25 Ì1661.

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ô1697. Êàæäûé
èç äâóõ îäèíàêîâûõ òðàíñôîðìà~
òîðîâ èìååò äâå
ìíîãîâèòêîâûå
îáìîòêè, â îäíîé
èç êîòîðûõ âèòêîâ âäâîå áîëüøå,
Ðèñ.3
÷åì â äðóãîé.
Òðàíñôîðìàòîðû ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3 (íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ ïîäðîáíîñòåé íåò!), è ïîäêëþ÷åíû ê ñåòè ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ
220 Â. ×òî ìîæåò ïîêàçûâàòü â ýòîé ñõåìå àìïåðìåòð?
Ñåðäå÷íèêè òðàíñôîðìàòîðîâ ñäåëàíû èç ìàòåðèàëà ñ
î÷åíü áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ, ïîòåðü ýíåðãèè â òðàíñôîðìàòîðàõ íåò. Ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðî⠖
ïî 1 êÎì êàæäîå.
Ð.Àëåêñàíäðîâ
)
Ïîïðàâêà.  óñëîâèè çàäà÷è Ô1683, îïóáëèêîâàííîì â
ïðåäûäóùåì íîìåðå æóðíàëà, äîëæíà áûòü çàäàíà âûñîòà âàëà H íàä ïîâåðõíîñòüþ âîäû. Ðåäàêöèÿ ïðèíîñèò
÷èòàòåëÿì ñâîè èçâèíåíèÿ.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì1661 — Ì1665,
Ô1673 —Ô1682
Ì1661. Ìîæíî ëè îòìåòèòü 64 åäèíè÷íûõ êóáèêà
â
êóáå 8 × 8 × 8 òàê, ÷òîáû ñðåäè ëþáûõ 8 îòìå÷åííûõ
êóáèêîâ íåêîòîðûå äâà íàõîäèëèñü â îäíîì ñëîå, ïàðàëëåëüíîì ãðàíè êóáà, è ïðè ýòîì â êàæäîì ñëîå, ïàðàëëåëüíîì ãðàíè, áûëî îòìå÷åíî 8 êóáèêîâ?
ÎÒÂÅÒ: äà.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòðû êóáèêîâ ðàñïîëîæåíû â
òî÷êàõ (x, y, z), õ, ó, z ∈Z, 0 ≤ x, y, z ≤ 7 . Îòìåòèì âñå
êëåòêè, öåíòðû êîòîðûõ èìåþò ñóììó êîîðäèíàò, êðàòíóþ âîñüìè. Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî òàêèõ êëåòîê
áóäåò ðîâíî 64, ïî 8 â ëþáîì ñëîå, ïàðàëëåëüíîì ãðàíè.
Äîïóñòèì, ÷òî íàì óäàëîñü âûáðàòü âîñåìü îòìå÷åííûõ
êëåòîê, íèêàêèå äâå èç êîòîðûõ íå ëåæàò â îäíîì ñëîå,
ïàðàëëåëüíîì ãðàíè. Òîãäà ñóììà êîîðäèíàò ýòèõ êëåòîê
äîëæíà áûòü ðàâíà óòðîåííîé ñóììå ÷èñåë îò 0 äî 7.
Ýòîãî íå ìîæåò áûòü, ïîñêîëüêó ýòî ÷èñëî íå äåëèòñÿ íà
8.
À.Âåðøèê
Ì1662. Ìîæåò ëè êóá íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà÷èíàòüñÿ
ñ 1998?
ÎÒÂÅÒ: äà, ìîæåò.
Ïðåäïîëîæèâ ïðîòèâíîå, ðàññìîòðèì êóáû, áîëüøèå ÷åì
10 3n . Íàèìåíüøåå èç ÷èñåë y 3 , áîëüøèõ 1998 ⋅ 10 3 n , íå
ìåíüøå ÷åì 1999 ⋅ 10 3 n . Îáîçíà÷èì ÷åðåç x 3 íàèáîëüøèé
3n
èç êóáîâ, ìåíüøèõ ÷åì 1998 ⋅ 10 ; î÷åâèäíî, x ≥ 10 .
Ïîëó÷èëè:
Íî
b x + 1g
3
− x 3 > 10 3 n .
2
3x + 3x + 1 < 4x
2
ïðè x ≥ 10 . Òàê êàê
x 3 < 2 ⋅ 10 3 n+ 3 ,
òî
7 Êâàíò ¹3
2
23
2 +2
2 +2
x < 2 ⋅ 10 n < 2 ⋅ 10 n .
25
«ÊÂÀÍÒÀ»
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
8 ⋅ 10
2 n+ 2
> 10
3n
– íåðàâåíñòâî, íåâåðíîå ïðè ëþáîì n ≥ 3 .
Çàìå÷àíèå 1. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ è
îáùåå óòâåðæäåíèå: ëþáàÿ ñòåïåíü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé êîìáèíàöèè öèôð.
Çàìå÷àíèå 2. Ôàêòè÷åñêè ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå
÷èñëà õ = 12abc òàêîãî, ÷òî x 3 = 1998...
 äåéñòâèòåëüíîñòè òàêèõ ÷èñåë äàæå äâà: 12596 3 =
3
= 1998471484736, à 12597 = 1998947500173. Ïðè ýòîì
12596 – íàèìåíüøåå èç âñåõ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì çàäà÷è.
Â.Ñåíäåðîâ
Ì1663. Áèññåêòðèñû âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà
îáðàçóþò â ïåðåñå÷åíèè âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê.
Äîêàæèòå, ÷òî
2
äèàãîíàëè ïîëó÷åííîãî ÷åòûðåαα
õóãîëüíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíû.
)
,
Ïðîäîëæèì ïðî-
òèâîïîëîæíûå ñòîβ
ðîíû èñõîäíîãî ÷å- β
/
3
òûðåõóãîëüíèêà
+
.
ABCD äî ïåðåñå- *
÷åíèÿ â òî÷êàõ Ð è
Q (ñì. ðèñóíîê).
Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî áèññåêòðèñà PF óãëà Ð ïåðïåíäèêóëÿðíà áèññåêòðèñå QE óãëà Q.
Ïîñêîëüêó ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD – âïèñàííûé, âíåøíèé óãîë DCQ ðàâåí âíóòðåííåìó óãëó â ïðîòèâîïîëîæíîé âåðøèíå À. Òàê êàê ïðÿìàÿ QE – áèññåêòðèñà
óãëà Q, òî óãëû òðåóãîëüíèêà AQE ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
óãëàì òðåóãîëüíèêà CQG. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠ CGQ =
= ∠ AEQ. Íî óãëû CGQ è PGE ðàâíû êàê âåðòèêàëüíûå. Ïîýòîìó ∠ PEG = ∠ PGE è ∆ PEG – ðàâíîáåäðåííûé.
Ñëåäîâàòåëüíî, áèññåêòðèñà óãëà Ð ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèííûì
ïåðïåíäèêóëÿðîì ê îòðåçêó EG, ò.å. áèññåêòðèñà PF óãëà
Ð ïåðïåíäèêóëÿðíà áèññåêòðèñå QE óãëà Q.
