Лекция 1,2,3

Îãëàâëåíèå
Ãëàâà 1. Ñëîæíûå (ñîñòàâíûå) ñèñòåìû . . . . . . . .
1.1. Ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ. Êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà
1.3. Cèñòåìà ñâÿçàííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ . .
Ãëàâà 2. Ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö . . . . . . .
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê . . . . . . .
Cèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö . . . . . . . . . . .
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö
Ñâÿçü N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ ïîëíûì ñïèíîì . .
Îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå . . . . . . . . . . . . . . .
Ãëàâà 3. Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ . . . . . . .
.
.
.
.
.
3.1. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ . . . . . . . . .
3.2. Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . .
3.3. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå
÷èñåë çàïîëíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Ïðåäñòàâëåíèå îñíîâíûõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . .
3
4
4
5
11
16
16
18
20
23
26
29
29
33
34
38
Ãëàâà 1
Ñëîæíûå (ñîñòàâíûå) ñèñòåìû
1.1. Ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì
Ðàññìîòðèì äâå íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ñèñòåìû (÷àñòèöû) ñ ìîìåíòàìè j1 è j2 . Òîãäà ñîñòîÿíèå ïåðâîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì |n1 , j1 , m1 i, à ñîñòîÿíèå âòîðîé |n2 , j2 , m2 i. Çäåñü n1 è n2
îáîçíà÷àþò îñòàëüíûå êâàíòîâûå ÷èñëà èç ïîëíîãî íàáîðà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì
|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i
(1.1)
Î÷åâèäíî, îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå íà ïåðâóþ ñèñòåìó, íå äåéñòâóþò íà âòîðóþ è íàîáîðîò (ñîîòâåòñòâåííî îíè ìåæäó ñîáîé êîììóòèðóþò):
X
fˆ1 |n1 , j1 , m1 i = |Φ1 i ≡
hn01 , j10 , m01 |fˆ1 |n1 , j1 , m1 i|n01 , j10 , m01 i.
n01 ,j10 ,m01
Àíàëîãè÷íî è äëÿ âòîðîé ñèñòåìû:
íî
(1.2)
fˆ2 |n2 , j2 , m2 i = |Φ2 i,
(1.3)
fˆ1 |n2 , j2 , m2 i = |n2 , j2 , m2 ifˆ1 .
(1.4)
Ïîýòîìó èìååì
fˆ1 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |Φ1 ; n2 j2 m2 i ≡ |Φ1 i|n2 , j2 , m2 i,
fˆ2 |n1 j1 m1 ; n2 j2 m2 i = |n1 j1 m1 ; Φ2 i ≡ |n1 , j1 , m1 i|Φ2 i.
4
(1.5)
(1.6)
Äëÿ îïåðàòîðà âèäà fˆ12 = fˆ1 fˆ2 , ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.4) ïîëó÷àåì:
fˆ1 fˆ2 |n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i =fˆ1 |n1 , j1 , m1 ifˆ2 |n2 , j2 , m2 i =
=|Φ1 i|Φ2 i ≡ |Φ1 ; Φ2 i.
(1.7)
Êàê âèäèì, äåéñòâèå îïåðàòîðà fˆ1 fˆ2 íà âåêòîð ñîñòîÿíèÿ
|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i|n2 , j2 , m2 i îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïðàâèëó ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîñòðàíñòâî
ñîñòîÿíèé âñåé ñèñòåìû èìååò ðàíã, ðàâíûé ïðîèçâåäåíèþ ðàíãîâ ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé êàæäîé ñèñòåìû. Êîëè÷åñòâî áàçèñíûõ
âåêòîðîâ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñåë äëÿ êàæäîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ âñåé ñèñòåìû åñòü
ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé êàæäîé ïîäñèñòåìû. Ñîîòâåòñòâåííî è ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî
(âíóòðåííåãî) ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîñêîëüêó ýòî îïÿòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ. Îáû÷íî çíàê ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ
(èëè ñóììû) íå âûäåëÿþò îñîáî, ñ÷èòàÿ ýòîò ôàêò î÷åâèäíûì, îäíàêî îá ýòîì âñåãäà íóæíî ïîìíèòü. Èíûìè ñëîâàìè, ñòðîæå áûëî
áû çàïèñàòü îïðåäåëåíèå (1.1) òàê:
|n1 , j1 , m1 ; n2 , j2 , m2 i = |n1 , j1 , m1 i ⊗ |n2 , j2 , m2 i.
