Листок 1. Множества и соответствия

Ëèñòîê  1. Ìíîæåñòâà è ñîîòâåòñòâèÿ
1. Äàíû ìíîæåñòâà A, B , C , èç êîòîðûõ ëþáûå äâà ïåðåñåêàþòñÿ, íî íèêàêîå èç ýòèõ ìíîæåñòâ íå
ñîäåðæèòñÿ â îáúåäèíåíèè äâóõ äðóãèõ. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìîæåò ñîäåðæàòü ìíîæåñòâî A ∪ B ∪ C ?
2. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå ìíîæåñòâî X èç òð¼õ ýëåìåíòîâ, ÷òî X ⊂ P(X)? (×åðåç P(X) îáîçíà÷àåòñÿ
ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X .)
3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êàêîå-òî ðàâåíñòâî (ñîäåðæàùåå ïåðåìåííûå äëÿ ìíîæåñòâ è îïåðàöèè ∩,
∪ è \) íå ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì äëÿ âñåõ ìíîæåñòâ, òî íàéä¼òñÿ êîíòðïðèìåð ê íåìó, âñå ìíîæåñòâà
êîòîðîãî ïóñòû èëè ñîñòîÿò èç îäíîãî ýëåìåíòà.
4. Ìíîæåñòâî U ñîäåðæèò 2n ýëåìåíòîâ.  í¼ì âûäåëåíî k ïîäìíîæåñòâ, ïðè÷¼ì íè îäíî èç íèõ
íå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî. Êàêîâî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå ÷èñëà k ?
Îïðåäåëåíèå. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ A è B ýòî A × B {ha, bi | a ∈ A, b ∈ B}.
5. Äîêàæèòå, ÷òî à) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D); á) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C);
â) A ⊆ B è C ⊆ D òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A × C ⊆ B × D.
6. Ïóñòü A, B 6= ∅ è (A × B) ∪ (B × A) = C × D. Äîêàæèòå, ÷òî A = B = C = D.
Îïðåäåëåíèÿ. Áèíàðíûì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó ìíîæåñòâàìè A è B íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå
ïîäìíîæåñòâî èõ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ: R ⊆ A × B . Åñëè A = B , òî R òàêæå íàçûâàåòñÿ áèíàðíûì
îòíîøåíèåì íà A.
Âìåñòî ha, bi ∈ R èíîãäà ïèøóò a R b.
7. Äàíû êîíå÷íûå ìíîæåñòâà A è B èç n è m ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âñåõ
áèíàðíûõ ñîîòâåòñòâèé ìåæäó A è B .
Åñëè R ⊆ A×B è S ⊆ B ×C äâà áèíàðíûõ ñîîòâåòñòâèÿ, òî èõ êîìïîçèöèåé íàçûâàåòñÿ áèíàðíîå
ñîîòâåòñòâèå R ◦ T {ha, ci | (∃b ∈ B) ha, bi ∈ R, hb, ci ∈ T }.
×åðåç 1A îáîçíà÷èì îòíîøåíèå ðàâåíñòâà íà A: 1A {ha, ai | a ∈ A}.
8. Âû÷èñëèòå âñå âîçìîæíûå êîìïîçèöèè îòíîøåíèé =, 6=, <, >, 6, > íà R.
9. Ïóñòü R ⊆ A × A. Äîêàæèòå, ÷òî R = 1A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî R1 ⊆ A × A
âåðíî R ◦ R1 = R1 ◦ R = R1 .
Îïðåäåëåíèå. Îáðàòíûì ê áèíàðíîìó ñîîòâåòñòâèþ R ⊆ A × B íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå R−1 {hb, ai | ha, bi ∈ B} ⊆ B × A.
10. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ áèíàðíûõ ñîîòâåòñòâèé R1 , R2 , R3 : à) R1 ◦ (R2 ◦ R3 ) = (R1 ◦ R2 ) ◦ R3 ;
á) (R1 ◦ R2 )−1 = R2−1 ◦ R1−1 .
11. Îáðàçóþò ëè áèíàðíûå îòíîøåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå ãðóïïó (îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé
◦ è −1 )?
Îïðåäåëåíèå. Áèíàðíîå îòíîøåíèå R íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè èç aRb
ñëåäóåò bRa; ðåôëåêñèâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî a ∈ A âåðíî aRa; òðàíçèòèâíûì, åñëè èç òîãî, ÷òî aRb
è bRc, ñëåäóåò, ÷òî aRc.
12. Ïóñòü M = {1, 2, 3}, N = {1, 2}. Ïîñòðîéòå à) ðåôëåêñèâíîå, òðàíçèòèâíîå, íî íå ñèììåòðè÷íîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå M ; á) íåòðàíçèòèâíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå N ; â) òðàíçèòèâíîå,
ñèììåòðè÷íîå, íî íå ðåôëåêñèâíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå N .
Îïðåäåëåíèå. Áèíàðíîå ñîîòâåòñòâèå F ⊆ A × B íàçûâàåòñÿ (÷àñòè÷íîé) ôóíêöèåé, åñëè îíî
îáëàäàåò ñâîéñòâîì ôóíêöèîíàëüíîñòè: åñëè hx, y1 i ∈ F è hx, y2 i ∈ F , òî y1 = y2 . Èíà÷å ãîâîðÿ,
äëÿ êàæäîãî x ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî y òàêîãî, ÷òî hx, yi ∈ F . Ýòîò åäèíñòâåííûé y (åñëè îí
ñóùåñòâóåò) îáîçíà÷àåòñÿ F (x). Åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ A ñóùåñòâóåò F (x), òî ôóíêöèÿ F íàçûâàåòñÿ
âñþäó îïðåäåë¼ííîé, èëè òîòàëüíîé. Çàïèñûâàåòñÿ ýòî òàê: F : A → B .
Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé ÷àñòíûé ñëó÷àé êîìïîçèöèè îòíîøåíèé. Çàìåòèì, ÷òî ïðè íàøèõ îïðåäåëåíèÿõ â êîìïîçèöèè F ◦ G ñíà÷àëà ïðèìåíÿåòñÿ ôóíêöèÿ F , à ïîòîì ôóíêöèÿ G (îáû÷íî â
ìàòåìàòèêå ïðèíÿòî ïðîòèâîïîëîæíîå ñîãëàøåíèå).