Îòñþäà ëåãêî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è, òàê êàê
äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî íà áèññåêòðèñàõ ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, ëåæàò íà áèññåêòðèñàõ
PF è QE.
 ñëó÷àå, êîãäà êàêèå-ëèáî äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïàðàëëåëüíû, óòâåðæäåíèå
çàäà÷è ñëåäóåò èç ñèììåòðè÷íîñòè ÷åðòåæà.
Ñ.Áåðëîâ
Ì1664. Ñóùåñòâóþò ëè îòëè÷íûé îò êîíñòàíòû
ìíîãî÷ëåí Ð ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè è íàòóðàëüíîå
n
÷èñëî k > 1 òàêèå, ÷òî âñå ÷èñëà âèäà P k ïîïàðíî
âçàèìíî ïðîñòû?
ÎÒÂÅÒ: íå ñóùåñòâóþò.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå.
e j
e j
m
 íåêîòîðîé òî÷êå k m èìååì P k
bg
> 1. Ýòî ñëåäóåò èç
òîãî, ÷òî P x → ∞ ïðè x → ∞ ; íî ìîæíî ðàññóæäàòü è
ïî-äðóãîìó.
ÊÂÀÍT 1999/¹3
26
çíà÷åíèå îí ïðèíèìàåò íå áîëåå ÷åì â r òî÷êàõ; ïîýòîìó
e j
i
P k ≤ 1 íå áîëåå ÷åì ïðè 3r çíà÷åíèÿõ i.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íèæå âìåñòî k ÷èñëî k1 = k m .
Ðàññìîòðèì êàêîé-ëèáî ïðîñòîé äåëèòåëü ð ÷èñëà P k1 .
Åñëè k1 äåëèòñÿ íà ð (à çíà÷èò, è ñâîáîäíûé ÷ëåí
ìíîãî÷ëåíà Ð(õ) äåëèòñÿ íà ð) – âñå ÿñíî: â ýòîì ñëó÷àå
P k1j äåëèòñÿ íà ð ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì j.
Ïóñòü k1 íå äåëèòñÿ íà ð.  ýòîì ñëó÷àå èç ïðèíöèïà Äèðèõëå ñëåäóåò, ÷òî ñðåäè ÷èñåë k12 , k13 , ...
íàéäåòñÿ òàêîå k1j , ÷òî k1j ≡ k1 mod p . Ñëåäîâàòåëüíî,
c h
e j
g
Pek j ≡ Pck hb mod pg , ò.å. ð äåëèò è Pck h , è Pek j .
j
1
b
1
n
1
j
1
Çàìå÷àíèå. Åñëè âçÿòün âìåñòî k áîëåå «ðàçðåæåííóþ»
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü k 2 , òî îòâåò çàäà÷è ñìåíèòñÿ íà
ïðîòèâîïîëîæíûé: äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü Ð(õ) =n õ + 1,
k m= 2. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè n ≠ m ÷èñëà 2 2 + 1 è
2
2 + 1 âçàèìíî ïðîñòû. Òàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè
Ôåðìà. Íåòðóäíî äîêàçàòü è áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå:
ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì íàòóðàëüíîì t îáîáùåííûå
n
2
÷èñëà Ôåðìà 2t
+ 1 òîæå âçàèìíî ïðîñòû. Òàêèì
îáðàçîì, ïðè ïîñòðîåíèè ïðèìåðà ìîæíî áðàòü k = 2t, ãäå
t – ïðîèçâîëüíîå ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
À.Ïàñòîð
b g
Ì1665. à) Â ñôåðó âïèñàíî íåñêîëüêî êóáîâ. Êàæäûå
a
òåëà. À èìåííî: óñêîðåN
íèå ïðåäñòàâëåíî â âèäå
b
âåêòîðíîé ñóììû âåðòè→
êàëüíîãî óñêîðåíèÿ a , ñ
êîòîðûì òåëî äâèæåòñÿ
α
âìåñòå ñ êëèíîì, è óñêî→
mg
ðåíèÿ b âäîëü êëèíà.
Ïîëíîå óñêîðåíèå òåëà âäîëü âåðòèêàëüíîãî íàïðàâëåíèÿ
ðàâíî íóëþ:
b sin α − a = 0 .
Äëÿ ñèë â ïðîåêöèÿõ íà âåðòèêàëüíîå è ãîðèçîíòàëüíîå
íàïðàâëåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü
N cos α − mg = 0 , N sin α = mb cos α .
Ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
a = g tg 2 α .
À.Êëèíîâ
Ô1674. Â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 1, óñêîðåíèÿ áëîêîâ íàïðàâëåíû ïî âåðòèêàëè, êóñêè íèòåé
òàêæå âåðòèêàëüíû. Ñ êàêèìè ñèëàìè ïðèõîäèòñÿ ïðè
ýòîì äåéñòâîâàòü íà áëîêè? Ìàññû áëîêîâ è íèòåé
ïðåíåáðåæèìî ìàëû, íèòè íåðàñòÿæèìû.
òðè èç íèõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó. Äîêàæèòå, ÷òî âñå
êóáû èìåþò îáùóþ âåðøèíó.
á)* ×åòûðå êóáà ðàñïîëîæåíû â ïðîñòðàíñòâå òàê,
÷òî êàæäûå òðè èç íèõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó. Îáÿçàòåëüíî ëè âñå ÷åòûðå èìåþò îáùóþ âåðøèíó?
à) Â ñôåðó âïèñàíû êóáû K1 , K2 , Kn (n > 3). Çàìåòèì
ñíà÷àëà, ÷òî åñëè äâà êóáà âïèñàíû â ñôåðó è èìåþò
îáùóþ âåðøèíó, òî îíè èìåþò îáùóþ äèàãîíàëü, êîòîðàÿ
ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì ñôåðû. Ïðè ýòîì, åñëè äâà êóáà
èìåþò äâå îáùèå äèàãîíàëè, òî îíè ñîâïàäàþò.
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è êóáû K1 , K2 è K3 èìåþò îáùóþ
âåðøèíó, à çíà÷èò, îíè èìåþò îáùóþ äèàãîíàëü d1 ñ
îäíèì èç êîíöîâ â ýòîé âåðøèíå. Êóáû K2 , K3 è K4 òîæå
èìåþò îáùóþ äèàãîíàëü d2 . Åñëè äèàãîíàëè d1 è d2
ñîâïàëè, òî âñå ÷åòûðå êóáà èìåþò îäíó îáùóþ äèàãîíàëü
(à çíà÷èò, äâå îáùèå âåðøèíû). Åñëè æå d1 è d2 íå
ñîâïàëè, òî êóáû K2 è K3 èìåþò äâå îáùèå äèàãîíàëè d1
è d2 , à çíà÷èò, êóáû K2 è K3 ñîâïàäàþò, è òîãäà ïî
óñëîâèþ êóáû K1 , K2 , K3 è K4 èìåþò îáùóþ âåðøèíó.
Ïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü ïåðâûì øàãîì
èíäóêöèè, íî çàêëþ÷èòåëüíûé ïåðåõîä îò n ê n + 1
ïðîâîäèòñÿ òî÷íî òàê æå.
á) Âîçüìåì âñïîìîãàòåëüíûé êóá è âïèøåì â íåãî âñïîìîãàòåëüíûé ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ñ âåðøèíàìè â âåðøèíàõ êóáà. ×åòûðå íóæíûõ íàì êóáà ïîëó÷àþòñÿ, êîãäà ìû
ñèììåòðè÷íî îòðàçèì âñïîìîãàòåëüíûé êóá îòíîñèòåëüíî
êàæäîé èç ÷åòûðåõ ãðàíåé âñïîìîãàòåëüíîãî òåòðàýäðà.
Êàæäûå òðè èç ýòèõ êóáîâ èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íî âñå
÷åòûðå îáùåé âåðøèíû íå èìåþò.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ô1673. Íà ãëàäêîì êëèíå ñ óãëîì α ïðè îñíîâàíèè
íàõîäèòñÿ íåáîëüøîå òåëî. Ñ êàêèì âåðòèêàëüíûì
óñêîðåíèåì íóæíî äâèãàòü êëèí, ÷òîáû òåëî îñòàâàëîñü íà îäíîé è òîé æå âûñîòå?
Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëî ïðè
äâèæåíèè, è ðàçëîæåííîå íà ñîñòàâëÿþùèå óñêîðåíèå
a
a
T
m
m
T
T
T
M
M
a
a
Ðèñ. 1
Ðèñ. 2
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé m íàïðàâëåíî
âíèç è ðàâíî 4à. Òîãäà (ðèñ.2)
mg + T2 − T1 = 4 ma .
Óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé Ì ïðè ýòîì íàïðàâëåíî ââåðõ è
ðàâíî 6à. Äëÿ íåãî
T1 − Mg = 6 Ma .
Èç ýòèõ óðàâíåíèé íàõîäÿòñÿ ñèëû T1 è T2 .
Íà âåðõíèé áëîê íóæíî äåéñòâîâàòü ñèëîé
b
g
F1 = 2T1 = 2 M g + 6 a ,
à ê íèæíåìó áëîêó íóæíî ïðèêëàäûâàòü ñèëó
d b
g b
gi
F2 = 2T2 = 2 M g + 6 a + m 4 a − g .
Ì.Ó÷èòåëåâ
Ô1675. Äëÿ ñúåìîê î÷åðåäíîãî ôèëüìà Ñïèëáåðãà áûë
èçãîòîâëåí ìàêåò Çåìëè – â íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó è ñ
òîé æå ìàññîé (âíóòðè áîëüøîãî î÷åíü ëåãêîãî ïëàñò-
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
L ìàññîâîãî øàðà íàõîäèòñÿ òÿæåëûé øàð
èç î÷åíü ïëîòíîãî âå*
4 @
) ùåñòâà).  ðåçóëüòàòå íåòî÷íîñòåé ïðè
ñáîðêå öåíòð ìàññ
L
òÿæåëîãî øàðà îêàçàëñÿ ñìåùåííûì â
ïëîñêîñòè ýêâàòîðà íà ðàññòîÿíèå d = 100 êì îò
öåíòðà áîëüøîãî øàðà. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ
îáîðîòà ñïóòíèêà, êîòîðûé äâèæåòñÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè.
Íàéäåì «ìèíèìàëüíóþ» îðáèòó ñïóòíèêà. Ïóñòü îíà
ïî÷òè êàñàåòñÿ Çåìëè â òî÷êå À – áëèæàéøåé ê ñäâèíóòîìó öåíòðó ìàññ (ñì. ðèñóíîê). Óñêîðåíèå ñïóòíèêà â
→
ýòîé òî÷êå ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó ñêîðîñòè v1 è îïðåäåëÿåòñÿ ãðàâèòàöèîííûì ïðèòÿæåíèåì «Çåìëè»:
a=
2
GM
b R − dg
2
=
v1
R
(ìû ó÷ëè, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû îðáèòû â ýòîì ìåñòå íå
ìîæåò áûòü ìåíüøå ðàäèóñà Çåìëè R). Îòñþäà ìû ìîæåì
íàéòè íàèìåíüøóþ âîçìîæíóþ ñêîðîñòü â ýòîé òî÷êå:
GMR
v1 =
R−d
.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñàìóþ äàëüíþþ òî÷êó îðáèòû Â.
Îáîçíà÷èì âûñîòó ñïóòíèêà íàä ïîâåðõíîñòüþ ÷åðåç õ,
òîãäà ðàññòîÿíèå îò ñïóòíèêà äî öåíòðà ìàññ â ýòîé òî÷êå
ïîëó÷èòñÿ R + d + x. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñâÿçè ìåæäó
ñêîðîñòÿìè â áëèæíåé è äàëüíåé òî÷êàõ òðàåêòîðèè
âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà
(èëè âòîðûì çàêîíîì Êåïëåðà):
b
g
b
v2 R + d + x = v1 R − d
g
27
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ô1676. Ïðè èçó÷åíèè ïàäåíèÿ òåë â âîçäóõå áûëè
ïîëó÷åíû ëþáîïûòíûå ðåçóëüòàòû. Ìåòàëëè÷åñêèé
øàðèê ïàäàë ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ 100 ì/ñ,
øàðèê âäâîå áîëüøåãî äèàìåòðà èç òîãî æå ìåòàëëà
ïàäàë ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ 140 ì/ñ. Ê ìàëåíüêîìó øàðèêó ïðèêðåïèëè äëèííóþ íèòü, è ñ òàêèì
«õâîñòîì» îí ïàäàë ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ
15 ì/ñ. Êîãäà äëèíó «õâîñòà» óâåëè÷èëè â äâà ðàçà,
ñêîðîñòü óñòàíîâèâøåãîñÿ ïàäåíèÿ óìåíüøèëàñü äî
9 ì/ñ. Ïîïðîáóéòå îöåíèòü ñêîðîñòü ïàäåíèÿ ýòîãî
øàðèêà ïðè î÷åíü áîëüøîé äëèíå «õâîñòà». Ñ÷èòàéòå,
÷òî «õâîñò» ïðè äâèæåíèè íå èçâèâàåòñÿ, à îñòàåòñÿ
âåðòèêàëüíûì.
