бинарные отношения

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2013
Ëåêöèÿ 4: áèíàðíûå îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâàõ
Àííîòàöèÿ
Ñâîéñòâà, áèíàðíûå îòíîøåíèÿ è ïðåäèêàòû ïðîèçâîëüíîé âàëåíòíîñòè. Õàðàêòåðèñòèêè îòíîøåíèé: (àíòè-)ðåôëåêñèâíîñòü, (àíòè-)ñèììåòðè÷íîñòü, (àíòè)òðàíçèòèâíîñòü, åâêëèäîâîñòü, ïîëíîòà. Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Òåîðåìà î ðàçáèåíèè íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Ôàêòîðìíîæåñòâî. Óíèâåðñàëüíîå çàäàíèå îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. Îòíîøåíèÿ íåñòðîãîãî
÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà. Ñòðîãèé ïîðÿäîê. Äèàãðàììû Õàññå. Îòíîøåíèÿ ëèíåéíîãî
ïîðÿäêà. Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Èçîìîðôèçìû óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Ãîìîìîðôèçìû, àâòîìîðôèçìû è ìîíîìîðôèçìû. Ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî
ïðîèçâåäåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Îáðàòíûé ïîðÿäîê. Ìèíèìàëüíûå/ìàêñèìàëüíûå è íàèìåíüøèå/íàèáîëüøèå ýëåìåíòû â óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå. Ïëîòíûé ïîðÿäîê. Ëþáûå äâà ñ÷¼òíûõ ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà áåç
íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî ýëåìåíòîâ èçîìîðôíû.
1
Ïðåäèêàòû
Ëþáîå ñâîéñòâî ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìíîæåñòâîì âñåõ îáúåêòîâ, êîòîðûå èì îáëàäàþò. Íàïðèìåð, ñâîéñòâî ÷¼òíîñòè ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâó âñåõ ÷¼òíûõ ÷èñåë, ñâîéñòâî îñòðîóãîëüíîñòè ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâó âñåõ îñòðîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, è
ò.ä. Ýòî íàáëþäåíèå ìîòèâèðóåò ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå:
Îïðåäåëåíèå 1.
ìíîæåñòâî X ⊂ A.
Ñâîéñòâîì
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîä-
Àíàëîãè÷íî îòíîøåíèå ìåæäó îáúåêòàìè ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìíîæåñòâîì ïàð
îáúåêòîâ, êîòîðûå â ýòîì îòíîøåíèè íàõîäÿòñÿ. Íàïðèìåð, îòíîøåíèå äåëèìîñòè ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâó ïàð ÷èñåë, ïåðâîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ íà âòîðîå. Ýòèì ìîòèâèðóåòñÿ ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå:
Îïðåäåëåíèå 2.
ñòâî R ⊂ A × A.
Îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæå-
Ê ñëîâó îòíîøåíèå ÷àñòî äîáàâëÿþò ïðèëàãàòåëüíîå áèíàðíîå, òåì ñàìûì ïîä÷¼ðêèâàÿ, ÷òî â îòíîøåíèå âõîäÿò äâà ýëåìåíòà. Åñëè çàäàíî îòíîøåíèå R, òî ÷àñòî
.
âìåñòî (x, y) ∈ R ïèøóò xRy , íàïðèìåð x = y , x < y , x..y , è òàê äàëåå. Íåêîòîðûå
èñòî÷íèêè ðàñïðîñòðàíÿþò ïîíÿòèå îòíîøåíèÿ è íà ïîäìíîæåñòâà A × B , íî ìû òàêèå
ïîäìíîæåñòâà íàçûâàåì ñîîòâåòñòâèÿìè.
Îáîáùåíèåì ïîíÿòèé ñâîéñòâà è îòíîøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ïðåäèêàòà.
Ïðåäèêàòîì
âàëåíòíîñòè (ìåñòíîñòè, àðíîñòè) n íà ìíîæåñòâå A
íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî P ⊂ An .
Îïðåäåëåíèå 3.
1
Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðåäèêàòîì âàëåíòíîñòè 1, îòíîøåíèå ïðåäèêàòîì âàëåíòíîñòè 2. Ïðåäèêàòîâ âàëåíòíîñòè 0 âñåãî äâà: òîæäåñòâåííàÿ èñòèíà è
òîæäåñòâåííàÿ ëîæü. Òàêæå îòìåòèì, ÷òî çà÷àñòóþ ïðåäèêàò óäîáíî ðàññìàòðèâàòü íå
êàê ïîäìíîæåñòâî An , à êàê ôóíêöèþ èç An â {0, 1}.  òàêîì ñëó÷àå èñïîëüçóþò çàïèñü
P (x1 , x2 , . . . , xn ), êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü èñòèííîå èëè ëîæíîå çíà÷åíèå.
Ïðåäèêàòû ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñîïîñòàâèòü ñîîòâåòñòâèÿì. Ïðè ýòîì âàëåíòíîñòü óìåíüøèòñÿ íà 1. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè çàäàíî ñîîòâåòñòâèå F : An−1 → A,
òî åìó ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïðåäèêàò PF ⊂ An ïî ïðàâèëó: (x1 , . . . , xn ) ∈ PF ⇔ xn ∈
F (x1 , . . . , xn−1 ), è íàîáîðîò.
Îòíîøåíèÿ ìîæíî èçîáðàæàòü ãðàôè÷åñêè, äëÿ ýòîãî åñòü äâà îñíîâíûõ ñïîñîáà.
Âî-ïåðâûõ, ìîæíî èçîáðàçèòü ãðàôèê îòíîøåíèÿ: íà äåêàðòîâîì êâàäðàòå A × A çàêðàñèòü òî÷êè, ëåæàùèå â îòíîøåíèè. Åñëè ìíîæåñòâî A êîíå÷íî, òî ìîæíî òàêæå
ñîñòàâèòü ìàòðèöó îòíîøåíèÿ: Mij = 1, åñëè (i, j) ∈ R, è Mij = 0, åñëè (i, j) 6∈ R. Âîâòîðûõ, äëÿ êîíå÷íîãî A ìîæíî íàðèñîâàòü îðèåíòèðîâàííûé ãðàô: êàæäûé ýëåìåíò
A èçîáðàæàåòñÿ âåðøèíîé, à ðåáðî èç x â y ïðîâîäèòñÿ, åñëè xRy . Ïðè ýòîì ãðàô ìîæåò
ñîäåðæàòü ïåòëè, íî íå ìîæåò ñîäåðæàòü êðàòíûõ ð¼áåð.
