сужение множества парето на основе простейших наборов

2007 Âåñòíèê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåð.10, âûï. 2
Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà
ÓÄÊ 519.859
À. Â. Áîãäàíîâà, Â. Ä. Íîãèí
ÑÓÆÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÏÀÐÅÒÎ
ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÏÐÎÑÒÅÉØÈÕ ÍÀÁÎÐΠÍÅ×ÅÒÊÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ
ÎÁ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÉ ÂÀÆÍÎÑÒÈ ÊÐÈÒÅÐÈÅÂ ∗)
1. Ââåäåíèå. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñëîæíîñòü çàäà÷ âûáîðà ïðè ìíîãèõ êðèòåðèÿõ
çàêëþ÷àåòñÿ â íåâîçìîæíîñòè àïðèîðíîãî îïðåäåëåíèÿ òîãî, ÷òî íàçûâàòü íàèëó÷øèì
ðåøåíèåì. Êàæäîå ëèöî, ïðèíèìàþùåå ðåøåíèå (ËÏÐ), èìååò ïðàâî âêëàäûâàòü ñâîé
ñìûñë â ýòî ïîíÿòèå. Áîëåå òîãî, íåáîëüøîå èçìåíåíèå îáñòîÿòåëüñòâ, ïðè êîòîðûõ
îñóùåñòâëÿåòñÿ âûáîð, ìîæåò ïðèâåñòè ê èçìåíåíèþ ñìûñëà íàèëó÷øåãî ðåøåíèÿ.
Ïîíÿòèå íàèëó÷øåãî ðåøåíèÿ çàâèñèò îò ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ,
êîòîðûå íå óäàåòñÿ ó÷åñòü â ðàìêàõ ôèêñèðîâàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè êàê ïî
ïðè÷èíå èõ êîëè÷åñòâà, òàê è â ñèëó íåâîçìîæíîñòè ìàòåìàòèçàöèè (ïî êðàéíåé
ìåðå, íà äàííûé ìîìåíò ðàçâèòèÿ) ðàçëè÷íûõ àñïåêòîâ ïñèõîëîãè÷åñêîãî õàðàêòåðà,
îêàçûâàþùèõ âëèÿíèå íà îêîí÷àòåëüíûé âûáîð.
Âñå ýòî ãîâîðèò î íåïðîäóêòèâíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ âûáîðà
ïðè ìíîãèõ êðèòåðèÿõ òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà, ñëîæèâøåãîñÿ äåñÿòêè ëåò íàçàä â
îáëàñòè îïòèìèçàöèè ñ îäíèì êðèòåðèåì è ïðåäïîëàãàþùåãî îáÿçàòåëüíîå ôîðìàëüíîå
ââåäåíèå ïîíÿòèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ (îáû÷íî ýòî ýëåìåíò ìíîæåñòâà îãðàíè÷åíèé,
â êîòîðîì öåëåâàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå ëèáî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå).
 îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà â ïîñëåäíåå âðåìÿ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ
ìåòîäîëîãèÿ, íå ïðåäïîëàãàþùàÿ äëÿ ñâîåé ðåàëèçàöèè íàëè÷èÿ ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ
âûáèðàåìîãî ðåøåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [1]). Åå ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëó÷åíèè òåõ èëè
èíûõ îöåíîê ñâåðõó äëÿ çàðàíåå íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé íà
îñíîâå îïðåäåëåííûõ îáùèõ ñâîéñòâ ïîâåäåíèÿ ËÏÐ â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ
ó÷åòîì íåêîòîðîé ÷èñëîâîé èíôîðìàöèè îá îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ.
Ýòà ìåòîäîëîãèÿ ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïðèîáðåëà âïîëíå îïðåäåëåííûå êîíòóðû
[1]. Åå ôóíäàìåíò ñîñòàâëÿåò çíàìåíèòûé ïðèíöèï ÝäæâîðòàÏàðåòî, à îñíîâíîå
ñîäåðæàíèå îáðàçóþò ðåçóëüòàòû, ïîêàçûâàþùèå, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü
çàäàííóþ êîëè÷åñòâåííóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ äëÿ
îáîñíîâàííîãî ñóæåíèÿ ìíîæåñòâà Ïàðåòî. Íåðåäêî òàêóþ èíôîðìàöèþ óäîáíî
èíòåðïðåòèðîâàòü â òåðìèíàõ òåîðèè îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, â îñíîâó
êîòîðîé ïîëîæåí óòî÷íåííûé âàðèàíò îäíîãî îïðåäåëåíèÿ, ïðåäëîæåííîãî â [2].
 ñîîòâåòñòâèè ñ óïîìÿíóòîé âûøå ìåòîäîëîãèåé ëþáîé âûáîð, ïîä÷èíÿþùèéñÿ
íàáîðó àêñèîì, õàðàêòåðèçóþùèõ ïîâåäåíèå ËÏÐ â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé,
ñëåäóåò îñóùåñòâëÿòü â ïðåäåëàõ ìíîæåñòâà Ïàðåòî, êîòîðîå ìîæíî ïîñòðîèòü ñ
ïîìîùüþ "íîâîãî"âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ, îïðåäåëÿåìîãî íà îñíîâå "ñòàðîãî"âåêòîðíîãî
êðèòåðèÿ è èìåþùåéñÿ êîëè÷åñòâåííîé èíôîðìàöèè. Òåì ñàìûì, ñòðîèòñÿ íåêîòîðàÿ
îöåíêà ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
∗) Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé
(ãðàíò  05-01-00310)
c À. Â. Áîãäàíîâà, Â. Ä. Íîãèí, 2007
°
1
áîëåå òî÷íîé, ÷åì èñõîäíîå ìíîæåñòâî Ïàðåòî. Ýòîò ïîäõîä ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü
è òàêèì îáðàçîì: íàëè÷èå óêàçàííîé èíôîðìàöèè äàåò âîçìîæíîñòü ñóçèòü èñõîäíîå
ìíîæåñòâî Ïàðåòî.
Íåðåäêî ïðè âûÿâëåíèè èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü
ñîîòâåòñòâóþùèå êîëè÷åñòâåííûå äàííûå ëèøü â ñïåöèôè÷åñêîé íå÷åòêîé ôîðìå,
êîãäà ïðåäïî÷òèòåëüíîñòü òîãî èëè èíîãî ðåøåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè îöåíèâàåòñÿ
ñ ñóáúåêòèâíîé ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè, ñïîñîáíîé èçìåíÿòüñÿ â íåêîòîðûõ ïðåäåëàõ.
 òàêèõ ñèòóàöèÿõ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïðèìåíèòü àïïàðàò òåîðèè íå÷åòêèõ
ìíîæåñòâ è îòíîøåíèé [3].
Âûÿñíèëîñü, ÷òî ðàçðàáàòûâàåìàÿ ìåòîäîëîãèÿ ñóæåíèÿ ìíîæåñòâà Ïàðåòî
äîïóñêàåò ðàñïðîñòðàíåíèå íà áîëåå îáùèé ñëó÷àé íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ËÏÐ, à òàêæå
íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåøåíèé (ñì. [4]). Îñíîâû ïîäîáíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ
áûëè çàëîæåíû â ðàáîòå [5] åùå äî ïîÿâëåíèÿ îïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé
âàæíîñòè êðèòåðèåâ ïðèìåíèòåëüíî ê ñëó÷àþ íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ.
Èñïîëüçîâàíèå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ è îòíîøåíèé äàåò âîçìîæíîñòü ðàçðàáîòàòü
áîëåå ãèáêèé àïïàðàò, êîòîðûé ìîæíî ïðèìåíÿòü ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷
ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà.
 äàííîé ðàáîòå ïîñëå êðàòêîãî îáçîðà îñíîâíûõ èñïîëüçóåìûõ ïîíÿòèé òåîðèè
íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â âèäå àêñèîì ôîðìóëèðóþòñÿ òðåáîâàíèÿ, êîòîðûå ìîæíî
òðàêòîâàòü êàê íåêîòîðûå óñëîâèÿ ïîâåäåíèÿ â íå÷åòêîé ñðåäå; â äàëüíåéøåì
îíè áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ âûïîëíåííûìè. Ïðè ïîñëåäóþùåì ðàññìîòðåíèè áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè ñîäåðæèò íåêîòîðûé êîíå÷íûé
íàáîð ñîîáùåíèé; êàæäîå èç íèõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàêàÿ-òî ãðóïïà êðèòåðèåâ
ÿâëÿåòñÿ áîëåå âàæíîé, ÷åì äðóãàÿ ãðóïïà. Äàëåå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íåïðîòèâîðå÷èâîãî
(ñîâìåñòíîãî) íàáîðà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ
è íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [5] ôîðìóëèðóåòñÿ êðèòåðèé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè
ïîäîáíîãî íàáîðà. Öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò ðàáîòû òåîðåìû, êîòîðûå ïîêàçûâàþò,
êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè
êðèòåðèåâ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòà èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð èç äâóõ
ïðîñòåéøèõ ñîîáùåíèé. Â óêàçàííûõ òåîðåìàõ ñòðîèòñÿ îïðåäåëåííàÿ îöåíêà ñâåðõó
äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé â ôîðìå ìíîæåñòâà Ïàðåòî
îòíîñèòåëüíî âèäîèçìåíåííîãî âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, óêàçàííàÿ îöåíêà
ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ òðåõ ÷åòêèõ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷
ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èëëþñòðèðóþòñÿ ïðèìåðîì.
2. Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. Íàïîìíèì
íåêîòîðûå âàæíåéøèå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ íå÷åòêèìè ìíîæåñòâàìè è îòíîøåíèÿìè.
Áîëåå ïîäðîáíûå ñâåäåíèÿ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [3].
Ïóñòü A íåêîòîðîå íåïóñòîå (óíèâåðñàëüíîå) ìíîæåñòâî. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
U â A çàäàåòñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λ: A → [0, 1]. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãî x ∈ A
÷èñëî λ(x) ∈ [0, 1] èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòà x ìíîæåñòâó
U .  ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè λ(·) ÿâëÿþòñÿ ëèøü ÷èñëà 0
è 1, îíà ïðåâðàùàåòñÿ â õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îáû÷íîãî (÷åòêîãî) ìíîæåñòâà
U . Âñå ýëåìåíòû x ìíîæåñòâà A, äëÿ êîòîðûõ λ(x) > 0, îáðàçóþò ñóïïîðò ìíîæåñòâà
U , îáîçíà÷àåìûé supp U .
Âêëþ÷åíèå, à òàêæå îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ U è
2
V â A îáû÷íî îïðåäåëÿþò â òåðìèíàõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
