Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ) Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ)
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, îñåíü 2011
Âîïðîñû è çàäà÷è ê ýêçàìåíó
 êàæäîì áèëåòå áóäåò äâà òåîðåòè÷åñêèõ âîïðîñà è òðè çàäà÷è ðàçíîé
ñëîæíîñòè. Ïî ðåçóëüòàòàì çà÷¼òà ìîæíî îñâîáîäèòüñÿ îò îäíîé (ë¼ãêîé) èëè
äâóõ (ë¼ãêîé è ñðåäíåé) çàäà÷. Îñîáî îòëè÷èâøèåñÿ ïîëó÷àþò ïðàâî ðàññêàçàòü
çàðàíåå âûáðàííûé äîïîëíèòåëüíûé âîïðîñ.
Îñíîâíûå âîïðîñû
1. Ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû: ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ, ïðèìåðû. Ëåììà î ñêîáî÷íîì
èòîãå è òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà.
2. Áóëåâû ôóíêöèè. Ïðèìåðû. Âû÷èñëåíèå èñòèííîñòíîãî çíà÷åíèÿ. Òàâòîëîãèè è
ïðîòèâîðå÷èÿ. Ïðèìåðû.
3. Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû. Ïîëèíîìû Æåãàëêèíà.
Ïîñòðîåíèå íîðìàëüíûõ ôîðì äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè.
4. Ïîëíûå è íåïîëíûå ñèñòåìû ñâÿçîê. Ïðèìåðû. Òåîðåìà Ïîñòà.
5. Àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ïîíÿòèÿ âûâîäà è âûâîäèìîé ôîðìóëû. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé.
6. Âûâîä ôîðìóëû A → A â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé. Ëåììà î äåäóêöèè è ñëåäñòâèÿ èç íå¼.
7. Ïðèìåðû âûâîäîâ â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé: çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ, çàêîí
êîíòðàïîçèöèè, çàêîíû äå Ìîðãàíà, ïðàâèëî ñèëëîãèçìà.
8. Ëåììà î âûâîäèìîñòè ôîðìóëû èëè å¼ îòðèöàíèÿ èç ëèòåðàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ
çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ. Ïîëíîòà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé.
9. Ñîâìåñòíûå è íåïðîòèâîðå÷èâûå ñåìåéñòâà ôîðìóë. Ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëèðîâêè òåîðåì î êîððåêòíîñòè è ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé.
10. Ìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë ñîâìåñòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
îíî íåïðîòèâîðå÷èâî.
11. Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé.
12. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà: ñèãíàòóðà, ïîñòðîåíèå òåðìîâ è ôîðìóë. Ñâîáîäíûå è
ñâÿçàííûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ïàðàìåòðû ôîðìóëû.
13. Èíòåðïðåòàöèÿ ÿçûêà ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îïðåäåëåíèå èñòèííîñòè ôîðìóëû. Èñòèííîñòü ôîðìóëû çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé å¼ ïàðàìåòðîâ.
14. Ïîíÿòèÿ âûïîëíèìîé è îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëû. Ïðèìåðû.
15. Çàìåíà ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé. Òåîðåìà î ïðèâåäåíèè ôîðìóëû ê ïðåäâàð¼ííîé
íîðìàëüíîé ôîðìå.
16. Âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ: îïðåäåëåíèå, ïðèìåðû.
ðàçèìîñòè.
Òðàíçèòèâíîå ñâîéñòâî âû-
17. Âûðàæåíèå ïðåäèêàòà y = x + N â èíòåðïðåòàöèè hN, =, Si ôîðìóëîé äëèíû
ïîðÿäêà log N .
18. Âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ â àðèôìåòèêå: ïðîñòåéøèå ïðèìåðû, êîäèðîâàíèå Ñìàëëèàíà.
19. Âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ â àðèôìåòèêå: ïðèìåíåíèå êîäèðîâàíèÿ Ñìàëëèàíà äëÿ
âûðàæåíèÿ ïðåäèêàòîâ x ñòåïåíü 4, x = 4k .
20. Èçîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìû èíòåðïðåòàöèé. Ïðèìåðû. Ñîõðàíåíèå âûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ ïðè àâòîìîðôèçìå. Ïðèìåðû íåâûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ.
21. Ìåòîä ýëèìèíàöèè êâàíòîðîâ. Ïðèìåíåíèå ê èíòåðïðåòàöèè hZ, 0, =, Si.
