Листок 20

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I
Ëèñòîê 20
1) Äëÿ ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ôóíêöèé îòâåòüòå íà âîïðîñû: â êàêèõ òî÷êàõ ó ôóíêöèè f : R2 → R
åñòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå? ïðîèçâîäíàÿ ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ? ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ?
√
à) f (x) = 3 xy ;
√
á) f (x) = 3 x3 + y 3 ;
2
2
â) f (x) = ey −1/x .
2) Ïóñòü f (x, y) = x2 + 4y 2 .
à) Äîêàæèòå, ÷òî f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ R2 → R.
á) Íàðèñóéòå ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè f (òî åñòü ìíîæåñòâà âèäà {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = c} äëÿ
ðàçíûõ çíà÷åíèé êîíñòàíòû c.
â) Óáåäèòåñü, ÷òî âî âñåõ òî÷êàõ (x, y) ̸= (0, 0) ãðàäèåíò ôóíêöèè f ïåðïåíäèêóëÿðåí åå ëèíèè
óðîâíÿ.
ã) Íàðèñóéòå ãðàôèê ôóíêöèè f .
3) Ïóñòü F : (R2 \{(0, 0)} → R2 îòîáðàæåíèå, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì
(x, y) òî÷êè íà ïëîñêîñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (r, φ) òîé æå òî÷êè, è ïóñòü G : (0, +∞) ×
[0, 2π) → R2 îáðàòíîå îòîáðàæåíèå (ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (r, φ)
òî÷êè íà ïëîñêîñòè äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x, y) òîé æå òî÷êè).
à) Íàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò r(x, y) è φ(x, y) ôóíêöèè F è âû÷èñëèòå åå ìàòðèöó
ßêîáè A(x, y).
á) Íàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò x(r, φ) è y(r, φ) ôóíêöèè G è âû÷èñëèòå åå ìàòðèöó
ßêîáè B(r, φ).
â) Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ßêîáè B(F (x, y))A(x, y) è A(G(r, φ))B(r, φ).
4) Ïóñòü ôóíêöèè φ : R2 → R3 , φ : (x, y) 7→ (u, v, w), è h : R2 → R2 , h : (p, q) 7→ (x, y), çàäàíû
ôîðìóëàìè:

2
{

u = x − 3xy,
x = cos p + q,
h:
φ : v = xy,

y = sin(p2 − q) + 2.
w = x − y 2 ;
Íàéäèòå ìàòðèöû ßêîáè äëÿ φ, h, φ◦h è ïðîâåðüòå ôîðìóëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ êîìïîçèöèè.
5) Ïóñòü w = f (z) ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, îïðåäåëåííàÿ è äèôôåðåíöèðóåìàÿ â
îáëàñòè D ⊆ C. Îòîæäåñòâèì C ñ R2 (òî÷êà z ∈ C îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ òî÷êîé (x, y) ∈ R2 , ãäå
x = Re z , y = Im z ). Ðàññìîòðèì âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè ýòîé ôóíêöèè êàê ôóíêöèè
îò âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé àðãóìåíòà: f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Òàêèì îáðàçîì, ó
íàñ ïîëó÷èëàñü ôóíêöèÿ F : D → R2 , F : (x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y)) (ïîñëå îòîæäåñòâëåíèÿ C ñ
R2 ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü D êàê îáëàñòü â R2 ).
à) Íàïèøèòå ôóíêöèè u(x, y) è v(x, y) äëÿ f (z) = z 3 ; f (z) = ez ; f (z) = 21 (z + z1 ).
á) Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ F : D → R2 äèôôåðåíöèðóåìà (êàê ôóíêöèÿ äâóõ âåùåñòâåííûõ
ïåðåìåííûõ).
â) Äîêàæèòå, ÷òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå êîìïîíåíò u è v ôóíêöèè F óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
Êîøè Ðèìàíà :
∂u
∂v
=
;
∂x
∂y
∂u
∂v
=− .
∂y
∂x
6) Ïóñòü D ⊆ R2 îáëàñòü, è ïóñòü ôóíêöèÿ F : D → R2 , F : (x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y)), äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå (x0 , y0 ) ∈ D. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî f ôîðìóëîé
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà (â êîìïëåêñíîì
ñìûñëå) â òî÷êå z0 = x0 + iy0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ýòîé òî÷êå âûïîëíåíû óñëîâèÿ
Êîøè Ðèìàíà.