отображения и соответствия

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2013
Ëåêöèÿ 2: îòîáðàæåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ
Àííîòàöèÿ
Ïîíÿòèå ñîîòâåòñòâèÿ. Ïîíÿòèå îòîáðàæåíèÿ. Îáîçíà÷åíèÿ. Èíúåêòèâíûå è
ñþðúåêòèâíûå ñîîòâåòñòâèÿ. Èíúåêöèè è ñþðúåêöèè. Áèåêöèè. Âçàèìíî îäíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ. Ïîíÿòèÿ îáðàçà è ïðîîáðàçà ìíîæåñòâà ïðè ñîîòâåòñòâèè. Êðèòåðèé ðàâåíñòâà îáðàçà ïåðåñå÷åíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ îáðàçîâ. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
è îáëàñòü çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâèÿ. Ñóæåíèå è ïðîäîëæåíèå ñîîòâåòñòâèÿ. ×àñòè÷íî îïðåäåë¼ííûå ôóíêöèè. Êîìïîçèöèÿ ñîîòâåòñòâèé, å¼ àññîöèàòèâíîñòü. Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå. Îáðàòíîå ñîîòâåòñòâèå. Âîçâåäåíèå ñîîòâåòñòâèÿ â ñòåïåíü.
Âîçâåäåíèå ìíîæåñòâà â ñòåïåíü äðóãîãî ìíîæåñòâà. Áóëåàí. Ñâîéñòâà âîçâåäåíèÿ
ìíîæåñòâà â ñòåïåíü.
Ýòà ëåêöèÿ öåëèêîì áóäåò ñîñòîÿòü èç îïðåäåëåíèé è ïðîñòûõ óòâåðæäåíèé, èç íèõ
âûòåêàþùèõ. Ìû ïîãîâîðèì î ñîîòâåòñòâèÿõ, îòîáðàæåíèÿõ è ñâÿçàííûõ ïîíÿòèÿõ.
Îíè íåìíîãî ïî-ðàçíîìó îïðåäåëÿþòñÿ â ðàçíûõ èñòî÷íèêàõ, ïîýòîìó íóæíî äîãîâîðèòüñÿ î òåðìèíîëîãèè.
1
Îñíîâíûå âèäû ñîîòâåòñòâèé è îòîáðàæåíèé
ìåæäó ìíîæåñòâàìè A è B íàçûâàþò ïðîèçâîëüíîå
ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ F ⊂ A × B .
Îïðåäåëåíèå 1.
Ñîîòâåòñòâèåì
Ïðè ýòîì ìíîæåñòâà A è B ïîíèìàþòñÿ íåñèììåòðè÷íî: âìåñòî òîãî, ÷òîáû ãîâîðèòü, ÷òî ýëåìåíòû a ∈ A è b ∈ B ñîîòâåòñòâóþò äðóã äðóãó, ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíòó a
ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíò b (èëè íåñêîëüêî ðàçíûõ ýëåìåíòîâ, èëè íè îäíîãî). Ýòó àñèììåòðèþ ïîä÷¼ðêèâàþò îáîçíà÷åíèÿìè: âìåñòî F ⊂ A × B ïèøóò F : A → B , à âìåñòî
(a, b) ∈ F ïèøóò b ∈ F (a).  ïîñëåäíåì ñëó÷àå F (a) âûñòóïàåò êàê ìíîæåñòâî âñåõ
ýëåìåíòîâ B , ñîîòâåòñòâóþùèõ äàííîìó a.
èç ìíîæåñòâà A â ìíîæåñòâî B íàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó A è B , ò.å. òàêîå ñîîòâåòñòâèå, ÷òî äëÿ ëþáîãî a ∈ A íàéä¼òñÿ
ðîâíî îäíî b ∈ B , ñîîòâåòñòâóþùåå a.
Îïðåäåëåíèå 2.
Îòîáðàæåíèåì
Äëÿ îòîáðàæåíèÿ òîæå èñïîëüçóþò çàïèñü F : A → B , à ïðî îòäåëüíûå ýëåìåíòû
ïèøóò b = F (a) èëè F : a 7→ b. Îòîáðàæåíèÿ òàêæå íàçûâàþò ôóíêöèÿìè.