22. Ìåòîä ýëèìèíàöèè êâàíòîðîâ. Ïðèìåíåíèå ê èíòåðïðåòàöèè hQ, <, =i.
23. Ýëåìåíòàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü èíòåðïðåòàöèé. Èãðû Ýðåíôîéõòà: îïðåäåëåíèå,
ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû, âûèãðûøíûå ñòðàòåãèè äëÿ ïàð N è Z, Z è Q, Q è R, Z
è Z + Z.
24. Åñëè èíòåðïðåòàöèè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû, òî â èãðå Ýðåíôîéõòà âûèãðûâàåò Êîíñåðâàòîð.
25. Åñëè èíòåðïðåòàöèè íå ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû, òî â èãðå Ýðåíôîéõòà âûèãðûâàåò Íîâàòîð.
26. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ: àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà. Ïðàâèëî îáîáùåíèÿ.
27. Ïðèìåðû âûâîäîâ â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ: ÷àñòíûå ñëó÷àè ïðîïîçèöèîíàëüíûõ
òàâòîëîãèé, èçìåíåíèå ïîðÿäêà êâàíòîðîâ, ïðîíîñ îòðèöàíèÿ ÷åðåç êâàíòîð.
28. Ïðèìåðû âûâîäîâ â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ: çàìåíà ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé, çàìåíà
ïîäôîðìóëû íà ýêâèâàëåíòíóþ.
29. Ëåììà î äåäóêöèè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
30. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
31. Òåîðèè è ìîäåëè. Íåïðîòèâîðå÷èâûå è ñîâìåñòíûå òåîðèè. Íåïðîòèâîðå÷èâîñòü
ëþáîé ñîâìåñòíîé òåîðèè, ñâÿçü ñ êîððåêòíîñòüþ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
32. Ïîëíûå è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíûå òåîðèè. Ëþáóþ íåïðîòèâîðå÷èâóþ òåîðèþ ìîæíî ðàñøèðèòü äî ïîëíîé è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíîé.
33. Ñóùåñòâîâàíèå ìîäåëè èç çàìêíóòûõ òåðìîâ ó íåïðîòèâîðå÷èâîé, ïîëíîé è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíîé òåîðèè.
34. Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ â ñèëüíîé è ñëàáîé ôîðìå. Ïîíÿòèå ñåìàíòè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ è åãî ðàâíîñèëüíîñòü ïîíÿòèþ âûâîäèìîñòè.
35. Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Íåâîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ
àêñèîìàòèêè êîíå÷íîãî ïîëÿ.
36. Àêñèîìû ðàâåíñòâà. Íîðìàëüíûå ìîäåëè. Ñóùåñòâîâàíèå íîðìàëüíîé ìîäåëè ó
íåïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè ñ ðàâåíñòâîì. Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ íîðìàëüíûõ
ìîäåëåé.
Äîïîëíèòåëüíûå âîïðîñû
 ñêîáêàõ ïðèâåäåíû ññûëêè, ïî êîòîðûì ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ñ
ñîîòâåòñòâóþùèìè òåìàìè. Ðàçóìååòñÿ, ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ëþáûìè äðóãèìè
èñòî÷íèêàìè. Åñëè òåìà îáú¼ìíàÿ, òî íóæíî âûäåëèòü ãëàâíîå è ïîäãîòîâèòü
ðàññêàç íà 2030 ìèíóò.
1. Ñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. ([1], 2546)
2. Èñ÷èñëåíèå ñåêâåíöèé. ([1], 6368)
3. Èíòóèöèîíèñòñêîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. ([1], 6986)
4. Àðèôìåòèêà Ïðåñáóðãåðà. ([1], 119122)
5. Òåîðåìà ÒàðñêîãîÇàéäåíáåðãà. ([1], 123135)
6. Òåîðåìà ˼âåíãåéìà-Ñêîëåìà îá ýëåìåíòàðíîé ïîäìîäåëè. ([1], 149155)
7. Òåîðåìà Ýðáðàíà. ([1], 195197)
8. Ïîëíûå òåîðèè. Êðèòåðèé ËîñÿÂîîòà. Ïðèìåðû. ([1], 211224)
9. Òåîðåìà ×ýíàËîñÿÑóøêî. ([1], 234242)
10. Òåîðåìà Ëîñÿ îá óëüòðàïðîèçâåäåíèÿõ. ([1], 243251)
11. Íåñòàíäàðòíûé àíàëèç. ([1], 252269)
12. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ëåììà Êðýéãà. ([8], 105107)
13. Òåîðåìà Áåòà. ([8], 107108)
14. Îñíîâû ìîäàëüíîé ëîãèêè. ([9], ñì. òàêæå [11])
15. Êîíå÷íûå àâòîìàòû. ([10], 124143)
16. Êîíòåêñòíî-ñâîáîäíûå ãðàììàòèêè. ([10], 163188)
˼ãêèå çàäà÷è
1. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà äëÿ ïðàâèëüíûõ ñêîáî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé?
