Вполне упорядоченные множества

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2016
Ôóíäèðîâàííûå è âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, êàæäîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî êîòîðîãî
ñîäåðæèò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò. (Íàïîìèíàíèå: ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì íàçûâàåòñÿ
òîò, ìåíüøå êîòîðîãî íåò; íàèìåíüøèì òîò, êîòîðûé ìåíüøå âñåõ îñòàëüíûõ). Ñâîéñòâó ôóíäèðîâàííîñòè òàêæå ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
à)
íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîé ñòðîãî
óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà;
á)
èçâåñòíî, ÷òî åñëè íåêîòîðîå ñâîéñòâî A âûïîëíåíî ïðè âñåõ
x < y , òî âûïîëíåíî A(y). Òîãäà A âûïîëíåíî ïðè âñåõ x.
Äîêàæèòå, ÷òî â ôóíäèðîâàííîì ìíîæåñòâå ëþáàÿ íåñòðîãî óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòàáèëèçèðóåòñÿ, è íàîáîðîò.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò ðàâíîìîùíîå åìó ôóíäèðîâàííîå ìíîæåñòâî.
íàçûâàåòñÿ ôóíäèðîâàííîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî.
Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíäèðîâàííîãî, íî íå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, à
òàêæå ïðèìåð ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî, íî íå ôóíäèðîâàííîãî ìíîæåñòâà. Äëÿ ïîñëåäíåãî íåïîñðåäñòâåííî ïîêàæèòå íàðóøåíèå âñåõ òð¼õ óñëîâèé.
 íåêîòîðîì óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ëþáîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ñîäåðæèò
ýëåìåíò. Âåðíî ëè, ÷òî îíî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå?
Ïîäìíîæåñòâî ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ
, åñëè ëþáûå äâà åãî ýëåìåíòà ñðàâíèìû. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ôóíäèðîâàííûì
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáàÿ åãî öåïü âïîëíå óïîðÿäî÷åíà.
ßâëÿåòñÿ ëè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ñëîâ èç áóêâ ëàòèíñêîãî àëôàâèòà ñ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì ïîðÿäêîì?
Âñïîìíèòå, êàê îïðåäåëÿþòñÿ ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Âñåãäà ëè ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå
ôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ ôóíäèðîâàíû? Ìîãóò ëè ñóììà, ïðîèçâåäåíèå èëè äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå íåôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ áûòü ôóíäèðîâàííûìè? Âñåãäà ëè ñóììà,
ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ âïîëíå óïîðÿäî÷åíû? Åñëè íå âñåãäà, ïîïðîáóéòå ïðèäóìàòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå.
Âåðíû ëè äëÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ïðàâèëà
êîììóòàòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè (ïðàâîé è ëåâîé)? À äëÿ ôóíäèðîâàííûõ?
Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå íåïóñòûå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà A è B , ÷òî
A + B ' B?
Ôóíäèðîâàííûì
Ïðèíöèï íåâîçìîæíîñòè áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà:
Ïðèíöèï èíäóêöèè:
1.
2.
Âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì
3.
4.
íàèìåíüøèé
5.
öåïüþ
6.
7.
8.
9.
1
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, à f : A → A òàêîâà, ÷òî
ïðè x > y âåðíî f (x) > f (y), òî ïðè âñåõ x âûïîëíåíî f (x) > x. Âåðíà ëè ýòà òåîðåìà
äëÿ ôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ? Ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ?
âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ òàêîå ìíîæåñòâî B , ÷òî èç x ∈ B è y 6 x ñëåäóåò y ∈ B .
íà÷àëüíûì îòðåçêîì
íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûé îòðåçîê, íå ðàâíûé ñàìîìó ìíîæåñòâó.
Äîêàæèòå, ÷òî:
à) Íà÷àëüíûé îòðåçîê âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ñàì ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì.
á) Íà÷àëüíûé îòðåçîê íà÷àëüíîãî îòðåçêà A ñàì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì îòðåçêîì A.
â) Ìíîæåñòâà âèäà [0, a] = {x | x 6 a} è [0, a) = {x | x < a} ÿâëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè
îòðåçêàìè.
ã) Ëþáîé ñîáñòâåííûé íà÷àëüíûé îòðåçîê èìååò âèä [0, a).
Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî íå ìîæåò áûòü èçîìîðôíî ñîáñòâåííîìó íà÷àëüíîìó
îòðåçêó.
Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå íåïóñòûå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà A è B , ÷òî
A + B ' A?
Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ A · B ' A ñðåäè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ.
Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè A è B âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, ïðè ýòîì A êîíå÷íî
è íåïóñòî, à B íå èìååò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, òî A · B ' B .
Äîêàæèòå, ÷òî âî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ó êàæäîãî ýëåìåíòà a (êðîìå
ìàêñèìàëüíîãî) åñòü íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé, ò.å. òàêîé c > a, ÷òî íè äëÿ êàêîãî b
íåâåðíî c > b > a.
âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò, íå
ÿâëÿþùèéñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèì íè çà êàêèì äðóãèì.
Äîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûé íà÷àëüíûé îòðåçîê íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå [0, a]
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ðàâåí [0, a), ãäå a ïðåäåëüíûé.
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî A èçîìîðôíî ñóììå
B + C , ãäå B è C âïîëíå óïîðÿäî÷åíû, ïðè ýòîì B íå èìååò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, à
C êîíå÷íî.
Äîêàæèòå, ÷òî íà÷àëüíûå îòðåçêè âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà A òîæå
îáðàçóþò âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ïî îòíîøåíèþ ¾áûòü íà÷àëüíûì îòðåçêîì¿.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàéä¼òñÿ ïðåäåëüíûé ýëåìåíò b 6 a, òàêîé ÷òî ìåæäó b è a ëåæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî
ýëåìåíòîâ.
Îïèøèòå âñå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, èìåþùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ïðåäåëüíûõ ýëåìåíòîâ.
10.
Íà÷àëüíûì îòðåçêîì
Ñîáñòâåííûì
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Ïðåäåëüíûì ýëåìåíòîì
17.
18.
19.
20.
21.
2
Äîêàæèòå, ÷òî a ïðåäåëüíûé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéä¼òñÿ
ñåìåéñòâî a1 < a2 < a3 < . . . , òàêîå ÷òî âñå ai ìåíüøå a, íî ëþáîé ýëåìåíò, ìåíüøèé a,
òàêæå ìåíüøå êàêîãî-òî ai.
óòâåðæäàåò, ÷òî èç ëþáûõ äâóõ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ îäíî èçîìîðôíî íà÷àëüíîìó îòðåçêó äðóãîãî. Áóäåì îáîçíà÷àòü òàêîå ñðàâíåíèå ÷åðåç A . B . Åñëè A èçîìîðôíî ñîáñòâåííîìó
íà÷àëüíîìó îòðåçêó B , áóäåì ïèñàòü ïðîñòî A < B .
Äîêàæèòå, ÷òî ñðàâíåíèå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà òðàíçèòèâíî.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ A è B âûïîëíåíî ðîâíî îäíî
èç óñëîâèé A < B , B < A, A h B .
ßâëÿþòñÿ ëè îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìîíîòîííûìè? Èíûìè ñëîâàìè,
åñëè A < B (A . B ), òî âåðíî ëè, ÷òî äëÿ âñåõ C èñòèííî A+C < B +C , C +A < C +B ,
A · C < B · C , C · A < C · B (òî æå äëÿ . âìåñòî <)?
∗
22 .
ñ÷¼òíîå
Òåîðåìà î ñðàâíèìîñòè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ
23.
24.
25.
3