U ⊂ V ⇔ λ(x) 5 µ(x), ν(x) = max{λ(x), µ(x)}, ρ(x) = min{λ(x), µ(x)} ∀x ∈ A.
Çäåñü ÷åðåç µ(x) îáîçíà÷åíà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà V , à
ν(x), ρ(x) ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ
U è V.
Äëÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà η(·), çàäàííîãî íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L, áóäåì
èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå òåðìèíû:
íå÷åòêèé êîíóñ, åñëè η(x) = η(α·x) ∀α > 0, ∀x ∈ L ;
íå÷åòêèé îñòðûé êîíóñ, åñëè åãî ñóïïîðò ÿâëÿåòñÿ îñòðûì, ò. å. íè îäèí íåíóëåâîé
ýëåìåíò ñóïïîðòà íå ñîäåðæèòñÿ â íåì âìåñòå ñ ïðîòèâîïîëîæíûì åìó ýëåìåíòîì;
íå÷åòêîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, åñëè η(θx+(1 − θ)y) = min{η(x),η(y)} ∀x, y ∈ L,
∀θ ∈ [0, 1].
Íå÷åòêîå (áèíàðíîå) îòíîøåíèå çàäàåòñÿ íà ìíîæåñòâå A ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè
ïðèíàäëåæíîñòè µ : A × A → [0, 1] , ïðè ýòîì ÷èñëî µ(x, y) ∈ [0, 1] èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê
ñòåïåíü óâåðåííîñòè â òîì, ÷òî ýëåìåíò x íàõîäèòñÿ â äàííîì îòíîøåíèè ñ ýëåìåíòîì
y . Íåðåäêî, ñàìó ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè µ èìåíóþò íå÷åòêèì îòíîøåíèåì ñ äàííîé
ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè.
Íå÷åòêîå îòíîøåíèå ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ(·, ·) áóäåì íàçûâàòü
èððåôëåêñèâíûì, åñëè µ(x, x) = 0 ∀x ∈ A;
òðàíçèòèâíûì, åñëè µ(x, z) = min{µ(x, y), µ(y, z)} ∀x, y, z ∈ A;
àñèììåòðè÷íûì, åñëè µ(x, y) > 0 =⇒ µ(y, x) = 0 ∀x, y ∈ A;
íå÷åòêèì êîíóñíûì îòíîøåíèåì íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L, åñëè íàéäåòñÿ òàêîé
íå÷åòêèé êîíóñ η : L → [0, 1], ÷òî µ(x, y) = η(x − y) ∀x, y ∈ L;
èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, åñëè
îíî çàäàíî íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L è âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà µ(αx, αy) = µ(x, y),
µ(x + c, y + c) = µ(x, y) ∀x, y, c ∈ L, ∀α > 0.
3. Çàäà÷à íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà.
3.1. Îñíîâíûå êîìïîíåíòû çàäà÷è íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà. ×åðåç
X îáîçíà÷èì (÷åòêîå) ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé, ñîäåðæàùåå ïî êðàéíåé ìåðå
äâà ýëåìåíòà. Îáîçíà÷èì íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ ðåøåíèé ÷åðåç Sel(X)
(Sel(X) ⊂ X ), à åãî ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè ÷åðåç λSX (·) (ïðè ýòîì óíèâåðñàëüíûì
ñ÷èòàåòñÿ ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé X ). Ìíîæåñòâî Sel(X) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ðåøåíèå çàäà÷è íå÷åòêîãî âûáîðà.  çàâèñèìîñòè îò öåëåé è ïðåäïî÷òåíèé ËÏÐ èì
ìîæåò îêàçàòüñÿ ëþáîå íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåøåíèé X .
Ðåøèòü çàäà÷ó íå÷åòêîãî âûáîðà äëÿ äàííîãî ËÏÐ îçíà÷àåò íàéòè ìíîæåñòâî Sel(X)
(òî÷íåå ãîâîðÿ, óêàçàòü åãî ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè), êîòîðîå íàèáîëåå ïîëíî è òî÷íî
ñîîòâåòñòâóåò åãî ïðåñòàâëåíèÿì î íàèëó÷øèõ äëÿ íåãî ðåøåíèÿõ. Ïðè ýòîì êàæäîìó
ËÏÐ â òîé èëè èíîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè áóäåò îòâå÷àòü ñâîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ
ðåøåíèé, è ïî äàííîé ïðè÷èíå íåâîçìîæíî ðàçðàáîòàòü "óíèâåðñàëüíîå"îïðåäåëåíèå
ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, áûëî áû ïðèåìëåìûì äëÿ âñåõ ËÏÐ (èëè, ïî êðàéíåé
ìåðå, äëÿ äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êëàññà ËÏÐ).  òàêîì ïîëîæåíèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ
öåëåñîîáðàçíûì çàíÿòüñÿ ïîñòðîåíèåì òåõ èëè èíûõ ïî âîçìîæíîñòè íàèáîëåå óçêèõ
îöåíîê ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé. Èìåííî òàêîé ïîäõîä
è ðàññìàòðèâàåòñÿ äàëåå.
3
Æåëàíèå ËÏÐ äîñòè÷ü êîíêðåòíîé öåëè íåðåäêî óäàåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ
òåðìèíàõ âûðàçèòü â âèäå ìàêñèìèçàöèè (èëè ìèíèìèçàöèè) íåêîòîðîé ÷èñëîâîé
ôóíêöèè, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå X . Îäíàêî â áîëåå ñëîæíûõ ñèòóàöèÿõ ïðèõîäèòñÿ
èìåòü äåëî íå ñ îäíîé, à ñðàçó ñ íåñêîëüêèìè ôóíêöèÿìè ïîäîáíîãî òèïà.
Ïóñòü èìååòñÿ m (m = 2) ÷èñëîâûõ ôóíêöèé (êðèòåðèåâ) f1 , f2 , . . . , fm ,
çàäàííûõ íà ìíîæåñòâå X .  çàâèñèìîñòè îò ñîäåðæàíèÿ çàäà÷è âûáîðà ýòè
ôóíêöèè íàçûâàþò êðèòåðèÿìè îïòèìàëüíîñòè, öåëåâûìè ôóíêöèÿìè è ò. ï. Îíè
îáðàçóþò âåêòîðíûé êðèòåðèé f = (f1 , f2 , . . . , fm ), êîòîðûé ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
â m-ìåðíîì àðèôìåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå IRm . Åãî íàçûâàþò êðèòåðèàëüíûì
ïðîñòðàíñòâîì, èëè ïðîñòðàíñòâîì îöåíîê (âåêòîðîâ), à ëþáîå çíà÷åíèå
f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x)) ∈ IRm âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ f ïðè îïðåäåëåííîì
ðåøåíèè x ∈ X èìåíóþò âåêòîðíîé îöåíêîé ðåøåíèÿ x. Âñå âåêòîðíûå îöåíêè
îáðàçóþò ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ âåêòîðîâ (îöåíîê)
Y = f (X) = {y ∈ IRm | ∃ x ∈ X : y = f (x)}.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ ðåøåíèé X çàäàíî íå÷åòêîå îòíîøåíèå
ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µX (·, ·). Äëÿ x0 , x00 ∈ X ÷èñëî µ(x0 , x00 )
èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ñòåïåíü óâåðåííîñòè ËÏÐ â òîì, ÷òî äëÿ íåãî ðåøåíèå x0
ïðåäïî÷òèòåëüíåå x00 .
Òåïåðü ìîæíî îêîí÷àòåëüíî ïåðå÷èñëèòü âñå ýëåìåíòû çàäà÷è íå÷åòêîãî
ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà (â òåðìèíàõ ðåøåíèé) < X, f, µX >:
ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé X ,
âåêòîðíûé êðèòåðèé f , îïðåäåëåííûé íà ìíîæåñòâå X ,
íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µX (·, ·), çàäàííîé
íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè X × X è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ïðåäåëàõ ÷èñëîâîãî
îòðåçêà [0, 1].
Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîå â îáùåì ñëó÷àå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
Sel(X) c ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λSX (·) .
Òó æå çàäà÷ó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â òåðìèíàõ âåêòîðîâ. ×åðåç Sel(Y ) îáîçíà÷èì
íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî çàäàíà
íà IRm è åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîãëàñîâàíà ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî
ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé:
(
λSX (x), åñëè y = f (x) ïðè íåêîòîðîì x ∈ X,
λSY (y) =
0, åñëè y ∈ IRm \Y.
Ôóíêöèåé µX (·, ·) èíäóöèðóåòñÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè µY (·, ·) íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ
ïðåäïî÷òåíèÿ íà ìíîæåñòâå Y ñëåäóþùèì îáðàçîì:
µY (y 0 , y 00 ) = µX (x0 , x00 )
ïðè y 0 = f (x0 ), y 00 = f (x00 ), x0 , x00 ∈ X.
 ñâîþ î÷åðåäü, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ,
çàäàííîãî íà ìíîæåñòâå âåêòîðîâ, ïîðîæäàåò ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî
îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ íà ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ ðåøåíèé, ôàêòîðèçîâàííîì ïðè
ïîìîùè îòíîøåíèÿ ðàâåíñòâà íà ìíîæåñòâå âåêòîðîâ.
 èòîãå çàäà÷à íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà (â òåðìèíàõ âåêòîðîâ)
< Y, µY > âêëþ÷àåò
4
ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ âåêòîðîâ Y ,
íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µY (·, ·), çàäàííîé
íà Y è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ïðåäåëàõ ÷èñëîâîãî îòðåçêà [0, 1].
Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ Sel(Y )
ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λSY (y).
Ñôîðìóëèðîâàííûå çàäà÷è íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà (â òåðìèíàõ
ðåøåíèé è â òåðìèíàõ âåêòîðîâ) ýêâèâàëåíòíû â òîì ñìûñëå, ÷òî áëàãîäàðÿ óêàçàííîé
ñîãëàñîâàííîñòè ïåðå÷èñëåííûõ ôóíêöèé ïðèíàäëåæíîñòè âñå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå
â òåðìèíàõ îäíîé èç ýòèõ çàäà÷, ìîãóò áûòü ëåãêî ïåðåôîðìóëèðîâàíû â òåðìèíàõ
äðóãîé çàäà÷è.
Ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ ïðèâåäåííûõ çàäà÷ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íà ïðàêòèêå
íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ, êàê ïðàâèëî, èçâåñòíî íå ïîëíîñòüþ èëè
âîîáùå íåèçâåñòíî. Òåì ñàìûì, íåèçâåñòíûì îêàçûâàåòñÿ è ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ
ðåøåíèé (è âåêòîðîâ). Ïîýòîìó óêàçàííîå ìíîæåñòâî ïðèõîäèòñÿ ñòðîèòü, ðàñïîëàãàÿ
ëèøü ÷àñòè÷íûìè ñâåäåíèÿìè îá îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ â ôîðìå èíôîðìàöèè îá
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ è èñïîëüçóÿ íåêîòîðûå åãî õàðàêòåðèñòèêè â âèäå
îïðåäåëåííûõ àêñèîì.
3.2. Àêñèîìû íå÷åòêîãî âûáîðà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà
è ïðèâåäåì ðÿä àêñèîì, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïðåäåëåííûå òðåáîâàíèÿ ê
íå÷åòêîìó îòíîøåíèþ ïðåäïî÷òåíèÿ è íå÷åòêîìó ìíîæåñòâó âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ,
ó÷àñòâóþùèõ â ïîñòàíîâêå çàäà÷è íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà. Ýòè
àêñèîìû áûëè ïðåäëîæåíû â [4] è áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ âûïîëíåííûìè â äàííîé
ðàáîòå; îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàñïðîñòðàíåíèå íà ñëó÷àé íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ
ïðåäïî÷òåíèÿ àêñèîì, ñôîðìóëèðîâàííûõ â [1].
Àêñèîìà 1. Äëÿ âñÿêîé ïàðû ðåøåíèé x0 , x00 ∈ X , äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ
µX (x0 , x00 ) = µ∗ ∈ [0, 1], ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî λSX (x00 ) 5 1 − µ∗ .
Àêñèîìà 2. Ñóùåñòâóåò èððåôëåêñèâíîå è òðàíçèòèâíîå íå÷åòêîå îòíîøåíèå
µ(·, ·), ñóæåíèå êîòîðîãî íà ìíîæåñòâî Y ñîâïàäàåò ñ îòíîøåíèåì µY (·, ·).
Ãîâîðÿò, ÷òî êðèòåðèé fi ñîãëàñîâàí ñ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ, åñëè äëÿ ëþáûõ
y 0 , y 00 ∈ IRm èç âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèé
0
0
0
0
0
0
y 0 = (y10 ,. . ., yi−1
, yi0 , yi+1
,. . ., ym
), y 00 = (y10 , . . . , yi−1
, yi00 , yi+1
, . . . , ym
), yi0 > yi00
ñëåäóåò ðàâåíñòâî µ(y 0 , y 00 ) = 1.
Ñîäåðæàòåëüíî ñîãëàñîâàííîñòü äàííîãî êðèòåðèÿ ñ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ
îçíà÷àåò, ÷òî ËÏÐ ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ çàèíòåðåñîâàíî â ïîëó÷åíèè åãî
á
oëüøèõ çíà÷åíèé.
Àêñèîìà 3. Êàæäûé èç êðèòåðèåâ f1 , . . . , fm ñîãëàñîâàí ñ îòíîøåíèåì
ïðåäïî÷òåíèÿ.
Àêñèîìà 4. Íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ(·, ·) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî
ëèíåéíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Íàïîìíèì [1], ÷òî ìíîæåñòâî ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé ìíîãîêðèòåðèàëüíîé
çàäà÷è ñ âåêòîðíûì êðèòåðèåì f è ìíîæåñòâîì âîçìîæíûõ ðåøåíèé X îáîçíà÷àåòñÿ
Pf (X) è îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
Pf (X) = {x∗ ∈ X| @ x ∈ X : f (x) ≥ f (x∗ )} ,
ãäå âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà f (x) ≥ f (x∗ ) îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü ïîêîìïîíåíòíûõ
íåðàâåíñòâ fi (x) = fi (x∗ ), i = 1, . . . , m, ïðè÷åì f (x) 6= f (x∗ ).
5
Ââåäåì ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó Ïàðåòî
ôóíêöèþ ýòîãî ìíîæåñòâà):
½
1, åñëè x ∈ Pf (X),
λP
(x)
=
X
0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
(õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ
4. Íå÷åòêàÿ èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ
è åå íåïðîòèâîðå÷èâîñòü.
4.1. Îïðåäåëåíèå è íåêîòîðûå ñâîéñòâà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé
âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå äëÿ ìíîæåñòâà íîìåðîâ êðèòåðèåâ I =
{1, 2, . . . , m}. Â öåëÿõ óïðîùåíèÿ çàïèñè âìåñòî "êðèòåðèé fi " óñëîâèìñÿ ïèñàòü
"êðèòåðèé i".
Î ï ð å ä å ë å í è å 4.1 [4]. Ïóñòü A, B ∈ I, A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B 6= ∅. Áóäåì ãîâîðèòü,
÷òî ãðóïïà êðèòåðèåâ A âàæíåå ãðóïïû êðèòåðèåâ B ñî ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ∗ ∈
(0, 1] è çàäàííûìè äâóìÿ íàáîðàìè ïîëîæèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ wi äëÿ âñåõ i ∈ A è wj
äëÿ âñåõ j ∈ B , åñëè äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ y 0 , y 00 ∈ IRm , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
yi0 > yi00
∀i ∈ A,
yi0
−
yi00
yj00 > yj0
= wi
∀j ∈ B,
yj00
∀i ∈ A,
−
ys0 = ys00
∀s ∈ I \ {A ∪ B},
yj0
∀j ∈ B,
= wj
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî µ(y 0 , y 00 ) = µ∗ .
Âñþäó äàëåå íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò IRm
+ ñóòü ñîâîêóïíîñòü âñåõ íåíóëåâûõ
âåêòîðîâ ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè.
Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå Â. Ä. Íîãèíó, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
íåêîòîðóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ èç [4, 5].
Ëåììà 4.1. Ñëåäóþùèå äâà âûñêàçûâàíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
1) íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ(·, ·) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 2-4;
2) íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ(·, ·) ÿâëÿåòñÿ êîíóñíûì îòíîøåíèåì ñ íå÷åòêèì
îñòðûì âûïóêëûì êîíóñîì K , êîòîðûé ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè
m
âêëþ÷àåò íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò IRm
è ñ íóëåâîé ñòåïåíüþ
+ ïðîñòðàíñòâà IR
ïðèíàäëåæíîñòè ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. I. Ñíà÷àëà óñòàíîâèì, ÷òî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè
íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ(·, ·), ïîñòóëèðóåìîå àêñèîìîé 4,
ðàâíîñèëüíî ñâîéñòâó êîíóñíîñòè ýòîãî îòíîøåíèÿ. Ïóñòü µ èíâàðèàíòíî. Ââåäåì
íå÷åòêîå ìíîæåñòâî η ðàâåíñòâîì η(x) = µ(x, 0m ) äëÿ âñåõ x ∈ IRm . Áëàãîäàðÿ
èíâàðèàíòíîñòè èìååì
η(αx) = µ(αx, α0m ) = µ(x, 0m ) = η(x)
∀x, ∀α > 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî η åñòü êîíóñ. Êðîìå òîãî,
µ(x, y) = µ(x − y, 0m ) = η(x − y)
∀x, y,
ò. å. îòíîøåíèå µ ÿâëÿåòñÿ êîíóñíûì îòíîøåíèåì ñ êîíóñîì η .
Îáðàòíî, ïóñòü µ åñòü íå÷åòêîå êîíóñíîå îòíîøåíèå ñ êîíóñîì η . Åãî èíâàðèàíòíîñòü
ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ
µ(x, y) = η(x − y) = η((x + c) − (y + c)) = µ(x + c, y + c)
6
∀c,
µ(x, y) = η(x − y) = η(α(x − y)) = η(αx − αy) = µ(αx, αy)
∀α > 0.
II. Ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó èìïëèêàöèè 1) ⇒ 2). Ïóñòü íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ
óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 24. Â ñîîòâåòñòâèè ñ äîêàçàííûì âûøå îòíîøåíèå µ ÿâëÿåòñÿ
êîíóñíûì; îáîçíà÷èì åãî êîíóñ ÷åðåç η . Ñóïïîðò ýòîãî êîíóñà íå ñîäåðæèò íà÷àëà
êîîðäèíàò, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòíîøåíèå µ íå áûëî áû èððåôëåêñèâíûì.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî êîíóñ η îñòðûé, ïðåäïîëîæèì, íàïðîòèâ, ÷òî ñóùåñòâóåò
íåíóëåâîé âåêòîð y , äëÿ êîòîðîãî µ(y, 0m ) = η(y) > 0 è µ(0m , y) = η(−y) >
0. Îòñþäà â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ µ ïîëó÷àåì µ(y, y) > 0, ÷òî âíîâü
ïðîòèâîðå÷èò èððåôëåêñèâíîñòè îòíîøåíèÿ µ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âûïóêëîñòè êîíóñà
η â îïðåäåëåíèè òðàíçèòèâíîãî íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïîëîæèì x = αx0 , y = 0m , z =
(1 − α)(−x00 ), ãäå α ∈ (0, 1) :
µ(αx0 , (1 − α)(−x00 )) = min{µ(αx0 , 0m ), µ(0m , (1 − α)(−x00 )}.
Îòñþäà â ñîîòâåòñòâèè ñ èíâàðèàíòíîñòüþ ñëåäóåò
µ(αx0 , (1 − α)(−x00 )) = min{µ(x0 , 0m ), µ(0m , (−x00 )},
èëè
η(αx0 + (1 − α)x00 ) = min{η(x0 ), η(x00 )}
∀x0 , x00 , ∀α ∈ (0, 1),
÷òî îçíà÷àåò âûïóêëîñòü íå÷åòêîãî êîíóñà η .
Ïóñòü ei åñòü i-é îðò ïðîñòðàíñòâà IRm , ò.å. âåêòîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî ðàâíû
íóëþ, êðîìå i-é, ðàâíîé åäèíèöå. Ñîãëàñíî àêñèîìå 3, âåðíî µ(ei , 0m ) = η(ei ) =
1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå îðòû (à çíà÷èò, è ëó÷è, ñîâïàäàþùèå ñ êîîðäèíàòíûìè
ïîëîæèòåëüíûìè ïîëóîñÿìè) óêàçàííîãî ïðîñòðàíñòâà ïðèíàäëåæàò âûïóêëîìó
êîíóñó η ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè. Ïîòîìó è âåñü íåîòðèöàòåëüíûé
îðòàíò ïðîñòðàíñòâà èìååò ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè, ðàâíóþ åäèíèöå, òàê êàê äëÿ
âûïóêëîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ζ âåðíî íåðàâåíñòâî
