Графический метод решения уравнения f(x)=g(x)

Ты можешь стать умнее тремя путями:
путём опыта – это самый горький путь;
путём подражания – это самый лёгкий путь;
путём размышления – это самый
благородный путь.
Китайская пословица.
1. Х 3  2 Х 2  Х  2  0,
2. Х 4  3 Х 2  2  0,
4.3 Х 2  4 Х ( Х 2  3 Х  4)  ( Х 2  3 Х  4) 2  0,
Х 2 ( Х  2)  ( Х  2)  0,
Пусть Х 2  Т ,
Пусть Х 2  3 Х  4  Y .
( Х  2)( Х 2  1)  0,
Т 2  3Т  2  0,
D  9  8  1,
3 1
Т1 
 2.
2
3 1
Т2 
 1.
2
Х 2  1,
или
3 X 2  4 XY  Y 2 , |  Y 2 , Y  0.
X
X
3( ) 2  4( )  1  0
Y
Y
X
Пусть
 T,
Y
3T 2  4T  1  0
D1  4  3  1,
( Х  2)( Х  1)( Х  1)  0,
Х  2  0 или Х  1  0 или Х  1  0
Х  2.
Х  1.
Х  - 1.
Ответ : 2,1,-1.
Х  1.
Х 2  2,
Х   2.
Ответ :  2 ,1.
3. Х 3  Х  6 5  0,
Х 3  Х  6 5,
F ( X )  X 3  Х  функция возврастае на множестве R.
Значит уравнение Х 3  Х  6 5  0 имеет одно решение,
Х  5,
Ответ : 5.
( 5 )  5  6 5.
3
6 5  6 5 - верно.
 2 1
1
 .
3
3
 2 1
T2 
 1.
3
X
1
 ,
Y
3
X
 1;
Y
X 2  3 X  4  3 X
T1 
X 2  6X  4  0
D1  9  4  5
Y  3 X ,
Y  X.
и
X 2  4X  4  0
( X  2) 2  0
X  2.
X 1, 2  3  5
Ответ : - 3  5 ,2.
5. X 3  X  2  0,
X 3  X  2.
F ( X )  X 3  X  функция возврастает на множестве R.
Значит уравнение X 3  X  2  0 имеет одно решение.
X  1,
Ответ :1.
13  1  2. 2  2 - верно.
Графический метод решения
уравнения f(x)=g(x)
1. Нужно построить графики
функций y=f(x) и g(x).
2. Найти точки их пересечения –
корнями
уравнения
служат
абсциссы этих точек.
Метод разложения на
множители
1.
2.
Уравнения f1(x)∙f2(x)∙f3(x)=0 можно
заменить совокупностью
уравнений: f1(x)=0, f2(x)=0, f3(x)=0.
Решив уравнения этой
совокупности, возьмите их корни,
которые принадлежат области
определения исходного уравнения,
а остальные отбросьте как
посторонние.
Свойство монотонности функций
1.
2.
Когда данное уравнение имеет в одной
части функцию монотонную, а в другой
– постоянную. Такое уравнение не может
иметь более одного корня.
Когда
одна
часть
уравнения
представляет собой возрастающую, а
другая – убывающую функцию. Графики
таких функций не могут иметь более
одной точки. Следовательно, уравнение
не может иметь более одного корня.
Метод введения новой
переменной
Если уравнение f(x)=0 удалось
преобразовать к виду φ(g(x))=0, то
нужно ввести новую переменную
y=g(x), решить уравнение φ(y)=0, а
затем рассмотреть совокупность
уравнений: g(x)=y1, g(x)=y2, …,
g(x)=yn, где y1, y2, …, yn корни
уравнения φ(y)=0.
Основные методы решения
тригонометрических функций
Цели:
Ученик, знающий методы решения уравнений
высших степеней и умеющий применять
методы при решении тригонометрических
уравнений.
Ученик, умеющий предвидеть и подтвердить,
что метод приведёт к цели.
Ученик, способный осуществить
самоконтроль, взаимоконтроль
собственной деятельности.
Ответы
1 вариант
1
2
3
4
5
5

 2n, n  Z
6


n
,nZ
8 2

 n, n  Z
6
4n, n  Z
Ø
2 вариант
1
2
3
4
5
(1)

4

6
n


6
 n, n  Z
n
2
,nZ
 n, n  Z
3n, n  Z
Ø
Уравнения
tg 3 x  tg x  2  0
4 sin x  4 cos x  sin x  3  0
cos x  2 sin 2 x  0
3
2
sin 2 x  3 sin x  cos x  2 cos 2 x  0
8 sin 2 x  cos 2 x  1  0
2
cos x  x 2  1
3 sin 2 x  sin x  cos x  2
5 cos x  ctg x  5ctg x  sin x  0
Методы
1. Разложение на множители:
а) способ группировки;
б) применение схемы Горнера;
в) деление уголком;
г) формулы.
2. Введение новой
переменной.
3. Использование
однородности.
4. Использование
монотонности функции.
5. Графический.
1) log x  3  log x  2  0;
2
2)5  25  13 15  6  9  0;
x
3)0,2
x 1
x
 35  5 x .
x
Ответы
1 вариант
n, n  Z
1
2

 2n, n  Z
3
2
3
4

4
 n,arctg 3  n, n  Z
Ø
2 вариант
1

2
 n, n  Z
 arctg 2  n,
2
1
arctg  n, n  Z
2
3

  n,arctg 2  n, n  Z
4
4
0
Домашнее задание
«5» - учебник Виленкин Н.Я. №657(8),
658(2,4), 659(8),
«4» - учебник Виленкин Н.Я. №657(2, 3, 4),
658(2,), 659(2).
«3» - задачник Мордкович А.Г. № 353, 355(а),
357(в), 362 (б), 363(а).
Дополнительное задание
cos x + sin x = 1 – решить всевозможными
способами.