2. Ïîñòðîéòå êàê ìîæíî áîëåå êîðîòêóþ ôîðìóëó îò òð¼õ ïåðåìåííûõ, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò òîæå çíà÷åíèå, ÷òî è áîëüøèíñòâî ïåðåìåííûõ.
3. Äîêæèòå, ÷òî åñëè A è B → ¬A ñóòü òàâòîëîãèè, òî ¬B òàâòîëîãèÿ.
4. Äîêàæèòå, ÷òî àññîöèàòèâíîñòü äèçúþíêöèè (A ∨ (B ∨ C)) ↔ ((A ∨ B) ∨ C) âûâîäèòñÿ â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé.
5. Äîêàæèòå, ÷òî ýêâèâàëåíòíîñòü (A → B) ↔ (¬A ∨ B) âûâîäèòñÿ â èñ÷èñëåíèè
âûñêàçûâàíèé.
6. Äîêàæèòå, ÷òî çàêîí Ïèðñà ((A → B) → A) → A âûâîäèòñÿ â èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé.
7. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà ∀x∃y∀zA(x, y, z) → ∀z∃y∀xA(x, y, z)?
8. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà ∃x∀y∃zA(x, y, z) → ∃z∀y∃xA(x, y, z)?
9. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x ïëåìÿííèê y â hP; M, E, P i, ãäå P ìíîæåñòâî âñåõ
ëþäåé, M (x) îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé, E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè, P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y .
10. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x åñòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî â h2A , ⊂i, ãäå A íåêîòîðîå ìíîæåñòâî.
11. Âûðàçèòå ïðåäèêàò |xy| = 2 â hR2 , Ei, ãäå E(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |xy| = 1.
12. Îïèøèòå âñå àâòîìîðôèçìû èíòåðïðåòàöèè hZ, <, =i.
13. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåäèêàò x = 1/2 íå âûðàæàåòñÿ â èíòåðïðåòàöèè hR, <, =, 0, 1i.
14. Ïðèäóìàéòå çàìêíóòóþ ôîðìóëó ïåðâîãî ïîðÿäêà, âåðíóþ â îäíîì èç óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ N è N + N, è íåâåðíóþ â äðóãîì.
15. Äîêàæèòå, ÷òî òåîðèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç òð¼õ ôîðìóë ∀x¬A(x, x), ∀x∃yA(x, y) è
∀x∀y∀z((A(x, y) ∧ A(y, z)) → A(x, z)) ñîâìåñòíà, íî íå èìååò êîíå÷íûõ ìîäåëåé.
16. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà (ϕ → ψ) → (∃xϕ → ∃xψ)?
17. Íå îïèðàÿñü íà òåîðåìó î ïîëíîòå, äîêàæèòå âûâîäèìîñòü ôîðìóëû ∃x(ϕ ∧ ψ) →
(∃xϕ ∧ ∃xψ) â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.
18. Íå îïèðàÿñü íà òåîðåìó î ïîëíîòå, äîêàæèòå âûâîäèìîñòü ôîðìóëû (∀xϕ∨∀xψ) →
∀x(ϕ ∨ ψ) â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.
Çàäà÷è ñðåäíåé ñëîæíîñòè
1. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà, åñëè îòêðûâàþùèå è çàêðûâàþùèå
ñêîáêè îáîçíà÷àþòñÿ îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì?
2. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ìîíîòîííóþ ôóíêöèþ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç 0, 1, ∧, ∨.
3. Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ èç ñâÿçîê ↔ è ¬, ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ, à òàêæå çíàê îòðèöàíèÿ âñòðå÷àþòñÿ
â íåé ÷¼òíîå ÷èñëî ðàç.