Íåêîòîðûå àâòîðû ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî A × B íàçûâàþò (áèíàðíûì) îòíîøåíèåì è ïèøóò aF b.  ýòîì ñëó÷àå àïðèîðíîé àñèììåòðèè ìåæäó A è B íåò.  íàøåì
êóðñå ñëîâî îòíîøåíèå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî äëÿ ïîäìíîæåñòâ A × A. Òàêæå
èíîãäà íà ñîîòâåòñòâèÿ íàêëàäûâàþò òðåáîâàíèå íåïóñòîçíà÷íîñòè, ïðè êîòîðîé êàæäîìó a äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü õîòÿ áû îäíî b, ò.å. F (a) äîëæíî áûòü íåïóñòûì. Ìû
ýòîãî äåëàòü íå áóäåì. Ñîîòâåòñòâèÿ òàêæå íàçûâàþò ìíîãîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè è
èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå F : A ⇒ B , ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü ìíîãîçíà÷íîñòü.
1
ñîîòâåòñòâèåì íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì
äëÿ ëþáûõ a1 6= a2 ìíîæåñòâà F (a1 ) è F (a2 ) íå ïåðåñåêàþòñÿ. Èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå
íàçûâàåòñÿ èíúåêöèåé.
Îïðåäåëåíèå 3.
Èíúåêòèâíûì
Òðåáîâàíèå èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ïðè a1 6= a2
äîëæî áûòü âûïîëíåíî F (a1 ) 6= F (a2 ). À ìîæíî òàê: êàæäûé ýëåìåíò B ñîîòâåòñòâóåò íå áîëåå, ÷åì îäíîìó ýëåìåíòó A. Èíîãäà äëÿ èíúåêöèè èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå
F : A ,→ B .
Îïðåäåëåíèå 4. Ñþðúåêòèâíûì ñîîòâåòñòâèåì íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì
ëþáîé ýëåìåíò B ñîîòâåòñòâóåò õîòÿ áû îäíîìó ýëåìåíòó A, ò.å. ëþáîé b ∈ B ëåæèò â
F (a) äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ A. Ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñþðúåêöèåé.
 îïðåäåëåíèè ñþðúåêöèè ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò b ðàâíÿåòñÿ F (a) äëÿ
íåêîòîðîãî a. Èíîãäà äëÿ ñþðúåêöèè èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå F : A B .
Îïðåäåëåíèå 5.
Áèåêöèåé
åêöèåé è ñþðúåêöèåé.
íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, ÿâëÿþùååñÿ îäíîâðåìåííî èíú-
Òóò íóæíî áûòü àêêóðàòíûì: ñîîòâåòñòâèå, ÿâëÿþùååñÿ îäíîâðåìåííî èíúåêòèâíûì è ñþðúåêòèâíûì, âîâñå íå îáÿçàòåëüíî áóäåò áèåêöèåé. Âåäü îíî íå îáÿçàòåëüíî
áóäåò îòîáðàæåíèåì.  êà÷åñòâå ñèíîíèìà ñëîâà áèåêöèÿ èñïîëüçóþò âûðàæåíèå
âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì:
Óòâåðæäåíèå 6.
Ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
êàæäîìó ýëåìåíòó
ìåíò
B
A
ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäèí ýëåìåíò
ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíîìó ýëåìåíòó
B,
à òàêæå êàæäûé ýëå-
A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Òîãäà, ïîñêîëüêó îíî ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì, êàæäîìó ýëåìåíòó A ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäèí ýëåìåíò B . Ïîñêîëüêó îíî
ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé, êàæäûé ýëåìåíò B ñîîòâåòñòâóåò õîòÿ áû îäíîìó ýëåìåíòó A, à
ïîñêîëüêó îíî ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé, òî íå áîëåå ÷åì îäíîìó. Çíà÷èò, êàæäûé ýëåìåíò B
ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíîìó ýëåìåíòó A, ò.å. ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì.
Îáðàòíî, âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì, ò.å. îòîáðàæåíèåì. À ïîñêîëüêó êàæäûé ýëåìåíò B ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíîìó ýëåìåíòó A, òî îíî
ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî èíúåêòèâíûì è ñþðúåêòèâíûì. À çíà÷èò, ýòî áèåêöèÿ.
2
Îáðàç è ïðîîáðàç. Ñóæåíèå è ïðîäîëæåíèå
Ïóñòü F : A → B ñîîòâåòñòâèå, à S ⊂ A. Òîãäà îáðàçîì ìíîæåñòâà
S íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ B , ñîîòâåòñòâóþùèõ êàêîìó-òî ýëåìåíòó S .
Ôîðìàëüíî ìîæíî çàïèñàòü òàê: F (S) = ∪s∈S F (s) ⊂ B .