2
Õàðàêòåðèñòèêè îòíîøåíèé
Ñðåäè âñåõ áèíàðíûõ îòíîøåíèé âûäåëÿþò íåñêîëüêî âàæíûõ êëàññîâ. Îïèøåì èõ è
ïðèâåä¼ì ïðèìåðû.
ðåôëåêñèâíûì, åñëè ïðè ëþáîì x èñòèííî
àíòèðåôëåêñèâíûì, åñëè ïðè ëþáîì x ëîæíî xRx.
Îòíîøåíèå R íàçûâàåòñÿ
xRx. Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
Îïðåäåëåíèå 4.
Ðåôëåêñèâíûìè îòíîøåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâî (íà ëþáîì ìíîæåñòâå), íåñòðîãèé ïîðÿäîê (íà N, Z, Q, R è äð.), äåëèìîñòü (íà N, Z), ïîäìíîæåñòâî (íà 2A ) è ò.ä.
Ê àíòèðåôëåêñèâíûì îòíîñÿòñÿ ñòðîãèé ïîðÿäîê (íà N, Z, Q, R è äð.), ñîáñòâåííîå
ïîäìíîæåñòâî (íà 2A ), ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ (åñëè ñîâïàäàþùèå íå ñ÷èòàòü ïàðàëëåëüíûìè), è ò.ä. Îòíîøåíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ íè ðåôëåêñèâíûì, íè àíòèðåôëåêñèâíûì. Íàïðèìåð, âçàèìíàÿ ïðîñòîòà íå ÿâëÿåòñÿ ðåôëåêñèâíûì îòíîøåíèåì, ïîñêîëüêó
ëþáîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, íå âçàèìíî ïðîñòî ñ ñàìèì ñîáîé, íî åäèíèöà âçàèìíî ïðîñòà
ñ ñàìîé ñîáîé.
 òåðìèíàõ ìàòðèöû ðåôëåêñèâíîñòü îòíîøåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ïî äèàãîíàëè ó íå¼
ñòîÿò åäèíèöû, à àíòèðåôëåêñèâíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ïî äèàãîíàëè ñòîÿò íóëè.  òåðìèíàõ ãðàôà ðåôëåêñèâíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé âåðøèíå åñòü ïåòëÿ, àíòèðåôëåêñèâíîñòü ÷òî íè â îäíîé âåðøèíå ïåòëè íåò.
Îòíîøåíèå ðàâåíñòâà çàíèìàåò îñîáóþ ðîëü: îíî îïðåäåëåíî íà ëþáîì ìíîæåñòâå
è ñîäåðæèò òîëüêî ïàðû ñîâïàäàþùèõ ýëåìåíòîâ. Îòíîøåíèþ ðàâåíñòâà ñîîòâåòñòâóåò
åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Îòíîøåíèå R íàçûâàåòñÿ
èç xRy ñëåäóåò yRx. Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
ñëåäóåò x = y .
Îïðåäåëåíèå 5.
2
ñèììåòðè÷íûì, åñëè ïðè ëþáûõ x è y
àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëè èç xRy è yRx
Ñèììåòðè÷íûìè îòíîøåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâî, ðàâíîìîùíîñòü, âçàèìíàÿ ïðîñòîòà è ò.ä. Àíòèñèììåòðè÷íûìè ïîðÿäîê (êàê ñòðîãèé, òàê è íåñòðîãèé), äåëèìîñòü,
ïîäìíîæåñòâî è ò.ä. Îòíîøåíèå ìîæåò íå áûòü íè ñèììåòðè÷íûì, íè àíòèñèììåòðè÷íûì, íàïðèìåð îòíîøåíèå f (x) > g(x) â íåêîòîðîé òî÷êå x íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé.
Îäíîâðåìåííî ñèììåòðè÷íûì è àíòèñèììåòðè÷íûì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî ðàâåíñòâî.
 òåðìèíàõ ìàòðèöû ñèììåòðè÷íîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà ñèììåòðè÷íà.  òåðìèíàõ ãðàôà ÷òî âñå ð¼áðà äâóñòîðîííèå. Àíòèñèììåòðè÷íîñòü îçíà÷àåò, ÷òî âñå ð¼áðà,
êðîìå ïåòåëü, íàïðîòèâ, îäíîñòîðîííèå. Â òåðìèíàõ ìàòðèöû åñëè Aij = 1 è i 6= j ,
òî Aji = 0.
òðàíçèòèâíûì, åñëè èç xRy è yRz ñëåäóåò
àíòèòðàíçèòèâíûì, åñëè èç xRy è yRz ñëåäóåò, ÷òî xRz
åâêëèäîâûì, åñëè èç xRz è yRz ñëåäóåò xRy.
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
xRz . Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
íåâåðíî. Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
Îïðåäåëåíèå 6.
Òðàíçèòèâíûìè ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèåÿ ðàâåíñòâà, ðàâíîìîùíîñòè, ïîðÿäêà, äåëèìîñòè, ïîäìíîæåñòâà è ò.ä. Àíòèòðàíçèòèâíûì ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, îòíîøåíèå êîìàíäà
A ïîáåäèëà êîìàíäó B â òóðíèðå íà âûáûâàíèå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A ïîáåäèëà B , à
B ïîáåäèëà C , òî A è C âñòðåòèòüñÿ äðóã ñ äðóãîì íå ìîãëè, è A íå ìîãëà ïîáåäèòü C .
Ïåðâàÿ àêñèîìà Íà÷àë Åâêëèäà ãëàñèò, ÷òî åñëè äâà îáúåêòà ðàâíû òðåòüåìó, òî
îíè ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Èìåííî ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íàçâàíèå åâêëèäîâî îòíîøåíèå.