4. Äîêàæèòå, ÷òî àêñèîìà 10 èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé âûâîäèòñÿ èç âñåõ îñòàëüíûõ.
5. Äîêàæèòå, ÷òî çàêîí èñêëþ÷¼ííîãî òðåòüåãî âûâîäèòñÿ èç àêñèîì 110 è çàêîíà
ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ.
6. Ïðèäóìàéòå ïðîòèâîðå÷èâîå ñåìåéñòâî èç òð¼õ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë, ëþáûå äâå ôîðìóëû èç êîòîðîãî íå ïðîòèâîðå÷èâû.
7. ßâëÿåòñÿ ëè îáùåçíà÷èìîé ôîðìóëà ∃x∀y∃zA(x, y, z) ↔ ∃x(∀y(∃zA(x, y, z) →
P (x, y)) → ∀yP (x, y))? Åñëè íåò, òî âåðíà ëè èìïëèêàöèÿ õîòÿ áû â îäíó ñòîðîíó?
8. Ïðèäóìàéòå äâå íåýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû ϕ è ψ , òàêèå ÷òî ôîðìóëû ∀xϕ è ∀xψ
ýêâèâàëåíòíû. (Ýêâèâàëåíòíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê îáùåçíà÷èìîñòü ýêâèâàëåíöèè,
íà àêñèîìû ðàâåíñòâà è êîíêðåòíûå èíòåðïðåòàöèè îïèðàòüñÿ íåëüçÿ.)
9. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x äâîþðîäíûé áðàò y â hP; M, E, P i, ãäå P ìíîæåñòâî
âñåõ ëþäåé, M (x) îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé, E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè, P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y ;
10. Âûðàçèòå ïðåäèêàò Ìíîæåñòâà x, y è z ïåðåñåêàþòñÿ ïîïàðíî, íî îáùåå ïåðåñå÷åíèå ïóñòî â h2A , ⊂i, ãäå A íåêîòîðîå ìíîæåñòâî.
11. Âûðàçèòå â àðèôìåòèêå ïðåäèêàò x n-îå ÷èñëî Ôèáîíà÷÷è.
12. Âûðàçèòå ïðåäèêàò x åñòü N -ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî â èíòåðïðåòàöèè h2A , ⊂i
ôîðìóëîé äëèíû O(log N ).
.
13. Äîêàæèòå, ÷òî ïðåäèêàò x < y íåëüçÿ âûðàçèòü â èíòåðïðåòàöèè hN, ..i.
14. Ïðîâåäèòå ýëèìèíàöèþ êâàíòîðîâ â èíòåðïðåòàöèè hM, =i. ãäå M íåêîòîðîå
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Îïèøèòå ìíîæåñòâî âûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ â ýòîé èíòåðïðåòàöèè. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé âûðàçèìûé äâóìåñòíûé ïðåäèêàò îáÿçàí áûòü
ëèáî ðåôëåêñèâíûì, ëèáî àíòèðåôëåêñèâíûì.
15. Ïðèäóìàéòå çàìêíóòóþ ôîðìóëó ïåðâîãî ïîðÿäêà, âåðíóþ â îäíîì èç óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ hN \ {0}, |i è hÌíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ N, ⊂i, è
íåâåðíóþ â äðóãîì.
16. Ïðèäóìàéòå ñîâìåñòíóþ òåîðèþ ñ îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè, âñå ìîäåëè êîòîðîé ñîñòîÿò õîòÿ áû èç 6 ýëåìåíòîâ. Êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïðåäèêàòîâ
âàì ïîíàäîáèòñÿ?
17. Ñïåêòðîì òåîðèè ñ ðàâåíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ìîùíîñòåé âñåõ å¼ êîíå÷íûõ
ìîäåëåé. Ïðèäóìàéòå òåîðèþ, ñïåêòð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ÷¼òíûõ
÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà 4.
18. Íå îïèðàÿñü íà òåîðåìó î ïîëíîòå, äîêàæèòå âûâîäèìîñòü ôîðìóëû ∀y∃x(A(x) ∨
B(y)) → ∃x∀y(A(x) ∨ B(y)) â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.
Ñëîæíûå çàäà÷è
1. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà äëÿ ñëåäóþùåãî ïðàâèëà íàïèñàíèÿ
ôîðìóë: ïåðåìåííàÿ åñòü ôîðìóëà; åñëè ϕ è ψ ôîðìóëû, òî |ϕ|ψ| ôîðìóëà?