Ïðè ïàäåíèè øàðèêà â âîçäóõå íà íåãî äåéñòâóåò ñèëà
ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êâàäðàòó
åãî ñêîðîñòè è ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïàäàþùåãî
òåëà – äàííûå â óñëîâèè çàäà÷è ÷èñëà ïîçâîëÿþò ýòî
óñòàíîâèòü (ïðè óâåëè÷åíèè äèàìåòðà øàðèêà â äâà ðàçà
åãî ìàññà óâåëè÷èâàåòñÿ â âîñåìü ðàç, à ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ – â ÷åòûðå ðàçà, îòíîøåíèå ñêîðîñòåé
óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ 140/100 êàê ðàç ñîîòâåòñòâóåò «êâàäðàòè÷íîìó» çàêîíó). Íà øàðèê ñ «õâîñòîì»,
êðîìå ñèëû ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóåò åùå ñèëà
âÿçêîãî òðåíèÿ (íà íèòü), ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè
ïàäåíèÿ è âåëè÷èíå áîêîâîé ïîâåðõíîñòè «õâîñòà», ò.å.
äëèíå íèòè. Ýòà ñèëà ÿâíî ïîëó÷àåòñÿ «ãëàâíîé» –
ñêîðîñòü óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ â ñëó÷àå øàðèêà ñ
íèòüþ âî ìíîãî ðàç ìåíüøå ñêîðîñòè øàðèêà áåç íèòè.
ßñíî òàêæå, ÷òî ïðèäåòñÿ ó÷åñòü è ìàññó äëèííîé íèòè.
Èòàê, íå ó÷èòûâàÿ ñèëó ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ è îáîçíà÷èâ ìàññó øàðèêà Ì, ìàññó åäèíèöû äëèíû íèòè ρ ,
äëèíó íèòè â ïåðâîì ñëó÷àå L, âî âòîðîì 2L è â òðåòüåì
nL, çàïèøåì óñëîâèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ:
M + ρL g = kLv3 ,
b
g
bM + ρ ⋅ 2Lgg = k ⋅ 2Lv ,
b M + ρ ⋅ nLgg = k ⋅ nLv .
è çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
ñïóòíèêà è «Çåìëè» îòðèöàòåëüíà!):
−
GMm
R−d
2
+
mv1
2
=−
GMm
R+d+x
2
+
mv2
2
.
Ïîäñòàâèâ ñþäà çíà÷åíèå v1 èç ïðåäûäóùåãî óðàâíåíèÿ
è èñêëþ÷èâ v2 , íàéäåì çíà÷åíèå âûñîòû õ:
x=
2d 2
R − 2d
≈ 3200 ì .
Ïîëó÷èëàñü ñîâñåì íåáîëüøàÿ âûñîòà; çíà÷èò, ðàçìåð
áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñà ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àåòñÿ îò
ðàäèóñà Çåìëè è ïåðèîä îáðàùåíèÿ T1 ïî÷òè ðàâåí T0 =
= 2π R g ≈ 5060 ñ – ïåðèîäó îáðàùåíèÿ âîêðóã Çåìëè
ïî êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì R. Îòíîøåíèå ýòèõ ïåðèîäîâ ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ òðåòèé çàêîí Êåïëåðà:
FG
H
T1
R+x 2
=
T0
R
IJ
K
32
≈ 1,0004 .
Çàìå÷àíèå. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ñèëüíî âûòÿíóòûé
ýëëèïñ, îäíàêî èç ðàñ÷åòîâ ñëåäóåò, ÷òî ýòî ïðàêòè÷åñêè
îêðóæíîñòü.
Ç.Ðàôàèëîâ
7*
4
5
Ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàéäåì
M + ρnL M + ρnL nv5
M = 4ρL ,
=
=
.
M + ρL
5ρL
v3
Ïðè áîëüøîì n ïîëó÷èì
v5
1
v
= , è v5 = 3 = 3 ì ñ .
5
v3
5
Ð.Øàðèêîâ
Ô1677. Â æåñòêîì çàêðûòîì ëèòðîâîì ñîñóäå íàõîäèòñÿ 900 ã âîäû; âîçäóõà â ñîñóäå íåò. Òåìïåðàòóðà
âíóòðè ñîñóäà +100 °Ñ. Ñîäåðæèìîìó ñîñóäà ñîîáùèëè
1000 Äæ òåïëà. Îöåíèòå êîëè÷åñòâî èñïàðèâøåéñÿ ïðè
ýòîì âîäû. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû äî +101 °Ñ äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû óâåëè÷èâàåòñÿ îò 1 àòì äî 1,04 àòì.
×àñòü ïåðåäàííîãî ñèñòåìå òåïëà ïîéäåò íà íàãðåâàíèå
âîäû, ÷àñòü – íà èñïàðåíèå. Ïîïðîáóåì îöåíèòü ñîîòíîøåíèå ýòèõ ÷àñòåé.
Ïóñòü âñå òåïëî ïîøëî íà íàãðå⠖ òîãäà èçìåíåíèå
òåìïåðàòóðû âîäû ñîñòàâèò
∆T =
Q
cm
=
1000 Äæ
≈ 0,26 Ê .
4200 Äæ êã ⋅ Ê ⋅ 0,9 êã
b
g
ÊÂÀÍT 1999/¹3
28
Ïðè ýòîì äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ óâåëè÷èòñÿ îò
1 àòì äî 1,01 àòì, è «ëèøíåå» êîëè÷åñòâî ïàðà â îáúåìå
0,1 ë ñîñòàâèò
∆m1 =
Μ V ∆p
RT
=
3
=
0,018 êã ìîëü ⋅ 0,0001 ì ⋅ 1000 Í ì
>
2
C
8,3 Äæ ìîëü ⋅ Ê ⋅ 373 Ê
≈ 6 ⋅ 10
−7
êã .
À åñëè áû âñå òåïëî óøëî íà èñïàðåíèå, òî èñïàðèëîñü áû
∆m2 =
Q
r
3
=
10 Äæ
6
2,26 ⋅ 10
Äæ êã
≈ 4 ⋅ 10
−4
êã ,
÷òî âî ìíîãî ðàç áîëüøå äîïîëíèòåëüíîãî êîëè÷åñòâà
èñïàðèâøåéñÿ âîäû, îïðåäåëÿåìîãî íàñûùåíèåì ïàðà.
Î÷åâèäíî, ÷òî òîëüêî î÷åíü íåáîëüøàÿ ÷àñòü òåïëà ïîéäåò íà èñïàðåíèå – «ëèøíåå» êîëè÷åñòâî âîäû íå ìîæåò
èñïàðèòüñÿ, òàê êàê î÷åíü áûñòðî íàñòóïèò íàñûùåíèå
ïàðà â ñâîáîäíîé ÷àñòè îáúåìà. Ìîæíî òåïåðü âû÷åñòü
êîëè÷åñòâî òåïëîòû, íåîáõîäèìîå äëÿ èñïàðåíèÿ ìàññû
âîäû ∆m1 , è óòî÷íèòü âåëè÷èíó ∆T , ò.å. íàéòè ∆T1 =
= Q − r∆m1 cm . Îäíàêî ïîïðàâêà ïîëó÷èòñÿ ñîâñåì
ìàëîé: r∆m1 Q = ∆m1 ∆m2 ≈ 0,015 = 0,15%, è åþ âïîëíå
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Èòàê, ïåðâàÿ îöåíêà âûãëÿäèò âïîëíå ðàçóìíîé, è êîëè÷åñòâî èñïàðèâøåéñÿ âîäû ÷óòü ìåíüøå ∆m1 ≈ 0,6 ìã.
