  Задание 4

Задание 4


1) Решить неравенство x 2  2 x  24 x 2  3x  10  0
Решение.
ОДЗ:
x 2  3x  10  0
x  2, x  5
В области допустимых значений неравенство эквивалентно
 x 2  2 x  24  0
 2
 x  3x  10  0 ,
решая, получаем
 x  6, x  4,
 x  2, x  5

Ответ:
x  6 x  5 x  2
,
,
.
2) Решить систему уравнений
3 x  2 y  3 x  y  2  3

2x  y  7

Решение.
Обозначим x  2y  u3 , x  y  2  v 3 , тогда
u3  v 3  2x  y  2
и система примет вид
 u v  3
 3
3
u  v  9
Так как u  v   u3  v 3  3uv u  v  ,
3
27  9  9uv , uv  2 ,
u  v  3
.

 uv  2
Согласно теореме Виета, u и v –корни уравнения t 2  3t  2  0 , t1  1, t 2  2 .
x  2y  1
, x  13/ 3, y  5/3
u  1, v  2 , 
x

y

6

x  2y  8
, x  2, y  3
u  2 , v  1, 
 x  y  1
Ответ: 13/3, 5/3 , 2,3 .
3) Построить график функции y 
x  12
x
x
.
Решение.
Область определения функции: x  0 .
При x<0 y   x  1 , при x>0 y  x  1 .
y
1
0
1
x
-1
4) При каких a уравнение x x  2a  1  a  0 имеет единственный корень?
Решение.
Перепишем уравнение в виде
x x  2a  1 a
Корни уравнения – абсциссы точек пересечения графиков функций y  x x  2a и
y  1 a .

 x  x  2a  , x  2a,
.
y  x x  2a  

x
x

2
a
,
x

2
a




При a>0 прямая y  1 a пересекает график этой функции в одной точке, если
a  1  a 2 , то есть a 
1 5
.
2
y
y
a2
a+1
a+1
2a
0
a
2a
a
0
x
x
 a2
При a<0 прямая y  1 a пересекает график этой функции в одной точке, если a+1>0, то
есть a>-1, либо a  1   a 2 (решений нет).
При а=0 уравнение примет вид x x  1 , его решение x=1.
Ответ:  1  a 
1 5
.
2
5) Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен P. Найти радиус этого
круга, если острый угол при основании равен  .
Решение.
Пусть a и b – основания трапеции, c – боковая сторона. Тогда, по условию,
a  b  2c  P , и, так как трапеция описана около круга, a  b  2c , то есть c  P / 4 .
Высота трапеции h  c sin , радиус вписанной окружности
r  h / 2  c sin / 2  P sin  / 8 .
Ответ:
1
P sin
8