РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Олимпиада школьников в РГСУ по математике - 2014
Задания отборочного (заочного) тура
11 класс
1. (5 баллов) Найти сумму наибольших корней уравнений
х 2  5 х  2  3 2  0; х 2  4 х  1  2 2  0.
2. (3 балла) Решить уравнение:
cos 2 x  cos 2 x  sin x.
3. (3 балла) Решить уравнение:
log 3 (3 x  8)  2  x.
4. (9 баллов) Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из
которых обладает следующими двумя свойствами:
 первая цифра числа в 3 раза меньше последней его цифры;
 сумма самого числа с числом, получившимся из него перестановкой
второй и третьей цифр, делится на 8 без остатка.
5. (10 баллов) Решить уравнение:
x 1 x  3  x  2 1 x2 .
6. (10 баллов) Расстояния от центра окружности, вписанной в трапецию,
до концов боковой стороны трапеции, равны 3 и 4. Найти площадь
трапеции.
7. (10
баллов)
f ( x)  x 
Найти
наибольшее
значение
функции
x
 sin 2 x.
2
  
на отрезке   ;  .
 2 2
8. (15 баллов) Найти все значения параметра а, при которых система
уравнений
 x 2  ( y  3) 2  4

 y  2ax 2
имеет хотя бы одно решение.
9. (15 баллов) Найти сторону основания правильной треугольной призмы
объемом V, если угол между диагоналями двух не боковых граней
проведенными из одной вершины равен  .
10. (20 баллов) Сосуд, имеющий форму конуса, у которого угол при
вершине осевого сечения  , наполовину наполнен водой. Уровень воды
перпендикулярен оси конуса. В сосуд опускают металлический куб так,
что одна грань куба перпендикулярна оси конуса. В какое наибольшее
число раз может при этом увеличиваться уровень воды в сосуде?