б) Пусть круг, содерт жащий фигуру F, имет ет радиус МО = =1

&
ÊÂÀÍT 2002/¹5
B
B
K
C
H
M
G
O
A
D
Ðèñ.3
á) Ïóñòü êðóã, ñîäåðæàùèé ôèãóðó F, èìååò ðàäèóñ ÌÎ = = 1
(ðèñ.3). Âïèøåì â F
ïðÿìîóãîëüíèê ABCD
òàêîé, ÷òî ÀÂ = 1.
N Óáåäèìñÿ, ÷òî ABCD
– êâàäðàò; äëÿ ýòîãî
ïîêàæåì, ÷òî ÂÑ = 1.
Îòðåçîê HG – ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà
MKN, HG = 1. Äàëåå,
∠B1 HB = 90o , BH =
= B1H = CG . Çíà÷èò, BC = HG, ò.å. ÂÑ = 1. Òàêèì
îáðàçîì, ôèãóðó F ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê îáúåäèíåíèå äâóõ ÷àñòåé: êâàäðàòà ABCD è äîïîëíèòåëüíîé
÷àñòè Q, ñîñòàâëÿþùèå ýëåìåíòû êîòîðîé ïðèñòåãíóòû
«òî÷êàìè-ïóãîâêàìè» À, Â,
Ñ è D äðóã ê äðóãó.
×àñòü Q ðàñïîëîæèì íà ïëîñB
C
êîñòè èíà÷å – êàê ïîêàçàíî
Q
B
C
A
D
N
A
D
Ðèñ.4
Ðèñ.5
íà ðèñóíêå 4, îòðàçèâ íèæíèé è âåðõíèé åå ýëåìåíòû
îòíîñèòåëüíî AD è ÂÑ. Äàëåå, «ðàññòåãíóâ» ïóãîâêè
À, Â, Ñ è D, ðàñïîëîæèì ýëåìåíòû òàê, ÷òîáû îíè
îáðàçîâàëè âòîðîé êâàäðàò ABCD (ðèñ.5). Íà ýòîì
çàâåðøèì ðåøåíèå çàäà÷è-ãîëîâîëîìêè.
Òàêèì îáðàçîì, îñòàòêè ÷èñåë  a n m1  è  a n −n0 m1 
ïðè äåëåíèè íà m2 ñîâïàäàþò, ò.å. rn = rn −n0 . Çíà÷èò,
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn } èìååò ïåðèîä äëèíû n0 (äîêàçàíî òàêæå è òî, ÷òî ýòîò ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñ ñàìîãî
íà÷àëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè).
Âîçíèêàåò âîïðîñ î äëèíå íàèìåíüøåãî ïåðèîäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {rn } . Âåðíî ëè, ÷òî åñëè â êà÷åñòâå n0
âçÿòü íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî a n0
ïðè äåëåíèè íà m1m2 äàåò â îñòàòêå 1, òî n0 è áóäåò
äëèíîé íàèìåíüøåãî ïåðèîäà? Êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð
à = 3, m1 = 13 , m2 = 2 (çäåñü n0 = 3 , à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn } ñïëîøü ñîñòîèò èç íóëåé), îòâåò íà ýòîò
âîïðîñ â îáùåì ñëó÷àå îòðèöàòåëåí. Îäíàêî åñëè
äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèòü, íàïðèìåð, ÷òî m2 ≥ m1 ,
òî îòâåò áóäåò óòâåðäèòåëüíûì (÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòü ýòî â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ).
Í.Îñèïîâ
Ì1815. Îáùèå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ïðîòèâîïîëîæíûì
ñòîðîíàì íåïëîñêîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Äîêàæèòå, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ.
Èíñòðóìåíòîì ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà Ìåíåëàÿ
äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî òî÷êè Õ, U, Y, V, âçÿòûå íà ñòîðîíàõ÷åòûðåõóãîëüíèêà ÀÂ, ÂÑ, CD, DA èëè èõ ïðîäîëæåíèÿõ, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî
AX BU CY DV
òîãäà, êîãäà
⋅
⋅
⋅
= 1.
XB UC YD VA
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Ìåíåëàÿ ïðîäîëæèì ïðÿìûå XU è YV äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ÀÑ. Òî÷êè X, U, Y, V
ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå
òðè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå Ð ëèáî ïàðàëëåëüíû (ðèñ.1). Íî â ýòîì ñëó÷àå, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó
B
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ì1814. Ïóñòü à, m1 , m2 – íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì
à âçàèìíî ïðîñòî êàê ñ m1 , òàê è ñ m2 . Îáîçíà÷èì
n
÷åðåç rn îñòàòîê îò äåëåíèÿ öåëîé ÷àñòè ÷èñëà a m1
íà m2 (n = 0, 1, 2, ...). Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü rn ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé.
mr
ÍÎÄ ( a, m1 ) = ÍÎÄ ( a, m2 ) = 1,
Òàê
êàê
òî
ÍÎÄ ( a, m1m2 ) = 1 . Ïóñòü n0 – êàêîå-íèáóäü íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî a n0 ïðè äåëåíèè íà m1m2 äàåò
â îñòàòêå 1. (Åñëè ÍÎÄ ( a, m1m2 ) = 1 , òî òàêîå ÷èñëî
îáÿçàòåëüíî ñóùåñòâóåò. Ìîæíî, íàïðèìåð, ïîëîæèòü
n0 = ϕ (m1m2 ) , ãäå ϕ (m ) – ôóíêöèÿ Ýéëåðà – ñì.
ñòàòüþ Â.Ñåíäåðîâà è À.Ñïèâàêà «Ìàëàÿ òåîðåìà
Ôåðìà» â «Êâàíòå» ¹1 çà 2000 ãîä.)
Òîãäà a n0 = Qm1m2 + 1 äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî ÷èñëà Q.
Òåïåðü ïðè ëþáîì n ≥ n0 èìååì
 a n   a n0 a n− n0   (Qm1m2 + 1) a n− n0
m  =  m
=
m1
1
 1 
 

=

 n −n
 a n− n0 
a n− n0 
= an −n0 Qm2 + 
=  a 0 Qm2 +

.
m1 

 m1 
([x] îáîçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà õ).
X
U
C
A
V
Ðèñ.1
P
Y
D
Ìåíåëàÿ ê òðåóãîëüíèêàì ÀÂÑ è ACD, ïîëó÷àåì
AX BU CP
CY DV AP
⋅
⋅
=1 è
⋅
⋅
= 1 . Ïåðåìíîæàÿ
XB UC PA
YD VA PC
ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ñîîòíîøåíèå.
Ïóñòü òåïåðü XY – ïåðïåíäèêóëÿð ê ñòîðîíàì À è
CD, UV – ïåðïåíäèêóëÿð ê AD è ÂÑ. Ïðè îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè íà ïëîñU¢
êîñòü, ïàðàëëåëüíóþ
C¢
B¢
XY è UV, ïðÿìîé óãîë
ìåæäó ïðÿìûìè ÀÂ è X ¢
Y¢
XY îñòàåòñÿ ïðÿìûì.
Ïîýòîìó ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ïðîåöèðóåòñÿ â ïðÿìîóãîëüíèê A′B′C ′D′ , à
¢
D¢
ïðÿìûå XY è UV – â A
V¢
ïàðàëëåëüíûå åãî ñòî- Ðèñ.2