ТЕМА 7. Определенный интеграл Цель и задачи Оглавление

ÒÅÌÀ 7. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë
Öåëü è çàäà÷è
Öåëü êîíòåíòà òåìû 7 ââåñòè ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà è îñíîâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà,
ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ ïðèëîæåíèÿìè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ê ýêîíîìè÷åñêèì çàäà÷àì.
Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 7:
• Äàòü îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà è ðàññìîòðåòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë.
• Èçëîæèòü îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
• Ïðèâåñòè îñíîâíóþ òåîðåìó èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ î âû÷èñëåíèè
îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
• Ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëåé ñ îñíîâíûìè ìåòîäàìè âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
• Ðàññìîòðåòü çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
• Îáîáùèòü ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî
ïðîìåæóòêà è íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè.
• Ïðèâåñòè ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ è ìåòîäû åãî ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ.
Îãëàâëåíèå
Ÿ 7.1. Îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë.
Ÿ 7.2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Ÿ 7.3. Èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Òåîðåìà ÍüþòîíàËåéáíèöà.
Ÿ 7.4. Îñíîâíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ: çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì.
Ÿ 7.5. Èñïîëüçîâàíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé
ïëîñêèõ ôèãóð.
1
Ÿ 7.6. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû è ïðèçíàêè èõ ñõîäèìîñòè.
Ÿ 7.7. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýêîíîìè÷åñêèõ
çàäà÷àõ.
Ÿ 7.8. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ìåòîäû ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé.
Ÿ 7.1.
Îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà èñòîðè÷åñêè áûëî ââåäåíî â ñâÿçè ñ
çàäà÷àìè âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû è íàõîæäåíèÿ ïóòè, ïðîéäåííîãî òî÷êîé ïðè åå ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè ñ ïåðåìåííîé ñêîðîñòüþ.
Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â
ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå è ðàçëè÷íûõ åãî ïðèëîæåíèÿõ.
Îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) çàäàíà íà
îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a, b] íà n ïðîèçâîëüíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè
a = x0 < x1 < . . . < xn = b è íà êàæäîì îòðåçêå [xk−1 , xk ], 1 ≤ k ≤ n,
âûáåðåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì òî÷êó ξk . Ñîñòàâèì ñóììó:
Sn = f (ξ1 )(x1 −x0 )+f (ξ2 )(x2 −x1 )+f (ξ3 )(x3 −x2 )+· · ·+f (ξn )(xn −xn−1 ) =
=
n
X
f (ξk )(xk − xk−1 ).
k=1
Ñóììà Sn íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé èëè ñóììîé Ðèìàíà.
Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà Sn çàâèñèò îò âûáîðà ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] è
îò âûáîðà òî÷åê ξ1 , ξ2 , . . . , ξn .
Îáîçíà÷èì ∆xk = xk − xk−1 , ò. å. äëèíó k -ãî îòðåçêà, è λn = max ∆xk
1≤k≤n
íàçîâåì ðàíãîì ðàçáèåíèÿ δn = {x1 , x2 , . . . , xn }.
Ðàññìîòðèì òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé {δn }, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
lim λn = lim ( max ∆xk ) = 0.
n→∞
n→∞ 1≤k≤n
(7.1.1)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé {δn }, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ (7.1.1), ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èíòåãðàëüíûõ ñóìì Sn . Åñëè ñóùåñòâîâàíèå è âåëè÷èíà lim Sn
n→∞
íå çàâèñÿò îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçáèåíèé {δn }, à òàêæå îò âûáîðà òî÷åê ξk â êàæäîé èç èíòåãðàëüíûõ ñóìì, òî ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ
2
îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] è îáîçíà÷àåòñÿ
Zb
f (x)dx. Òàêèì îáðàçîì,
a
Zb
f (x)dx =
a
lim
(max ∆xk )→0
k
n
X
f (ξk )∆xk ,
(7.1.2)
k=1
Ïðè ýòîì x íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ; f (x) ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé; a íèæíèì, b âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ; îòðåçîê [a, b] ïðîìåæóòêîì èíòåãðèðîâàíèÿ.
Za
Zb
Za
Äîïîëíèòåëüíî ïîëàãàþò, ÷òî f (x)dx = 0 è f (x)dx =− f (x)dx.
a
a
b
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé íà îòðåçêå [a, b], åñëè äëÿ íåå
ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (7.1.2), ò. å. ñóùå-
Zb
ñòâóåò f (x)dx.
a
Òåîðåìà 7.1.1 (Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè).
• Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
• Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà íà [a, b] è èìååò íà íåì êîíå÷íîå ÷èñëî
òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
• Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà è ìîíîòîííà íà [a, b], òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
Çàìå÷àíèå 7.1.1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà [a, b],
òî îíà íå èíòåãðèðóåìà íà [a, b].
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Êàê óæå îòìå÷àëîñü,
ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà èñòîðè÷åñêè âîçíèêëî èç çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) íåïðåðûâíóþ è íåîòðèöàòåëüíóþ íà îòðåçêå
[a, b]. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ ñóììà
Sn =
n
X
f (ξk )∆xk
(7.1.3)
k=1
3
åñòü ñóììà ïëîùàäåé âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îñíîâàíèÿìè ∆xk è âûñîòàìè
f (ξk ) ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 7.1.1).
×åì ìåíüøå ðàíã äðîáëåíèÿ, ò. å. ÷åì ìåíüøå äëèíà êàæäîãî îòðåçêà
[xk−1 , xk ], òåì òî÷íåå èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Sn ïðèáëèæàåò S ïëîùàäü
êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), îñüþ
àáñöèññ è âåðòèêàëÿìè x = a, x = b (ðèñ. 7.1.1).
y
6
ξ1
ξi
0 a = x0 x1 · · · xi−1 xi
···
ξn
xn−1b = xn x
Ðèñ. 7.1.1
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ñóììå (7.1.3), ïîëó÷èì
Zb
S=
f (x)dx = n→∞
lim σn .
λn →0
a
Rb
a
Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
f (x)dx äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé è íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèè f (x) ñî-
ñòîèò â òîì, ÷òî ýòîò èíòåãðàë ðàâåí ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè,
îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), îñüþ àáñöèññ è ïðÿìûìè x = a,
x = b (ðèñ. 7.1.2).