2. Âåðíà ëè òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà äëÿ ñëåäóþùåãî ïðàâèëà íàïèñàíèÿ
ôîðìóë: ïåðåìåííàÿ åñòü ôîðìóëà; åñëè ϕ è ψ ôîðìóëû, òî |ϕ|ψ| è |ϕ||ψ| ôîðìóëû?
3. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ñàìîäâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ¬ è
maj.
4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A → B åñòü òàâòîëîãèÿ, òî íàéä¼òñÿ ôîðìóëà C , çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ïåðåìåííûõ, îáùèõ äëÿ A è B , òàêàÿ ÷òî A → C è C → B ñóòü
òàâòîëîãèè.
5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äâå ôîðìóëû, âûðàæåííûå òîëüêî ÷åðåç çíàêè ¬, ∨ è ∧,
ýêâèâàëåíòíû, òî îíè îñòàíóòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè çàìåíèòü âñå çíàêè ∨ íà
∧, è íàîáîðîò.
6. Ðàññìîòðèì èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ñî ñõåìàìè àêñèîì A → (B → A), (A →
(B → C)) → ((A → B) → (A → C)) è (¬B → ¬A) → (A → B) è ïðàâèëîì
âûâîäà modus ponens. Çàìåíèì âî âñåõ ôîðìóëàõ A ∧ B íà ¬(A → ¬B), à A ∨ B íà
¬A → B . Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëå òàêîé çàìåíû àêñèîìû 111 îáû÷íîãî èñ÷èñëåíèÿ
âûñêàçûâàíèé âûâîäèìû â îïèñàííîì.
7. Çàäàí íåêîòîðûé íàáîð êâàäðàòèêîâ, ñòîðîíû êîòîðûõ ïîêðàøåíû â íåêîòîðûå
öâåòà. Ó÷àñòîê ïëîñêîñòè ñ÷èòàåòñÿ êîððåêòíî çàìîù¼ííûì, åñëè êâàäðàòèêè ñîïðèêàñàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ñòîðîíàìè îäèíàêîâûõ öâåòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî íàáîðîì
êâàäðàòèêîâ ìîæíî çàìîñòèòü ëþáîé êâàäðàò N × N . (Ëþáîé êâàäðàòèê èìååòñÿ
â íåîãðàíè÷åííîì ÷èñëå øòóê, íî êâàäðàòèêè íåëüçÿ ïîâîðà÷èâàòü èëè ïåðåâîðà÷èâàòü). Äîêàæèòå, ÷òî íàáîðîì êâàäðàòèêîâ ìîæíî çàìîñòèòü âñþ ïëîñêîñòü.
8. Âûðàçèòå ïðåäèêàò ∠xyz = 36◦ â hR2 , Ci, ãäå C(x, y, z) âûïîëíåíî, åñëè ðàññòîÿíèå
îò x äî y ðàâíÿåòñÿ ðàññòîÿíèþ îò x äî z (|xy| = |xz|).
9. Âûðàçèòå ïðåäèêàò |xy| =
√
1+ 5
2
â hR2 , Ei, ãäå E(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |xy| = 1.
10. Âûðàçèòå â àðèôìåòèêå ïðåäèêàò x è y äðóæåñòâåííûå ÷èñëà.
11. Âûðàçèòå ïðåäèêàò Ëþáûå òðè ìíîæåñòâà èç x1 , x2 , . . . , xN èìåþò ïóñòîå îáùåå
ïåðåñå÷åíèå â èíòåðïðåòàöèè h2A , ⊂i ôîðìóëîé äëèíû O(N );
12. Ïðèäóìàéòå èíòåðïðåòàöèþ è òðè ïðåäèêàòà â íåé, òàêèå ÷òî êàæäûé ïðåäèêàò
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äâà äðóãèõ, íî íè îäèí ïðåäèêàò íå âûðàæàåòñÿ íè ÷åðåç îäèí
äðóãîé.
13. Ïðîâåäèòå ýëèìèíàöèþ êâàíòîðîâ â èíòåðïðåòàöèè hQ, +, =i. Îïèøèòå ìíîæåñòâî
âûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ â ýòîé èíòåðïðåòàöèè. Äîêàæèòå íåâûðàçèìîñòü ïðåäèêàòà áûòü áîëüøå ïî ìîäóëþ.