Ð.Àëåêñàíäðîâ
?
D
Ô1678. Ê âûâîäàì èñòî÷íèêà ïîäêëþ÷àþò ïîñëåäîâàòåëüíî àìïåðìåòð è âîëüòìåòð, êîòîðûé ïîêàçûâàåò
ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå 6 Â. Êîãäà ïàðàëëåëüíî åìó
ïîäêëþ÷èëè åùå îäèí òàêîé æå âîëüòìåòð, îíè â ñóììå
ïîêàçàëè 10 Â. Ïîäêëþ÷èì ïàðàëëåëüíî åùå î÷åíü ìíîãî
òàêèõ æå âîëüòìåòðîâ. Ñêîëüêî îíè â ñóììå ïîêàæóò?
Âî ñêîëüêî ðàç ïðè ýòîì âîçðàñòóò ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà?
Îáîçíà÷èì ñîïðîòèâëåíèå àìïåðìåòðà áóêâîé r (åñëè
èñòî÷íèê íå èäåàëüíûé, èñïîëüçóåì ýòî îáîçíà÷åíèå äëÿ
ñóììû ñîïðîòèâëåíèÿ àìïåðìåòðà è âíóòðåííåãî ñîïðîòèâëåíèÿ èñòî÷íèêà). Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âîëüòìåòð ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå U1 = 6 Â, ìîæíî çàïèñàòü
rI = U − U1 ,
ãäå U – íàïðÿæåíèå íà èñòî÷íèêå. Âî âòîðîì ñëó÷àå,
êîãäà âîëüòìåòðû ïîêàçûâàþò ïî U2 = 5 Â, ïîëíûé òîê
÷åðåç àìïåðìåòð óâåëè÷èòñÿ â (5+5)/6 ðàç è ñîñòàâèò
I ⋅ 10 6 . Òîãäà ïîëó÷èì
10
r⋅
I = U − U2 .
6
Ó íàñ òåïåðü åñòü äâà óðàâíåíèÿ ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè –
íî íàì âîâñå íå îáÿçàòåëüíî íàõîäèòü âñå íåèçâåñòíûå
âåëè÷èíû r, I è U. Íàñ èíòåðåñóåò, âî ñêîëüêî ðàç òîê,
êîòîðûé áóäåò òå÷ü ÷åðåç àìïåðìåòð ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ñîåäèíåííûõ ïàðàëëåëüíî âîëüòìåòðîâ, ïðåâûøàåò âåëè÷èíó I, òîãäà ìû ëåãêî íàéäåì è ñóììó ïîêàçàíèé
âîëüòìåòðîâ.
Èòàê, ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå âîëüòìåòðîâ íàïðÿæåíèå
íà êàæäîì èç íèõ äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ ñîâñåì ìàëûì, è
äëÿ òîêà kI çàïèøåì ñîîòíîøåíèå
r ⋅ kI = U .
Èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé íàõîäèì k = 5. Ñëåäîâàòåëüíî,
ñóììàðíûé òîê (ñóììà òîêîâ ÷åðåç âñå âîëüòìåòðû) â 5
ðàç áîëüøå, ÷åì â ñàìîì ïåðâîì ñëó÷àå, êîãäà îäèí
âîëüòìåòð ïîêàçûâàë 6 Â. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà
ïîêàçàíèé âîëüòìåòðîâ âîçðàñòåò òîæå â 5 ðàç, ò.å. áóäåò
ðàâíà 30 Â.
À.Ïðîñòîâ
Ô1679. Â âàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü íåçàðÿæåííûé
êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ, çàðÿæåííûé äî íàïðÿæåíèÿ
U êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 100 Ñ, êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè è ïîëóïðîâîäíèêîâûé äèîä (íèêàêèõ äðóãèõ ýëåìåíòîâ ó âàñ íåò). Äî êàêîãî ìàêñèìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ
ìîæíî áûëî áû çàðÿäèòü êîíäåíñàòîð ìàëîé åìêîñòè,
åñëè áû âñå ýòè ýëåìåíòû áûëè èäåàëüíûìè? Êàê äëÿ
ýòîãî íóæíî áûëî áû äåéñòâîâàòü? Ìîæåòå ëè âû
ïðèäóìàòü áîëüøå îäíîãî ñïîñîáà?
Ìû ìîæåì ïðèäóìûâàòü ñàìûå ðàçíûå ñõåìû «ïåðåêà÷êè» çàðÿäîâ, íî åñëè ó íàñ íåò èñòî÷íèêîâ äîïîëíèòåëüíîé ýíåðãèè, òî â ëó÷øåì ñëó÷àå âñÿ íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ
áåç ïîòåðü áóäåò ïåðåíåñåíà â êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ,
ïðè ýòîì åãî íàïðÿæåíèå îêàæåòñÿ â 10 ðàç áîëüøå
âåëè÷èíû U. Îäíà èç âîç– +
ìîæíûõ ñõåì ïðèâåäåíà íà
100 C
ðèñóíêå. Ïîñëå ïîäêëþ÷å- A
L
íèÿ êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ 100 Ñ, çàðÿæåííîãî â
ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå ïîëÿðíîñòè, ê îñòàëüíîé ÷àñC
òè ñõåìû ïî êàòóøêå íà÷íåò òå÷ü òîê (äèîä íå äàåò Á
çàðÿæàòüñÿ êîíäåíñàòîðó
åìêîñòüþ Ñ). Ïîäîæäàâ íåêîòîðîå âðåìÿ (áîëüøå ÷åì T/4 = 0,5 π L ⋅ 100C ), ïåðåðåæåì ïðîâîä â òî÷êå À – ê ýòîìó ìîìåíòó êîíäåíñàòîð
åìêîñòüþ 100 Ñ îêàæåòñÿ ðàçðÿæåííûì, à ïî çàìêíóòîìó
êîíòóðó êàòóøêà–äèîä áóäåò òå÷ü íåèçìåííûé ïî âåëè÷èíå òîê, ò.å. âñÿ ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà ïåðåéäåò â ýíåðãèþ
êàòóøêè (ïî óñëîâèþ ýëåìåíòû öåïè ìîæíî ñ÷èòàòü
èäåàëüíûìè). Îñòàëîñü ïåðåðåçàòü ïðîâîä â òî÷êå Á –
òîãäà íà÷íåò çàðÿæàòüñÿ êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ. Êîãäà
òîê ÷åðåç êàòóøêó óìåíüøèòñÿ äî íóëÿ è âñÿ ýíåðãèÿ
êàòóøêè ïåðåéäåò â ýíåðãèþ çàðÿæàåìîãî êîíäåíñàòîðà,
ïðîöåññ ïðåêðàòèòñÿ – äèîä íå ïîçâîëèò çàðÿäàì ïîêèíóòü êîíäåíñàòîð, â êîòîðîì è îêàæåòñÿ âñÿ ýíåðãèÿ. Â
ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ Ñ ñòàíåò
ðàâíûì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîìó, è óñëîâèå çàäà÷è
áóäåò âûïîëíåíî.