Çàìå÷àíèå 7.1.2. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a, b] è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó f (x) ≤ 0 ïðè âñåõ x ∈ [a, b], òî S ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ýòîé ôóíêöèè, îñüþ àáñöèññ è ïðÿìûìè x = a, x = b (ðèñ. 7.1.3), ðàâíà ÷èñëó, ïðîòèâîïîëîæíîìó ïî çíàêó
Zb
f (x)dx, ò. å.
a
Zb
S=−
f (x)dx.
a
4
y
y
6
6
0
a
y = f (x)
@
@
@@
@
@
@
@@ @@
@@
@@ @@ @
@@
@
@
@
@ @ @ @ @@ @
@ @ @ @
@
@
@ @ @ @ @@ @
@
@@ @ @ @ @ @
@ @ @ @ @ @
@
@ @ @ @ @ @ @
0
a
x
-
y = f (x)
-
b
x
Ðèñ. 7.1.2
Ÿ 7.2.
b
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡
¡
¡
¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡
¡
¡
¡
¡¡
¡¡ ¡¡ ¡
¡¡
¡¡ ¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡
Ðèñ. 7.1.3
Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
Zb
Zb
Zb
• (c1 f (x)+c2 g(x))dx = c1 f (x)dx+c2 g(x)dx, ãäå c1 , c2 íåêîòîðûå
a
a
÷èñëà.
a
Zb
Zc
Zb
• f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a
a
c
Za
• Åñëè f (x) íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ íà [−a, a], òî f (x)dx = 0.
−a
Za
Za
• Åñëè f (x) ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ íà [−a, a], òî f (x)dx = 2 f (x)dx.
−a
0
Çàìå÷àíèå 7.2.1. Êàæäîå èç âûøåïðèâåäåííûõ ñâîéñòâ ñïðàâåäëèâî ïðè
óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ âñåõ âñòðå÷àþùèõñÿ â íåì îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ.
Òåîðåìà 7.2.1 (Îá èíòåãðèðîâàíèè íåðàâåíñòâ). Åñëè f (x) ≥ g(x), x ∈
[a, b] è ôóíêöèè f (x) è g(x) èíòåãðèðóåìû íà [a, b], òî
Zb
Zb
f (x)dx ≥ g(x)dx.
a
a
5
Òåîðåìà 7.2.2 (Îá îöåíêå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà).
• Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà [a, b], ïðè÷åì äëÿ âñåõ x ∈ [a, b]
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî m ≤ f (x) ≤ M, ãäå m è M íåêîòîðûå
÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâî
Zb
m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a).
a
• Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà íà [a, b], òî
¯ b
¯
¯Z
¯ Zb
¯
¯
¯ f (x)dx¯ ≤ |f (x)|dx.
¯
¯
¯
¯
a
a
Òåîðåìà 7.2.3 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà î ñðåäíåì çíà÷åíèè). Ïóñòü f (x)
îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà [a, b], òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå c ∈ (a, b), ÷òî
Zb
f (x)dx = f (c)(b − a).
a
1
Ïðè ýòîì çíà÷åíèå f (c) =
b−a
ôóíêöèè f (x) íà [a, b].
Ÿ 7.3.
Zb
f (x)dx íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì
a
Èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Òåîðåìà ÍüþòîíàËåéáíèöà
Êàê ìû âèäåëè ⠟7.1, îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ÿâëÿåòñÿ
äîñòàòî÷íî ñëîæíûì è íå äàåò ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ.  äàííîì ïàðàãðàôå áóäóò ïðèâåäåíû îñíîâíûå òåîðåìû èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü òî÷íîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ äëÿ áîëüøîãî êëàññà ôóíêöèé.
Òåîðåìà 7.3.1 (Áàððîó î äèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì
âåðõíèì ïðåäåëîì). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà [a, b], òî ôóíêöèÿ
Zx
Φ(x) = f (t)dt
a
6
äèôôåðåíöèðóåìà ïðè ëþáîì x ∈ [a, b] è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
d
Φ0 (x) =
dx
Zx
f (t)dt = f (x), x ∈ [a, b].
a
Ñëåäñòâèå 7.3.1. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ f , íåïðåðûâíàÿ íà [a, b], èìååò íà [a, b]
ïåðâîîáðàçíóþ
Zx
Φ(x) = f (t)dt
a
Òåîðåìà 7.3.2 (Îñíîâíàÿ òåîðåìà èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ). Åñëè
ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è ôóíêöèÿ F (x) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé åå ïåðâîîáðàçíîé íà ýòîì îòðåçêå, òî èìååò ìåñòî ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà
Zb
f (x)dx = F (b) − F (a).
(7.3.1)
a
Çàìå÷àíèå 7.3.1. Ðàçíîñòü F (b) − F (a) ÷àñòî îáîçíà÷àþò ñèìâî-
¯b
¯
ëîì F (x)¯ .
a
Ïðèìåð 7.3.1. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà (7.3.1) è ñâîéñòâà
îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, âû÷èñëèòü ñëåäóþùèå èíòåãðàëû:
¶
Z1
Z2 µ
√
7
2
3
à)
dx.
xdx; á)
−√
x
1 + x2
−8
1
Ðåøåíèå. à) Â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöåé íåîïðåäåëåííûõ
èíòåãðàëîâ îäíîé
√
èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f (x) =
3
x íà [−8, 1] ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
3 4
F (x) = x 3 . Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷èì
4
¯1
Z1
√
4¯
4
3
3 3
45
3
xdx = x 3 ¯¯
= − (−8) 3 = − .
4 −8
4 4
4
−8
á) Èñïîëüçóÿ ïåðâîå ñâîéñòâî îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ èç Ÿ7.2 è ôîðìóëó
ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷èì
Z2 µ
¶
Z2
Z2
7
2
dx
dx
−√
dx = 7
−2 √
=
x
x
x2 + 1
1 + x2
1
1
1
√
¯2
¯
p
¯
¯2
5
2
+
√ .
= 7 ln |x|¯¯ − 2 ln |x + x2 + 1|¯¯ = 7 ln 2 − 2 ln
1+ 2
1
1
7
Ÿ 7.4.
Îñíîâíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ: çàìåíà ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå
ïî ÷àñòÿì
 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû íàó÷èëèñü âû÷èñëÿòü îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû, ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ ïîäûíòåãðàëüíûìè ôóíêöèÿìè òàáëè÷íûõ íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ èëè èõ ëèíåéíûìè
êîìáèíàöèÿìè. Â ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ ðàñøèðèò ìíîæåñòâî îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, êîòîðûå ìû ñìîæåì
âû÷èñëèòü.