14. Ïðèäóìàéòå çàìêíóòóþ ôîðìóëó ïåðâîãî ïîðÿäêà, âåðíóþ â îäíîì èç óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ hR2 , 6stand i è hR3 , 6stand i, è íåâåðíóþ â äðóãîì.
15. Äîêàæèòå, ÷òî àáåëåâû ãðóïïû Z è Zk ïîïàðíî íå ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû äëÿ
ðàçëè÷íûõ k , íî ëþáàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, èñòèííàÿ â Z, èñòèííà â Zk ïðè âñåõ
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k .
16. Ïóñòü V ìíîæåñòâî âåðøèí íåêîòîðîãî ãðàôà, äâóìåñòíûé ïðåäèêàò e îçíà÷àåò, ÷òî âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò çàìêíóòîé
ôîðìóëû, âåðíîé äëÿ âñåõ ñâÿçíûõ ãðàôîâ è íåâåðíûõ äëÿ âñåõ íåñâÿçíûõ.
17. Ñïåêòðîì òåîðèè ñ ðàâåíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ìîùíîñòåé âñåõ å¼ êîíå÷íûõ
ìîäåëåé. Ïðèäóìàéòå òåîðèþ, ñïåêòð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ñîñòàâíûõ
÷èñåë.
18. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âûâîäèìûõ â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ôîðìóë íå èçìåíèòñÿ, åñëè çàìåíèòü äâà ïðàâèëà Áåðíàéñà íà ïðàâèëî îáîáùåíèÿ è äâå àêñèîìû
∀x(ψ → ϕ) → (ψ → ∀xϕ) è ∀x(ϕ → ψ) → (∃xϕ → ψ), ãäå ôîðìóëà ψ íå çàâèñèò îò
x.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Âåðåùàãèí Í.Ê., Øåíü À. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. ×àñòü II. ßçûêè
è èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2002. (Ýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ äîñòóïíà íà ñòðàíèöå
http://www.mccme.ru/free-books)
[2] Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Íàóêà, 1984.
[3] Óñïåíñêèé Â.À., Âåðåùàãèí Í.Ê., Ïëèñêî Â.Å. Ââîäíûé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004
[4] Ëàâðîâ È.À., Ìàêñèìîâà Ë.Ë. Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå
è òåîðèè àëãîðèòìîâ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2002.
[5] Ïåíòóñ Ì.Ð. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Êîíñïåêò ëåêöèé íà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ, âåñíà 2006.
http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/mehmat/vmlk06le.pdf
[6] Ïëèñêî Â.Å. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Êîíñïåêò.
http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf
[7] Bilaniuk,
S.
A
Problem
Course
http://euclid.trentu.ca/math/sb/pcml
in
Mathematical
Logic.
[8] Êåéñëåð Ã., ×ýí ×.×., Òåîðèÿ ìîäåëåé, Ì.: Ìèð, 1977
[9] Hedin A., Modal Logic (Lecture Notes for Applied Logic), 2008
http://www2.math.uu.se/~hedin/TillLog/LectureNotesAL.pdf
[10] Àõî À., Óëüìàí Äæ. Òåîðèÿ ñèíòàêñè÷åñêîãî àíàëèçà, ïåðåâîäà è êîìïèëÿöèè. Ò.
1: Ñèíòàêñè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Ìèð, 1978.
[11] Ôåéñ Ð., Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà, Ì.: Íàóêà, 1975.
[12] Ïåíòóñ À.Å., Ïåíòóñ Ì.Ð., Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ, Ì.:
Èíòåðíåò-óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé; ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2006.
[13] Êëèíè Ñ.Ê. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1973.
[14] Ñìàëëèàí Ð. Êàê æå íàçûâàåòñÿ ýòà êíèãà? Ì.: Ìèð, 1981.
[15] Ëèíäîí Ð. Çàìåòêè ïî ëîãèêå. Ì.: Ìèð, 1968.
[16] Ìàíèí Þ.È. Äîêàçóåìîå è íåäîêàçóåìîå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1979.
[17] Õîôøòàäòåð Ä. üäåëü, Ýøåð, Áàõ: ýòà áåñêîíå÷íàÿ ãèðëÿíäà. Ñàìàðà: Áàõðàõ-Ì,
2001.