13. Ïóñòü F : A → B . Äîêàæèòå, ÷òî à) F áèåêòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà F −1 âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ; á) F èíúåêòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F −1 (÷àñòè÷íàÿ) ôóíêöèÿ; â) F
áèåêòèâíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F ◦ F −1 = 1A è F −1 ◦ F = 1B . ã) ×òî ìîæíî ñêàçàòü îá F , åñëè
âûïîëíåíî òîëüêî îäíî èç ýòèõ óñëîâèé?
14. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêóþ F : A → B ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîìïîçèöèè F = H ◦ G, ãäå G èíúåêòèâíàÿ ôóíêöèÿ, à H ñþðúåêòèâíàÿ.
15. Ïóñòü F : A → B , G : B → A, ïðè÷¼ì F ◦G = 1A . Äîêàæèòå, ÷òî F èíúåêòèâíà, à G ñþðúåêòèâíà.
Ëèñòîê  2. Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé
Îïðåäåëåíèÿ. Çàôèêñèðóåì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî Var = {p1 , p2 , p3 , . . . , pn , . . . }, íàçûâàåìîå ìíîæåñòâîì ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ. Èíîãäà äëÿ óäîáñòâà ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîïîçèöèîíàëüíûå
ïåðåìåííûå ðàçíûìè áóêâàìè (íàïðèìåð, p = p1 , q = p2 , r = p3 è ò. ä.).
Ìíîæåñòâî Fm ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1) ëþáàÿ ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëîé;
2) êîíñòàíòà ⊥ (¾ëîæü¿) ÿâëÿåòñÿ ïðîïîçèöèîíàëüíîé ôîðìóëîé;
3) åñëè A è B ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû, òî (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B), ¬A òîæå
ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû;
4) äðóãèõ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë íåò.
Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî ôîðìóëà ýòî âñåãî ëèøü ñòðî÷êà ñèìâîëîâ, ñóãóáî ñèíòàêñè÷åñêèé îáúåêò.
Ñëîâî ¾ïðîïîçèöèîíàëüíûé¿ â ýòîì ëèñòî÷êå ìû áóäåì èíîãäà îïóñêàòü.
1. à) Äîêàæèòå ëåììó îá îäíîçíà÷íîñòè ñèíòàêñè÷åñêîãî ðàçáîðà: ëþáàÿ ôîðìóëà åäèíñòâåííûì
îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â îäíîì èç âèäîâ 1)3).
á) Ïðåäëîæèòå ñïîñîá çàïèñè ôîðìóë áåç ñêîáîê, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ îäíîçíà÷íîñòè ðàçáîðà. (Åñëè ïðîñòî îïóñòèòü âñå ñêîáêè â ïðåäëîæåííîì âûøå îïðåäåëåíèè, ýòî óñëîâèå íàðóøèòñÿ.)
Îïðåäåëåíèÿ. Íàçîâ¼ì èíòåðïðåòàöèåé ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå α : Var → {0, 1}. Îòîáðàæåíèå α ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû ïî òàáëèöàì èñòèííîñòè; îáîçíà÷èì ýòî
ðàñøèðåíèå ÷åðåç ᾱ. Çíà÷åíèå ᾱ(A) íàçûâàåòñÿ èñòèííîñòíûì çíà÷åíèåì ôîðìóëû A ïðè èíòåðïðåòàöèè α. Åñëè äëÿ äàííîé ôîðìóëû A âåðíî ᾱ(A) = 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìóëà A èñòèííà ïðè
èíòåðïðåòàöèè α, è ïèøóò α A.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå A ëîæíà ïðè èíòåðïðåòàöèè α; α 6 A.
Ôîðìóëà A îáùåçíà÷èìà, åñëè îíà èñòèííà ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ.
Ôîðìóëû A è B ýêâèâàëåíòíû, åñëè ôîðìóëà A ↔ B îáùåçíà÷èìà.
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà p∨q íå ýêâèâàëåíòíà íèêàêîé ôîðìóëå, â çàïèñè êîòîðîé âñòðå÷àþòñÿ
òîëüêî çíàêè ↔, ¬, ñêîáêè è ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå.
á) Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà p → q íå ýêâèâàëåíòíà íèêàêîé ôîðìóëå, â çàïèñè êîòîðîé âñòðå÷àþòñÿ
òîëüêî çíàêè ∨, ∧, ñêîáêè è ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå.
3. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó îò òð¼õ ïåðåìåííûõ p, q è r, èñòèííóþ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà
à) ðîâíî îäíà; á) íå ìåíåå äâóõ èç ïåðåìåííûõ ïðèíèìàþò çíà÷åíèå 1.
4. Ïîñòðîéòå ïðîïîçèöèîíàëüíóþ ôîðìóëó A, äëÿ êîòîðîé îáå ôîðìóëû (r → A) ↔ (r → (p ∧ q)) è
(A → r) ↔ ((¬(p ∨ q)) → r) îáùåçíà÷èìû.
5. Ìîæíî ëè ïîñòðîèòü òàêóþ ôîðìóëó A, ÷òîáû ôîðìóëà ((A ∧ q) → ¬p) → ((p → ¬q) → A) áûëà
îáùåçíà÷èìîé? Åñëè äà, òî ñêîëüêî íåýêâèâàëåíòíûõ ðåøåíèé èìååò çàäà÷à?
6. à) Ïîñòðîéòå ïðîïîçèöèîíàëüíóþ ôîðìóëó îò ïåðåìåííûõ p, q è r, èçìåíÿþùóþ ñâî¼ çíà÷åíèå
ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèÿ ðîâíî îäíîé èç ýòèõ ïåðåìåííûõ.
á) Ïðèäóìàéòå ýëåêòðè÷åñêóþ ñõåìó, ïðè êîòîðîé ñâåò â êîìíàòå âêëþ÷àåòñÿ è âûêëþ÷àåòñÿ ëþáûì èç òð¼õ ïåðåêëþ÷àòåëåé, íåçàâèñèìî îò ñîñòîÿíèÿ îñòàëüíûõ (ïåðåêëþ÷àòåëü èìååò íåñêîëüêî
êîíòàêòîâ è 2 ñîñòîÿíèÿ, â îäíîì èç êîòîðûõ ñîåäèíåíî îäíî ìíîæåñòâî êîíòàêòîâ, à â äðóãîì äðóãîå).