Òåîðåìà 7.4.1 (î çàìåíå ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå). Ïóñòü
ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è ôóíêöèÿ x = ϕ(t) íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìà è ìîíîòîííà íà îòðåçêå [α, β], ïðè÷åì a = ϕ(α), b =
ϕ(β), òîãäà
Zb
Zβ
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
f (x)dx =
a
(7.4.1)
α
Çàìå÷àíèå 7.4.1. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîâûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ,
ò. å. α è β , óäîáíî îò ôîðìóëû x = ϕ(t) ïåðåéòè ê ôîðìóëå t = ψ(x),
ãäå ψ(x) åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ôóíêöèè ϕ(t) íà [α, β]. Òîãäà ïðåäåëû α è β îïðåäåëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ðàâåíñòâ
α = ψ(a), β = ψ(b).
(7.4.2)
Îòìåòèì, ÷òî åñëè α > β , òî ïîä ñèìâîëîì [α, β] ïîíèìàåòñÿ îòðåçîê [β, α].
Z2
dx
1
Ïðèìåð 7.4.1. Âû÷èñëèì √
, èñïîëüçóÿ ïîäñòàíîâêó x= .
2
t
√ x x−1
2
Ðåøåíèå. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû î çàìåíå ïåðåìåííîé
1
.
t
√
íåïðåðûâíà íà [a, b] = [ 2, 2].
â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå äëÿ ïðåäëàãàåìîé ïîäñòàíîâêè x = ϕ(t) =
1
x x2 − 1
Äëÿ íàõîæäåíèÿ íîâûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ âûðàçèì ïåðåìåííóþ t
1
1
÷åðåç ïåðåìåííóþ x. Åñëè x = , òî t = . Òåïåðü ïîî÷åðåäíî ïîäñòàâëÿÿ
t
x
√
â ïîñëåäíþþ ôîðìóëó âìåñòî x èñõîäíûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ a = 2
1
1
1
1
è b = 2, íàéäåì íîâûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ α = = √ , β = = .
a
b
2
2
1
Äàëåå îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(t) =
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è
t
Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) = √
8
·
¸
µ ¶
µ ¶
√
1 1
1
1
ìîíîòîííà íà [α, β] = √ , , ïðè÷åì ϕ √
= 2, ϕ
= 2. Ñëå2
2 2
2
äîâàòåëüíî, âñå óñëîâèÿ òåîðåìû âûïîëíåíû, è ìû èìååì ïðàâî âîñïîëü1
çîâàòüñÿ ôîðìóëîé (7.4.1), ïðåäâàðèòåëüíî âû÷èñëèâ ϕ0 (t) = − 2 :
t
Z2
dx
=
x x2 − 1
√
√
¡
1
Z2
√1
2
2
1
t
− t12
q
1
t2
¢
1
Z2
√
dt = −
−1
√1
2
dt
=
1 − t2
¯1
¯2
π π
1
1
π
= − arcsin t¯¯ = − arcsin + arcsin √ = − + = .
2
6 4
12
2
√1
2
Òåîðåìà 7.4.2 (îá èíòåãðèðîâàíèè ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå). Åñëè ôóíêöèè u(x) è υ(x) äèôôåðåíöèðóåìû íà [a, b], ïðè÷åì u0 (x) è
υ 0 (x) íåïðåðûâíû íà [a, b], òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
Zb
¯b Z b
¯
u(x)υ 0 (x)dx = u(x)υ(x)¯¯ − υ(x)u0 (x)dx.
a
a
(7.4.3)
a
Çàìå÷àíèå 7.4.2. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè
df (x) = f 0 (x)dx, ôîðìóëó (7.4.3) ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
Zb
¯b Z b
¯
u(x)dυ(x) = u(x)υ(x)¯¯ − υ(x)du(x).
a
a
(7.4.4)
a
Z3
Ïðèìåð 7.4.2. Âû÷èñëèì
(2x − 1) ln xdx.
1
Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëó (7.4.4), ïîëîæèâ u(x) = ln x, dυ = (2x −
1)dx, òîãäà
Z3
1
¯3 Z3
¯
1
(2x − 1) ln xdx = (x2 − x) ln x¯¯ − (x2 − x) dx =
x
1


 u = ln x
Z3
Z3
xdx +
1
1
dx 
x
υ = x2 − x
du =
dυ = (2x − 1)dx
= 6 ln 3 −
1
1
¯3
x2 ¯¯
+ 2 = 6 ln 3 − 2.
dx = 6 ln 3 −
2 ¯1
9
Ÿ 7.5.
Èñïîëüçîâàíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð
 Ÿ7.1 áûë ðàññìîòðåí ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà,
êîòîðûé ñîñòîèò â òîì, ÷òî S ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè f (x),
îñüþ àáñöèññ è ïðÿìûìè x = a, x = b (ðèñ. 7.1.2), ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà
ïî ôîðìóëå:
Z
b
S=
f (x)dx.
a
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ôóíêöèè f (x) è g(x) , íåïðåðûâíûå íà [a, b]. Îòêàæåìñÿ îò óñëîâèÿ íåîòðèöàòåëüíîñòè ýòèõ ôóíêöèé, íî ïîòðåáóåì, ÷òîáû
f (x) ≥ g(x) ïðè âñåõ x ∈ [a, b] (ðèñ. 7.5.1).
y
0
6
y = f (x)
¢
¢¢
¢
¢
¢ ¢ ¢
¢ ¢
a
¢ ¢
¢ ¢ ¢
b
¢ ¢ ¢
¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢
¢ ¢ ¢ ¢¢ y = g(x)
¢ ¢ ¢
-
x
Ðèñ. 7.5.1
 ýòîì ñëó÷àå áóäåò ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 7.5.1 (î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû). Åñëè f (x) è g(x)
íåïðåðûâíû íà [a, b] è ïðè âñåõ x ∈ [a, b] óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó f (x) ≥
g(x), òî S ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêàìè ýòèõ ôóíêöèé è
âåðòèêàëÿìè x = a è x = b, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
Zb
S=
(f (x) − g(x))dx.