Äëÿ ñèììåòðè÷íûõ îòíîøåíèé åâêëèäîâîñòü ýêâèâàëåíòíà òðàíçèòèâíîñòè.
ïîëíûì
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
, åñëè äëÿ ëþáûõ x è y âûïîëíåíî
õîòÿ áû îäíî èç óòâåðæäåíèé xRy è yRx. Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
,
åñëè äëÿ ëþáûõ x è y âûïîëíåíî ðîâíî îäíî èç òð¼õ óòâðåæäåíèé xRy , yRx, x = y .
Îïðåäåëåíèå 7.
òðèõîòîìè÷åñêèì
Êëàññè÷åñêèì òðèõîòîìè÷åñêèì îòíîøåíèåì ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà.
Äëÿ ëþáîé õàðàêòåðèñòèêè îòíîøåíèé ìîæíî ðàññìîòðåòü çàìûêàíèå îòíîøåíèå
îòíîñèòåëüíî ýòîé õàðàêòåðèñòèêè.
Çàìûêàíèåì îòíîøåíèÿ
Ïóñòü P íåêîòîðîå ñåìåéñòâî îòíîøåíèé.
R îòíîñèòåëüíî P íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå R∗ ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
Îïðåäåëåíèå 8.
• R ⊂ R∗ ;
• R∗ ëåæèò â ñåìåéñòâå P ;
• Åñëè R ⊂ R0 è R0 ëåæèò â P , òî R∗ ⊂ R0 .
Ðàçóìååòñÿ, îòíîøåíèå ìîæíî çàìêíóòü îòíîñèòåëüíî íå êàæäîãî ñåìåéñòâà P . Íàïðèìåð, íå ìîæåò áûòü àíòèðåôëåêñèâíîãî çàìûêàíèÿ: åñëè xRx, òî è xR0 x äëÿ ëþáîãî
R0 ⊃ R. Íàèáîëåå ÷àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ ðåôëåêñèâíîå, ñèììåòðè÷íîå è òðàíçèòèâíîå
çàìûêàíèÿ (ïî îòäåëüíîñòè èëè â êàêîé-òî ñîâîêóïíîñòè). Èõ óäîáíî ðàññìàòðèâàòü â
òåðìèíàõ ãðàôîâ: ðåôëåêñèâíîå çàìûêàíèå îçíà÷àåò äîáàâëåíèå âñåõ ïåòåëü, ñèììåòðè÷íîå ïðåâðàùåíèå âñåõ ð¼áåð â äâóñòîðîííèå, òðàíçèòèâíîå ïðîâåäåíèå ðåáðà
ìåæäó âåðøèíàìè, åñëè èç ïåðâîé âî âòîðóþ èä¼ò íåêîòîðûé îðèåíòèðîâàííûé ïóòü.
3
3
Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè
Ýêâèâàëåíòíîñòü îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ðàâåíñòâà, îäèíàêîâîñòè.
Îòíîøåíèå R íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî.
Îïðåäåëåíèå 9.
Àáñòðàêòíîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì ∼. Ïðèìåðàìè îòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíîñòè ñëóæàò ðàâåíñòâî, ñðàâíèìîñòü öåëûõ ÷èñåë ïî íåêîòîðîìó ìîäóëþ, ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ, îáîáù¼ííàÿ ïàðàëëåëüíîñòü ïðÿìûõ (ò.å. ïàðàëëåëüíîñòü èëè ðàâåíñòâî) è äð.
Åñëè çàäàíî íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå f : A → B , òî ìîæíî ðàññìîòðåòü îòíîøåíèå
ýêâèâàëåíòíîñòè ∼, îïðåäåë¼ííîå ïðàâèëîì: x ∼ y , åñëè f (x) = f (y). Ìû äîêàæåì,
÷òî ýòî â íåêîòîðîì ðîäå óíèâåðñàëüíîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å. ëþáîå ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â òàêîì âèäå.
Îïðåäåëåíèå 10.
Ïóñòü íà ìíîæåñòâå A çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼. Òîãäà
ýëåìåíòà x ∈ A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Kx = {y | y ∼ x}.
êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè
Èíûìè ñëîâàìè, êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòà x ìíîæåñòâî âñåõ ýêâèâàëåíòíûõ åìó ýëåìåíòîâ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñ¼ ìíîæåñòâî ìîæíî ðàçáèòü íà òàêèå êëàññû:
Ïóñòü íà ìíîæåñòâå A çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼. Òîãäà A
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê îáúåäèíåíèå A = ∪i∈I Ai, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
1. Åñëè x ∈ Ai, òî Ai = Kx;
2. Ïðè i 6= j êëàññû Ai è Aj íå ïåðåñåêàþòñÿ;
3. Åñëè x ∈ Ai è y ∈ Ai, òî x ∼ y;
4. Ïðè i 6= j , åñëè x ∈ Ai è y ∈ Aj , òî x 6∼ y.
Òåîðåìà 11.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî A ðàçáèâàåòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, òàê ÷òî ýëåìåíòû èç îäíîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíû, à èç ðàçíûõ íåò. Òåîðåìà âåðíà â ñàìîì îáùåì
âèäå, ïîýòîìó ìû íå ñïåöèôèöèðóåì ìíîæåñòâî èíäåêñîâ I .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ ëåìì.
Ëþáîé ýëåìåíò ëåæèò â ñîáñòâåííîì êëàññå ýêâèâàëåíòíîñòè: x ∈ Kx.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ñëåäóåò èç ðåôëåêñèâíîñòè: ïîñêîëüêó x ∼ x, òî x ∈ Kx.
Åñëè y ∈ Kx è z ∈ Kx, òî y ∼ z.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó y ∈ Kx, òî y ∼ x. À ïîñêîëüêó z ∈ Kx, òî
Ëåììà 12.
Ëåììà 13.
z ∼ x. Èç ñèììåòðè÷íîñòè èìååì x ∼ z , èç òðàíçèòèâíîñòè y ∼ z .