ζ(
p
X
θi x(i) ) =
k=1
min {ζ(x(i) }
i=1,2,...,p
∀θi = 0,
X
θi = 1 ∀x(i) ,
i
ñïðàâåäëèâîñòü êîòîðîãî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïî èíäóêöèè.
Òåïåðü äîêàæåì èñòèííîñòü èìïëèêàöèè 2) ⇒ 1). Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî,
ñîãëàñíî äîêàçàííîìó âûøå, íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ èíâàðèàíòíî, ò. å. óäîâëåòâîðÿåò
àêñèîìå 4. Íà îñíîâàíèè âûïóêëîñòè êîíóñà η äëÿ ëþáûõ x, y, z ìîæíî íàïèñàòü
η(
x−y y−z
+
) = min{η(x − y), η(y − z)}.
2
2
Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
µ(x, y) = min{µ(x, y), µ(y, z)}
∀x, y, z,
îçíà÷àþùåå òðàíçèòèâíîñòü íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ µ. Äàëåå, ÿñíî, ÷òî ýòî îòíîøåíèå
èððåôëåêñèâíî, òàê êàê ñóïïîðò êîíóñà η íå ñîäåðæèò íà÷àëà êîîðäèíàò. Òåì ñàìûì,
íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 2 è 4. Îíî òàêæå óäîâëåòâîðÿåò
àêñèîìå 3, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ y 0 è y 00 èç îïðåäåëåíèÿ êðèòåðèÿ fi ,
ñîãëàñîâàííîãî ñ îòíîøåíèåì ïðåäïî÷òåíèÿ, áëàãîäàðÿ èíâàðèàíòíîñòè èìååì
µ(y 0 , y 00 ) = µ((yi0 − yi00 )ei , 0m ) = µ(ei , 0m ) = η(ei ) = 1
7
∀i.
Ëåììà 4.2. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ àêñèîìà 4. Ãðóïïà êðèòåðèåâ A âàæíåå ãðóïïû
êðèòåðèåâ B ñ çàäàííûìè íàáîðàìè ïîëîæèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ wi , wj äëÿ âñåõ
i ∈ A, j ∈ B è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ∗ ∈ (0, 1] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâåíñòâî
µ(e
y , 0m ) = µ∗ ñïðàâåäëèâî äëÿ âåêòîðà ye ∈ IRm , ãäå yei = wi , yej = −wj , yes = 0 äëÿ âñåõ
i ∈ A, j ∈ B , s ∈ I \ (A ∪ B).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåîáõîäèìîñòü î÷åâèäíà. Äëÿ ïðîâåðêè äîñòàòî÷íîñòè
âûáåðåì äâà ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðà y 0 , y 00 ∈ IRm èç îïðåäåëåíèÿ 4.1. Òðåáóåìîå âûòåêàåò
èç ðàâåíñòâ
µ∗ = µ(e
y , 0m ) = µ(e
y + y 00 , y 00 ) = µ(y 0 , y 00 ).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç N m ìíîæåñòâî âñåõ m-ìåðíûõ âåêòîðîâ, èìåþùèõ ïî êðàéíåé
ìåðå îäíó ïîëîæèòåëüíóþ è îäíó îòðèöàòåëüíóþ êîìïîíåíòû. Ñîãëàñíî ëåììå 4.2,
êàæäûé âåêòîð ââåäåííîãî ìíîæåñòâà ìîæåò çàäàâàòü îïðåäåëåííóþ èíôîðìàöèþ
îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, åñëè îí îêàæåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíåå íóëåâîãî
âåêòîðà.
Ëåììà 4.3 [4]. Äëÿ ëþáîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ ðåøåíèé, ôóíêöèÿ
ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî λSX (·) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìå 1, èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå
λSX (x) 5 λN
X (x) äëÿ âñåõ x ∈ X.
4.2. Íåïðîòèâîðå÷èâîñòü íàáîðà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé
âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Ïóñòü çàäàíû íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui − v i ∈ N m ), è íàáîð
÷èñåë µi ∈ (0, 1] òàêèå, ÷òî µ(ui , v i ) = µi , i = 1, 2, . . . , k . Îáîçíà÷èì ÷åðåç
µ11 , . . . , µ1k1 , µ21 , . . . , µ2k2 , . . . , µl1 , . . . , µlkl
òàêóþ ïåðåñòàíîâêó ÷èñåë µ1 , µ2 , . . . , µk , ÷òî
1 = µ11 = . . . = µ1k1 > µ21 = . . . = µ2k2 > . . . > µl1 = . . . = µlkl
ãäå k1 +. . .+kl = k, 1 5 l 5 k . Òåì ñàìûì, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
ñîîòâåòñòâèå: êàæäîé ïàðå âåêòîðîâ ui , v i ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå
÷èñëî µrs , r ∈ {1, 2, . . . , l}, s ∈ {1, 2, . . . , kr }, òàêîå, ÷òî µi = µrs . Îáðàòíî, êàæäîìó
÷èñëó µrs îòâå÷àåò îïðåäåëåííàÿ ïàðà âåêòîðîâ èç íàáîðà ui , v i , i ∈ {1, 2, . . . , k}, òàêàÿ,
÷òî µrs = µi . Èç ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êîãäà ñðåäè ÷èñåë µrs èìåþòñÿ
îäèíàêîâûå, òî íåïðèíöèïèàëüíî, êàêàÿ èìåííî ïàðà âåêòîðîâ ui , v i ñîîòâåòñòâóåò òîìó
èëè äðóãîìó èç ýòèõ ÷èñåë.
Ïóñòü ei åäèíè÷íûé îðò âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà IRm . Ââåäåì (÷åòêèå) êîíóñû
Kh , h ∈ {1, 2, . . . , l}, ïîðîæäàåìûå åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e1 , e2 , . . . , em è âñåìè
òåìè âåêòîðàìè ui , v i , i ∈ {1, 2, . . . , k}, êîòîðûì îòâå÷àþò ÷èñëà µi (µi = µrs ïðè
íåêîòîðûõ r è s), ïðè÷åì µi = µh1 . Èç ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ íåìåäëåííî âûòåêàþò
âêëþ÷åíèÿ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kl .
Î ï ð å ä å ë å í è å 4.2. Íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui − v i ∈ N m ), i = 1, 2, . . . , k (k = 1),
âìåñòå ñ íàáîðîì ÷èñåë µ1 , µ2 , . . . , µk ∈ (0, 1] çàäàþò íåïðîòèâîðå÷èâóþ (ñîâìåñòíóþ)
íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ
áû îäíî íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè µ(·, ·),
óäîâëåòâîðÿþùåå àêñèîìàì 24 è òàêîå, ÷òî µ(ui , v i ) = µi ∈ (0, 1], i = 1, 2, . . . , k .
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, ïîëó÷åííîå Â.Ä. Íîãèíûì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ìîäèôèêàöèþ îäíîãî èç ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [5].
8
Òåîðåìà 4.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui − v i ∈ N m ) âìåñòå
ñ íàáîðîì ÷èñåë µi ∈ (0, 1], ãäå µ(ui , v i ) = µi ∈ (0, 1], i = 1, 2, . . . , k , çàäàâàëè
íåïðîòèâîðå÷èâóþ íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
¡
¡
¢
¢
(4.1)
λ1 e1 + . . . + λm em + ξ1 u1 − v 1 + . . . + ξk uk − v k = 0n
îòíîñèòåëüíî λ1 , . . . , λm , ξ1 , . . . , ξk íå èìåëà íè îäíîãî íåíóëåâîãî íåîòðèöàòåëüíîãî
ðåøåíèÿ è, êðîìå òîãî, êàæäûé êîíóñ Kh , h ∈ {2, . . . , l}, íå ñîäåðæàë íè îäíîãî
âåêòîðà ui − v i , i ∈ {1, 2, . . . , k}, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî µi , òàêîå, ÷òî
µi < µh1 .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü íàáîð âåêòîðîâ ui , v i (ui −
i
v ∈ N m ), i = 1, 2, . . . , k , âìåñòå ñ íàáîðîì ÷èñåë µ1 , µ2 , . . . , µk ∈ (0, 1] çàäàþò
íåïðîòèâîðå÷èâóþ íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ.
Ïî îïðåäåëåíèþ 4.2 (è ñîãëàñíî ëåììå 4.1), ñóùåñòâóåò íå÷åòêîå îòíîøåíèå µ ñ
íå÷åòêèì âûïóêëûì êîíóñîì η , ïðè÷åì åäèíè÷íûå âåêòîðû e1 , e2 , . . . , em è âåêòîðû
ui − v i ∈ N m , i = 1, 2, . . . , k, ïðèíàäëåæàò ñóïïîðòó êîíóñà η , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ
îñòðûì êîíóñîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòêèé ìíîãîãðàííûé âûïóêëûé êîíóñ, ïîðîæäåííûé
âåêòîðàìè e1 , e2 , . . . , em , ui − v i ∈ N m , i = 1, 2, . . . , k, òàêæå ÿâëÿåòñÿ îñòðûì è, ñîãëàñíî
óòâåðæäåíèþ, ïðèâåäåííîìó íà ñ. 269 â [6], ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (4.1) íå èìååò
íåíóëåâûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé îòíîñèòåëüíî λ1 , . . . , λm , ξ1 , . . . , ξk .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîé ÷àñòè íåîáõîäèìîñòè ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: äëÿ
íåêîòîðîãî h ∈ {2, . . . , l} êîíóñ Kh ñîäåðæèò âåêòîð ui − v i ∈ N m òàêîé, ÷òî åãî ñòåïåíü
ïðèíàäëåæíîñòè µi = µrs óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó µrs < µh1 , ãäå r > h. Âêëþ÷åíèå
ui − v i ∈ Kh ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ðàâåíñòâà
X
X
ui − v i =
λq eq +
αj (uj − v j ),
q
j
ãäå λq > 0, αj > 0 è èíäåêñ j óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó µ(uj , v j ) = µh1 . Áëàãîäàðÿ
âûïóêëîñòè íå÷åòêîãî êîíóñà η èìååì
X
X
µrs = η(ui − v i ) = η(
λq e q +
αj (uj − v j )) =
q
q
j
= min{η(λq e ), η(αj (u − v )} = min{η(u − v j )} = min{µ(uj , v j )} = µt1
q,j
j
j
j
j
j
ïðè íåêîòîðîì t ∈ {h, . . . , l}. Òàêèì îáðàçîì, µrs = µt1 è r > t. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò
ïðèíÿòûì â íà÷àëå ï. 4.2 óñëîâèÿì
1 = µ11 = . . . = µ1k1 > µ21 = . . . = µ2k2 > . . . > µl1 = . . . = µlkl > 0.
Äîñòàòî÷íîñòü. Ñîãëàñíî óïîìÿíóòîìó âûøå óòâåðæäåíèþ èç [6], ñèñòåìà (4.1)
íå èìååò íåíóëåâûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòêèé ìíîãîãðàííûé
âûïóêëûé êîíóñ Kl , êîòîðûé ïîðîæäàåòñÿ åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e1 , e2 , . . . , em è
âåêòîðàìè ui −v i ∈ N m , i = 1, 2, . . . , k, ÿâëÿåòñÿ îñòðûì. Ðàññìîòðèì íå÷åòêîå êîíóñíîå
îòíîøåíèå µ ñ íå÷åòêèì êîíóñîì η :