(7.5.1)
a
Ïðèìåð 7.5.1. Ïîñòðîèì ôèãóðó, îãðàíè÷åííóþ ëèíèÿìè, çàäàííûìè
óðàâíåíèÿìè y = x2 , y = x. Íàéäåì ïëîùàäü ýòîé ôèãóðû.
Ðåøåíèå. Íà ðèñ. 7.5.2 ïîñòðîåíû ðàññìàòðèâàåìûå êðèâûå. Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìàÿ ïëîùàäü S åñòü ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé
10
ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé f (x) = x è g(x) = x2 è âåðòèêàëÿìè
x = 0 è x = 1. Ïîñêîëüêó x ≥ x2 ïðè âñåõ x ∈ [0, 1], òî âñå óñëîâèÿ
òåîðåìû 7.5.1 âûïîëíåíû è ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (7.5.1):
Z1
S=
Z1
Z1
(x − x2 )dx =
(f (x) − g(x))dx =
0
0
Z1
x2 dx =
xdx −
0
0
¯1
¯1
x3 ¯¯
1 1 1
x2 ¯¯
−
=
=
− = .
2 ¯0
3 ¯0 2 3 6
y
6
A
1
,,
y = x,,
,
,
0
Ÿ 7.6.
,
,
y= x2 B
1
Ðèñ. 7.5.2
,
-
x
Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû è ïðèçíàêè èõ ñõîäèìîñòè
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàñïðîñòðàíèì ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîãî ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ è íà ñëó÷àé
íåîãðàíè÷åííîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè.
Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû íà áåñêîíå÷íîì ïðîìåæóòêå èíòåãðèðîâàíèÿ. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå [a, +∞] è èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [a, b], b > a, òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò:
Zb
Z+∞
f (x)dx.
f (x)dx = lim
(7.6.1)
b→+∞
a
a
Z+∞
Åñëè ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
f (x)dx
íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèìñÿ.
a
11
Za
Çàìå÷àíèå 7.6.1. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû
Z+∞
f (x)dx è
f (x)dx:
−∞
−∞
Za
Za
f (x)dx;
f (x)dx = lim
b→−∞
−∞
(7.6.2)
b
Za
Zb
Z+∞
f (x)dx + lim
f (x)dx,
f (x)dx = lim
B→−∞
−∞
b→+∞
(7.6.3)
a
B
ãäå a ëþáîå ÷èñëî, ò. å.
Z+∞
Za
Z+∞
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
−∞
−∞
a
Ïðèìåð 7.6.1. Âû÷èñëèòü ñëåäóþùèå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû èëè äîêàçàòü èõ ðàñõîäèìîñòü:
Z+∞
a)
2
dx
; á)
(3x − 2)2
Z+∞
√
−3
1
dx.
4+x
1
èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [2, b], ãäå
(3x − 2)2
b > 2 êàê íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.1) ïîëó÷èì
 b

Zb
Z
Z+∞
dx
1
dx
(3x−2)−2 d(3x−2)=
= lim
= lim 
2
2
(3x − 2) b→+∞ (3x − 2) b→+∞ 3
a) Ôóíêöèÿ f (x) =
2
2
Ã
= lim
b→+∞
2
¯b !
µ
¶
−1 ¯¯
1
1
1
+
= lim −
= .
¯
b→+∞
3(3x − 2) 2
3(3b − 2) 3 · 4
12
1
èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [−3, b],
4+x
ãäå b > −3 êàê íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.1) ïîëó÷èì
á) Ôóíêöèÿ f (x) = √
Z+∞
−3
1
√
dx = lim
b→+∞
4+x
Zb
−3
1
√
dx = lim
b→+∞
4+x
Zb
1
(4 + x)− 2 d(4 + x) =
−3
12
µ
= lim
b→+∞
¯b ¶
1
¯
2(4 + x) ¯
= lim (2(4 + b) 2 − 2) = +∞.
1
2
b→+∞
−3
Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.
Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå èíòåãðèðîâàíèÿ.
• Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ïðè a ≤ x < b, èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì
îòðåçêå [a, b−ε], 0 < ε < b−a, è íåîãðàíè÷åíà íà ïðîìåæóòêå (b−ε, b),
òî ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò:
Zb
Zb−ε
f (x)dx = lim
f (x)dx.
ε→+0
a
(7.6.4)
a
Åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèìñÿ.
• Àíàëîãè÷íî, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåîãðàíè÷åíà íà ïðîìåæóòêå (a, a+ε),
òî ïîëàãàþò
Zb
Zb
f (x)dx = lim
f (x)dx.
(7.6.5)
ε→+0
a+ε
a
• Íàêîíåö, åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé
âíóòðåííåé òî÷êè c îòðåçêà [a, b], òî ïîëàãàþò
Zb
Zc
f (x)dx =
a
Zb
f (x)dx +
a
f (x)dx.
(7.6.6)
c
Ïðèìåð 7.6.2. Âû÷èñëèì ñëåäóþùèå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû èëè äîêàæåì èõ ðàñõîäèìîñòü:
Z4
a)
3
dx
√
; á)
4−x
Ze
1
dx
.
x ln x
1
íåîãðàíè÷åíà â îêðåñò4−x
íîñòè òî÷êè x = 4. Íà ëþáîì æå îòðåçêå [3, 4 − ε], ãäå 0 < ε < 1, îíà
èíòåãðèðóåìà â ñèëó ñâîåé íåïðåðûâíîñòè. Ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.4)
a) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) = √
Z4
√
3
dx
= lim
4 − x ε→+0
Z4−ε
√
3
dx
4−x
Z4−ε
1
(−(4 − x)− 2 )d(4 − x) =
= lim
ε→+0
3
13
µ
¯4−ε ¶
1
¯
−2(4 − x) ¯
= lim (−2ε 2 + 2) = 2.
1
2
= lim
ε→+0
ε→+0
3
1
íåîãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè
x ln x
òî÷êè x = 1 è èíòåãðèðóåìà íà ëþáîì îòðåçêå [1 + ε, e], ãäå 0 < ε < e − 1
êàê íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîýòîìó ïî ôîðìóëå (7.6.5)
¯e ¶
µ
Ze
Ze
Ze
¯
dx
d ln x
dx
= lim
= lim
= lim ln | ln x| ¯¯
=
x ln x ε→+0 x ln x ε→+0
ln x ε→+0
1+ε
á) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) =
1+ε
1
1+ε
= lim (ln ln e − ln ln(1 + ε)) = − lim ln ln(1 + ε) = +∞.