Åñëè x ∼ y, òî Kx = Ky .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z ∈ Kx. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ z ∼ x, à ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ
Ëåììà 14.
x ∼ y , òî ïî òðàíçèòèâíîñòè z ∼ y , îòêóäà z ∈ Ky . Çíà÷èò, Kx ⊂ Ky . Ñèììåòðè÷íîå
ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî Ky ⊂ Kx . Çíà÷èò, Kx = Ky .
4
Äëÿ âñåõ x è y ëèáî Kx = Ky , ëèáî Kx ∩ Ky = ∅.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Kx ∩ Ky 6= ∅. Òîãäà z ∈ Kx ∩ Ky . Òîãäà z ∼ x è z ∼ y, îòêóäà
Ëåììà 15.
ïî ñèììåòðè÷íîñòè x ∼ z è ïî òðàíçèòèâíîñòè x ∼ y . Èç ïðåäûäóùåé ëåììû ïîëó÷àåì,
÷òî Kx = Ky .
Òåïåðü âñ¼ ãîòîâî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû. Äîêàæåì, ÷òî åñëè â êà÷åñòâå ìíîæåñòâ Ai ðàññìîòðåòü âñå ìíîæåñòâà, ÿâëÿþùèåñÿ êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè êàêèõ-òî
ýëåìåíòîâ, òî âñå óñëîâèÿ áóäóò âûïîëíåíû.
Äåéñòâèòåëüíî, ïî ëåììå 12 êàæäûé ýëåìåíò ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû â îäíîì êëàññå
ýêâèâàëåíòíîñòè (ñâî¼ì), îòêóäà ∪i∈I Ai = A.
Äîêàæåì ïåðâîå ñâîéñòâî. Ïóñòü Ai = Kx è y ∈ Ai . Òîãäà y ∈ Kx , ïî îïðåäåëåíèþ
y ∼ x, è ïî ëåììå 14 èìååì Ky = Kx , îòêóäà Ai = Ky .
Âòîðîå ñâîéñòâî ñëåäóåò èç ëåììû 15: ïðè i 6= j ìíîæåñòâà Ai è Aj ÿâëÿþòñÿ íåñîâïàäàþùèìè êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè è ïîòîìó íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Òðåòüå ñâîéñòâî íàïðÿìóþ ñëåäóåò èç ëåììû 13.
Íàêîíåö, ÷åòâ¼ðòîå ñâîéñòâî ñëåäóåò èç ïåðâîãî è ëåììû 15: åñëè i 6= j , x ∈ Ai ,
y ∈ Aj è x ∼ y , òî x ∈ Ky = Aj è x ∈ Kx = Ai . Òîãäà Kx è Ky ñóòü ïåðåñåêàþùèåñÿ
íåñîâïàäàþùèå êëàññû, à òàêîãî íå ìîæåò áûòü.
Òàêèì îáðàçîì, âñå óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû äîêàçàíû.
Ïóñòü A ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼. Òîãäà
A/ ∼ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ýòîìó îòíîøåíèþ.
Îïðåäåëåíèå 16.
ôàêòîðìíîæåñòâîì
Íàïðèìåð, äëÿ ñðàâíåíèÿ ïî ìîäóëþ ôàêòîðìíîæåñòâîì áóäåò ìíîæåñòâî îñòàòêîâ, äëÿ îáîáù¼ííîé ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ ìíîæåñòâî íàïðàâëåíèé (ïðîåêòèâíàÿ
ïëîñêîñòü). Íàêîíåö, ïîêàæåì óíèâåðñàëüíîñòü îòíîøåíèÿ x ∼ y , åñëè f (x) = f (y):
Ïóñòü A ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî B è ôóíêöèÿ f : A → B , òàêàÿ ÷òî x ∼ y òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà f (x) = f (y).
Äîêàçàòåëüñòâî.  êà÷åñòâå B íóæíî âçÿòü ôàêòîðìíîæåñòâî A/ ∼, à â êà÷åñòâå f Òåîðåìà 17.
ôóíêöèþ, ñîïîñòàâëÿþùóþ ýëåìåíòó åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïî ëåììå 14 èç x ∼ y
ñëåäóåò Kx = Ky , ò.å. f (x) = f (y). Îáðàòíî, åñëè Kx = Ky , òî ïî ëåììå 12 x ∈ Kx è
y ∈ Kx , îòêóäà ïî ëåììå 13 èìååì x ∼ y .
Çàâåðøèì ðàçäåë íåáîëüøèì çàìå÷àíèåì. Ýêâèâàëåíòíîñòü ýëåìåíòîâ îçíà÷àåò, ÷òî
îíè â íåêîòîðîì ñìûñëå îäèíàêîâû. Åñëè âìåñòî îäèíàêîâîñòè ðàññìîòðåòü ñõîäñòâî,
òî òðàíçèòèâíîñòü ìîæåò áûòü óæå íå âûïîëíåíà. Ðåôëåêñèâíûå è ñèììåòðè÷íûå îòíîøåíèÿ íàçûâàþòñÿ îòíîøåíèÿìè
. Èõ ïîäðîáíîå ðàññìîòðåíèå âûõîäèò
çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, à èíòåðåñóþùèõñÿ ÷èòàòåëåé îòñûëàåì ê êíèãå [1].
òîëåðàíòíîñòè
5
4
Îòíîøåíèÿ ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà
Î÷åíü ÷àñòî íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå çàäàí ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ: îäíè ýëåìåíòû â êàêîìòî ñìûñëå ïðåâîñõîäÿò äðóãèå. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå òèïû ïîðÿäêîâ: ÷àñòè÷íûé, ëèíåéíûé, ñòðîãèé, ïðåäïîðÿäîê è ò.ï.  ýòîì ðàçäåëå ìû èçó÷èì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïîðÿäêîâ
è ìíîæåñòâ, îáëàäàþùèõ ïîðÿäêîì.
Îòíîøåíèåì (íåñòðîãîãî ÷àñòè÷íîãî) ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ëþáîå
ðåôëåêñèâíîå, àíòèñèììåòðè÷íîå è òðàíçèòèâíîå îòíîøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 18.