Îïðåäåëåíèÿ. Åñëè T ìíîæåñòâî ôîðìóë (ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ òåîðèÿ), è âñå îíè èñòèííû ïðè
èíòåðïðåòàöèè α, òî ïèøåì α T è ãîâîðèì, ÷òî òåîðèÿ T èñòèííà ïðè èíòåðïðåòàöèè α è, íàîáîðîò,
èíòåðïðåòàöèÿ α ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ òåîðèè T . Ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ òåîðèÿ, èìåþùàÿ õîòÿ áû îäíó
ìîäåëü, íàçûâàåòñÿ âûïîëíèìîé.
7. Ïóñòü Θ ìíîæåñòâî âñåõ èíòåðïðåòàöèé. Îïðåäåëèì íà í¼ì ñòðóêòóðó ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè α, β ∈ Θ, ïðè÷¼ì α(pi ) = β(pi ) äëÿ âñåõ i < n, à α(pn ) 6= β(pn ), òî
ρ(α, β) = 2−n (à åñëè α(pi ) = β(pi ) äëÿ âñåõ i, òî α = β è ρ(α, β) = 0).
à) Äîêàæèòå, ÷òî Θ = hΘ, ρi ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
á) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Θ êîìïàêòíî.
â) Ïóñòü T ⊂ Fm êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî
{α | α T } îòêðûòî è çàìêíóòî â Θ.
ã) Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé. Ïóñòü òåîðèÿ T òàêîâà, ÷òî ëþáîå å¼ êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî âûïîëíèìî. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà âñÿ òåîðèÿ T òàêæå âûïîëíèìà.
8. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ëåììà Êðåéãà. Ïóñòü A è B ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû, ïðè÷¼ì ôîðìóëà A → B îáùåçíà÷èìà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôîðìóëà C , ÷òî ôîðìóëû A → C è C → B
îáùåçíà÷èìû, è âñÿêàÿ ïåðåìåííàÿ, âõîäÿùàÿ â C , âõîäèò îäíîâðåìåííî è â A, è â B .
Ëèñòîê  3. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà
1. Ïóñòü ñèãíàòóðà ñîäåðæèò ïðåäèêàò ðàâåíñòâà è òð¼õìåñòíûé ïðåäèêàò C . Ðàññìîòðèì å¼ íîðìàëüíóþ èíòåðïðåòàöèþ íà ìíîæåñòâå âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ïðè ýòîì C(x, y, z) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè
x è y ðàâíîóäàëåíû îò òî÷êè z . Çàïèøèòå â ýòîé ñèãíàòóðå ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: à) ¾òðè ðàçëè÷íûå
òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé¿; á) ¾ïðÿìûå AB è CD ïàðàëëåëüíû¿; â) ¾∠ABC = ∠A0 B 0 C 0 ¿;
ã) ¾4ABC = 4A0 B 0 C 0 ¿; ä) ¾èç òî÷êè M âñå ñòîðîíû 4ABC âèäíû ïîä óãëîì 120◦¿; å) ¾I öåíòð
âïèñàííîé îêðóæíîñòè 4ABC ¿; ¼) ¾M òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí 4ABC ¿; æ) ïÿòûé ïîñòóëàò
Åâêëèäà.
2. Ðàññìîòðèì åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû h=, <i íà ìíîæåñòâå Z. Êàê âûðàçèòü îòíîøåíèå y = x + 1?
3. Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, +, P 2 ) íà ìíîæåñòâå R: P (a, b) èñòèííî òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà b = a2 ; = è + èíòåðïðåòèðóþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì. Âûðàçèòå ôîðìóëîé òð¼õìåñòíîå
îòíîøåíèå ¾x = yz ¿.
4. Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, f 1 ) íà ìíîæåñòâå Z: ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë f èíòåðïðåòèðóåòñÿ ôóíêöèåé x 7→ (x + 2); ïðåäèêàòíûé ñèìâîë = èíòåðïðåòèðóåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì.
Âûðàçèìî ëè ôîðìóëîé äâóìåñòíîå îòíîøåíèå ¾y = x + 1¿?
5. Ðàññìîòðèì åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, +, 0, 1) íà ìíîæåñòâå R. Ïðè êàêèõ
(ôèêñèðîâàííûõ) çíà÷åíèÿõ ξ ∈ R ïðåäèêàò ¾x = ξ ¿ âûðàçèì ôîðìóëîé?
6. Âûðàçèì ëè ïðåäèêàò ¾x = 3¿ â ìíîæåñòâå N ñ ïðåäèêàòàìè ðàâåíñòâà è ¾y êðàòíî z ¿?
7. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó â ñèãíàòóðå (=, <), èñòèííóþ âî âñåõ êîíå÷íûõ èíòåðïðåòàöèÿõ, íî íå îáùåçíà÷èìóþ.
8. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó â ÿçûêå ïåðâîãî ïîðÿäêà áåç ðàâåíñòâà, èìåþùóþ 3-ýëåìåíòíóþ ìîäåëü è
íå èìåþùóþ 2-ýëåìåíòíîé.
9. Ïðèäóìàéòå èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû ñ òðåìÿ ïðåäèêàòàìè, â êîòîðîé êàæäûé ïðåäèêàò âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äâà äðóãèõ, íî íè îäèí íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äðóãîé.
10. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó àðèôìåòèêè: (+, ·, =) è å¼ åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ íà ìíîæåñòâå
N. Âûðàçèìûå îòíîøåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþòñÿ àðèôìåòè÷åñêèìè. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå
îòíîøåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèå: à) ¾x = 0¿; á) ¾x = 1¿; â) ¾x = N ¿ (N ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî); ã) ¾x 6 y ¿; ä) ¾x êðàòíî y ¿; å) ¾x ïðè äåëåíèè íà y äà¼ò íåïîëíîå ÷àñòíîå q è îñòàòîê r¿;
¼) ¾z = ÍÎÄ(x, y)¿; æ) ¾x åñòü ñòåïåíü äâîéêè¿; ç) ¾x ïðîñòîå ÷èñëî¿.
11. Çàäàéòå îòíîøåíèå ¾x = N ¿ ôîðìóëîé äëèíû íå áîëüøåé, ÷åì C log2 N äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû C , íå çàâèñÿùåé îò N .
Ýëåìåíòàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü
Äâå èíòåðïðåòàöèè íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè â íèõ èñòèííû îäíè è òå æå
ôîðìóëû áåç ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ.
12. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó (=, <). Áóäóò ëè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû å¼ åñòåñòâåííûå èíòåðïðåòàöèè íà Z è N?
13. Ðàññìîòðèì òó æå ñèãíàòóðó è å¼ åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ íà R. Ñóùåñòâóåò ëè èíòåðïðåòàöèÿ ýòîé ñèãíàòóðû íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå ìîùíîñòè êîíòèíóóì, íå èçîìîðôíàÿ, íî ýëåìåíòàðíî
ýêâèâàëåíòíàÿ ýòîé èíòåðïðåòàöèè?
14. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó (+, =). Áóäóò ëè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû å¼ åñòåñòâåííûå èíòåðïðåòàöèè à) íà Z è Q? á) íà Z è Z ⊕ Q? â) íà Z è Z ⊕ Z?
Òåîðèåé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ôîðìóë (â äàííîé ñèãíàòóðå) áåç ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Ìîäåëüþ òåîðèè íàçûâàåòñÿ èíòåðïðåòàöèÿ, ïðè êîòîðîé âñå ýòè ôîðìóëû èñòèííû.
15. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñèãíàòóðà êîíå÷íà èëè ñ÷¼òíà, òî ëþáàÿ òåîðèÿ â ýòîé ñèãíàòóðå ìîæåò
èìåòü íå áîëüøå, ÷åì êîíòèíóóì ïîïàðíî íåèçîìîðôíûõ ñ÷¼òíûõ ìîäåëåé. á) Ïîñòðîéòå òåîðèþ â
ñèãíàòóðå ñ ðàâåíñòâîì è åù¼ îäíèì äâóõìåñòíûì ïðåäèêàòîì, èìåþùóþ êîíòèíóóì ïîïàðíî íåèçîìîðôíûõ ñ÷¼òíûõ ìîäåëåé.
Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ êàòåãîðè÷íîé â äàííîé ìîùíîñòè, åñëè âñå å¼ ìîäåëè äàííîé ìîùíîñòè èçîìîðôíû.
16. Ïðèâåäèòå ïðèìåð òåîðèè, èìåþùåé ìîäåëè âñåõ ìîùíîñòåé è ïðè ýòîì êàòåãîðè÷íîé âî âñåõ
ìîùíîñòÿõ.
Ëèñòîê  4. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà II
1. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó áåç êîíñòàíò è ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëîâ, âñå ïðåäèêàòíûå ñèìâîëû
êîòîðîé îäíîìåñòíû. à) Ñóùåñòâóåò ëè â ýòîé ñèãíàòóðå âûïîëíèìàÿ çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, íå èìåþùàÿ êîíå÷íûõ ìîäåëåé? á) Ñóùåñòâóåò ëè àëãîðèòì, ïðîâåðÿþùèé âûïîëíèìîñòü äàííîé çàìêíóòîé
ôîðìóëû â ýòîé ñèãíàòóðå? Åñëè äà, òî îöåíèòå (õîòÿ áû ãðóáî) âðåìÿ ðàáîòû ýòîãî àëãîðèòìà.
2. Íàçîâ¼ì ñïåêòðîì äàííîé çàìêíóòîé ôîðìóëû A (â ñèãíàòóðå ñ ðàâåíñòâîì) ìíîæåñòâî òàêèõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîäåëü ôîðìóëû A ìîùíîñòè n. Ñóùåñòâóåò ëè ôîðìóëà, ñïåêòð
êîòîðîé à) ìíîæåñòâî {2, 6, 100, 2013}; á) ìíîæåñòâî {1317, 1812, 1945}∪{n | n > 2014}; â) ìíîæåñòâî
âñåõ ÷¼òíûõ ÷èñåë; ã) ìíîæåñòâî âñåõ ñòåïåíåé äâîéêè; ä) ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë?
3. Ïîñòðîéòå ôîðìóëó â ñèãíàòóðå ñ îäíèì òð¼õìåñòíûì ïðåäèêàòíûì ñèìâîëîâ R (è ðàâåíñòâîì),
êîòîðàÿ èìååò ñïåêòð N, íî íå îáùåçíà÷èìà.
Óñòðàíåíèå êâàíòîðîâ
Òåîðåìà Òàðñêîãî Çàéäåíáåðãà. Âñÿêàÿ ôîðìóëà â ñèãíàòóðå (=, <, 0, 1, +, ·) ïðè ñòàíäàðòíîé
èíòåðïðåòàöèè íà ìíîæåñòâå R ýêâèâàëåíòíà íåêîòîðîé áåñêâàíòîðíîé ôîðìóëå.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû äîâîëüíî ñëîæíî òåõíè÷åñêè, îäíàêî ïîëåçíî ïîìíèòü, ÷òî äîñòàòî÷íî óìåòü óñòðàíèòü îäèí êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ, ò. å. ïðèâåñòè ôîðìóëó âèäà ∃x A, ãäå A íå ñîäåðæèò
êâàíòîðîâ, ê áåñêâàíòîðíîìó âèäó. Äàëüíåéøåå äåëàåòñÿ èíäóêöèåé ïî êîëè÷åñòâó êâàíòîðîâ.
4. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó äëÿ C (â ñèãíàòóðå, ðàçóìååòñÿ, óæå íå áóäåò
ñèìâîëà ¾<¿). Âåðíî ëè, ÷òî â êà÷åñòâå áåñêâàíòîðíîé ôîðìóëû, ýêâèâàëåíòíîé äàííîé, è â R, è â C
ìîæíî âçÿòü îäíó è òó æå ôîðìóëó?
5. à) Äîêàæèòå òåîðåìó îá óñòðàíåíèè êâàíòîðîâ äëÿ ñòðóêòóð hQ, <, =i è hR, <, =i. á) Äîêàæèòå,
÷òî ýòè ñòðóêòóðû ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû (ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿÿñü èçîìîðôíûìè).
6. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñâîéñòâî ¾x = α¿ (α ôèêñèðîâàííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî) âûðàçèìî â
(R; =, <, 0, 1, +, ·) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà α àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî. á) Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå
àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ C.
7. Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ ñèãíàòóðû (=, S, 0) íà ìíîæåñòâå Z. (S ýòî îäíîìåñòíûé ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë, èíòåðïðåòèðóåìûé ôóíêöèåé x 7→ x + 1.) à) Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå òåîðåìó
îá óñòðàíåíèè êâàíòîðîâ. á) Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ¾x < y ¿ â ýòîé èíòåðïðåòàöèè íåâûðàçèìî. â)
Ìîæíî ëè ýòî ñäåëàòü ìåòîäîì àâòîìîðôèçìîâ?
Êîìïàêòíîñòü
Òåîðåìà üäåëÿ Ìàëüöåâà î êîìïàêòíîñòè. Òåîðèÿ T èìååò ìîäåëü òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ëþáàÿ å¼ êîíå÷íàÿ ïîäòåîðèÿ T0 ⊂ T èìååò ìîäåëü.
Ýòó òåîðåìó ìîæíî èñïîëüçîâàòü áåç äîêàçàòåëüñòâà.
8. Ñóùåñòâóåò ëè òåîðèÿ, èìåþùàÿ êîíå÷íûå ìîäåëè ñêîëü óãîäíî áîëüøîé ìîùíîñòè, íî íå èìåþùàÿ áåñêîíå÷íîé ìîäåëè?
9. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó, ñîäåðæàùóþ òîëüêî äâóìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë ðàâåíñòâà è äâóìåñòíûé ïðåäèêàòíûé ñèìâîë R, èíòåðïðåòàöèè ìíîæåñòâà ñ áèíàðíûìè îòíîøåíèÿìè (îðèåíòèðîâàííûå ãðàôû). Ìîæíî ëè âûðàçèòü ôîðìóëàìè 1-ãî ïîðÿäêà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ/ãðàôà:
à) ñèììåòðè÷íîñòü; á) ðåôëåêñèâíîñòü; â) òðàíçèòèâíîñòü; ã) ñóùåñòâîâàíèå êëèêè ðàçìåðà 6 (ìíîæåñòâà èç 6 âåðøèí, â êîòîðîì êàæäàÿ ñîåäèíåíà ñ êàæäîé ñòðåëêàìè â îáå ñòîðîíû); ä) êîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà âåðøèí; å) ¾âåðøèí ëèáî ÷¼òíîå ÷èñëî, ëèáî áåñêîíå÷íî ìíîãî¿; ¼) àöèêëè÷íîñòü; æ) ñâÿçíîñòü?
10. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó, ñîäåðæàùóþ îäèí äâóìåñòíûé ïðåäèêàò = (ðàâåíñòâî), äâà äâóìåñòíûõ
ôóíêöèîíàëüíûõ ñèìâîëà: + è · è äâå êîíñòàíòû: 0 è 1. Èíòåðïðåòàöèè êîëüöà. Ìîæíî ëè âûðàçèòü
ôîðìóëîé 1-ãî ïîðÿäêà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà êîëåö: à) êîììóòàòèâíîñòü; á) îòñóòñòâèå äåëèòåëåé íóëÿ;
â) ¾äàííîå êîëüöî åñòü ïîëå¿; ã) ¾äàííîå êîëüöî åñòü ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p¿ (p ôèêñèðîâàííîå
ïðîñòîå ÷èñëî); ä) ¾äàííîå êîëüöî åñòü ïîëå íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè¿; å) ¾äàííîå êîëüöî ÿâëÿåòñÿ
àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì¿?
11. Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó (+, ·, S , =) è å¼ åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ íà ìíîæåñòâå N (ôóíêöèîíàëüíûé ñèìâîë S èíòåðïðåòèðóåòñÿ îòîáðàæåíèåì x 7→ (x+1)). Ñóùåñòâóåò ëè ñ÷¼òíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ
ýòîé ñèãíàòóðû, ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíàÿ, íî íå èçîìîðôíàÿ åñòåñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè íà N?
Ôîðìóëà A ñåìàíòè÷åñêè ñëåäóåò èç òåîðèè T (ïèøåì: T A), åñëè îíà âåðíà â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè, â êîòîðîé âåðíà òåîðèÿ T .
12. Ïóñòü òåîðèè T1 è T2 òàêîâû, ÷òî T1 ∪ T2 íå èìååò ìîäåëåé. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ
ôîðìóëà A, ÷òî T1 A è T2 ¬A.
Ëèñòîê  5. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà III
Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ
Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèìè àêñèîìàìè è ïðàâèëàìè âûâîäà:
Àêñèîìû:
À1. Ôîðìóëû, ïîëó÷àåìûå ïîäñòàíîâêîé èç òàâòîëîãèé ëîãèêè âûñêàçûâàíèé.
À2. Ôîðìóëû âèäà (∀x A) → A[x := t], ïðè÷¼ì ïåðåìåííûå òåðìà t íå ñâÿçàíû êâàíòîðàìè âíóòðè A.
À3. Ôîðìóëû âèäà A[x := t] → (∃x A), ñ òåì æå óñëîâèåì.
Ïðàâèëà âûâîäà:
R1.
A A→B
B
modus ponens (MP)
R2.
|
A→B
A → (∀x B)
B→A
(∃x B) → A
{z
}
ïðàâèëà Áåðíàéñà
R3.
 ïðàâèëàõ Áåðíàéñà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïåðåìåííàÿ x íå âõîäèëà ñâîáîäíî â ôîðìóëó A.
Ïóñòü T òåîðèÿ (ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ ôîðìóë). Åñëè íåêàÿ ôîðìóëà A ìîæåò áûòü âûâåäåíà
â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ, â êîòîðîå ôîðìóëû èç T äîáàâëåíû â êà÷åñòâå àêñèîì, òî A âûâîäèìà â
òåîðèè T (ïèøåì: T ` A).
1. Ïîêàæèòå, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ â àêñèîìàõ A2 è A3 è ïðàâèëàõ R2 è R3 ñóùåñòâåííû (áåç íèõ â
èñ÷èñëåíèè ñòàíóò âûâîäèìûìè íåîáùåçíà÷èìûå ôîðìóëû).
2. Äîêàæèòå òåîðåìó î äåäóêöèè: åñëè T òåîðèÿ, A çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, à B ïðîèçâîëüíàÿ
ôîðìóëà, òî T ∪ {A} ` B ⇐⇒ T ` (A → B).
Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå (â ñëàáîé ôîðìå). Åñëè çàìêíóòàÿ ôîðìóëà îáùåçíà÷èìà (ò.å.
èñòèííà âî âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ), òî îíà âûâîäèìà â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.
Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå (â ñèëüíîé ôîðìå). Âñÿêàÿ íåïðîòèâîðå÷èâàÿ òåîðèÿ (ò.å. òåîðèÿ,
èç êîòîðîé ñðåäñòâàìè èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ íåëüçÿ îäíîâðåìåííî âûâåñòè íåêîòîðóþ ôîðìóëó è å¼
îòðèöàíèå) èìååò ìîäåëü. Áîëåå òîãî, â ñèëó òåîðåìû ˼âåíãåéìà Ñêîëåìà â ñëó÷àå êîíå÷íîé èëè
ñ÷¼òíîé ñèãíàòóðû ìîæíî ïîñòðîèòü íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíóþ ìîäåëü.
3. à) Âûâåäèòå èç òåîðåìû üäåëÿ î ïîëíîòå â ñèëüíîé ôîðìå òåîðåìó üäåëÿ î ïîëíîòå â ñëàáîé
ôîðìå.
á) Âûâåäèòå òåîðåìó üäåëÿ î ïîëíîòå â ñèëüíîé ôîðìå èç òåîðåìû üäåëÿ î ïîëíîòå
â ñëàáîé ôîðìå è òåîðåìû î êîìïàêòíîñòè (ñì. ïðåäûäóùèé ëèñòîê).
â) Âûâåäèòå èç òåîðåìû
üäåëÿ î ïîëíîòå (â ñèëüíîé ôîðìå) ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè âî âñåõ ìîäåëÿõ òåîðèè T èñòèííà
ôîðìóëà A, òî îíà âûâîäèìà èç T . (êîðîòêî ýòî çàïèñûâàþò òàê: T A ⇒ T ` A). Âåðíî ëè îáðàòíîå?
4. Âûâîäèìû ëè â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ ôîðìóëû: à) (∀x (A → B)∧∃x A) → ∃x B ; á) ∃x A → ∀x A;
â) ∃x ∀y A → ∀y ∃x A; ã) ∀y ∃x A → ∃x ∀y A?
5. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè T ` (A → B), òî T ` (∃x A → ∃x B).
6. Ïóñòü òåîðèè T1 è T2 â íåêîòîðîé ñèãíàòóðå òàêîâû, ÷òî òåîðèÿ T1 ∪T2 ïðîòèâîðå÷èâà. Äîêàæèòå,
÷òî íàéä¼òñÿ òàêàÿ ôîðìóëà A, ÷òî T1 ` A è T2 ` ¬A.
Ïîëíûå òåîðèè
Íàçîâ¼ì íåïðîòèâîðå÷èâóþ òåîðèþ T ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ëèáî T ` A, ëèáî T ` ¬A.
7. à) Äîêàæèòå, ÷òî ïîëíàÿ òåîðèÿ îáëàäàåò äèçúþíêòèâíûì ñâîéñòâîì: åñëè T ` B ∨ C , òî T ` B
èëè T ` C . á) Ñóùåñòâóþò ëè íåïîëíûå òåîðèè, îáëàäàþùèå äèçúþíêòèâíûì ñâîéñòâîì?
8. à) Äîêàæèòå, ÷òî âñå ìîäåëè ïîëíîé òåîðèè ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíû. á) Âåðíî ëè îáðàòíîå?
9. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîé íåïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè T ñóùåñòâóåò ïîëíàÿ òåîðèÿ T 0 , âêëþ÷àþùàÿ â ñåáÿ T .
10. à) Ïðèçíàê Ëîñÿ Âîîòà. Ïóñòü òåîðèÿ T â êîíå÷íîé èëè ñ÷¼òíîé ñèãíàòóðå íå èìååò êîíå÷íûõ
ìîäåëåé è êàòåãîðè÷íà â ñ÷¼òíîé ìîùíîñòè (ò.å. âñå å¼ ñ÷¼òíûå ìîäåëè èçîìîðôíû). Äîêàæèòå, ÷òî T
ïîëíà. á) Ïîêàæèòå, ÷òî óñëîâèå îòñóòñòâèÿ êîíå÷íûõ ìîäåëåé â ýòîé òåîðåìå ñóùåñòâåííî.
Ðàññìîòðèì ñèãíàòóðó h<, =i è ïóñòü òåîðèÿ DLO ñîñòîèò èç àêñèîì èððåôëåêñèâíîñòè, òðàíçèòèâíîñòè, ëèíåéíîñòè, ïëîòíîñòè (∀x∀y (x < y → ∃z (x < z ∧ z < y))) è íåîãðàíè÷åííîñòè â îáå ñòîðîíû
(∀x∃y∃z(y < x ∧ x < z)).
Òåîðåìà Êàíòîðà. Òåîðèÿ DLO êàòåãîðè÷íà â ñ÷¼òíîé ìîùíîñòè.
11. ßâëÿþòñÿ ëè èíòåðïðåòàöèè hQ, <i è hR, <i ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûìè?
12. Çàìåíèì àêñèîìó íåîãðàíè÷åííîñòè â îáå ñòîðîíû àêñèîìàìè íåîãðàíè÷åííîñòè âïðàâî è ñóùåñòâîâàíèÿ íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà. Áóäåò ëè ïîëó÷åííàÿ òåîðèÿ ïîëíîé?