1, åñëè x ∈ IRm

+,


i
i
η(x) = µi , åñëè x = α(u − v ) ïðè íåêîòîðûõ α > 0, i ∈ { 1, . . . , k},
(4.2)


 max {µh1 | x ∈ Kh }, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
h=1,2,...,l
9
èìåþùèì ñóïïîðò Kl (áåç íà÷àëà êîîðäèíàò). Çäåñü IRm
+ íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò
ïðîñòðàíñòâà IRm . Çàìåòèì, ÷òî èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà µ(ui , v i ) = η(ui − v i ) = µi , i =
1, 2, . . . , k . Ïîýòîìó îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå µ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì 24;
ñîãëàñíî ëåììå 4.1, ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî êîíóñ η ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, ïðè÷åì îí ñ
åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè âêëþ÷àåò íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò ïðîñòðàíñòâà
IRm è ñ íóëåâîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè ñîäåðæèò íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïîñêîëüêó
ñóïïîðò êîíóñà η åñòü êîíóñ Kl áåç íà÷àëà êîîðäèíàò è â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.2) η ñîäåðæèò
íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè, îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ,
÷òî êîíóñ η âûïóêëûé. Ñ ýòîé öåëüþ âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû x, y ∈ Kl è
ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî λ ∈ [0, 1]. Ïóñòü x ∈ Kh , x ∈
/ Kh−1 è y ∈ Kt , y ∈
/ Kt−1 , ãäå l = h =
t = 0 (çäåñü ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî K0 = IRm
,
K
=
∅
).
−1
+
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âûïóêëîñòè êîíóñà η íóæíî ïðîâåðèòü íåðàâåíñòâî η(z) = µh1 ,
ãäå z = λx + (1 − λ)y . Íàïîìíèì, ÷òî ïî óñëîâèþ êîíóñ Kh , h ∈ {1, . . . , l}, ñîäåðæèò
åäèíè÷íûå âåêòîðû e1 , e2 , . . . , em è âåêòîðû âèäà ui − v i , äëÿ êîòîðûõ µi = µh1 . Åñëè
i
i
z ∈ IRm
+ , òî èç (4.2) ñëåäóåò η(z) = 1 = µh1 .  ñëó÷àå z = α(u − v ) ïðè íåêîòîðûõ α > 0
è i ∈ {1, . . . , k}, áëàãîäàðÿ (4.2) âåðíî η(z) = µi = µh1 .  îñòàâøèõñÿ ñëó÷àÿõ èìååì
/ Kj−1 ïðè íåêîòîðîì j ∈ {1, . . . , h} , îòêóäà íà îñíîâàíèè (4.2) ïîëó÷àåì
z ∈ Kj è z ∈
η(z) = µj1 = µh1 . Òåì ñàìûì, âûïóêëîñòü êîíóñà η äîêàçàíà.
5. Ñóæåíèå ìíîæåñòâà Ïàðåòî. Èíôîðìàöèÿ î ïîâåäåíèè ËÏÐ â ïðîöåññå
âûáîðà ðåøåíèé â ôîðìå óêàçàííûõ âûøå àêñèîì âìåñòå ñ èíôîðìàöèåé îá
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ ïîçâîëÿåò óäàëèòü èç ðàññìîòðåíèÿ íåêîòîðûå
ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ (âåêòîðû), êàê íå ñîîòâåòñòâóþùèå äàííîé èíôîðìàöèè,
è, òåì ñàìûì, ñóçèòü ìíîæåñòâî Ïàðåòî, ÷òî îáëåã÷èò äàëüíåéøèé ïîèñê ðåøåíèé
(âåêòîðîâ), êîòîðûå ñëåäóåò âûáðàòü. ×åì "áîëüøèì" îáúåìîì èíôîðìàöèè îá
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ ìû ðàñïîëàãàåì, òåì íà "áîëüøóþ" ñòåïåíü
ñóæåíèÿ ìíîæåñòâà Ïàðåòî ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü.
5.1. Ñëó÷àé, êîãäà îäèí êðèòåðèé (ïî îòäåëüíîñòè) âàæíåå äâóõ äðóãèõ.
Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà çàäàííàÿ èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè
ñîäåðæèò äâà ñîîáùåíèÿ, ñîñòîÿùèå â òîì, ÷òî êàêîé-òî îäèí êðèòåðèé âàæíåå ïî
îòäåëüíîñòè äâóõ äðóãèõ. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî äàííàÿ ñèòóàöèÿ íå ðàâíîçíà÷íà
òîé, â êîòîðîé èìååòñÿ ëèøü îäíî ñîîáùåíèå î òîì, ÷òî êàêîé-òî îäèí êðèòåðèé
âàæíåå ãðóïïû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ äðóãèõ êðèòåðèåâ.  ÷àñòíîì (÷åòêîì) ñëó÷àå ýòî
óñòàíîâëåíî â [1].
Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ íàáîð èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ,
ñîñòîÿùèé èç äâóõ ñîîáùåíèé î òîì, ÷òî êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ j ñ
ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi , wj è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1], à òàêæå
êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi0 , wk è ñòåïåíüþ
óâåðåííîñòè µ2 ∈ (0, 1], ïðè÷åì µ1 = µ2 . Ââåäåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè
λM
Y (y) = 1 − sup ζ(z, y)
∀y ∈ Y,
(5.1)
z∈Y