Îáû÷íî îòíîøåíèå ïîðÿäêà îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì 6. Ïðèìåðàìè ñëóæàò ñòàíäàðòíûé ÷èñëîâîé ïîðÿäîê íà R, îòíîøåíèå äåëèìîñòè íà Z, îòíîøåíèå ïîäìíîæåñòâà íà
2A , îòíîøåíèå ïðåôèêñà íà ìíîæåñòâå ñëîâ, è òàê äàëåå.
Ïî ëþáîìó íåñòðîãîìó ïîðÿäêó 6 ìîæíî ïîñòðîèòü ñòðîãèé ïîðÿäîê < ïî ïðàâèëó: x < y , åñëè x 6 y , íî x 6= y . Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà áóäåò
àíòèðåôëåêñèâíûì, àíòèñèììåòðè÷íûì è òðàíçèòèâíûì. Âñþ òåîðèþ óïîðÿäî÷åííûõ
ìíîæåñòâ ìîæíî ïîñòðîèòü íà áàçå ñòðîãîãî ïîðÿäêà, îïðåäåëèâ ÷åðåç íåãî íåñòðîãèé,
íî ìû òàê äåëàòü íå áóäåì.
Äëÿ îòíîøåíèé ïîðÿäêà, ïîìèìî ìàòðèöû è ãðàôà, ñóùåñòâóåò äîïîëíèòåëüíûé
ñïîñîá èçîáðàæåíèÿ äèàãðàììà Õàññå. Äèàãðàììà Õàññå äëÿ îòíîøåíèÿ ïîëó÷åòñÿ
èç îðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà, åãî èçîáðàæàþùåãî, âûêèäûâàíèåì íåêîòîðûõ ð¼áåð. Âîïåðâûõ, íå ðèñóþòñÿ ïåòëè. Âî-âòîðûõ, ðåáðî èç a â c íå ðèñóåòñÿ, åñëè åñòü b, äëÿ
êîòîðîãî a < b < c. Êðîìå òîãî, îáû÷íî âìåñòî ðèñîâàíèÿ ñòðåëîê íà ð¼áðàõ ãðàô
ðàñïîëàãàþò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû áîëüøèå ýëåìåíòû íàõîäèëèñü âûøå. Ôîðìàëüíî
îïðåäåëåíèå ñëåäóþùåå:
Äèàãðàììîé Õàññå íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûé ãðàô áåç öèêëîâ,
ïî êîòîðîìó îòíîøåíèå ïîðÿäêà ñòðîèòñÿ òàê: a 6 b, åñëè èç a â b èä¼ò îðèåíòèðîâàííûé
ïóòü.
Îïðåäåëåíèå 19.
Åñëè âñå ýëåìåíòû ñðàâíèìû äðóã ñ äðóãîì, òî äèàãðàììà Õàññå âûðîæàåòñÿ â
öåïî÷êó, ò.å. ëèíèþ. Ýòî îáúÿñíÿåò âûáîð òåðìèíà â ñëåäóþùåì îïðåäåëåíèè:
ëèíåéíûì
Ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ
, åñëè ëþáûå äâà ýëåìåíòà x è y
ñðàâíèìû äðóã ñ äðóãîì, ò.å. âûïîëíåíî x 6 y èëè y 6 x.
Îïðåäåëåíèå 20.
Åñëè íà ìíîæåñòâå çàäàí ïîðÿäîê, òî îíî íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûì. Ðàçëè÷àþò
÷àñòè÷íî è ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Óïîòðåáëÿþò òàêæå ñîêðàùåíèÿ ÷.ó.ì.
è ë.ó.ì.
óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì
ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì
(×àñòè÷íî)
íàçûâàåòñÿ ïàðà (A, 6A ),
ãäå A ìíîæåñòâî, à 6A îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ýòîì ìíîæåñòâå. Åñëè 6A ÿâëÿåòñÿ
îòíîøåíèåì ëèíåéíîãî ïîðÿäêà, òî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
.
Îïðåäåëåíèå 21.
Íåêîòîðûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà î÷åíü ïîõîæè ìåæäó ñîáîé. Ôàêòè÷åñêè, ïîðÿäîê â íèõ îäèí è òîò æå, íî ýëåìåíòû íîñÿò ðàçëè÷íûå íàçâàíèÿ. Òàêèå ìíîæåñòâà
íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè.
6
Îïðåäåëåíèå 22.
Èçîìîðôèçìîì óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ (A, 6A) è (B, 6B ) íàçû-
âàåòñÿ ôóíêöèÿ f : A → B , ÿâëÿþùàÿñÿ áèåêöèåé, è äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ñâîéñòâî
x 6A y ⇔ f (x) 6B f (y).
Îáîçíà÷åíèå: A ' B .
1
| n ∈ N}.
Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N èçîìîðôíî ìíîæåñòâó {1− n+1
( îáîèõ ñëó÷àÿõ âçÿò ñòàíäàðòíûé ïîðÿäîê). Äåéñòâèòåëüíî, â îáîèõ ìíîæåñòâàõ åñòü
ñàìûé ìàëåíüêèé ýëåìåíò, ó êàæäîãî ýëåìåíòà åñòü íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé, è
îò ñàìîãî ìàëåíüêîãî ìîæíî äîáðàòüñÿ äî ëþáîãî ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïåðåõîäàìè ê
ñëåäóþùèì.
Åñëè îòêàçàòüñÿ îò òðåáîâàíèÿ áèåêòèâíîñòè, ïîëó÷èòñÿ ãîìîìîðôèçì:
Îïðåäåëåíèå 23.
Ãîìîìîðôèçìîì óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ (A, 6A) è (B, 6B ) íàçû-
âàåòñÿ ôóíêöèÿ f : A → B , äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ñâîéñòâî
x 6A y ⇔ f (x) 6B f (y).
Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî èç àíòèñèììåòðè÷íîñòè 6B âûòåêàåò èíúåêòèâíîñòü ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Ìîæíî òàêæå ñêàçàòü, ÷òî ãîìîìîðôèçì
ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì ñ íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì B .  êà÷åñòâå ïðèìåðà ãîìîìîðôèçìà ìîæíî ïðèâåñòè ôóíêöèþ f (n) = 2n íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë. Íàêîíåö ââåä¼ì
åù¼ äâà ïîíÿòèÿ:
Àâòîìîðôèçìîì
óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (A, 6A ) íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ f : A → A, ÿâëÿþùàÿñÿ èçîìîðôèçìîì, ò.å. áèåêöèåé, äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ñâîéñòâî
x 6A y ⇔ f (x) 6A f (y).
Îïðåäåëåíèå 24.
Ãîìîìîðôèçì ìíîæåñòâà â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ
ìîíîìîðôèçìîì.
Ñ óïîðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè ìîæíî ïðîèçâîäèòü ðàçëè÷íûå îïåðàöèè: ñêëàäûâàòü, óìíîæàòü, áðàòü îáðàòíîå. Ïðèâåä¼ì ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ.
Ñóììîé
Ïóñòü A ∩ B = ∅.
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâå (A, 6A ) è
(B, 6B ) íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (C, 6C ), ãäå:
Îïðåäåëåíèå 25.
• C = A ∪ B;
• x 6C y â îäíîì èç òð¼õ ñëó÷àåâ: x ∈ A, y ∈ B ; x ∈ A, y ∈ A, x 6A y ; x ∈ B, y ∈
B, x 6B y .
Èíûìè ñëîâàìè, ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâàõ A è B ñîõðàíÿåòñÿ, è ëþáîé ýëåìåíò A
ìåíüøå ëþáîãî ýëåìåíòà B . Åñëè A è B ïåðåñåêàþòñÿ, òî ìîæíî âçÿòü C = (A ×
{1}) ∪ (B × {2}), ò.å. ê êàæäîìó ýëåìåíòó ïðèïèñàòü, èç êàêîãî ìíîæåñòâà îí âçÿò: èç
A èëè èç B . Îïðåäåëåíèå äàëåå ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íî. Ñóììó óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ
îáîçíà÷àþò ÷åðåç A + B .
Ñëîæåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ àññîöèàòèâíî, íî íå îáÿçàòåëüíî êîììóòàòèâíî.
Óòâåðæäåíèå 26.
7
Äîêàçàòåëüñòâî. Àññîöèàòèâíîñòü äåãêî ñëåäóåò èç àññîöèàòèâíîñòè îáúåäèíåíèÿ. Íå-
êîììóòàòèâíîñòü âîçíèêàåò, íàïðèìåð, åñëè A = {a}, B = N. Òîãäà A + B ' N, à
B + A 6' N, ò.ê. èìååò íàèáîëüøèé ýëåìåíò.
Åñëè A è B çàäàíû äèàãðàììàìè Õàññå, òî íàðèñîâàòü äèàãðàììó äëÿ A + B î÷åíü
ëåãêî: íóæíî íàðèñîâàòü äèàãðàììó äëÿ A ïîä äèàãðàììîé äëÿ B è ñîåäèíèòü âñå
âåðõíèå òî÷êè A ñ íèæíèìè òî÷êàìè B .
Îïðåäåëåíèå 27.
Ïðîèçâåäåíèåì óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâå (A, 6A) è (B, 6B ) íàçû-
âàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (C, 6C ), ãäå:
• C = A × B;
• (a1 , b1 ) 6C (a2 , b2 ), åñëè a1 <A a2 èëè a1 = a2 è b1 6B b2 .
Ïðîèçâåäåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A · B . Òàêîé ïîðÿäîê íà
äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèå íàçûâàåòñÿ
: ñíà÷àëà ñðàâíèâàåòñÿ ïåðâàÿ êîîðäèíàòà, ïîòîì âòîðàÿ. Òî÷íî òàê æå â ñëîâàðå ñëîâà óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ñíà÷àëà
ïî ïåðâîé áóêâå, ïîòîì ïî âòîðîé. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå òàêæå ÿâëÿåòñÿ
àññîöèàòèâíûì, íî íå êîììóòàòèâíûì. Òàêæå ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè A ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì èç n ýëåìåíòîâ, òî A · B = B
{z· · · + B}.
| +B+
ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì
n ðàç
Äèàãðàììà Õàññå äëÿ A · B ðèñóåòñÿ òàê: íóæíî â êàæäîé âåðøèíå äèàãðàììû äëÿ
A ðàçìåñòèòü ìàëåíüêóþ êîïèþ äèàãðàììû äëÿ B , à ïîòîì êàæäîå ðåáðî äèàãðàììû
A ðàçìíîæèòü, ïðîâåäÿ åãî îò âåðõíèõ òî÷åê íèæíåé êîïèè B ê íèæíèì òî÷êàì
âåðõíåé.
Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâå (A, 6A ) è
(B, 6B ) íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (C, 6C ), ãäå:
Îïðåäåëåíèå 28.
• C = A × B;
• (a1 , b1 ) 6C (a2 , b2 ), åñëè a1 6A a2 è b1 6B b2 .
Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç A × B . Èç
îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî îäíà ïàðà íå áîëüøå äðóãîé, åñëè îáå å¼ êîìïîíåíòû íå
áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò â äðóãîé ïàðå. Ñîîòâåòñòâóþùèé ñòðîãèé ïîðÿäîê îïðåäåëÿåòñÿ òàê: îäíà ïàðà ìåíüøå äðóãîé, åñëè êàæäàÿ å¼ êîìïîíåíòà íå áîëüøå
ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòû äðóãîé ïàðû, à õîòÿ áû îäíà êîìïîíåíòà ñòðîãî ìåíüøå. Ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ñîâñåì ñòðîãèé ïîðÿäîê íà ïàðàõ: îäíà ïàðà ìåíüøå
äðóãîé, åñëè îáå å¼ êîìïîíåíòû ìåíüøå. Òàêîé ïîðÿäîê îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì .
(Íåêîòîðûå àâòîðû ñäâèãàþò îáîçíà÷åíèÿ è âìåñòî , <, 6 èñïîëüçóþò <, 6 è 5
ñîîòâåòñòâåííî).
Äèàãðàììà Õàññå äëÿ A × B ðèñóåòñÿ òàê: íóæíî â êàæäîé âåðøèíå äèàãðàììû
äëÿ A ðàçìåñòèòü êîïèþ äèàãðàììû äëÿ B , à ïîòîì êàæäîå ðåáðî äèàãðàììû A ðàçìíîæèòü, ïðîâåäÿ åãî ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè òî÷êàìè äâóõ êîïèé.  îòëè÷èå îò
ñóììû è îáû÷íîãî óìíîæåíèÿ, äåêàðòîâî óìíîæåíèå êîììóòàòèâíî: óïîðÿäî÷åííûå
ìíîæåñòâà A × B è B × A èçîìîðôíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîðÿäîê íà A × B ìîæåò íå
áûòü ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì, äàæå åñëè îáà ìíîæåñòâà A è B óïîðÿäî÷åíû ëèíåéíî.
8
Îïðåäåëåíèå 29.
Îáðàùåíèåì óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (A, 6A) íàçûâàåòñÿ óïîðÿ-
äî÷åííîå ìíîæåñòâî (A, >A ), ãäå x >A y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà y 6A x.
Îáðàùåíèå ñîîòâåòñòâóåò ïåðåâîðîòó äèàãðàììû Õàññå.
 îáû÷íîì ÿçûêå ñëîâà ìàêñèìàëüíûé è íàèáîëüøèé, à òàêæå ìèíèìàëüíûé è íàèìåíüøèé ÿâëÿþòñÿ ñèíîíèìàìè.  òåîðèè óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ýòè
ïîíÿòèÿ ðàçëè÷àþòñÿ: íàèáîëüøèé äîëæåí áûòü áîëüøå âñåõ, à ìàêñèìàëüíûé ýòî
òîò, áîëüøå êîòîðîãî íåò.
íàèáîëüøèì
Îïðåäåëåíèå 30. Ýëåìåíò x ∈ A íàçûâàåòñÿ
â óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå (A, 6A ), åñëè y 6A x äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ y ∈ A. Ýëåìåíò x ∈ A íàçûâàåòñÿ
, åñëè íåò òàêîãî y ∈ A, ÷òî x <A y . Íàèìåíüøèé è ìèíèìàëüíûé ýëåìåíòû
îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî.
ìàëüíûì
ìàêñè-
 ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå x 6 y ýêâèâàëåíòíî y 6< x. Ïîýòîìó íàèáîëüøèé è ìàêñèìàëüíûé (à òàêæå íàèìåíüøèé è ìèíèìàëüíûé) ýëåìåíòû ñóòü îäíî è
òî æå. Òî÷íåå, ëèáî îáà ñóùåñòâóþò è ðàâíû, ëèáî îáîèõ íå ñóùåñòâóåò. Íàïðèìåð, â
ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë åñòü íàèìåíüøèé ýëåìåíò, íî íåò íàèáîëüøåãî.  îáùåì
ñëó÷àå ñèòóàöèÿ áîëåå ñëîæíàÿ.
1. Íàèáîëüøèé ýëåìåíò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì, ïðè÷¼ì åäèíñòâåííûì;
2. Ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî;
3. Åäèíñòâåííûé ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè x íàèáîëüøèé, òî x > y äëÿ âñåõ y ∈ A. Ïîýòîìó x 6< y
Óòâåðæäåíèå 31.
äëÿ âñåõ y . Ïîýòîìó îí ìàêñèìàëåí.
2. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 10 è îòíîøåíèå äåëèìîñòè.
Ìàêñèìàëüíûìè áóäóò ÷èñëà 6, 7, 8, 9, 10: íà íèõ íèêàêîå ÷èñëî èç ýòîãî èíòåðâàëà
íå äåëèòñÿ.
3. Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâî {3} ∪ {2n | n ∈ N} ñ îòíîøåíèåì äåëèìîñòè. 3
ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì, ò.ê. íà âñå îñòàëüíûå äåëèòñÿ
êàêîå-òî äðóãîå ÷èñëî. Íî íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà òóò íåò.
Çàêîí÷èì ëåêöèþ îäíîé êðàñèâîé òåîðåìîé. Íàì ïîòðåáóåòñÿ åù¼ îäíî îïðåäåëåíèå.
Ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ
äëÿ êîòîðîãî x < z < y .
Îïðåäåëåíèå 32.
ïëîòíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x < y íàéä¼òñÿ z,
Íàïðèìåð, ñòàíäàðòíûé ïîðÿäîê íà R ïëîòåí, à íà Z íåò.
Ëþáûå äâà ñ÷¼òíûõ ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà, íå èìåþùèå íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî ýëåìåíòîâ, èçîìîðôíû.
Òåîðåìà 33.
Ïðèìåðàìè òàêèõ ìíîæåñòâ ñëóæàò Q, Q ∩ (0, 1), Q2 = { 2kn | k ∈ Z, n ∈ N} (äâîè÷íîðàöèîíàëüíûå ÷èñëà), A (àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè), è äð.
9
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A è B ñóòü òàêèå ìíîæåñòâà. Ïîñêîëüêó îíè ñ÷¼òíû, åñòü áèåê-
öèè f : N → A è g : N → B . Èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íóìåðàöèè A = {a0 , a1 , a2 , . . . }
è B = {b0 , b1 , b2 , . . . } (ýòè íóìåðàöèè íèêàê íå ñâÿçàíû ñ ïîðÿäêîì). Ïîñòðîèì èçîìîðôèçì f : A → B ïî èíäóêöèè. Ñíà÷àëà îïèøåì íåôîðìàëüíî íå ñîâñåì âåðíóþ
êîíñòðóêöèþ, ïîòîì ïîêàæåì, êàê å¼ èñïðàâèòü, à ïîòîì ïðèâåä¼ì ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì ïî î÷åðåäè îïðåäåëÿòü f (a0 ), f (a1 ), f (a2 ), . . . Ñíà÷àëà ïîëîæèì f (a0 ) = b0 .