Ëèñòîê  6. Ìîäàëüíàÿ ëîãèêà
Ìîäàëüíûå ôîðìóëû ñòðîÿòñÿ èç ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ (Var = {p, q, r, . . .}) ïðè ïîìîùè êëàññè÷åñêèõ ñâÿçîê (∧, ∨, →, ¬) è äîïîëíèòåëüíîé îäíîìåñòíîé ñâÿçêè . Ñâÿçêà ♦ îïðåäåëÿåòñÿ êàê
ñîêðàù¼ííàÿ çàïèñü êîìáèíàöèè ¬¬. Øêàëà Êðèïêå åñòü îðèåíòèðîâàííûé ãðàô hW, Ri, ãäå W íåïóñòîå ìíîæåñòâî (åãî ýëåìåíòû íàçûâàþòñÿ ¾ìèðàìè¿), à R ⊆ W × W ïðîèçâîëüíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà W , íàçûâàåìîå îòíîøåíèåì äîñòèæèìîñòè. Óòâåðæäåíèå hx, yi ∈ R ìû áóäåì
çàïèñûâàòü êàê xRy è èíîãäà ïðîèçíîñèòü êàê ¾ìèð x âèäèò ìèð y ¿. Èíòåðïðåòàöèåé (îöåíêîé)
ïåðåìåííûõ â äàííîé øêàëå Êðèïêå íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ θ : W × Var → {0, 1} (â êàæäîì ìèðå èñòèííîñòü ïåðåìåííûõ îïðåäåëÿåòñÿ íåçàâèñèìî). Èñòèííîñòü ñëîæíûõ ôîðìóë â äàííîì ìèðå îïðåäåëÿåòñÿ èíäóêöèåé ïî èõ ïîñòðîåíèþ. Ñëó÷àé êëàññè÷åñêèõ ñâÿçîê ðàçáèðàåòñÿ ïî òàáëèöàì èñòèííîñòè. Ôîðìóëà A èñòèííà â ìèðå u òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âî âñåõ âèäèìûõ èç ìèðà u ìèðàõ
èñòèííà ôîðìóëà v (u A ⇐⇒ (∀v) (uRv ⇒ v A)). Èç îïðåäåëåíèé ñðàçó ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî
u ♦A ⇐⇒ (∃v) (uRv è v A). Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ îáùåçíà÷èìîé â øêàëå hW, Ri, åñëè îíà
èñòèííà âî âñåõ ìèðàõ ïðè âñåõ âîçìîæíûõ îöåíêàõ ïåðåìåííûõ.
1. Ðàññìîòðèì øêàëó Êðèïêå hZ, <i (¾ìèðû¿ öåëûå ÷èñëà, ìèð n ¾âèäèò¿ ìèð m â òî÷íîñòè
òîãäà, êîãäà n < m). Îïðåäåëèì èíòåðïðåòàöèþ ïåðåìåííûõ p è q ñëåäóþùèì îáðàçîì: â ìèðå n
èñòèííà ïåðåìåííàÿ p òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n ÷¼òíî; â ìèðå n èñòèííà ïåðåìåííàÿ q òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà n > 0.  êàêèõ òî÷êàõ ïîëó÷åííîé ìîäåëè âåðíû ôîðìóëû: à) ♦q ∧ ♦p; á)
♦(p ∧ ¬q) ∨ q ? â) Ïîñòðîéòå ìîäàëüíóþ ôîðìóëó, èñòèííóþ âî âñåõ ìèðàõ, êðîìå ìèðà −1.
2. Îáùåçíà÷èìà ëè ôîðìóëà (p → p) → (♦p → p) â øêàëå à) hN, <i; á) hZ, <i; â) hQ, <i?
3. Äëÿ êàæäîé èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë îïèøèòå êëàññ øêàë Êðèïêå, â êîòîðûõ ýòà ôîðìóëà îáùåçíà÷èìà: à) p; á) ♦(p ∨ ¬p); â) ♦p → ♦p; ã) ♦p → p; ä) p → ♦p; å) (p → p) → p.
4. Íàïèøèòå ìîäàëüíóþ ôîðìóëó, îáùåçíà÷èìóþ â òî÷íîñòè â òåõ øêàëàõ Êðèïêå, â êîòîðûõ
à) èç êàæäîãî ìèðà äîñòèæèìû íå áîëåå n ìèðîâ; á) äëèíà ìàêñèìàëüíîãî ïóòè íå áîëüøå n.
5. Ñóùåñòâóåò ëè êîíå÷íàÿ øêàëà Êðèïêå, â êîòîðîé îáùåçíà÷èìû â òî÷íîñòè âñå ôîðìóëû, îáùåçíà÷èìûå âî âñåõ øêàëàõ Êðèïêå?
Ëèñòîê  7à. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ I
Âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ ýòî ôóíêöèÿ, âû÷èñëÿåìàÿ íåêîòîðûì àëãîðèòìîì. Çàìåòèì, ÷òî âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà íå âñþäó: íà íåêîòîðûõ âõîäíûõ äàííûõ àëãîðèòì ìîæåò
¾çàâèñíóòü¿.
Ïîíÿòèå àëãîðèòìà ìîæíî ôîðìàëèçîâûâàòü ìíîãèìè ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè; îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
âñå îíè ïðèâîäÿò ê îäíîìó è òîìó æå êëàññó âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé. Ýòî óòâåðæäåíèå (íàçûâàåìîå
èíîãäà òåçèñîì ×¼ð÷à) íå ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ äîêàçàíî êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðåìà (ïîñêîëüêó
êâàíòîð ¾äëÿ âñåõ ðàçóìíûõ ôîðìàëèçàöèé ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà¿ íåìàòåìàòè÷åñêèé), îäíàêî äëÿ äâóõ
êîíêðåòíûõ ôîðìàëèçàöèé ýêâèâàëåíòíîñòü ìîæåò áûòü ïðîâåðåíà íåïîñðåäñòâåííî.
Ðàçðåøèìîå ìíîæåñòâî ýòî ìíîæåñòâî, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîòîðîãî âû÷èñëèìà.
Ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî ýòî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íåêîòîðîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè.
Âñÿêîå ðàçðåøèìîå ìíîæåñòâî ïåðå÷èñëèìî. Îáðàòíîå íåâåðíî, íî ïðèìåð ìû ïîñòðîèì ïîçæå.
1. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà A ðàâíîñèëüíû: (1) A ïåðå÷èñëèìî; (2) A åñòü
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè; (3) A ëèáî ïóñòî, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì
çíà÷åíèé íåêîòîðîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè.
2. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ f âû÷èñëèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà å¼ ãðàôèê (ìíîæåñòâî Γf =
{hx, f (x)i | x ∈ D(f )}) ïåðå÷èñëèì.
3. Äîêàæèòå òåîðåìó Ïîñòà: ìíîæåñòâî A ⊆ N ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâà
A è N − A ïåðå÷èñëèìû.
4. Âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ f : N → N íåóáûâàåò (ò. å. åñëè m > n, òî f (m) > f (n)) è âû÷èñëèìà. Äîêàæèòå, ÷òî å¼ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ðàçðåøèìî. Âåðíî ëè, ÷òî âñÿêîå íåïóñòîå ðàçðåøèìîå
ìíîæåñòâî A ⊆ N ìîæíî çàäàòü òàêèì îáðàçîì?
5. Ðàçðåøèìî ëè ìíîæåñòâî à) {n ∈ N | (∃p > n) p è p + 2 ïðîñòûå}; á) {x ∈ Q | x < e} ðàçðåøèìî?
