Семинар 11: выразимость предикатов

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, îñåíü 2013
Ñåìèíàð 11: âûðàçèìîñòü ïðåäèêàòîâ
Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ hP; M, E, P i, ãäå P ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, M (x)
îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé , E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè , P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y . Âûðàçèòå â ýòîé èíòåïðåòàöèè ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû (î çíà÷åíèè
òåðìèíîâ ìîæíî ïðîêîíñóëüòèðîâàòüñÿ íà ñòðàíèöå http://ru.wikipedia.org/wiki/Ðîäñòâî):
a) x îòåö y;
b) x áàáóøêà y;
c) x ïëåìÿííèê1 y;
d) x ñâåêðîâü y;
e) x äåâåðü y;
f) x è y ñâîÿêè;
g) x è y äâîþðîäíûå ñ¼ñòðû;
h) x åäèíîóòðîáíûé áðàò y;
i) x ñâîäíàÿ ñåñòðà y.
Ïóñòü A íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, M = 2A ìíîæåñòâî âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ.
Âûðàçèòå â èíòåðïðåòàöèè hM, ⊂i ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû:
a) x = ∅;
b) x = A;
c) x = y;
d) x åñòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî;
e) x åñòü äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî;
f) x ∩ y = ∅;
g) x = y ∩ z;
h) x = y ∪ z;
i) x = A \ y;
j) Ìíîæåñòâà x, y è z ïåðåñåêàþòñÿ ïîïàðíî, íî îáùåå ïåðåñå÷åíèå ïóñòî.
 èíòåðïðåòàöèè hR2, Ci, ãäå C(x, y, z) âûïîëíåíî, åñëè ðàññòîÿíèå îò x äî y
ðàâíÿåòñÿ ðàññòîÿíèþ îò x äî z (|xy| = |xz|), âûðàçèòå ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû:
a) x = y;
b) x, y è z ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé;
c) x 6= y, z 6= t è ïðÿìûå xy è zt ïàðàëëåëüíû;
d) xyzt ïàðàëëåëîãðàìì;
e) |xy| = |zt|;
1.
2.
3.
Áóäüòå âíèìàòåëüíû: åñëè x ñûí y, òî âàø ïðåäèêàò äîëæåí áûòü íåâåðåí. Îáðàùàéòå âíèìàíèå
íà ïîäîáíûå âåùè è â ïîñëåäóþùèõ ïóíêòàõ.
1
1
f) |xy| 6 |xz|;
g) z ëåæèò íà îòðåçêå xy;
h) z 6= t, à x è y ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé zt;
i) 4xyz ïðÿìîóãîëüíûé;
j) 4xyz îñòðîóãîëüíûé;
k) ∠xyz = 30◦;
l) ∠xyz = 36◦.
 èíòåðïðåòàöèè hR2, Ei, ãäå E(x, y) âûïîëíåíî, |xy| = 1, âûðàçèòå ñëåäóþùèå
ïðåäèêàòû:
a) x = y;
b) |xy| = √
2;
c) |xy| = 3;
d) |xy| = √21 ;
e) |xy| = 2;
Ãîâîðÿò, ÷òî f (N ) = O(g(N )), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî c, ÷òî ïðè âñåõ N âåðíî
f (N ) < cg(N ).
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ c è M ïðè âñåõ N > M âåðíî f (N ) < cg(N ),
òî f (N ) = O(g(N )).
Âûðàçèòå ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû ôîðìóëàìè çàäàííîé äëèíû. Âñþäó N ÿâëÿåòñÿ
ïàðàìåòðîì, à íå ïåðåìåííîé.
a) x = y + N â èíòåðïðåòàöèè hN, Si, ãäå S(x) = x + 1, äëèíà ôîðìóëû O(log N ).