(1.8)
Òî æå ñàìîå óòî÷íåíèå ñëåäóåò ñäåëàòü è äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ.
1.2. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ. Êîýôôèöèåíòû ÊëåáøàÃîðäàíà
Èòàê, áóäåì ñåé÷àñ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ìîìåíòîì è äëÿ ïðîñòîòû îïóñòèì íàáîð îñòàëüíûõ êâàíòîâûõ
÷èñåë (íî îíè âñåãäà åñòü!). Äëÿ èçîëèðîâàííîé çàìêíóòîé ñèñòåìû, êàêîâîé è ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàøà ñèñòåìà äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, E, P, M èíòåãðàëû äâèæåíèÿ. Ïîýòîìó â íàøåì
ñëó÷àå äîëæåí ñîõðàíÿòüñÿ ïîëíûé (ñóììàðíûé) ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ:
M = M1 + M2 ;
b
M → ~J;
M1,2 → ~bj1,2 .
(1.9)
Ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè
(2j1 + 1) · (2j2 + 1) íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ |j1 , m1 i|j2 , m2 i. Ýòî åñòü
5
ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö ñ ìîìåíòàìè j1 è j2 . Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïèñàòü ñîñòîÿíèÿ
âñåé ñèñòåìû ñ ïîëíûì ìîìåíòîì J, îáðàçîâàííûì äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ìîìåíòàìè j1 è j2 , êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü ñàìè ïî ñåáå
â îòäåëüíîñòè ñîõðàíÿþòñÿ, ïîñêîëüêó ÷àñòèöû ìåæäó ñîáîé íå
âçàèìîäåéñòâóþò. Èíûìè ñëîâàìè, ìû çäåcü èìååì èíòåãðàëû äâèæåíèÿ j21 , j22 , J2 , Jz , êîòîðûå è äîëæíû áûòü âêëþ÷åíû â ïîëíûé
íàáîð ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Èëè, êàê ïðèíÿòî ãîâîðèòü, çàäàòü
ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìà ñ îïðåäåëåííûì
ñóììàðíûì ìîìåíòîì.
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû
Jbz = ĵ1z + ĵ2z ;
J2 = j21 + j22 + 2(j1 j2 )
ìåæäó ñîáîé êîììóòèðóþò, à îñòàëüíûå êîìïîíåíòû óäîâëåòâîðÿþò èçâåñòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ ìîìåíòà:
[J2 , Jˆz ] = 0,
[Jˆα , Jˆβ ] = ieαβγ Jˆγ .
(1.10)
Ñîîòâåòñòâåííî
Ĵ2 |j1 , j2 , J, M i
Jˆz |j1 , j2 , J, M i
= J(J + 1)|j1 , j2 , J, M i,
= M |j1 , j2 , J, M i
¾
.
(1.11)
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ J = max{M } =
j1 + j2 . Òàêîå ñîñòîÿíèå îäíî:
¾
|J, Ji = |j1 +j2 , j1 +j2 i = |j1 , j1 i|j2 , j2 i,
.
(1.12)
|J, J −1i = |j1 +j2 , j1 +j2 − 1i ∝ Jˆ− |J, Ji
Ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì J− íà ñîñòîÿíèå ñ ìàêñèìàëüíîé ïðîåêöèåé
√
Jb− |J, Ji = 2J|J, J − 1i =
p
p
= 2j1 |j1 , j1 − 1i|j2 , j2 i + 2j2 |j1 , j1 i|j2 , j2 − 1i.