1, åñëè z − y ∈ IRm
+,



 µ1 , åñëè z − y ∈ IRm , z − y ∈
/ IRm
+,
+
ζ(z, y) =
m+1

µ2 , åñëè zb − yb ∈ IR+ , z − y ∈
/ IRm
/ IRm

+,
+,z − y ∈


0, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
10
∀y, z ∈ Y, y 6= z,
(5.2)
ïðè÷åì
y = (y1 , . . . , yj−1 , wj yi + wi yj , yj+1 , . . . , ym ),
yb = (y1 , . . . , yj−1 , wj yi + wi yj , yj+1 , . . . , yk−1 , wk yi + wi0 yk ,
yk+1 , . . . , ym , wj wk yi + wi wk yj + wj wi0 yk ),
z = (z1 , . . . , zj−1 , wj zi + wi zj , zj+1 , . . . , zm ),
zb = (z1 , . . . , zj−1 , wj zi + wi zj , zj+1 , . . . , zk−1 , wk zi + wi0 zk ,
zk+1 , . . . , zm , wj wk zi + wi wk zj + wj wi0 zk ).
Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ñôîðìóëèðîâàííûé Â. Ä. Íîãèíûì, ïîêàçûâàåò, êàêèì
îáðàçîì â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþ ââåäåííîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè
ïðîèçâîäèòü ó÷åò óêàçàííîãî íàáîðà èç äâóõ ñîîáùåíèé.
Òåîðåìà 5.1.Ïóñòü íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ óäîâëåòâîðÿåò
àêñèîìàì 24 è i, j, k ∈ I ; i 6= j, i 6= k, j 6= k . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ýòîãî
ËÏÐ êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ j ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè
wi , wj è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1], à òàêæå êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ
k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi0 , wk è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ2 ∈
(0, 1], ïðè÷åì µ1 = µ2 . Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè λSY (·) íå÷åòêîãî
ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ, ïîä÷èíåííîé àêñèîìå 1, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
P
λSY (y) 5 λM
Y (y) 5 λY (y) ∀y ∈ Y,
ãäå λPY (y) ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâà Ïàðåòî, à λM
Y (y) ôóíêöèÿ
ïðèíàäëåæíîñòè, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (5.1).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î (ïðèíàäëåæèò À. Â. Áîãäàíîâîé). Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå
íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λSY (·).
Áëàãîäàðÿ ëåììå 4.1 çàäàííîå íà êðèòåðèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå íå÷åòêîå îòíîøåíèå
ïðåäïî÷òåíèÿ µ(·, ·), óäîâëåòâîðÿþùåå ïî óñëîâèþ òåîðåìû àêñèîìàì 24, ÿâëÿåòñÿ
êîíóñíûì îòíîøåíèåì ñ íå÷åòêèì îñòðûì âûïóêëûì êîíóñîì K , êîòîðûé ñ åäèíè÷íîé
ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè âêëþ÷àåò íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò è íå ñîäåðæèò íà÷àëà
êîîðäèíàò.
Ñîãëàñíî óñëîâèþ òåîðåìû, èìåþòñÿ äâà ñîîáùåíèÿ, ïîýòîìó k = 2. Ðàññìîòðèì
äâà ÷åòêèõ êîíóñà K1 è K2 , îáîçíà÷åíèÿ êîòîðûõ ñîãëàñîâàíû ñ îáîçíà÷åíèÿìè ï. 4.
Äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå K1 ⊂ K2 .
Ñîãëàñíî ëåììå 4.2, íàëè÷èå èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè i-ãî êðèòåðèÿ
ïî ñðàâíåíèþ ñ j -ì îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð y 0 ñ êîìïîíåíòàìè yi0 = wi , yj0 = −wj , ys0 =
0 äëÿ âñåõ s ∈ I \ {i, j}, ïðèíàäëåæèò êîíóñó K1 , ò. å. y 0 ∈ K1 , ñî ñòåïåíüþ
ïðèíàäëåæíîñòè µ1 = µ(y 0 , 0m ). Àíàëîãè÷íî, áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ èíôîðìàöèè îá
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè i-ãî êðèòåðèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ k -ì, âåêòîð y 00 ñ êîìïîíåíòàìè
yi00 = wi0 , yk00 = −wk , ys0 = 0 äëÿ âñåõ s ∈ I \ {i, k}, ïðèíàäëåæèò êîíóñó K2 , ò.å. y 00 ∈ K2 ,
ïðè÷åì åãî ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè ðàâíà µ2 = µ(y 00 , 0m ).
Ñíà÷àëà óñòàíîâèì íåïðîòèâîðå÷èâîñòü äàííîãî íàáîðà ñîîáùåíèé îá
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Äëÿ ýòîé öåëè áóäåì èñïîëüçîâàòü
ñôîðìóëèðîâàííóþ ðàíåå òåîðåìó 4.1. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (4.1) â äàííîì
ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä λ1 e1 + . . . + λm em + ξ1 y 0 + ξ2 y 00 = 0. Èç i-ãî óðàâíåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû âûòåêàåò λi = ξ1 = ξ2 = 0. Òîãäà èç j -ãî è k -ãî óðàâíåíèé ïîëó÷àåì
λj = λk = 0. Ðàññìîòðåíèå îñòàëüíûõ óðàâíåíèé óêàçàííîé ñèñòåìû ïðèâîäèò
11
ê âûâîäó î òîì, ÷òî è âñå îñòàëüíûå êîìïîíåíòû λs ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,
âûïèñàííàÿ âûøå ñèñòåìà íå èìååò íåíóëåâûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé îòíîñèòåëüíî
λ1 , . . . , λm , ξ1 , ξ2 . Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå µ1 = µ2 äàííûé íàáîð èíôîðìàöèè
íåïðîòèâîðå÷èâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî µ1 > µ2 , è ïðîâåðèì âòîðîå óñëîâèå òåîðåìû 4.1. Äîïóñòèì
ïðîòèâíîå, ò. å. y 00 ∈ K1 . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî âåêòîð y 00 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí
â âèäå íåîòðèöàòåëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ e1 , . . . , em , y 0 . Ðàññìîòðåíèå
âåêòîðíîãî ðàâåíñòâà λ1 e1 + . . . + λm em + ξ1 y 0 = y 00 (òî÷íåå ãîâîðÿ, åãî k -ãî óðàâíåíèÿ)
ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó λk < 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíîñòè
êîýôôèöèåíòîâ λ1 , . . . , λm . Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1, ðàññìàòðèâàåìûé
íàáîð íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ äåéñòâèòåëüíî
íåïðîòèâîðå÷èâûé.
Ââåäåì äâà íå÷åòêèõ êîíóñà ñ ñóïïîðòàìè K1 è K2 . ×åðåç M1 îáîçíà÷èì íå÷åòêèé
êîíóñ ñ ñóïïîðòîì K1 , âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî, ïðèíàäëåæàùèå íåîòðèöàòåëüíîìó
îðòàíòó, èìåþò ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1, à îñòàëüíûå µ1 . ×åðåç M2 îáîçíà÷èì
íå÷åòêèé êîíóñ, ñóïïîðòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ K2 , ïðè÷åì âñåì åãî ýëåìåíòàì,
âõîäÿùèì â íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò, ïðèïèñàíà ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1, à
îñòàëüíûì µ2 .
Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì M íå÷åòêèé êîíóñ (áåç íóëÿ), ñóïïîðò êîòîðîãî ïîðîæäåí
âåêòîðàìè e1 , . . . , em , y 0 , y 00 , ïðè÷åì M îáúåäèíåíèå íå÷åòêèõ êîíóñîâ M1 è M2 .
Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî çàäàííàÿ â óñëîâèÿõ òåîðåìû èíôîðìàöèÿ îá îòíîñèòåëüíîé
âàæíîñòè êðèòåðèåâ íåïðîòèâîðå÷èâà, íå÷åòêèé êîíóñ M òàêæå îñòðûé è âûïóêëûé.
Òåì ñàìûì, âåêòîðàì ñóïïîðòà supp M (= K2 ), âõîäÿùèì â íåîòðèöàòåëüíûé
îðòàíò, ïðèïèñàíà ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1 (êðîìå íà÷àëà êîîðäèíàò, ñòåïåíü
ïðèíàäëåæíîñòè êîòîðîãî ðàâíà 0), âåêòîðàì, ïðèíàäëåæàùèì êîíóñó K1 è íå
ïðèíàäëåæàùèì íåîòðèöàòåëüíîìó îðòàíòó, µ1 , à âåêòîðàì, ñîñòàâëÿþùèì êîíóñ
K2 , íî íå âõîäÿùèì â K1 , ñîîòâåòñòâåííî µ2 .
Èç äîêàçàòåëüñòâ òåîðåì 4.2 è 2.5 èç [1] ñëåäóåò, ÷òî ñóïïîðò êîíóñà M ñîâïàäàåò