b) x |ïðàïðà{z. . . ïðà}áàáóøêà y â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i, äëèíà ôîðìóëû
N ðàç
O(log N );
c) x N -þðîäíûé áðàò y â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i, äëèíà ôîðìóëû O(log N );
d) x åñòü N -ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî â èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû O(log N );
e) Ìíîæåñòâà x1, x2, . . . , xN ðàçëè÷íû â èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû
O(N );
f) Ëþáûå òðè ìíîæåñòâà èç x1, x2, . . . , xN èìåþò ïóñòîå îáùåå ïåðåñå÷åíèå â
èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû O(N );
g) Òî÷êè x1, x2, . . . , xN ñóòü âåðøèíû âûïóêëîãî N -óãîëüíèêà â èíòåðïðåòàöèè
hR2 , Ci, äëèíà ôîðìóëû O(N );
h) |xy| = N â èíòåðïðåòàöèè hR2, Ei, äëèíà ôîðìóëû O(log N );
Èñïîëüçóÿ ïðåäèêàòû 6, < è =, çàïèøèòå â âèäå çàìêíóòûõ ôîðìóë ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà:
a) Ðåôëåêñèâíîñòü;
b) Àíòèñèììåòðè÷íîñòü;
c) Òðàíçèòèâíîñòü;
d) Ëèíåéíîñòü;
4.
5.
6.
7.
2
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
Ïëîòíîñòü;
Ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà;
Ñóùåñòâîâàíèå ìàêñèìàëüíîãî ýëåìåíòà;
Ñóùåñòâîâàíèå íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà;
Ñóùåñòâîâàíèå íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà;
Ñóùåñòâîâàíèå âåðõíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (âåðõíÿÿ ãðàíü äâóõ
ýëåìåíòîâ ýëåìåíò, áîëüøèé ëèáî ðàâíûé êàæäîãî èç íèõ);
Ñóùåñòâîâàíèå íèæíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (íèæíÿÿ ãðàíü äâóõ
ýëåìåíòîâ ýëåìåíò, ìåíüøèé ëèáî ðàâíûé êàæäîãî èç íèõ);
Ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (òî÷íàÿ âåðõíÿÿ
ãðàíü íàèìåíüøàÿ èç âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé);
Ñóùåñòâîâàíèå òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ (òî÷íàÿ íèæíÿÿ
ãðàíü íàèáîëüøàÿ èç âñåõ íèæíèõ ãðàíåé).
Îïèøèòå âñå àâòîìîðôèçìû ñëåäóþùèõ èíòåðïðåòàöèé:
a) hN, <, =i;
b) hZ, <, =i;
c) hZ, +, =i;
d) hQ, +, =i;
e) hQ, +, <, =i;
f) hR, <, =i;
g) hV, Ei, ãäå V ìíîæåñòâî âåðøèí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, a E(x, y) âûïîëíåíî,
åñëè x è y ñîåäèíåíû ðåáðîì;
h) hV, Ei, ãäå V ìíîæåñòâî âåðøèí êóáà, a E(x, y) âûïîëíåíî, åñëè x è y ñîåäèíåíû
ðåáðîì;
i) hR, D1i, ãäå D1(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |x − y| = 1.
Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû íå âûðàçèìû â ñëåäóþùèõ èíòåðïðåòàöèÿõ:
a) x = 0 â hZ, <, =i;
b) x = 1 â hZ, +, =i;
c) x = 1 â hQ, +, <, =i;
d) x = 1/2 â hR, <, =, 0, 1i;
e) x < y â hZ, ...i;
f) x < y â hN, ...i;
g) D1 â hR, D2i,◦ ãäå Dk2(x, y) âûïîëíåíî, åñëè |x − y| = k;
h) ∠xyz = 30 â hR , Li, ãäå L(x, y, z) âûïîëíåíî, åñëè x, y è z ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé;
i) Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (~x, ~y) ïîëîæèòåëüíî â hR2, Ei, ãäå E(~x, ~y, ~z) âûïîëíåíî, åñëè |~x − ~y| = |~x − ~z|.
Äîêàæèòå, ÷òî ïðåäèêàò x è y áðàòüÿ íå âûðàçèì â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i,
ãäå P ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé, M (x) îçíà÷àåò x ÿâëÿåòñÿ ìóæ÷èíîé , E(x, y) îçíà÷àåò x è y ñóïðóãè , P (x, y) îçíà÷àåò x ðîäèòåëü y .
Ïðèäóìàéòå èíòåðïðåòàöèþ è òðè ïðåäèêàòà â íåé, òàêèå ÷òî êàæäûé ïðåäèêàò
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äâà äðóãèõ, íî íè îäèí ïðåäèêàò íå âûðàæàåòñÿ íè ÷åðåç îäèí äðóãîé.
8.
9.
10.
11.
3