Ïîëó÷àåì ñîñòîÿíèå ñ ïðîåêöèåé íà 1 ìåíüøå:
s
s
j1
j2
|J, J − 1i =
|j1 , j1−1i|j2 , j2 i+
|j1 , j1 i|j2 , j2−1i. (1.13)
j1 +j2
j1 +j2
6
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñóùåñòâóåò âòîðàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ (îðòîãîíàëüíàÿ ê ïåðâîé) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ:
˜ j1 + j2 − 1i =
|J,
s
s
j2
j1
|j1 , j1 −1i|j2 , j2 i−
|j1 , j1 i|j2 , j2 −1i.
=
j1 +j2
j1 +j2
(1.14)
Ïîñêîëüêó ýòî ñîñòîÿíèå íå îòíîñèòñÿ ê ñîñòîÿíèþ ñ ïîëíûì ìîìåíòîì J = j1 +j2 , îíî äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü ñîñòîÿíèþ ñ äðóãèì
ïîëíûì ìîìåíòîì. Òàê êàê ìàêñèìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ðàâíà j1 +j2 −1,
ïî îïðåäåëåíèþ ñëåäóåò ïîëîæèòü J˜ = j1 + j2 − 1.
Äåéñòâóÿ òåïåðü ïîíèæàþùèì îïåðàòîðîì íà ñîñòîÿíèÿ |J =
f = j1 + j2 − 1i, ïîëó÷èì
j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1i è |J˜ = j1 + j2 − 1, M
äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîñòîÿíèÿ, îòíîñÿùèõñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëíûì ìîìåíòàì. Oäíàêî, åñëè J − 1 6= 0 èëè 1/2, íàðÿäó ñ ïîëó÷àþùèìèñÿ âåêòîðàìè ìîæíî ïîñòðîèòü òðåòèé, ëèíåéíî
íåçàâèñèìûé, îðòîãîíàëüíûé ê äâóì ïîëó÷åííûì âåêòîð1 . Êàê è
ïðåæäå, ýòîò âåêòîð äîëæåí áûòü îòíåñåí ê ñîñòîÿíèþ ñ ïîëíûì
ìîìåíòîì J = j1 + j2 − 2. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåäóðó, âèäèì, ÷òî íîâûå ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû äî òåõ
ïîð, ïîêà ïðîåêöèÿ íå ïîíèçèòñÿ äî çíà÷åíèÿ M = |j1 − j2 |. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîëíûé ìîìåíò ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö
ñ ìîìåíòàìè j1 è j2 ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ
|j1 − j2 | ≤ J ≤ (j1 + j2 ).
(1.15)
Ýòî òàê íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Åñëè j2 < j1 , ïîëó÷àåòñÿ âñåãî 2j2 +1 ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü
ïîëíûé ìîìåíò ñèñòåìû äâóx ÷àñòèö. Ïîëíîå æå ÷èñëî ñîñòîÿíèé
âñåé ñèñòåìû îñòàåòñÿ íåèçìåííûì:
J=j
1 +j2
X
(2J + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).
(1.16)
J=|j1 −j2 |
Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî (2j1 +1)(2j2 +1) ñîñòîÿíèé ñ áàçèñíûìè âåêòîðàìè |j1 , m1 i|j2 , m2 i ðàçáèëîñü íà 2j2 + 1 èíâàðèàíòíûõ
1 Ýòî ñïðàâåäëèâî, åñëè j è j > 1/2.
1
2
7
ïîäïðîñòðàíñòâà íåçàâèñèìûõ ñîñòîÿíèé ñ áàçèñíûìè âåêòîðàìè
ñîîòâåòñòâåííî:
|J = j1 + j2 , j1 , j2 , M i, . . . , |J = |j1 − j2 |, j1 , j2 , M i.
Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
X
|j1 , j2 , J, M i =
CjJ,M
|j1 , m1 i|j2 , m2 i.