ε→+0
ε→+0
Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.
Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ñ áåñêîíå÷íûì âåðõíèì ïðåäåëîì.
Òåîðåìà 7.6.1 (ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ). Ïóñòü
ôóíêöèè f (x) è g(x) îïðåäåëåíû íà [a, +∞), è ïóñòü íåðàâåíñòâà 0 ≤
f (x) ≤ g(x) âûïîëíåíû äëÿ âñåõ x ∈ [a, +∞), òîãäà:
Z+∞
1) èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
g(x)dx ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà
a
Z+∞
Z+∞
Z+∞
f (x)dx, ïðè÷åì
f (x)dx ≤
g(x)dx;
a
a
a
Z+∞
Z+∞
2) åñëè ðàñõîäèòñÿ
f (x)dx, òî ðàñõîäèòñÿ è
g(x)dx.
a
a
Ñëåäñòâèå 7.6.1 (Ïðåäåëüíûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ).
Åñëè f (x) > 0 è g(x) > 0 ïðè âñåõ x ≥ a è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë
f (x)
lim
= C, òî ïðè C 6= 0 èíòåãðàëû
x→+∞ g(x)
Z+∞
Z+∞
f (x)dx è g(x)dx ñõîäÿòñÿ èëè
a
a
Z+∞
ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî. Åñëè C = 0, òî èç ñõîäèìîñòè
g(x)dx ñëåäóåò
a
Z+∞
ñõîäèìîñòü
f (x)dx.
a
Çàìå÷àíèå 7.6.2.  âûøåïðèâåäåííûõ ïðèçíàêàõ äëÿ ñðàâíåíèÿ ÷àñòî
Z+∞
èñïîëüçóåòñÿ èíòåãðàë âèäà:
a
dx
dx, ãäå p > 0, a > 0. Ýòîò èíòåãðàë
xp
14
ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿ, åñëè p ≤ 1.
Òåîðåìà 7.6.2 (Àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ). Åñ-
Z+∞
Z+∞
ëè ñõîäèòñÿ
|f (x)|dx, òî ñõîäèòñÿ è
f (x)dx, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ïðè
a
a
ýòîì íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ.
Ïðèìåð 7.6.3. Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, èñïîëüçóÿ ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè:
Z+∞
a)
1
Z+∞r
dx
√ ; á)
x2 e x
a) Îáîçíà÷èì f (x) =
íåðàâåíñòâà
3
ln x
dx; â)
x
Z+∞
1
ln(1 + )dx.
x
1
1
1
√ , g(x) =
, òîãäà ïðè âñåõ x ≥ 1 âûïîëíÿþòñÿ
x2
x2 e x
0 ≤ f (x) ≤ g(x).
Z+∞
Z+∞
1
Ïîñêîëüêó
g(x)dx =
dx ñõîäèòñÿ, ÷òî ñëåäóåò èç çàìå÷àíèÿ
x2
1
1
7.6.1, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 7.6.1) ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë
Z+∞
Z+∞
1
√ .
f (x)dx =
x2 e x
1
r
á) Îáîçíà÷èì g(x) =
íåðàâåíñòâà
ò. ê.
1
ln x
1
, f (x) = √ , òîãäà ïðè âñåõ x ≥ 3 ñïðàâåäëèâû
x
x
0 ≤ f (x) ≤ g(x),
√
ln x ≥ 1 ïðè x ≥ 3.
Z+∞
Z+∞
1
√ ðàñõîäèòñÿ, ÷òî ñëåäóåò èç çàìå÷àíèÿ
Ïîñêîëüêó
f (x)dx =
x
3
3
7.6.1, òî ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 7.6.1) ðàñõîäèòñÿ è èíòåãðàë
Z+∞
Z+∞r
ln x
dx.
g(x)dx =
x
3
3
â) Èç òàáëèöû ýêâèâàëåíòíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî ln(1 + α) ∼ α ïðè
1
1
α → 0, òîãäà ln(1 + ) ∼ ïðè x → +∞.
x
x
15
Åñëè îáîçíà÷èòü f (x) = ln(1 +
ïðè âñåõ x > 1 è lim
ln(1 + x1 )
1
x
x→+∞
1
1
), g(x) = , òî f (x) > 0, g(x) > 0
x
x
= 1, ò. å. ôóíêöèè f (x) è g(x) óäîâëåòâî-
ðÿþò óñëîâèÿì ïðåäåëüíîãî ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ (òåîðåìà 7.6.2). Îòêóäà
Z+∞
Z+∞
1
1
ïîëó÷èì, ÷òî èíòåãðàëû
ln(1 + )dx è
dx ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòx
x
1
1
ñÿ îäíîâðåìåííî, íî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ â ñèëó óòâåðæäåíèÿ,
ïðèâåäåííîãî â çàìå÷àíèè 7.6.1.
Z+∞
1
Ñëåäîâàòåëüíî,
ln(1 + )dx òàêæå ðàñõîäèòñÿ.
x
1
Ÿ 7.7.
Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷àõ
Íàèáîëåå ïðîñòûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â
ýêîíîìè÷åñêîì àíàëèçå ñâÿçàíû ñ âû÷èñëåíèåì ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð.
Ê òàêèì ïðèìåðàì ìîæíî îòíåñòè îïðåäåëåíèå èçìåíåíèÿ èçëèøêà ïîòðåáèòåëÿ (ïðîèçâîäèòåëÿ) ïðè èçìåíåíèè öåíû òîâàðà, îöåíêó îáùåñòâåííûõ
ïîòåðü îò ìîíîïîëèçàöèè ðûíêà è ò. ä.
Çàäà÷è òàêîãî ðîäà äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàþòñÿ â ëþáîì ñåðüåçíîì ó÷åáíèêå ïî ìèêðîýêîíîìèêè.
Íèæå ìû ïðåäñòàâèì ÷óòü áîëåå ñëîæíûé ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å ïåðèîäà îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé.
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêóþ çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ïóòè, ïðîéäåííîãî òî÷êîé. Ïóñòü òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé ñ ïåðåìåííîé ñêîðîñòüþ
υ(t). Äâèæåíèå íà÷èíàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè T1 è çàêàí÷èâàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè T2 . Íàéäåì äëèíó ïóòè, ïðîéäåííîãî òî÷êîé ïðè óñëîâèè,
÷òî ôóíêöèÿ ñêîðîñòè υ(t) íåïðåðûâíà íà [T1 , T2 ].
Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê [T1 , T2 ] íà n ÷àñòåé òî÷êàìè
T1 < t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t n = T2
è âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ξk ∈ [tk−1 , tk ], 1 ≤ k ≤ n. Áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî íà êàæäîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [tk−1 , tk ] òî÷êà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ, ðàâíîé υ(ξk ). Òîãäà ïóòü, ïðîéäåííûé îò ìîìåíòà âðåìåíè tk−1
äî tk , ðàâåí υ(ξk ) · (tk − tk−1 ) = υ(ξk ) · ∆tk , ãäå ∆tk = (tk − tk−1 ). Íåòðóäíî
16
âèäåòü, ÷òî ñóììà
Sn =
n
X
υ(ξk ) · ∆tk
k=1
ïðèáëèæåííî ðàâíà ðåàëüíî ïðîéäåííîìó ïóòè S îò ìîìåíòà âðåìåíè t =
T1 äî t = T2 . Ïðèáëèæåíèå òåì òî÷íåå, ÷åì ìåíüøå âðåìåííûå ïðîìåæóòêè
[tk−1 , tk ], 1 ≤ k ≤ n. Îòñþäà ïóòü S ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå:
S=
lim
n→∞
( max ∆tk )→0
1≤k≤n
n
X
υ(ξk ) · ∆tk .
(7.7.1)
k=1
Ñóììà ïîä çíàêîì ïðåäåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè υ(x) ïî ïðîìåæóòêó [T1 , T2 ]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåë â ïðà-
ZT2
âîé ÷àñòè (7.7.1) ñóùåñòâóåò è ðàâåí
υ(t)dt.
T1
ZT2
υ(t)dt.
Òàêèì îáðàçîì, S =
T1
Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé.
 ïðèìåðå 2.7.1 òåìû 2 áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à î âû÷èñëåíèè âåëè÷èíû
âêëàäà ÷åðåç ãîä ïðè íà÷èñëåíèè ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ n ðàç â ãîä. Ïåðâîíà÷àëüíûé âêëàä ñîñòàâëÿë K0 äåíåæíûõ åäèíèö, âåëè÷èíà áàíêîâñêîé íîðp
ìû ïðîöåíòà áûëà ðàâíà i. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè óñëîâèè p% ãîäîâûõ i =
.
100
Åñëè áàíê ïðîèçâîäèò íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ n ðàç â ãîä è íà÷èñëÿåò
µ
¶nêàæi
p
K0 .
äûé ðàç ïî %, òî ÷åðåç ãîä âêëàä ñòàíåò ðàâíûì K1 = 1 +
n
n
×åì áîëüøå n ÷àñòîòà íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ, òåì áîëüøå âåëè÷èíà K1 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàíê îáúÿâèë î "íåïðåðûâíîì" íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷åðåç ãîä âêëàä÷èê ïîëó÷èò
µ
¶n
i
K1 = lim 1 +
K0 = K0 ei äåí. åäèíèö.
n→∞
n
×åðåç t ëåò âåëè÷èíà âêëàäà ñòàíåò ðàâíîé Kt = K0 eit . Âûðàçèâ K0 ÷åðåç
Kt , ïîëó÷èì K0 = Kt e−it .
Âåëè÷èíà K0 = Kt e−it íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåííîé ñòîèìîñòüþ âåëè÷èíû
Kt ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè. Ýòà âåëè÷èíà Kt e−it ðàâíà âêëàäó, êîòîðûé íàäî
âëîæèòü â áàíê â íàñòîÿùèé ìîìåíò, ÷òîáû ÷åðåç t ëåò îí ñòàë ðàâíûì Kt
äåíåæíûõ åäèíèö ïðè "íåïðåðûâíîì" íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ.
Ïîïûòàåìñÿ îöåíèòü ñðîê îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé â óñëîâèÿõ "íåïðåðûâíîãî" íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ ñ áàíêîâñêîé íîðìîé ïðîöåíòà, ðàâíîé i.
17
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t0 = 0 â ïðåäïðèÿòèå áûëè âëîæåíû
èíâåñòèöèè â îáúåìå A äåíåæíûõ åäèíèö.  ðåçóëüòàòå ýòîãî âûïóñê ïðåäïðèÿòèÿ çà 1 åäèíèöó âðåìåíè óâåëè÷èëñÿ è â ìîìåíò âðåìåíè t (t ≥ 0)
äîïîëíèòåëüíûé âûïóñê ñîñòàâèë b(t) ðóáëåé (ò. å. b(t) ñêîðîñòü ðîñòà
äîïîëíèòåëüíîãî âûïóñêà â ìîìåíò âðåìåíè t). Èñïîëüçóÿ ðàññóæäåíèÿ,
àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å î âû÷èñëåíèè ïóòè, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñóììàðíîå óâåëè÷åíèå äîïîëíèòåëüíîãî âûïóñêà çà ïåðèîä [0, T ], ïðèâåäåííîå ê ìîìåíòó âðåìåíè t0 = 0, ðàâíî
ZT
e−it b(t)dt.
0
Ïðèáûëü ν(T ), ïîëó÷åííàÿ îò èíâåñòèöèé çà ïåðèîä [0, T ], âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
ZT
e−it b(t)dt − A.
ν(T ) =
0
Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ôóíêöèÿ b(t) ïîñòîÿííà è ðàâíà ÷èñëó b, ïîëó÷èì
ZT
ZT
e−it bdt − A = b
ν(T ) =
0
0
¯
¶¯T
¯
e
1 − e−iT
−it
¯
e dt − A = b −
− A.
−A = b
i ¯¯
i
µ
−it
0
Äëÿ òîãî ÷òîáû èíâåñòèöèè îêóïèëèñü, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ν(T ) ≥ 0,
ò. å.
b
1 − e−iT
− A ≥ 0.
i
1
b
ln
ïðè
i b − ai
óñëîâèè, ÷òî b − ai > 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïåðèîä îêóïàåìîñòè èíâåñòèöèé
1
b
â óñëîâèÿõ çàäà÷è ðàâåí ln
.
i b − ai
Çàäà÷à î íàõîæäåíèè ìàêñèìàëüíîé ïðèáûëè îò èíâåñòèöèé.