Åñòü åùå íåñêîëüêî ñïîñîáîâ äîáèòüñÿ òàêîãî æå ðåçóëüòàòà (åñëè áû ìû ìîãëè ìãíîâåííî è â íóæíûé ìîìåíò
ïîäêëþ÷àòü è îòêëþ÷àòü êîíäåíñàòîðû, ìû ñìîãëè áû
äàæå îáîéòèñü áåç äèîäà!). Îäíàêî èäåàëüíóþ êàòóøêó
íåëüçÿ «îòðûâàòü» îò âíåøíåé öåïè äàæå íà î÷åíü
êîðîòêîå âðåìÿ, ïîýòîìó íå âñÿêàÿ ñõåìà ïðèãîäíà.
Îáñóäèì, íàïðèìåð, òàêîé âàðèàíò – ïîäêëþ÷èì ê çàðÿæåííîìó êîíäåíñàòîðó åìêîñòüþ 100Ñ ïîñëåäîâàòåëüíóþ
öåïü èç êàòóøêè, ïðîïóñêàþùåãî â äàííîé ïîëÿðíîñòè
äèîäà è íåçàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ Ñ. Ïî
öåïè ïðîòå÷åò íåêîòîðûé çàðÿä, è ïðîöåññ ïðåêðàòèòñÿ.
Òåïåðü ïîìåíÿåì ìåñòàìè âûâîäû êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ Ñ – ïðîöåññ ïðîäîëæèòñÿ, è çàðÿä ýòîãî êîíäåíñàòîðà âîçðàñòåò. Ïîâòîðèì òàêèå ïåðåêëþ÷åíèÿ íåñêîëüêî
ðàç – ïîñëå î÷åðåäíîãî ïåðåêëþ÷åíèÿ êîíäåíñàòîð åìêî-
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
ñòüþ 100Ñ áóäåò ïðàêòè÷åñêè ðàçðÿæåí, à ïî÷òè âñÿ åãî
ýíåðãèÿ îêàæåòñÿ ó êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ Ñ. Åñëè íà
ýòîì îñòàíîâèòüñÿ, óñëîâèå çàäà÷è îêàæåòñÿ âûïîëíåííûì. Ïîäóìàéòå, îäíàêî, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ïðîäîëæèòü ïðîöåññ ïåðåêëþ÷åíèé.
À.Çèëüáåðìàí
Ô1680.  ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå, ïîî÷åðåäíî
çàìûêàþò ïåðåêëþ÷àòåëè (ïåðåä çàìûêàíèåì îäíîãî èç
íèõ äðóãîé ðàçìûêàþò). Íàéäèòå íàïðÿæåíèå «ñðåäíåãî» êîíäåíñàòîðà ïîñëå áîëüøîãî ÷èñëà ïåðåêëþ÷åíèé.
Ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàéòå èäåàëüíûìè. Êîíäåíñàòîðû
âíà÷àëå íå çàðÿæåíû.
Åñëè âíà÷àëå çàìêíóòü ëåâûé êëþ÷, ïðèñîåäèíåííûé ê
áàòàðåéêå ñ íàïðÿæåíèåì 2E , êîíäåíñàòîðû åìêîñòÿìè Ñ
è Ñ çàðÿäÿòñÿ êàæäûé äî íàïðÿæåíèÿ E , è äàëüíåéøèå
âêëþ÷åíèÿ-âûêëþ÷åíèÿ óæå íè÷åãî íå èçìåíÿò – êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 2Ñ íå áóäåò çàðÿæàòüñÿ âîâñå (îí ïîäêëþ÷àåòñÿ ìåæäó ïëþñîì áàòàðåéêè ñ íàïðÿæåíèåì E
+
+
è ïëþñîì êîíäåíñàòîðà
åìêîñòüþ Ñ, çàðÿæåííîãî
+
äî òàêîãî æå íàïðÿæåíèÿ).
Åñëè æå ïåðâûì çàìêíóòü
ïðàâûé êëþ÷, ïðèñîåäèíåííûé ê áàòàðåéêå ñ íàïðÿæåíèåì E , òî ïðîöåññ áóäåò áîëåå ñëîæíûì. Ïîñëå
ïåðâîãî çàìûêàíèÿ ýòîãî êëþ÷à êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ
2Ñ çàðÿäèòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ E 3 , à «ñðåäíèé» êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ – äî íàïðÿæåíèÿ 2E 3 . Ðàçîìêíåì ýòîò
êëþ÷ è çàìêíåì âòîðîé. Ïðîñòîé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî
òåïåðü «ñðåäíèé» êîíäåíñàòîð áóäåò çàðÿæåí äî 4 E 3 ,
«ïðàâûé» êîíäåíñàòîð – äî íàïðÿæåíèÿ 2E 3 , à çàðÿä
«ëåâîãî» íå èçìåíèòñÿ. Ðàçîìêíåì ýòîò êëþ÷ è ñíîâà
çàìêíåì ïåðâûé – íàïðÿæåíèå «ñðåäíåãî» êîíäåíñàòîðà
ñòàíåò ðàâíûì 8E 9 , à «ëåâûé» êîíäåíñàòîð çàðÿäèòñÿ äî
íàïðÿæåíèÿ E 9 . Ìîæíî ïðîâîäèòü àíàëèç è äàëüøå, íî
ÿñíî, ÷òî íàïðÿæåíèå «ñðåäíåãî» êîíäåíñàòîðà ïðèáëèæàåòñÿ ê E , à íàïðÿæåíèå «ëåâîãî» — ê íóëþ. Ëåãêî
ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó: ïîñëå êàæäîé ïàðû ïåðåêëþ÷åíèé íàïðÿæåíèå «ëåâîãî» êîíäåíñàòîðà óìåíüøàåòñÿ â
òðè ðàçà.
Èòàê, ïîñëå áîëüøîãî ÷èñëà ïåðåêëþ÷åíèé íàïðÿæåíèå
«ñðåäíåãî» êîíäåíñàòîðà ñòàíåò î÷åíü áëèçêèì ê E .
À.Çèëüáåðìàí
Ô1681. Íà ôåððîìàãíèòíûé êîëüöåâîé ñåðäå÷íèê ñ
î÷åíü áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ íàìîòàíû
äâå ñîâåðøåííî îäèíàêîâûå îáìîòêè – êàòóøêè èíäóêòèâíîñòüþ L êàæäàÿ. Ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îäíîé èç
îáìîòîê âêëþ÷àåì êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ, ê ïîëó÷èâøåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîé öåïî÷êå ïîäêëþ÷àåì ïàðàëëåëüíî âòîðóþ îáìîòêó. Ïðè ïîìîùè ãåíåðàòîðà ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ è ëàìïî÷êè íàêàëèâàíèÿ èññëåäóåì ñâîéñòâà ïîëó÷èâøåéñÿ ñõåìû (ðèñ.1). Êàê ìåíÿåòñÿ íàêàë ëàìïî÷êè ïðè
+
èçìåíåíèè ÷àñòîòû ãåíåðàòîðà? ×òî èçìåíèòñÿ, åñëè
ïîìåíÿòü ìåñòàìè âûâîäû
îäíîé èç îáìîòîê?