Îïðåäåëåíèå 7.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ F ({a}) = F (a).
Ïóñòü F : A → B ñîîòâåòñòâèå, à T ⊂ B . Òîãäà ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà T íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ A, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò õîòÿ áû îäèí
ýëåìåíò T . Ôîðìàëüíî F −1 (T ) = {a : F (a) ∩ T 6= ∅} ⊂ A.
Îïðåäåëåíèå 8.
2
Äëÿ îòîáðàæåíèé îïðåäåëåíèÿ îáðàçà è ïðîîáðàçà ìîæíî óïðîñòèòü. Îáðàç ìîæíî
îïðåäåëèòü êàê F (S) = {F (s) : s ∈ S}, à ïðîîáðàç êàê F −1 (T ) = {a : F (a) ∈ T }. Â
òåðìèíàõ îáðàçîâ è ïðîîáðàçîâ ìîæíî îïðåäåëèòü èíúåêòèâíîñòü è ñþðúåêòèâíîñòü:
ñîîòâåòñòâèå èíúåêòèâíî, åñëè îáðàçû ðàçíûõ ýëåìåíòîâ íå ïåðåñåêàþòñÿ, èëè, ýêâèâàëåíòíî, åñëè ïðîîáðàç êàæäîãî ýëåìåíòà íå áîëåå ÷åì îäíîýëåìåíòåí. Ñîîòâåòñòâèå
ñþðúåêòèâíî, åñëè îáðàç A ðàâåí B , èëè åñëè ïðîîáðàç ëþáîãî ýëåìåíòà íåïóñò.
Çàìå÷àíèå 9. Ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü ïðîîáðàç T êàê ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ A,
îáðàç êîòîðûõ öåëèêîì ëåæèò â T . (Ìîæíî îäíîâðåìåííî ïîòðåáîâàòü íåïóñòîòû ýòîãî
îáðàçà). Äëÿ îòîáðàæåíèé âñå ýòè âàðèàíòû îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. Îäíàêî, óêàçàííûå âàðèàíòû îáëàäàþò íåïðèÿòíûì ñâîéñòâîì: ïðîîáðàç íåïóñòîãî ìíîæåñòâà T
ìîæåò áûòü ïóñò, äàæå åñëè êàêèå-òî ýëåìåíòû A ñîîòâåòñòâóþò êàêèì-òî ýëåìåíòàì
T . Êðîìå òîãî, íàøå îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò ñêàçàòü, ÷òî ïðîîáðàç ýòî òîæå ñàìîå,
÷òî îáðàç äëÿ îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ (ñì. íèæå).
Ïðî ñâÿçü ïîíÿòèé îáðàçà è ïðîîáðàçà ìîæíî äîêàçàòü ìíîãî ðàçëè÷íûõ óòâåðæäåíèé. Ïðèâåä¼ì äëÿ ïðèìåðà îäíî.
Óòâåðæäåíèå 10.
Îáðàç ïåðåñå÷åíèÿ ëþáûõ äâóõ ìíîæåñòâ ðàâíÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèþ
îáðàçîâ òåõ æå ìíîæåñòâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâèå èíúåêòèâíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñîîòâåòñòâèå íå èíúåêòèâíî. Òîãäà íàéäóòñÿ òàêèå a1 è a2 , ÷òî
F (a1 ) è F (a2 ) ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà F ({a1 } ∩ {a2 }) = F (∅) = ∅, íî F ({a1 }) ∩ F ({a2 }) =
F (a1 ) ∩ F (a2 ) íå ïóñòî ïî ïðåäïîëîæåíèþ. Çíà÷èò, îáðàç ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ {a1 } è
{a2 } íå ðàâåí ïåðåñå÷åíèþ îáðàçîâ.
Òåïåðü ïóñòü ñîîòâåòñòâèå èíúåêòèâíî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå ïîäìíîæåñòâà S
è Q ìíîæåñòâà A. Äîêàæåì, ÷òî F (S ∩Q) = F (S)∩F (Q). Äëÿ ýòîãî äîêàæåì âêëþ÷åíèå
â îáå ñòîðîíû. Âíà÷àëå ïóñòü y ∈ F (S ∩ Q). Ýòî çíà÷èò, ÷òî y ∈ F (x) äëÿ íåêîòîðîãî
x ∈ S ∩ Q. Íî òîãäà x ∈ S è x ∈ Q. À ðàç y ∈ F (x), òî y ∈ F (S) è y ∈ F (Q). Çíà÷èò,
y ∈ F (S) ∩ F (Q).