ñî ìíîæåñòâîì âñåõ íåíóëåâûõ ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ys = 0 ∀s ∈ I \ {j, k},
wj yi + wi yj = 0,
wk yi + wi0 yk = 0,
wj wk yi + wi wk yj + wj wi0 yk = 0,
à supp M1 - ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
ys = 0 ∀s ∈ I \ {j},
wj yi + wi yj = 0.
Ðàññìîòðèì íå÷åòêîå êîíóñíîå îòíîøåíèå, êîíóñ êîòîðîãî M . Îáîçíà÷èì åãî ζ .
Àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îíî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ òåì, êîòîðîå îáîçíà÷åíî òîé æå
áóêâîé, è îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (5.2). Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè
(5.1) è ðàâåíñòâà (5.2) ñëåäóåò, ÷òî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè
êîòîðîãî åñòü λM
Y (y), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷åòêîå ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ
âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî îòíîøåíèÿ ζ .
Íåîòðèöàòåëüíûé îðòàíò âõîäèò â M ñ åäèíè÷íîé ñòåïåíüþ ïðèíàäëåæíîñòè.
 ñâîþ î÷åðåäü, êîíóñ M ñîäåðæèòñÿ â êîíóñå K íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ µ(·, ·). Íà
12
ýòîì îñíîâàíèè ìíîæåñòâî Ïàðåòî âêëþ÷àåò ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ âåêòîðîâ
îòíîñèòåëüíî êîíóñíîãî îòíîøåíèÿ ζ , êîòîðîå ñîäåðæèò ìíîæåñòâî íåäîìèíèðóåìûõ
âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùåå êîíóñíîìó îòíîøåíèþ M .  ñèëó ëåììû 4.3, ëþáîå íå÷åòêîå
ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà. Òåì
P
ñàìûì, íåðàâåíñòâà λSY (y) 5 λM
Y (y) 5 λY (y) äëÿ âñåõ y ∈ Y äîêàçàíû.
Ïîÿñíèì ñìûñë òåîðåìû 5.1. Àíàëèç åå ôîðìóëèðîâêè ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ
ïîñòðîåíèÿ íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè λM
Y (y) ñëåäóåò ðåøèòü
òðè (÷åòêèå) ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è. Íà÷àòü ñëåäóåò ñ íàõîæäåíèÿ ìíîæåñòâà
ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ â ìíîãîêðèòåðèàëüíîé çàäà÷å, ñîäåðæàùåé èñõîäíóþ
âåêòîðíóþ ôóíêöèþ f è ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé X . Ïîñëå ÷åãî âñåì âåêòîðàì
ïîëó÷åííîãî ìíîæåñòâà Ïàðåòî íóæíî ïðèñâîèòü ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè, ðàâíóþ
åäèíèöå, à îñòàëüíûì âåêòîðàì íóëåâóþ ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè. Çàòåì íà
òîì æå ñàìîì ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ ðåøåíèé X íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü âòîðóþ
ìíîãîêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó ñ íîâîé âåêòîðíîé ôóíêöèåé, èìåþùåé êîìïîíåíòû fs
äëÿ âñåõ s ∈ I \ {j} è j -é êîìïîíåíòîé âèäà wj fi + wi fj . Îòûñêàâ ìíîæåñòâî ïàðåòîîïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ äëÿ ïîñëåäíåé çàäà÷è, âñåì âåêòîðàì "ïðåäûäóùåãî"ìíîæåñòâà
Ïàðåòî, êîòîðûå íå ïîïàëè â íàéäåííîå ìíîæåñòâî Ïàðåòî, ïðèñâîèòü ñòåïåíü
ïðèíàäëåæíîñòè 1 − µ1 . Íàêîíåö, íà ìíîæåñòâå X ñëåäóåò ðàññìîòðåòü òðåòüþ
ìíîãîêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó, èìåþùóþ èñõîäíûå êîìïîíåíòû fs äëÿ âñåõ s ∈ I \ {j, k},
íîâóþ j -òóþ êîìïîíåíòó âèäà wj fi + wi fj , íîâóþ k -òóþ êîìïîíåíòó âèäà wk fi +
wi0 fk è äîïîëíèòåëüíóþ (m + 1)-òóþ êîìïîíåíòó fm+1 = wj wk fi + wi wk fj + wj wi0 fk .
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ â ýòîé çàäà÷å, âåêòîðàì
ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà Ïàðåòî, êîòîðûå íå ïîïàëè íè â ïåðâîå, íè âî âòîðîå ìíîæåñòâà
Ïàðåòî, ñëåäóåò ïðèñâîèòü ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè 1 − µ2 . Â èòîãå áóäåò ïîñòðîåíî
íå÷åòêîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîòîðîå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé íåêîòîðóþ îöåíêó
ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ Sel(Y ) â òîì ñìûñëå, ÷òî
ëþáîå âûáèðàåìîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ íå äîëæíî "âûõîäèòü çà ïðåäåëû"ïîñòðîåííîé
îöåíêè ñâåðõó.
Ïðèìåð. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ âñå ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû 5.1 è m = 3, f =
(f1 , f2 , f3 ), Y = {y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , y 6 } ∈ R3 , ãäå
y 1 = (4, 3, 5), y 2 = (0, 3, 2), y 3 = (1, 2, 3), y 4 = (4, 3, 0), y 5 = (5, 2, 7), y 6 = (2, 5, 5).
 äàííîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ:
1
P
5
P
6
P
2
P
3
P
4
λP
Y (y ) = λY (y ) = λY (y ) = 1, λY (y ) = λY (y ) = λY (y ) = 0.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îò ËÏÐ ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ èíôîðìàöèÿ
w1 = 0.4, w2 = 0.6, w10 = 0.5, w3 = 0.5, µ(y 1 , y 2 ) = 0.6, µ(y 1 , y 3 ) = 0.4.
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 5.1 âû÷èñëÿåì
yb1 = (4, 3.6, 5), yb2 = (0, 1.2, 2), yb3 = (1, 1.4, 3), yb4 = (4, 3.6, 0), yb5 = (5, 3.8, 7), yb6 = (2, 3.2, 5).
Çäåñü ìíîæåñòâî ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ âåêòîðîâ ñîñòîèò èç äâóõ ýëåìåíòîâ ïåðâîãî
è ïÿòîãî. Ïîýòîìó â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 5.1 ïîëàãàåì
1
M 5
M 6
M 2
M 3
M 4
λM
Y (y ) = λY (y ) = 1, λY (y ) = 0.4, λY (y ) = λY (y ) = λY (y ) = 0.
13
Äàëåå, ñîãëàñíî òåîðåìå 5.1 íàõîäèì f4 = 0.3f1 + 0.2f2 + 0.3f3 . Ïîýòîìó
ỹ 1 = (4, 3.6, 4.5, 3.3),
ỹ 2 = (0, 1.2, 1, 1.2),
ỹ 3 = (1, 1.4, 2, 1.6),
ỹ 4 = (4, 3.6, 2, 1.8),
ỹ 5 = (5, 3.8, 6, 4),
ỹ 6 = (2, 3.2, 3.5, 3.1).
Çäåñü ïàðåòî-îïòèìàëüíûìè áóäåò ïÿòûé âåêòîð.  èòîãå ïîëó÷àåì
5
M 1
M 6
M 2
M 3
P
4
λM
Y (y ) = 1, λY (y ) = 0.6, λY (y ) = 0.4, λY (y ) = λY (y ) = λM (y ) = 0.
(5.3)
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ïðèìåðå íå÷åòêîå ìíîæåñòâî ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè
(5.3) äàåò îöåíêó ñâåðõó äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ. Èíûìè
ñëîâàìè, âñÿêîå ìíîæåñòâî âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ (ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ àêñèîì
âûáîðà) äîëæíî ñîäåðæàòüñÿ â óêàçàííîì íå÷åòêîì ìíîæåñòâå.
5.2. Ñëó÷àé, êîãäà äâà êðèòåðèÿ (ïî îòäåëüíîñòè) âàæíåå òðåòüåãî. Ïðåæäå âñåãî
çàìåòèì, ÷òî òàêîé ñëó÷àé íå ðàâíîçíà÷åí ñèòóàöèè, êîãäà èìååòñÿ îäíî ñîîáùåíèå,
ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ãðóïïà èç äâóõ äàííûõ êðèòåðèåâ âàæíåå êàêîãî-òî òðåòüåãî
êðèòåðèÿ.  ÷àñòíîì (÷åòêîì) ñëó÷àå ýòà íåðàâíîçíà÷íîñòü âûÿâëåíà â [1].
Ïóñòü èìåþòñÿ äâà ñîîáùåíèÿ î âàæíîñòè: êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ
çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi , wk è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1],
à êðèòåðèé j âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wj , wk0 è
ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ2 ∈ (0, 1], ïðè÷åì µ1 = µ2 .
Ââåäåì ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè
λM
Y (y) = 1 − sup ζ(z, y)
∀y ∈ Y,
(5.4)
z∈Y