Ðèñ. 1
8 Êâàíò ¹3
 îäíîì èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ âêëþ÷åíèÿ âûâîäîâ
29
«ÊÂÀÍÒÀ»
êàòóøåê íàïðÿæåíèå, ïðèëîæåííîå ê êîíäåíñàòîðó, âñå
âðåìÿ ðàâíî íóëþ, è òîê â ëåâîé ÷àñòè öåïè òå÷ü âîîáùå
íå áóäåò – òîãäà îñòàíåòñÿ òîëüêî ïðàâàÿ êàòóøêà.  ýòîì
ñëó÷àå íàêàë ëàìïî÷êè ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû ãåíåðàòîðà áóäåò ìîíîòîííî óáûâàòü –èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè ïðîïîðöèîíàëüíî ÷àñòîòå.
Åñëè òåïåðü ëþáóþ èç êàòóøåê ïåðåêëþ÷èòü íàîáîðîò,
òî íàïðÿæåíèÿ êàòóøåê îñòàíóòñÿ ðàâíûìè, íî òåïåðü
îíè íå âû÷èòàþòñÿ, à ñêëàäûâàþòñÿ. Èññëåäóåì ïîëó÷èâøèéñÿ äâóõïîëþñíèê
(ðèñ.2): ïðèëîæèì ê åãî Ðèñ. 2
âûâîäàì ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå U t = U0 cos ωt è ïîñìîòðèì, êàêîé òîê ïîòå÷åò îò
èñòî÷íèêà. Íàïðÿæåíèå îäíîé èç êàòóøåê ðàâíî íàïðÿæåíèþ èñòî÷íèêà, à ðàâåíñòâî ìàãíèòíûõ ïîòîêîâ ÷åðåç
êàòóøêè ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî è íàïðÿæåíèå âòîðîé
êàòóøêè áóäåò òàêèì æå. Çíà÷èò, ê êîíäåíñàòîðó áóäåò
ïðèëîæåíî óäâîåííîå íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà, è ÷åðåç
íåãî áóäåò èäòè òîê I2 = − 2U0 ωC sin ωt . Ïîëå, ïðîíèçûâàþùåå âèòêè êàæäîé èç êàòóøåê, îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ òîêîâ â íèõ:
bg
c
h
L I1′ − I2′ = U0 cos ωt ,
è
I1 − I2 =
Îáùèé òîê ðàâåí
c
h
U0
ωL
sin ωt .
I1 + I2 = I1 − I2 + 2 I2 == U0
FG 1 − 4ωCIJ sin ωt ,
H ωL
K
à ñîïðîòèâëåíèå äâóõïîëþñíèêà ñîñòàâëÿåò
ωL
1
Z=
=
.
2
1
− 4ωC 1 − 4 ω LC
ωL
Òàêàÿ çàâèñèìîñòü Z îò ÷àñòîòû ω õàðàêòåðíà äëÿ
ïàðàëëåëüíîãî êîíòóðà èç êàòóøêè èíäóêòèâíîñòüþ L è
êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ 4Ñ. Âèäíî, ÷òî íà íèçêèõ ÷àñòîòàõ äâóõïîëþñíèê âåäåò ñåáÿ êàê êàòóøêà, à íà âûñîêèõ
– êàê êîíäåíñàòîð. Òàêèì îáðàçîì, íàêàë ëàìïî÷êè
ñòàíîâèòñÿ áîëüøèì íà ñîâñåì íèçêèõ è íà äîñòàòî÷íî
âûñîêèõ ÷àñòîòàõ. Ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ ÷àñòîòû îò ìàëûõ
çíà÷åíèé íàêàë ëàìïî÷êè óìåíüøàåòñÿ. Íà ÷àñòîòå ω p =
= 1 2 LC ñîïðîòèâëåíèå äâóõïîëþñíèêà âîçðàñòàåò äî
î÷åíü áîëüøèõ çíà÷åíèé – ïðè ïðèáëèæåíèè ê ýòîé
÷àñòîòå íàêàë ëàìïî÷êè óìåíüøàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè äî
íóëÿ, à äàëüøå ñíîâà âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû.
Ç.Ðàôàèëîâ
e
j
Ô1682.  ïîëîâèíå øàðà ðàäèóñîì R èç ïðîçðà÷íîãî
ñòåêëà ñ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ n = 2 ñäåëàíî
ñèììåòðè÷íîå ñôåðè÷åñêîå óãëóáëåíèå òàê, ÷òî
òîëùèíà ñòåêëà íà ëèíèè öåíòðîâ ñôåð ñîñòàâëÿåò R/2 (ðèñ.1).
Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà ïîìåùåí â òî÷êå À
(â öåíòðå âíåøíåé ñôå- Ðèñ. 1
ÊÂÀÍT 1999/¹3
30
Íàðèñóåì ëó÷, ïàäàþùèé â ýòó æå òî÷êó èç öåíòðà
âíóòðåííåé ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Î (íîðìàëü); ïóñòü
îí ñîñòàâëÿåò ñ ãëàâíîé îñüþ óãîë β . Ëåãêî âûðàçèòü
ýòîò óãîë ÷åðåç α :
0,5 Rα = rβ = 1,25 Rβ , è β = 0,4 α .
*
Ðèñ. 2
)
Ðèñ.3
ðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè). Ãäå åãî âèäèò íàáëþäàòåëü,
ãëàç êîòîðîãî íàõîäèòñÿ âäàëè íà ëèíèè öåíòðîâ ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé?
Íàéäåì ðàäèóñ êðèâèçíû r óãëóáëåíèÿ – âíóòðåííåé
ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ.2). Èç ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ïîëó÷èì
>
C
2
r 2 = R2 + r − R 2 , è r = 1,25R.
Òåïåðü ïîñòðîèì õîä ëó÷à, èñïóùåííîãî èñòî÷íèêîì
(ðèñ.3). Äëÿ óäîáñòâà ìû áóäåì èçîáðàæàòü íà ðèñóíêå
ëó÷è, ïàäàþùèå íà ñôåðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ïîä äîñòàòî÷íî áîëüøèìè óãëàìè (èíà÷å íè÷åãî íåëüçÿ áóäåò
ðàçîáðàòü), íî íàäî ïîìíèòü, ÷òî èçîáðàæåíèå ôîðìèðóåòñÿ ëó÷àìè, èäóùèìè ïîä î÷åíü ìàëûìè óãëàìè ê
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè – çðà÷îê íàáëþäàòåëÿ ìàëåíüêèé
è ðàñïîëîæåí äàëåêî. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ
ñòàíäàðòíûìè óïðîùåíèÿìè – äëÿ ìàëûõ óãëîâ çàìåíÿòü
ñèíóñû è òàíãåíñû çíà÷åíèÿìè ñàìèõ óãëîâ, âûðàæåííûìè â ðàäèàíàõ. Èòàê, ðàññìîòðèì õîä ëó÷à, èñïóùåííîãî
ïîä óãëîì α ê ãëàâíîé îñè. Îí ïîïàäàåò íà âíóòðåííþþ
ñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü íà ðàññòîÿíèè 0,5 Rα îò îñè.