Âûÿñíèì, êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ïðèáûëü â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ìîæåò ïîëó÷èòü èíâåñòîð. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì, êàêîâà áóäåò ïðèáûëü
ν(T ) ïðè T → ∞. Ðàññìîòðèì
 T

Z
ZT
ν = lim ν(T ) = lim  e−it bdt − A = lim b e−it dt − A =
Ðåøåíèå ýòîãî íåðàâåíñòâà îòíîñèòåëüíî T äàåò íàì T ≥
T →+∞
T →+∞
T →+∞
0
=
0
b
b
lim (1 − e−iT ) − A = − A.
i T →+∞
i
18
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìûõ óñëîâèÿõ íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü
b
− A.
i
Îòìåòèì, ÷òî îöåíêà áûëà ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ íåñîáñòâåííîãî èíòåZ+∞
ZT
ãðàëà
be−it dt = lim
be−it dt.
ïðèáûëü áîëüøóþ, ÷åì
T →+∞
0
Ÿ 7.8.
0
Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ìåòîäû ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé
 îñíîâíîé òåîðåìå èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ (Ÿ7.3) áûëà ïðèâåäåíà
ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò
íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ê ñîæàëåíèþ, ïî ýòîé ôîðìóëå ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ëèøü íåáîëüøîé êëàññ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, ïîñêîëüêó äëÿ ìíîãèõ íåïðåðûâíûõ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé íå ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíîé, êîòîðóþ ìîæíî çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.  òàêèõ
ñëó÷àÿõ ïðèáåãàþò ê ïðèáëèæåííîìó âû÷èñëåíèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Z
b
Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë
a
f (x)dx, ãäå f (x)
íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà (7.1.2) ïîëó÷àåì
Z
n
X
b
f (x)dx =
a
lim
(max ∆xk )→0
k
f (ξk )∆xk ,
k=1
ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè f (x) íà [a, b]. Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
Z
b
f (x)dx ≈
a
n
X
f (ξk )∆xk ,
(7.8.1)
k=1
ïðè÷åì ÷åì ìåíüøå êàæäîå ∆xk , òåì òî÷íåå ïðèáëèæåíèå.  çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [a, b] è òî÷åê ξk , 1 ≤ k ≤ n, ïîëó÷àþò
ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
1. Ôîðìóëà ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïóñòü çàäàíî ÷èñëî n. Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé (ðàâíîìåðíîå ðàçáèåíèå) òî÷êàìè
x0 = a, x1 = x0 +
b−a
b−a
, . . . , x k = x0 + k
, . . . , xn = b.
n
n
19
Çà òî÷êè ξk âûáåðåì ïðàâûå êîíöû ïðîìåæóòêîâ [tk−1 , tk ], ò. å. ξk = tk ,
1 ≤ k ≤ n. Òàê êàê ðàçáèåíèå ðàâíîìåðíîå, òî ∆xk = xk − xk−1 =
b−a
,
n
1 ≤ k ≤ n. Òîãäà ôîðìóëà (7.8.1) áóäåò èìåòü âèä:
Z b
n
X
b−a b−a
f (x)dx ≈
f (ξk )
=
(f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )) (7.8.2)
n
n
a
k=1
è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ.
Åñëè òî÷êè ξk âçÿòü ñîâïàäàþùèìè ñ ëåâûìè êîíöàìè ïðîìåæóòêîâ
[tk−1 , tk ], 1 ≤ k ≤ n, òî ïîëó÷èì ôîðìóëó ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ:
Z
b
f (x)dx ≈
a
b−a
(f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn−1 )).
n
(7.8.3)
Çàìå÷àíèå 7.8.1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà
[a, b], òî â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (7.8.2) è (7.8.3) ñòîÿò ïëîùàäè ñòóïåí÷àòûõ ôèãóð, ñîñòàâëåííûõ èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ (ðèñ. 7.1.1), ïðè÷åì â ôîðìóëå (7.8.2) òî÷êè ξk ñîâïàäàþò ñ ïðàâûì êîíöîì îòðåçêà [xk−1 , xk ], à â
ôîðìóëå (7.8.3) ñ ëåâûì êîíöîì, îòñþäà è ñëåäóåò íàçâàíèå ýòèõ ôîðìóë.
2. Ôîðìóëà òðàïåöèé. Ïóñòü çàäàíî ÷èñëî n. Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê [a, b]
íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Ïîëîæèì
Zb
f (x)dx ≈
n
X
k=1
a
n
b−aX
Sk =
(f (xk ) + f (xk−1 )) =
2n
k=1
´
b − a ³ f (x0 ) + f (xn )
=
+ f (x1 ) + . . . + f (xn−1 ) .
n
2
Çàìå÷àíèå 7.8.2. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà [a, b], òî
Sk =
f (xk ) + f (xk−1 ) b − a
·
,
2
n
1 ≤ k ≤ n,
åñòü ïëîùàäü ãåîìåòðè÷åñêîé òðàïåöèè, âïèñàííîé â êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ, ïîðîæäåííóþ ôóíêöèåé f (x) íà ïðîìåæóòêå [xk−1 , xk ].
Z9
Ïðèìåð 7.8.1. Âû÷èñëèì èíòåãðàë
√
6x − 5dx ïî ôîðìóëå Íüþòîíà
1
Ëåéáíèöà è ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé,
ðàçáèâ èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ íà 8 ðàâíûõ ÷àñòåé, îöåíèì â ïðîöåíòàõ
ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì.
20
Ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà
Z9
I=
√
1
1
6x − 5dx =
6
Z9
1/2
(6x − 5)
1
¯9
1
3/2 ¯
d(6x − 5) = (6x − 5) ¯ = 38.
1
9
Òåïåðü ðàçäåëèì èíòåðâàë [1, 9] íà 8 ðàâíûõ ÷àñòåé, íàéäåì äëèíó îäíîé
÷àñòè
√ h = 1, òî÷êè äåëåíèÿ xi è çíà÷åíèÿ yi ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
y = 6x − 5 â ýòèõ òî÷êàõ:
x0
x1
x2
x3
x4
= 1,
= 2,
= 3,
= 4,
= 5,
√
y0 = √1 = 1,0000;
y1 = √ 7 = 2,6458;
y2 = √13 = 3,6056;
y3 = √19 = 4,3589;
y4 = 25 = 5,0000.
x5
x6
x7
x8
= 6,
= 7,
= 8,
= 9,
y5
y6
y7
y8
√
= √31 = 5,5678;
= √37 = 6,0828;
= √43 = 6,5574;
= 49 = 7,0000;
Çàòåì âû÷èñëèì èíòåãðàë ïî ïðèáëèæåííûì ôîðìóëàì.