1, åñëè z − y ∈ IRm

+,



/ IRm
µ1 , åñëè z − y ∈ IRm
+, z − y ∈
+,
ζ(z, y) =
m
m

µ2 , åñëè zb − yb ∈ R+ , z − y ∈
/ IR+ , z − y ∈
/ IRm

+,


0, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
ïðè÷åì
∀y, z ∈ Y, y 6= z,
y = (y1 , . . . , yk−1 , wi yk + wk yi , yk+1 , . . . , ym ),
yb = (y1 , . . . yk−1 , wj wk yi + wi wk0 yj + wi wj yk , yk+1 , . . . , ym ),
z = (z1 , . . . , zk−1 , wi zk + wk zi , zk+1 , . . . , zm ),
zb = (y1 , . . . zk−1 , wj wk zi + wi wk0 zj + wi wj zk , zk+1 , . . . , zm ).
Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ïðèíàäëåæàùèé À. Â. Áîãäàíîâîé, ïîêàçûâàåò, êàêèì
îáðàçîì ìîæíî ïðîèçâîäèòü ó÷åò óêàçàííîãî íàáîðà èç äâóõ ñîîáùåíèé â ïðîöåññå
ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Åãî äîêàçàòåëüñòâî âî ìíîãîì ñõîäíî ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû
5.1, è ïîòîìó îïóñêàåòñÿ.
Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü íå÷åòêîå îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ óäîâëåòâîðÿåò
àêñèîìàì 24 è i, j, k ∈ I ; i 6= j, i 6= k, j 6= k . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ýòîãî ËÏÐ
êðèòåðèé i âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wi , wk
è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ1 ∈ (0, 1], à êðèòåðèé j âàæíåå êðèòåðèÿ k ñ çàäàííûìè
ïîëîæèòåëüíûìè ïàðàìåòðàìè wj , wk0 è ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè µ2 ∈ (0, 1], ïðè÷åì
14
µ1 = µ2 . Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè λSY (·) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ, óäîâëåòâîðÿþùåé àêñèîìå 1, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
P
λSY (y) 5 λM
Y (y) 5 λY (y)
∀y ∈ Y,
ãäå λPY (y) ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâà Ïàðåòî, à λM
Y (y) ôóíêöèÿ
ïðèíàäëåæíîñòè, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (5.4).
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 5.2, äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ñâåðõó
äëÿ íåèçâåñòíîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ â ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ íå÷åòêàÿ
èíôîðìàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òî äâà êðèòåðèÿ ïî îòäåëüíîñòè âàæíåå òðåòüåãî,
ñëåäóåò ðåøèòü òðè îïðåäåëåííûå ÷åòêèå ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è (àíàëîãè÷íî
òåîðåìå 5.1). Ïðè ýòîì ÷èñëî êðèòåðèåâ â ïîñëåäíåé (òðåòüåé) ìíîãîêðèòåðèàëüíîé
çàäà÷å, â îòëè÷èå îò òåîðåìû 5.1, ñîõðàíÿåòñÿ ïðåæíèì.
6. Çàêëþ÷åíèå è ïåðñïåêòèâû äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé.  ðàáîòå
áûëà ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à íå÷åòêîãî ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà, ââåäåíî
ïîíÿòèå íåïðîòèâîðå÷èâîãî íàáîðà íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé
âàæíîñòè, ñôîðìóëèðîâàí êðèòåðèé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè è ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû,
äåìîíñòðèðóþùèå, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü íå÷åòêóþ èíôîðìàöèþ îá
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ñîîáùåíèé è ñîäåðæàùóþ òðè
êðèòåðèÿ.
Íàëè÷èå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ îòêðûâàåò ïåðñïåêòèâó äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ
ðàññìîòðåííûõ âîïðîñîâ ó÷åòà êîíå÷íîãî íàáîðà ñîîáùåíèé îá îòíîñèòåëüíîé
âàæíîñòè êðèòåðèåâ â ñëåäóþùèõ íàïðàâëåíèÿõ. Âî-ïåðâûõ, âìåñòî òðåõ êðèòåðèåâ
ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé òðåõ ãðóïï êðèòåðèåâ, ãäå êàæäàÿ ãðóïïà ñîäåðæèò
ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòåðèåâ. Âî-âòîðûõ, ïðåäïîëàãàåòñÿ îñóùåñòâèòü ó÷åò
íå äâóõ, à ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîîáùåíèé. Â-òðåòüèõ, îáà óêàçàííûõ íàïðàâëåíèÿ
ìîæíî ñêîìáèíèðîâàòü, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè êîíå÷íîãî
÷èñëà ñîîáùåíèé, ñîäåðæàùèõ áîëåå òðåõ ãðóïï êðèòåðèåâ.
Àâòîðû ïðèçíàòåëüíû ðåöåíçåíòàì çà ðÿä çàìå÷àíèé, ñïîñîáñòâîâàâøèõ óäàëåíèþ
íåòî÷íîñòåé è óëó÷øåíèþ êà÷åñòâà èçëîæåíèÿ äàííîé ðàáîòû.
15
Ëèòåðàòóðà
1. Íîãèí Â. Ä. Ïðèíÿòèå ðåøåíèé â ìíîãîêðèòåðèàëüíîé ñðåäå: êîëè÷åñòâåííûé
ïîäõîä (2-å èçä., èñïð. è äîï.). Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005, 176 ñ.
2.Ïîäèíîâñêèé Â. Â. Îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ â ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ
çàäà÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé// Ìíîãîêðèòåðèàëüíûå çàäà÷è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Ïîä ðåä.
Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1978. Ñ. 4882.
3. Zadeh L. A. Fuzzy sets// Inform. Control. 1965. vol. 8. P. 338353.
4. Íîãèí Â. Ä. Ïðèíöèï ÝäæâîðòàÏàðåòî è îòíîñèòåëüíàÿ âàæíîñòü êðèòåðèåâ
â ñëó÷àå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ ïðåäïî÷òåíèÿ// Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàòåì.
ôèçèêè. 2003. Ò. 43, 11. Ñ. 16761686.
5. Noghin V. D. Upper estimate for fuzzy set of nondominated solutions// Fuzzy Sets
and Systems. 1994. vol. 67. P. 303315.
6. ×åðíèêîâ Ñ. Í. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1968, 488 c.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 19 ñåíòÿáðÿ 2005 ã.
Ïðèíÿòî ê ïå÷àòè 20 íîÿáðÿ 2006 ã.
Ñòàòüÿ ðåêîìåíäîâàíà ê ïå÷àòè ÷ëåíîì ðåäêîëëåãèè ïðîô.
16
ÐÅÔÅÐÀÒÛ
ÓÄÊ 519.859
Áîãäàíîâà À. Â., Íîãèí Â. Ä. Ñóæåíèå ìíîæåñòâà Ïàðåòî íà îñíîâå ïðîñòåéøèõ
íàáîðîâ íå÷åòêîé èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ// Âåñòí. Ñ.Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð. 10. 2007. Âûï. 2. Ñ. 0000.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà â ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèå (ËÏÐ) ðåøåíèÿ,
ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì. Ôîðìóëèðóåòñÿ êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè íàáîðà èíôîðìàöèè îá
îòíîñèòåëüíîé âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû ïîêàçûâàþò,
êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü íå÷åòêóþ êîëè÷åñòâåííóþ èíôîðìàöèþ îá
îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ â ïðîöåññå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè
ñâåðõó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà âûáèðàåìûõ âåêòîðîâ. Áèáëèîãð. 6
íàçâ.
17
Summary
Bogdanova A. V., Noghin V. D. Reduction of the Pareto set based on some compound
information on relative importance of criteria.
Assuming that a decision maker's preference relation is fuzzy, a multicriteria choice
problem is considered. A consistency criterion for compound information on the relative
importance of criteria is formulated. The main results of the paper demonstrate how some
numerical information on the decision maker's fuzzy preference relation may be used in order
to facilitate a decision making process.
18
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìíîãîêðèòåðèàëüíîãî âûáîðà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì.
Ôîðìóëèðóåòñÿ êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè íàáîðà èíôîðìàöèè îá îòíîñèòåëüíîé
âàæíîñòè êðèòåðèåâ. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû äåìîíñòðèðóþò, êàêèì
îáðàçîì êîëè÷åñòâåííàÿ èíôîðìàöèÿ îá íå÷åòêîì îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèÿ ËÏÐ
ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ óïðîùåíèÿ ïðîöåññà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
19