Óãîë ïàäåíèÿ ëó÷à ñ íîðìàëüþ ñîñòàâèò ïðè ýòîì 0,6 α ,
à ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ñòåêëà ñ n = 2
ïîëó÷èòñÿ óãîë 0,3α ñ íîðìàëüþ. Ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé
îñüþ ýòî ëó÷ ñîñòàâëÿåò óãîë 0,4 α + 0,3α = 0,7α . Êî
âòîðîé ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè (âíåøíåé) ëó÷ ïîäîéäåò èçíóòðè íà ðàññòîÿíèè 0,5 Rα + 0,5R ⋅ 0,7α = 0,85Rα
îò ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Ïðîâåäåì íîðìàëü ê ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â ýòîé òî÷êå (ðàäèóñ èç òî÷êè À –
öåíòðà ýòîé ïîâåðõíîñòè) – óãîë ìåæäó ýòèì ðàäèóñîì è
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ ïîëó÷èòñÿ γ = 0,85 Rα R =
0,85α , òîãäà óãîë ïàäåíèÿ ñîñòàâèò γ – 0,7α = 0,15α , à
ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ óãîë óâåëè÷èòñÿ âäâîå è áóäåò ðàâåí
0,3α . Âûøåäøèé ëó÷ ñîñòàâèò óãîë δ = γ – 0,3α = 0,55α ñ
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ. Ïðîäîëæåíèå ýòîãî ëó÷à ïåðåñåêàåòñÿ ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ â òî÷êå  íà ðàññòîÿíèè L = = 0,85 Rα 0,55α = 17 R 11 ≈ 1,55R îò ìåñòà
âûõîäà ëó÷à (ñ ó÷åòîì ìàëîñòè óãëî⠖ îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âíåøíåé ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ). Ìû âçÿëè ïðîèçâîëüíûé ìàëûé óãîë
ïàäåíèÿ ëó÷à èñòî÷íèêà íà íàøó ëèíçó, ïîëîæåíèå
ïîëó÷åííîé òî÷êè íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû ýòîãî óãëà –
óçêèé ïó÷îê ëó÷åé ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ êàæåòñÿ èñõîäÿùèì èç ýòîé òî÷êè; ñëåäîâàòåëüíî, ìû íàøëè ïîëîæåíèå
èçîáðàæåíèÿ, íàáëþäàåìîãî ãëàçîì.
À.Î÷êîâ
ÍÀÌ ÏÈØÓÒ
Ñóïåðìàãè÷åñêèå
êâàäðàòû
Íà ðèñóíêàõ 1 è 2 ïðèâåäåíû ìàãè÷åñêèå êâàäðàòû, îáëàäàþùèå öåëûì áóêåòîì çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ. Íàïîìíèì, ÷òî ÷èñëîâàÿ òàáëèöà íàçûâàåòñÿ
ìàãè÷åñêèì êâàäðàòîì, åñëè ñóììà ÷èñåë â êàæäîì åå ãîðèçîíòàëüíîì ðÿäó,
â êàæäîì âåðòèêàëüíîì ðÿäó è ïî êàæäîé èç äèàãîíàëåé îäíà è òà æå — ýòà
ñóììà íàçûâàåòñÿ ìàãè÷åñêîé êîíñòàíòîé. Ìàãè÷åñêàÿ êîíñòàíòà îáîèõ ïðèâåäåííûõ êâàäðàòîâ ðàâíà 2000. Äðó-
Ïåðâûé ñóïåðìàãè÷åñêèé êâàäðàò &× &
íà øàõìàòíîé äîñêå
Âòîðîé ñóïåðìàãè÷åñêèé êâàäðàò &× &
íà øàõìàòíîé äîñêå
$
!'"
"
%
#$
$
#$
&
#
"'"
!
"
"
#
!
&
%
!&
"
&
a
Ðèñ. 1
#
"!
!
%
%
%
!"!
"
&'
$
!$
&
"$
&'
b
&
%
"#% !$ '" "!
$
#
&
%
'! !"" !#$ "%
!
$
#
"
'!
"" #$ !%
"
!
$
#%
'" "!
$
#
&
%
! #& "" !&'
%
&
!!' "'
& $
!
"
!' ' & $
!
"
#
$
#& !"
&'
c
d
e
f
!
"
#% $
'! ""
&
%
!'! """
$
#
!#% $
#&
!
"
!' '
$
#
!' !'
&
%
" !#&
g
h
Ðèñ.2
ãèå çàìå÷àòåëüíûå ñâîéñòâà ýòèõ êâàäðàòîâ ñâÿçàíû ñ ìàðøðóòàìè øàõìàòíûõ ôèãóð è ðàñïîëîæåíèåì øàõìàòíûõ ïîëåé.
Êâàäðàò ðèñóíêà 1. Ðàññìîòðèì
ëþáóþ èç 20 ãîðèçîíòàëüíûõ ïîëîñîê,
ñîñòîÿùèõ èç 4 ñîñåäíèõ êëåòîê è ðàñïîëîæåííûõ íà òåððèòîðèè «áåëûõ»
ôèãóð (ò.å. â ïðåäåëàõ ïåðâûõ ÷åòûðåõ
ãîðèçîíòàëåé íà øàõìàòíîé äîñêå).
Êàæäîé òàêîé ïîëîñêå ñîîòâåòñòâóåò
ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè ïîëîñêà èç 4 êëåòîê íà
òåððèòîðèè «÷åðíûõ» ôèãóð. Íàïðèìåð, ïîëîñêå b3-c3-d3-e3 ñîîòâåòñòâóåò
ïîëîñêà b6-c6-d6-e6. Ñóììà ÷èñåë, ñòîÿùèõ â êëåòêàõ êàæäîé ïàðû ñèììåòðè÷íûõ ïîëîñîê, ðàâíà ìàãè÷åñêîé êîíñòàíòå 2000.
Ðàññìîòðèì ìàðøðóòû äâèæåíèÿ áåëîïîëüíîãî ñëîíà — ãëàâíóþ äèàãîíàëü à8-h1 è òðè ïàðû ìàëûõ äèàãîíàëåé: à) à3-b1, c8-h3; á) a4-d1, e8-h5;
â) a6-f1, g8-h7. Ñóììû ÷èñåë, ðàñïîëîæåííûõ íà âîñüìè ïîëÿõ ãëàâíîé äèàãîíàëè è êàæäîé èç ïàð ìàëûõ äèàãîíàëåé, ðàâíû ìàãè÷åñêîé êîíñòàíòå. Òà-