Äàëåå, ïóñòü a1 > a0 . Ïîñêîëüêó b0 íå íàèáîëüøèé, â B ñóùåñòâóåò ýëåìåíò bi > b0 .
Ïîëîæèì f (a1 ) = bi . Äàëåå, a2 ìîæåò áûòü áîëüøå a1 , ëåæàòü ìåæäó a0 è a1 , èëè
áûòü ìåíüøå a0 .  ëþáîì ñëó÷àå íàéä¼òñÿ bk , ëåæàùåå òàê æå îòíîñèòåëüíî b0 è bi :
áîëüøåå bi (ïîñêîëüêó bi íå íàèáîëüøåå), ëåæàùåå ìåæäó b0 è bi (â ñèëó ïëîòíîñòè)
èëè ìåíüøåå b0 (ïîñêîëüêó b0 íå íàèìåíüøåå) ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëîæèì f (a2 ) = bk . Òàê
áóäåì ïðîäîëæàòü è äàëåå.
Ïðîáëåìà â òîì, ÷òî åñëè âñå îáðàçû âûáèðàþòñÿ ïðîèçâîëüíî, òî f ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ íå áèåêöèåé, à òîëüêî èíúåêöèåé. Ïîýòîìó íóæíî ñäåëàòü òàê, ÷òîáû f áûëà ñþðúåêöèåé. Ýòîãî ìîæíî äîñòè÷ü, åñëè íà êàæäîì ýòàïå âûáèðàòü ïîäõîäÿùèé ýëåìåíò B
ñ íàèìåíüøèì íîìåðîì. Îïèøåì ýòîò ïðîöåññ ôîðìàëüíî è äîêàæåì êîððåêòíîñòü.
 êà÷åñòâå áàçû âîçüì¼ì f (a0 ) = b0 . Ïóñòü çíà÷åíèÿ f óæå çàäàíû íà ýëåìåíòàõ
a0 , a1 , . . . , an−1 . Îïðåäåëèì f (an ). Ðàññìîòðèì
íåñêîëüêî ñëó÷àåâ. Åñëè an > max{a0 , . . . , an−1 },
òî çàäàäèì f (an ) = bk(n) , ãäå k(n) = min k | bk > max{f (a0 ), . . . , f (an−1 )} (ýòî âîçìîæíî, ïîñêîëüêó â B íåò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà). Åñëè an < min{a0 , . . . an−1 }, òî
àíàëîãè÷íî çàäàäèì f (an ) = bl(n) , ãäå l(n) = min l | bl < min{f (a0 ), . . . , f (an−1 )} (ýòî
âîçìîæíî, ïîñêîëüêó â B íåò íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà). Íàêîíåö, åñëè ai < an < aj (ãäå
ai = max{aq | q ∈ {0, . . . , n − 1}, aq < an }, aj = min{aq | q ∈ {0, . . . , n − 1}, aq > an }),
òî çàäàäèì f (an ) = bm(n) , ãäå m(n) = min{m | f (ai ) < bm < f (aj )} (Ýòî âîçìîæíî â
ñèëó ïëîòíîñòè ïîðÿäêà íà B ). Òàêèì îáðàçîì, f (an ) áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëåíî
äëÿ âñåõ n. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî f (a0 ) = b0 ïîëó÷àåòñÿ ïî òîé æå êîíñòðóêöèè: áåð¼ì
ïîäõîäÿùèé ýëåìåíò B ñ íàèìåíüøèì íîìåðîì.
Äîêàæåì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Èíúåêòèâíîñòü è
ãîìîìîðôíîñòü î÷åâèäíû ïî ïîñòðîåíèþ. Äîêàæåì ñþðúåêòèâíîñòü. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå. Ïóñòü bt ýëåìåíò B ñ ìèíèìàëüíûì íîìåðîì, íå ëåæàùèé â îáëàñòè çíà÷åíèé f . Ïðèâåä¼ì ñèòóàöèþ ê ïðîòèâîðå÷èþ, ïîêàçàâ, ÷òî çíà÷åíèå bt äîëæíî áûëî áûòü
ïðèíÿòî íà íåêîòîðîì ýòàïå. Ïóñòü s òàêîâî, ÷òî åñëè f (an ) ∈ {b0 , . . . , bt−1 }, òî n < s. Çàôèêñèðóåì s è ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ. Ïóñòü bt > max{f (a0 ), . . . , f (as )}. Ïîñêîëüêó â A
íåò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, íàéä¼òñÿ òàêîå p > s, ÷òî ap > max{a0 , . . . , as }. Âîçüì¼ì ìèíèìàëüíîå òàêîå p. Òîãäà ïî ïîñòðîåíèþ äîëæíî áûòü f (ap ) = bt , ïîñêîëüêó âñå ýëåìåíòû B ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè ëåæàò ñðåäè f (a0 ), . . . , f (as ). Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî
bt íå ëåæèò â îáëàñòè çíà÷åíèé f . Âòîðîé ñëó÷àé êîãäà bt < min{f (a0 ), . . . , f (as )} ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî: âîçüì¼ì òàêîå p > s, ÷òî ap < min{a0 , . . . , as )}. Íàêîíåö, bt ìîæåò ëåæàòü ìåæäó íåêîòîðûìè f (ai ) è f (aj ). Òîãäà â êà÷åñòâå ap íóæíî âçÿòü ýëåìåíò
ñ íàèìåíüøèì íîìåðîì, ëåæàùèé ìåæäó ai è aj , è ñíîâà äîëæíî áóäåò ïîëó÷èòüñÿ
f (ap ) = bt . Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ òåì, ÷òî çíà÷åíèå bt íå
ïðèíèìàåòñÿ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò ñþðúåêòèâíîñòü è òåîðåìó â öåëîì.
10
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Øðåéäåð Þ. À. Ðàâåíñòâî, ñõîäñòâî, ïîðÿäîê, Ì.: Íàóêà, 1971. 256 ñ. (http://www.
math.ru/lib/files/djvu/shodstvo.djvu)
11