11 КЛАСС 1. (4 балла) Вычислить выражение:

Региональная олимпиада РГСУ для школьников по математике
26 апреля 2015 года
11 КЛАСС
1. (4 балла) Вычислить выражение:
1
 2 log 32log 4
3
5
 1 .5 5
 11  8 log2 7 3 




2. (4 балла) Три целых числа составляют геометрическую прогрессию. Если второе увеличить
на 8, то образуется арифметическая прогрессия. Если затем третье увеличить на 64, то вновь
образуется геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
3. (4 балла) Решить неравенство:
x 2  9 x  20  x 1  x 2 13 .
4. (4 балла) При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения x 2  4 x  log 2 a  0
действительные?
5. (10 баллов) Решить в целых числах уравнение:
6 xy  4 x  9 y  366  0 .
6. (10 баллов) Найти сумму всех тех семизначных чисел, которые делятся на 15 и
записываются лишь цифрами «0» и «1». Сколько всего таких чисел?
7. (14 баллов) Решить систему уравнений:
 sin x  cos y  cos x,

sin x  cos y  sin 2 x.
8. (14 баллов) Решить уравнение для всех значений параметра a:
x
2a x  a
x

a2
.
x
9. (16 баллов) Танкер заполняется в порту из трех терминалов. Первый наливает 30 м 3 / ч.
Второй наливает в час на 2d м 3 меньше, чем первый ( 0d 15) , а третий подает в час на 11 d м 3
больше, чем первый. Сначала первый и второй, работая вместе, заполняют 2/11 объема танков,
а затем все три терминала, работая вместе, заливают оставшийся объем. При каком d танкер
меньше всего простоит под заправкой?
10. (20 баллов) Цена бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Бриллиант весом в p
карат (1 карат = 0.2 г) был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в k раз.
Найти вес частей, на которые был разбит бриллиант.