Ïî ôîðìóëå ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ I ≈
7
P
i=0
yi = 34,8183. Àáñîëþòíàÿ
ïîãðåøíîñòü ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà 38 − 34,8183 = 3,1817,
à îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 3,1817 · 100/38% ≈ 8,37%.
Ïî ôîðìóëå ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ I ≈
8
P
i=1
yi = 40,8183. Çäåñü àáñî-
ëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 40,8183 − 38 = 2,8183, à îòíîñèòåëüíàÿ ðàâíà
2,8183 · 100/38% ≈ 7,42%.
Ïî ôîðìóëå òðàïåöèé I ≈ 4 +
7
P
i=1
yi = 37,8183. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåø-
íîñòü ýòîãî ðåçóëüòàòà ñîñòàâëÿåò 0,1817, à îòíîñèòåëüíàÿ ðàâíà 0,1817 ·
100/38% ≈ 0,48%.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ íàäî ðàçáèòü íå íà âîñåìü, à íà áîëüøåå ÷èñëî
÷àñòåé.
Âûâîäû
• Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë åñòü ÷èñëî, ðàâíîå ïðåäåëó èíòåãðàëüíûõ
ñóìì, ñîñòàâëåííûõ äëÿ åãî ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó èíòåãðèðîâàíèÿ.
• Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå, òî îíà èíòåãðèðóåìà íà ýòîì
îòðåçêå.
21
Z
• Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
b
a
f (x)dx äëÿ íåïðå-
ðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè f (x) ñîñòîèò â òîì, ÷òî
ýòîò èíòåãðàë ðàâåí ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ïîðîæäåííîé
ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x) íà îòðåçêå [a, b].
• Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äàþò ïðàâèëà èíòåãðèðîâàíèÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé, ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ôóíêöèé è óñòàíàâëèâàþò ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
• Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà äàåò ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äëÿ áîëüøîãî êëàññà ôóíêöèé, ïåðâîîáðàçíûå êîòîðûõ
ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.
• Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííûõ è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì ÿâëÿþòñÿ
îñíîâíûìè ìåòîäàìè âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ ðàñøèðÿåò ìíîæåñòâî îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ,
êîòîðûå ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû.
• Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîãî ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ è íà ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Ýòè îáîáùåíèÿ ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà.
• Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé èëè åå òðóäíî íàéòè, òî îïðåäåëåííûé èíòåãðàë
ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïðèáëèæåííî. Ïðîñòåéøèìè ôîðìóëàìè ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëû
ïðÿìîóãîëüíèêîâ è òðàïåöèé.
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Äëÿ ôóíêöèè
f (x) = C , ãäå C ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ, ñîñòàâüòå èíòåãðàëüíóþ
Z
ñóììó íà îòðåçêå [a, b] è óáåäèòåñü, ÷òî
b
a
Cdx = C(b − a).
2.  ÷åì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò
íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè?
3. Ïåðå÷èñëèòå îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ.
4. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìû îá èíòåãðèðîâàíèè íåðàâåíñòâ è îá îöåíêå
îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
22
5. Âîñïîëüçóéòåñü
òåîðåìîé
Áàððîó è íàéäèòå ñëåäóþùèå ïðîèçâîäíûå:
Z
Z
d
dx
xp
2
1 + t2 dt,
6
d
dx
x
cos 3tdt.
6. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíóþ òåîðåìó èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è ïî
ôîðìóëå
íàéäèòå ñëåäóþùèå îïðåäåëåííûå èíòåZ
Z ÍüþòîíàËåéáíèöà
4
ãðàëû:
1
dx
√ ,
x
3
0
(2x2 − 3)dx.
7. Âîñïîëüçóéòåñü òåîðåìîé
î çàìåíå ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåZ
6
ãðàëå è âû÷èñëèòå
3
√
x x − 2dx, ñäåëàâ çàìåíó x = t2 + 2.
8. Côîðìóëèðóéòå òåîðåìó îá èíòåãðèðîâàíèè
ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì
Z
1
èíòåãðàëå è âû÷èñëèòå èíòåãðàë
0
(x − 3)ex dx.
9. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î âû÷èñëåíèè ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû íàéäèòå
ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé y = x2 è ïðÿìîé
y = 4.
Z
5
dx
dx ïî ôîðìóëå ÍüþòîíàËåéáíèöà è ïî
2
4 x
ïðèáëèæåííîé ôîðìóëå ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ðàçáèâ èíòåðâàë
èíòåãðèðîâàíèÿ íà 5 ðàâíûõ ÷àñòåé. Îöåíèòå ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.
10. Âû÷èñëèòå èíòåãðàë
Áèáëèîãðàôèÿ
1. Âåäèíà Î.È., Äåñíèöêàÿ Â.Í., Âàðôîëîìååâà Ã.Á., Òàðàñþê À.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç äëÿ ýêîíîìèñòîâ. Ì.: Äåëî, 2003.
2. Êðàññ Ì.Ñ., ×óïðûíîâ Á.Ï. Îñíîâû ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèÿ â
ýêîíîìè÷åñêîì îáðàçîâàíèè. Ì.: Äåëî, 2001.
3. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ/ ïîä ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà. Ì.:
ÞÍÈÒÈ, 2004.
4. Îáùèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè/ ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà. Ì.:
ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005.
5. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ/ ïîä ðåä. Â.È.
Åðìàêîâà. Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005.
23
6. Çåíêåâè÷ Í.À., Åâñååâ Å.À., Ëóêüÿíîâà À.Å., Ñìèðíîâà Å.Ë. Êîíñïåêò
ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ýêîíîìèñòîâ è ìåíåäæåðîâ.
ÑÏá.: ÌÁÈ, 2002.
7. Êóçþòèí Ä.Â., Áóäàãîâ À.Ñ., Êóëüòèíà Ì.Â., Ñóðâèëëî Ò.Ã. Îñíîâû
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×. 1. ÑÏá.: ÌÁÈ, 1999.
8. Ñìèðíîâà Å.Ë. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×. 3: Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.
ÑÏá.: ÌÁÈ, 2005.
24