Òåïåðü ïóñòü y ∈ F (S) ∩ F (Q). Ýòî çíà÷èò, ÷òî y ∈ F (S) è y ∈ F (Q). Çíà÷èò,
y ∈ F (x1 ) äëÿ íåêîòîðîãî x1 ∈ S è y ∈ F (x2 ) äëÿ íåêîòîðîãî x2 ∈ Q. Íî ïðè x1 6= x2
â ñèëó èíúåêòèâíîñòè ìíîæåñòâà F (x1 ) è F (x2 ) íå ïåðåñåêàþòñÿ. À èõ ïåðåñå÷åíèå
ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå y . Çíà÷èò, x1 = x2 = x, è x ∈ S ∩ Q. À òàê êàê y ∈ F (x),
ïîëó÷àåì, ÷òî y ∈ F (S ∩ Q).
ñîîòâåòñòâèÿ F : A → B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Dom F = F (B). Èíûìè ñëîâàìè, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ A, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò B .
Îïðåäåëåíèå 11.
Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
−1
Îáëàñòüþ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâèÿ F : A → B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Ran F = F (A). Èíûìè ñëîâàìè, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ B ,
êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò õîòÿ áû îäíîìó ýëåìåíòó A.
Îïðåäåëåíèå 12.
Çàìåòèì, ÷òî ñîîòâåòñòâèå ñþðúåêòèâíî, åñëè åãî îáëàñòü çíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ B .
Ïóñòü F : A → B ñîîòâåòñòâèå,
à S ⊂ A. Òîãäà ñóæåíèåì ñîîò
âåòñòâèÿ F íà S íàçûâàåòñÿ
ñîîòâåòñòâèå F S : S → B , ïðèíèìàþùåå òå æå çíà÷åíèÿ,
÷òî
è F , ò.å. b ∈ F S (a) ⇔ b ∈ F (a) äëÿ a ∈ S . Ñàìî ñîîòâåòñòâèå F ïî îòíîøåíèþ ê
F S íàçûâàþò ïðîäîëæåíèåì.
Îïðåäåëåíèå 13.
3
Ñîîòâåòñòâèå F : A → B íàçûâàþò ÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííîé ôóíêöè
åé, åñëè F Dom F îòîáðàæåíèå.
Îïðåäåëåíèå 14.
Èíûìè ñëîâàìè, îáðàç êàæäîìó ýëåìåíòó A ëèáî âîîáùå íå ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòîâ B , ëèáî ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäèí. Â òåîðèè àëãîðèòìîâ ïîä ôóíêöèåé ìû áóäåì
ïîíèìàòü èìåííî ÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííóþ ôóíêöèþ.
Äëÿ ÷àñòè÷íî îïðåäåë¼ííûõ ôóíêöèé ñóæåíèå è ïðîäîëæåíèå ìîãóò îïðåäåëÿòü
èíà÷å: îòîáðàæåíèå F : A → B íàçûâàþò ñóæåíèåì îòîáðàæåíèÿ G : A → B , åñëè
Dom F ⊂ Dom G è F (x) = G(x) ïðè x ∈ Dom F . Ñîîòâåòñòâåííî, G â ýòîì ñëó÷àå
íàçûâàåòñÿ ïðîäîëæåíèåì F . Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêîå îïðåäåëåíèå â òåîðèè âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé.
3
Êîìïîçèöèÿ ñîîòâåòñòâèé
Ïóñòü F : A → B è G : B → C ñîîòâåòñòâèÿ. Òîãäà èõ êîìïîçèöèåé
G ◦ F íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå H : A → C , îïðåäåë¼ííîå ïðàâèëîì: c ∈ H(a) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéä¼òñÿ b, òàêîå ÷òî îäíîâðåìåííî c ∈ G(b) è b ∈ F (a).
Îïðåäåëåíèå 15.
Äëÿ îòîáðàæåíèé ìîæíî íàïèñàòü ïðîùå: (G ◦ F )(a) = G(F (a)). Èìåííî ýòîé ôîðìóëîé îáúÿñíÿåòñÿ ïîðÿäîê ôóíêöèé â çàïèñè: â êîìïîçèöèè G◦F ñíà÷àëà ïðèìåíÿåòñÿ
F , à ïîòîì G.
