y – ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé. Òîãäà çàêîíû äâèæåíèÿ äëÿ àâòîáóñà, âåëîñèïåäèñòà è ãðóçîâèêà áóäóò èìåòü âèä
bg
x bt g = x
B
bg
xà t =
t2 =
v0
±
µg
v02 − 2aµg
= t1 ±
µg
v02 − 2aµg
.
µg
Äëÿ òîãî ÷òîáû íèæíèé áðóñîê ñòóêíóëñÿ î ñòåíó, íóæíî,
÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå t 2 < t1 (èíà÷å áðóñîê îñòàíîâèòñÿ ðàíüøå, ÷åì äîåäåò äî ñòåíû). Ïîýòîìó îñòàåòñÿ òîëüêî
ðåçóëüòàò ñî çíàêîì «ìèíóñ» ïåðåä êîðíåì:
t2 =
v0
−
µg
B0
v02 − 2aµg
.
µg
B
B
bg
xA 0 + xB 0 vA + vB
+
t , yà t = yÃ0 + vÃyt .
2
2
vÃ2 =
FG v
H
A
+ vB
2
IJ + dv i ,
K
2
2
Ãy
îòêóäà íàõîäèì ïðîåêöèþ ñêîðîñòè ãðóçîâèêà íà îñü Y:
vÃy =
vÃ2 −
FG v
H
A
+ vB
2
IJ
K
2
.
Òåïåðü íàéòè ñêîðîñòü ãðóçîâèêà îòíîñèòåëüíî àâòîáóñà íå
ñîñòàâëÿåò òðóäà. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, ïðèìåíåííîé ê òðåóãîëüíèêó ñêîðîñòåé, èìååì
FG
H
2
= vA −
vîòí
Çíà÷èò, ïðè v < 2aµg îáà áðóñêà â êîíöå êîíöîâ îñòàíîâÿòñÿ. Ýòî ïåðâûé îòâåò çàäà÷è.
Ïóñòü òåïåðü v02 ≥ 2aµg . Èç çàêîíà äâèæåíèÿ íèæíåãî áðóñêà íàéäåì, ÷åðåç êàêîå âðåìÿ t 2 îí ñòóêíåòñÿ î ñòåíó:
bg
+ v t , y btg = 0 ,
x A t = x A0 + vAt , y A t = 0 ,
v02 < 2a µg .
2
0
vÃ
vÃy
Y
2
Ýòî è åñòü èñêîìîå óñëîâèå. Âðåìÿ, ÷åðåç êîòîðîå íèæíèé
áðóñîê îñòàíîâèòñÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü, ïðèðàâíÿâ ñêîðîñòü
v íóëþ:
v
t1 = 0 .
µg
vB
B
X
v = v0 − µgt ,
ïðè ýòîì âðåìÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ìîìåíòà óäàðà âåðõíåãî
áðóñêà î ñòåíó. Íàéäåì óñëîâèå íà ñêîðîñòü v0 , ïðè êîòîðîé
íèæíèé áðóñîê íå äîåäåò äî ñòåíû (íå äîñòèãíåò êîîðäèíàòû
õ = 0). Îíî ïîëó÷àåòñÿ èç íåðàâåíñòâà
vA
A
îòêóäà
vA + vB
2
IJ + dv i ,
K
2
2
Ãy
vîòí = vÃ2 − vAvB = 25 êì/÷.
10 ÊËÀÑÑ
1.  óñëîâèè ñêàçàíî, ÷òî êîðîáêà ëåãêàÿ. Çíà÷èò, åå ìàññîé
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîñêîëüêó äàâëåíèÿ âîçäóõà âíóòðè è
âíå êîðîáêè âñå âðåìÿ îäèíàêîâû, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî
âñïëûâàþùàÿ êîðîáêà íèêîãäà íå óïðåòñÿ â êðûøêó öèëèíäðà.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ó÷åñòü ìàññó êîðîáêè, òî ðåçóëüòàò áóäåò
çàâèñåòü îò ïëîòíîñòè ìàòåðèàëà ρì , èç êîòîðîãî îíà èçãîòîâëåíà. Åñëè ρì < ρ , òî êîðîáêà â êîíöå êîíöîâ âñïëûâåò
è óïðåòñÿ â êðûøêó öèëèíäðà, à åñëè ρì > ρ , òî îíà óòîíåò.
2. Äîêàæåì, ÷òî åñëè øàðèê ïîâîðà÷èâàåò íà óãîë α < 180°
çà äâà óäàðà, òî ïðè çàäàííîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè åãî êîíå÷íàÿ ñêîðîñòü áóäåò ìàêñèìàëüíîé â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðè
êàæäîì óäàðå îí ïîâîðà÷èâàë íà óãîë α 2 .
Ïóñòü äî ïåðâîãî óäàðà ïåðâûé øàðèê äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