6. Ìíîæåñòâî F ⊆ N × N òàêîâî, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ìíîæåñòâà Fn(1) = {m | hn, mi ∈ F } è
(2)
Fn = {m | hm, ni ∈ F } ðàçðåøèìû. Âñåãäà ëè ðàçðåøèìî ñàìî ìíîæåñòâî F ?
7. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî A ⊆ N ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ðàçðåøèìîå ïîäìíîæåñòâî.
Ëèñòîê  7á. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ II
Ïóñòü âñå àëãîðèòìû çàíóìåðîâàíû íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè è ïóñòü ñîîòâåòñòâóþùèå èì âû÷èñëèìûå ôóíêöèè (èç N â N) ñóòü g0 , g1 , g2 , . . . . Óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ F : N × N → N òàêîâà,
÷òî F (n, m) = gn (m). Ïðè ïîäõîäÿùåé íóìåðàöèè àëãîðèòìîâ ñàìà ôóíêöèÿ F òàêæå âû÷èñëèìà.
Êðîìå òîãî, ìû ïîòðåáóåì, ÷òîáû íàøà óíèâåðñàëüíàÿ ôóíêöèÿ áûëà ãëàâíîé, ò. å. äëÿ ëþáîé äâóìåñòíîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè G ñóùåñòâóåò âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ îäíîìåñòíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ
s, äëÿ êîòîðîé G(n, m) = F (s(n), m).
1. à) Ïóñòü çàäàíà ãëàâíàÿ óíèâåðñàëüíàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ F . Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò
òàêàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ c : N × N → N, ÷òî äëÿ âñåõ m è n âåðíî gc(m,n) = gm ◦ gn (çíàê ¾◦¿
îçíà÷àåò êîìïîçèöèþ ôóíêöèé). á) Âåðíî ëè ýòî äëÿ íåãëàâíîé F ?
2. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ
(
F (n, n) + 1, åñëè F (n, n) îïðåäåëåíî;
f0 (n) =
íå îïð.
èíà÷å.
Äîêàæèòå, ÷òî f0 ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëèìîé ôóíêöèåé, îäíàêî íå èìååò âñþäó îïðåäåë¼ííîãî âû÷èñëèìîãî
ïðîäîëæåíèÿ (ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè f : N → N, òàêîé
÷òî f |D(f0 ) = f0 ).
3. Ïóñòü f0 âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ, íå èìåþùàÿ âñþäó îïðåäåë¼ííîãî âû÷èñëèìîãî ïðîäîëæåíèÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì, íî íå ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì.
4. à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóþò íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà X, Y ⊆ N, êîòîðûå
íå îòäåëÿþòñÿ íèêàêèì ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì (ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ðàçðåøèìîãî Z ⊆ N, ÷òî
X ⊆ Z è Y ∩ Z = ∅). á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñ÷¼òíîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïåðå÷èñëèìûõ
ìíîæåñòâ, íèêàêèå äâà èç êîòîðûõ íåëüçÿ îòäåëèòü äðóã îò äðóãà ðàçðåøèìûì ìíîæåñòâîì.
5. Äîêàæèòå òåîðåìó Óñïåíñêîãî Ðàéñà: ïóñòü K íåòðèâèàëüíîå ìíîæåñòâî âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé (ò. å. íåïóñòîå è íå ñîâïàäàþùåå ñ ìíîæåñòâîì âñåõ âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé). Òîãäà ìíîæåñòâî
{n | gn ∈ K} íåðàçðåøèìî.
6. Ðàçðåøèìî ëè ìíîæåñòâî {hn1 , n2 i | gn1 è gn2 îäíà è òà æå ôóíêöèÿ}?
7. Ìîæåò ëè êàêàÿ-íèáóäü âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ âñòðåòèòüñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè g0 , g1 , g2 , . . .
êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç?
8. Íåêîòîðîå ìíîæåñòâî S íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ðàçðåøèìî. Ðàçëîæèì âñå ÷èñëà èç S íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè è ñîñòàâèì ìíîæåñòâî D èç âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë, âñòðå÷àþùèõñÿ â ýòèõ ðàçëîæåíèÿõ. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ìíîæåñòâî D ðàçðåøèìî?
Ðàçðåøèìûå è ïåðå÷èñëèìûå òåîðèè
Ïóñòü T ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ ôîðìóë (òåîðèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà) â íåêîòîðîé ñèãíàòóðå. Ïîëîæèì [T ] = {ϕ | T ` ϕ} ìíîæåñòâî òåîðåì òåîðèè T (à ñàìî ìíîæåñòâî T òîãäà ìîæíî íàçâàòü
àêñèîìàòèçàöèåé ìíîæåñòâà [T ]). Òàêæå [T ] íàçûâàåòñÿ äåäóêòèâíûì çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà T .
Òåîðèÿ T íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé (ïåðå÷èñëèìîé), åñëè ðàçðåøèìî (ñîîòâåòñòâåííî, ïåðå÷èñëèìî)
ìíîæåñòâî [T ]. Òåîðèÿ T íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìî (ïåðå÷èñëèìî) àêñèîìàòèçèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò
ðàçðåøèìîå (ñîîòâåòñòâåííî, ïåðå÷èñëèìîå) ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ ôîðìóë T 0 , òàêîå, ÷òî [T 0 ] = [T ].
9. à) Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ïåðå÷èñëèìî àêñèîìàòèçèðóåìàÿ òåîðèÿ ïåðå÷èñëèìà. á) Òðþê Êðåéãà.
Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ïåðå÷èñëèìàÿ òåîðèÿ ðàçðåøèìî àêñèîìàòèçèðóåìà.
10. Ðàçðåøèìà ëè òåîðèÿ à) DLO (òåîðèÿ ïëîòíûõ ëèíåéíûõ ïîðÿäêîâ áåç ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî
ýëåìåíòîâ); á) Th(R; +, ·, =, <, 0, 1) (ìíîæåñòâî âñåõ ôîðìóë ñèãíàòóðû h+, ·, =, <, 0, 1i, èñòèííûõ ïðè
åñòåñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë)?
11. Ïîñòðîéòå ðàçðåøèìî àêñèîìàòèçèðóåìóþ è ïðè ýòîì íåðàçðåøèìóþ òåîðèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà
(â íåêîòîðîé ñèãíàòóðå).