Êîìïîçèöèÿ ñîîòâåòñòâèé àññîöèàòèâíà, ò.å. äëÿ ëþáûõ òð¼õ ñîîòâåòñòâèé F : A →
B , G : B → C è K : C → D âûïîëíåíî (K ◦ G) ◦ F = K ◦ (G ◦ F ). (Ðàâåíñòâî íà ñîîòâåòñòâèÿõ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî ïîäìíîæåñòâ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ). Ïðîâåðêà
ýòîãî ïðîñòà, íî çàíóäíà, è ïîòîìó îñòà¼òñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
Êîìïîçèöèÿ ñîîòâåòñòâèé íå îáÿçàòåëüíî êîììóòàòèâíà. Åñëè C 6= A, òî êîìïîçèöèÿ
F ◦ G ïîïðîñòó íå îïðåäåëåíà. Åñëè C = A 6= B , òî êîìïîçèöèÿ F ◦ G îòîáðàæàåò B
â B , à G ◦ F A â A. È äàæå åñëè A = B = C , òî êîìïîçèöèè â äâóõ ïîðÿäêàõ âñ¼
ðàâíî ìîãóò íå ñîâïàäàòü: íàïðèìåð, åñëè F (x) = 2x, à G(x) = x2 , òî G ◦ F (x) = 4x2 , à
F ◦ G(x) = 2x2 .
Îïðåäåëåíèå 16.
Òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì
ðàæåíèå idA : A → A, çàäàííîå ôîðìóëîé idA (x) = x.
íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ îòîá-
Êîìïîçèöèÿ âåä¼ò ñåáÿ ïîõîæå íà óìíîæåíèå, à òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå èñïîëíÿåò ðîëü åäèíèöû: äëÿ ëþáîãî ñîîòâåòñòâèÿ F âûïîëíåíû ðàâåíñòâà F ◦ idA = F è
idB ◦F = F . Ýòè ðàâåíñòâà òàêæå íåñëîæíî ïðîâåðèòü. ×òî êàñàåòñÿ îïåðàöèè, îáðàòíîé ê óìíîæåíèþ, òî òóò âñ¼ íåñêîëüêî ñëîæíåå.
Ïóñòü F : A → B ñîîòâåòñòâèå. Îáðàòíûì ñîîòâåòñòâèåì íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå F −1 : B → A, îïðåäåëÿåìîå ïðàâèëîì a ∈ F −1 (b) ⇔ b ∈ F (a).
Îïðåäåëåíèå 17.
Õîòÿ îáðàòíîå ñîîòâåòñòâèå ìîæíî îïðåäåëèòü äëÿ ëþáîãî ñîîòâåòñòâèÿ, óñëîâèå
F ◦ F = idA âûïîëíåíî òîëüêî äëÿ èíúåêòèâíîãî è íåïóñòîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ. À
óñëîâèÿ F −1 ◦ F = idA è F ◦ F −1 = idB îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû òîëüêî äëÿ áèåêöèé.
Çàòî äëÿ ëþáûõ ñîîòâåòñòâèé âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (G ◦ F )−1 = F −1 ◦ G−1 .
Íàêîíåö, ñîîòâåòñòâèÿ ìîæíî âîçâîäèòü â ñòåïåíü.
−1
4
Ïóñòü F : A → A ñîîòâåòñòâèå. Òîãäà âîçâåäåíèå â ñòåïåíü îïðåäåëÿåòñÿ òàê: F = idA , à äëÿ áîëüøèõ n âåðíî F n+1 = F ◦ F n .
Îïðåäåëåíèå 18.
0
Âîçâåäåíèå ñîîòâåòñòâèé â ñòåïåíü óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâàì: F n ◦ F k = F n+k è
(F n )k = F nk . Îäíàêî èç-çà íåêîììóòàòèâíîñòè ðàâåíñòâî (F ◦ G)n = F n ◦ Gn â îáùåì
ñëó÷àå íåâåðíî.
4
Âîçâåäåíèå ìíîæåñòâà â ñòåïåíü
Åñëè ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç n ýëåìåíòîâ, à ìíîæåñòâî B èç k ýëåìåíòîâ, òî ñóùåñòâóåò âñåãî k n ðàçëè÷íûõ îòîáðàæåíèé èç A â B : äåéñòâèòåëüíî, åñòü ïî k âàðèàíòîâ
çíà÷åíèÿ äëÿ êàæäîãî èç n ýëåìåíòîâ A. Ýòî ìîòèâèðóåò ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå:
Ïóñòü A è B äâà ìíîæåñòâà. Òîãäà ìíîæåñòâîì B A íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç A â B .
