8. "Неожиданный шаг".

Неожиданный шаг
По сути дела, для многих примеров, которые я вам
представлю, я старалась найти рациональное
решение. В одних случаях результативная идея мало
отличалась от «школьной», в других – носила
нетрадиционный характер. Конечно, оценка метода
решения задачи с позиции традиционности весьма
субъективна. И, наверно, самая высокая степень
нестандартности идеи – это полная ее
неожиданность.
Сейчас я вам представлю несколько задач,
решение которых основано на выборе неожиданной
(как мне представляется) идеи.
При каких значениях параметра а модуль разности корней
уравнения x2-6x+12+a2-4a=0 принимает наибольшее значение?
Решение.
Конечно, можно найти корни х1 и х2
данного квадратного уравнения, а
затем исследовать на наибольшее и
наименьше значения функцию . А
можно поступить так. Переписав
данное в условии уравнение в виде
, построим его график в системе
координат ха (рис.1). Теперь идея
решения становится прозрачной.
Очевидно, модуль разности корней
уравнения примет наибольшее
значение в том случае, когда точки
пересечения окружности с прямой,
параллельной оси абсцисс, будут
наиболее друг от друга удалены.
Понятно, что эта прямая должна
проходить через центр окружности,
т. е. а=2.
Ответ: а=2.
а
3
2
х
2. Найти уравнение касательной к графику функции в
точке с абсциссой х0=0.
у
Решение.
Несложно получить
результат, решив эту
задачу традиционно. Но
если заметить, что
графиком данной
функции является
полуокружность (рис.2),
то сразу имеем у=1.
Ответ: у=1.
рис.2
Найти наименьшее значение функции
на промежутке 0;  
Решение. Если для
исследования данной функции
использовать производную, то
здорово придется повозиться.
Выберем иной путь.
Отложим два
перпендикулярных отрезка ОА
и ОВ, а также отрезок ОМ так,
что ОА=ОВ=1, ОМ=х (ведь х>0),
МОВ  30o , МОА  60o ( рис.3).
По теореме косинусов из
треугольников ОМВ и ОМА
получаем МВ  1  х 2  х 3 и
МА  1  х 2  х . Кроме того,
МА  МВ  АВ  2 , причем
равенство достигается ( и это
существенно) лишь в том
случае, когда точка М совпадает
с точкой К, т.е. при х=ОК= 3  1 (
в этом можно легко убедится).
Ответ: 2 .
f ( x)  1  x  x  1  x  x 3
2
2
А
М
1
О
К
1
Рис.3
В
4. Решить систему:
•



2 х  2 у  11,
х  32   у  12

х  72   у  22
Методом подстановки решение этой
системы можно свести к решению
«неприятного»
иррационального
уравнения.
Вместе с тем удобно
перейти
на
графический язык .
Второе уравнение системы означает,
что сумма расстояний
от точки
М(х;у) до точек А и В равна 5. Имеем
АМ + МВ >=АВ = 5, причем, в этом
неравенстве
знак
равенства
достигается тогда и только тогда, когда
точка М будет принадлежать отрезку
АВ, т. Е. ее координаты будут
удовлетворять требованиям у = 3/4х 13/4 (уравнение прямой АВ), х  3;7, у   1;2.
Итак, исходная система равносильна
такой
Решив ее, получим
Ответ: х=5, у=1/2.
 5.
5. Решить уравнение
1  2х 1  х 2
 2 х 2  1.
2
Решение. Поскольку в данном уравнении х  1 , то можем положить
x  cos , где   0;   . Имеем :
1  2 cos  1  cos 2 x
 1  2 cos 2  ,
2
1  sin 2
  cos 2 .
2
Это уравнение равносильно системе

1  sin 2  2  2 sin 2 ,
Отсюда 

cos 2  0,








 k , k  ,
sin 2  1,
 
4

1
5
sin
2


,   

 
 n, n  ,
2

 
12

cos 2  0;
cos 2  0;
Так как   0;  , то подходят только  1 
x 2  cos
5

12
Ответ :
6 2
.
4
2
x1 
, x2 
2
6 2
4
3
2
3
5
и  2  , т.е. x1  cos 
и
4
12
4
2
Неожиданный шаг
7