Îïðåäåëåíèå 19.
Åñëè B ñîñòîèò âñåãî èç äâóõ ýëåìåíòîâ (îáîçíà÷èì èõ b1 è b2 ), òî îòîáðàæåíèå
èç A â B çàäà¼ò ðàçáèåíèå A íà äâà ìíîæåñòâà: ïðîîáðàç b1 è ïðîîáðàç b2 . ßñíî, ÷òî
äëÿ îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ äîñòàòî÷íî çàäàòü ïðîîáðàç b1 , âåäü òîãäà ïðîîáðàç b2
îïðåäåëèòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèÿ èç A â äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî è ïîäìíîæåñòâà A íàõîäÿòñÿ â åñòåñòâåííîì âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè
ìåæäó ñîáîé. Ýòî ìîòèâèðóåò îáîçíà÷åíèå â ñëåäóþùåì îïðåäåëåíèè:
ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ
ìíîæåñòâà A. Îáîçíà÷åíèå: P(A) èëè 2A .
Îïðåäåëåíèå 20.
Áóëåàíîì
Ïðè ïîìîùè áóëåàíà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü åø¼ îäíó åñòåñòâåííóþ ýêâèâàëåíòíîñòü: êàæäîìó ñîîòâåòñòâèþ A è B ñîîòâåòñòâóåò îòîáðàæåíèå èç A â 2B . Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîìó ýëåìåíòó ìîæíî îäíîçíà÷íî ñîïîñòàâèòü åãî îáðàç ïðè ñîîòâåòñòâèè.
Çàêîí÷èì ëåêöèþ ñâîéñòâàìè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü:
Óòâåðæäåíèå 21.
Ïðè âñåõ
a)
(A × B)C ∼ AC × B C ;
b)
AB∪C ∼ AB × AC
c)
(AB )C ∼ AB×C ,
ãäå çíàê
∼
(åñëè
ïîíèìàåòñÿ êàê
A, B
B
è
C
è
C
âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
íå ïåðåñåêàþòñÿ);
ýëåìåíòû
äâóõ ìíîæåñòâ ìîãóò áûòü åñòåñòâåííûì
îáðàçîì îòîæäåñòâëåíû.
Ñëîâà åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåíû íå÷¼òêî. Ôîðìàëüíî íóæíî ïîñòðîèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, êîòîðîå áóäåò â íåêîòîðîì ñìûñëå
åñòåñòâåííûì.
Ïåðâàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü íåôîðìàëüíî îçíà÷àåò, ÷òî ïàðà ôóíêöèé ýòî òî æå ñàìîå,
÷òî îäíà ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå ñðåäè ïàð. Ôîðìàëüíî ïóñòü F ∈ (A × B)C .
Ýòî çíà÷èò, ÷òî F : C → A×B . Òî åñòü êàæäîìó ýëåìåíòó c ∈ C ñîïîñòàâëåíà íåêîòîðàÿ
Äîêàçàòåëüñòâî.
5
ïàðà (a, b) ∈ A × B . Âìåñòî ýòîãî åìó ìîæíî ñîïîñòàâèòü îòäåëüíî ýëåìåíòû a ∈ A è
b ∈ B . Ïîëó÷èòñÿ äâà îòîáðàæåíèÿ, ïåðâîå îòîáðàæàåò c â a, à âòîðîå c â b, òî åñòü
ïàðà îòîáðàæåíèé (F1 , F2 ) ∈ AC ×B C . Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ðàçíûå F ïåðåâîäÿòñÿ â ðàçíûå
ïàðû (F1 , F2 ), è êàæäàÿ ïàðà ïîëó÷àåòñÿ èç íåêîòîðîé ôóíêöèè. Òàêèì îáðàçîì, ïåðâàÿ
ýêâèâàëåíòíîñòü óñòàíîâëåíà.
Âòîðàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ íà íåñâÿçíîì îáúåäèíåíèè äâóõ ìíîæåñòâ ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî îïðåäåëèòü å¼ íà êàæäîì èç ýòèõ ìíîæåñòâ
ïî îòäåëüíîñòè.
Òðåòüÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ äâóõ àðãóìåíòîâ åñòü òî æå ñàìîå,
÷òî îòîáðàæåíèå ïåðâîãî àðãóìåíòà â ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò âòîðîãî àðãóìåíòà.
Ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ýêâèâàëåíòíîñòåé îñòà¼òñÿ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
6