1 ,m1 ;j2 ,m2
(1.17)
m1 +m2 =M
Êîýôôèöèåíòû CjJ,M
ñîñòàâëÿþò ìàòðèöó, êîòîðàÿ îñó1 ,m1 ;j2 ,m2
ùåñòâëÿåò íåîáõîäèìîå ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà. Îíè íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ÊëåáøàÃîðäàíà. Îñòàíîâèìñÿ êðàòêî íà èõ
ñâîéñòâàõ.
Ñîãëàñíî îáùåìó ïðàâèëó, êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (1.17)
îïðåäåëÿþòñÿ ïðè ïîìîùè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèé ñîïðÿæåííûé âåêòîð:
CjJ,M
= hj1 , m1 |hj2 , m2 ||J, M i.
1 ,m1 ;j2 ,m2
(1.18)
Îáðàòíûé ïåðåõîä îò îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû â áàçèñå |j1 , j2 , J, M i
ê îïèñàíèþ ñîñòîÿíèé â áàçèñå |j1 , m1 i|j2 , m2 i îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé ìàòðèöû:
X
¡ −1 ¢J,M
|j1 , m1 i|j2 , m2 i =
C
|j1 , j2 , J, M i, (1.19)
j ,m ; j ,m
1
1
2
2
M = m1 + m2 ;
|j1 − j2 | ≤ J ≤ |j1 + j2 |
êîòîðàÿ òàêæå íàõîäèòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ
¡ −1 ¢J,M
C
= hj1 , j2 , J, M |j1 , m1 i|j2 , m2 i =
j1 ,m1 ; j2 ,m2
³
´∗
= hj2 , m2 |hj1 , m1 |j1 , j2 , J, M i .
(1.20)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ÊëåáøàÃîðäàíà ìîãóò
áûòü âûáðàíû âñå äåéñòâèòåëüíûìè. Èìåÿ îáðàòíóþ ìàòðèöó
(1.20), ñðàçó ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ îðòîãîíàëüíîñòè:
X
hj1 j2 ; JM |j1 m1 i|j2 m2 ihj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; J 0 M 0 i = δJJ 0 δM M 0 ,
m1 ,m2
(1.21)
8
è íàîáîðîò:
X
hj2 m2 |hj1 m1 |j1 j2 ; JM ihj1 j2 ; JM |j1 m01 i|j2 m02 i = δm1 m01 δm2 m02 .
J,M
(1.22)
Èòàê, CjJ,M
óíèìîäóëÿðíàÿ
ìàòðèöà
îðòîãîíàëüíîãî
ïðå1 ,m1 ; j2 ,m2
îáðàçîâàíèÿ áàçèñà.
Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ÊëåáøàÃîðäàíà ðàçáèâàåò ïîëíîå
ïðîñòðàíñòâî (2j1 + 1)(2j2 + 1) íà èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà
ìåíüøåãî ðàíãà, ñîîòâåòñòâóþùèå äàííîìó çíà÷åíèþ ïîëíîãî ìîìåíòà.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîñòðîèì ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ïîëíûì ìîìåíòîì |l1 , l2 , L, M i äëÿ ñëó÷àÿ l1 = l2 = 1.
 äàííîì ïðèìåðå ìû äîëæíû ïîëó÷èòü 9 ñîñòîÿíèé: 5 ñîñòîÿíèé ñ L = 2; 3 c L = 1 è 1 ñ L = 0. Ïðåæäå âñåãî ñëåäóåò
ïîñòðîèòü ñîñòîÿíèÿ ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì L = 2. Ñîñòîÿíèÿ
ñ ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé ïðîåêöèÿìè ìû çíàåì:
|1, 1, 2, ±2i = |1, ±1i|1, ±1i.
Äàëåå, ñîãëàñíî èçëîæåííîé ïðîöåäóðå, ïîëó÷àåì ñîñòîÿíèÿ ñ ïðîåêöèÿìè ±1:
1
|1, 1, 2, ±1i = √ (|1, 0i|1, ±1i + |1, ±1i|1, 0i) .
2
Âíîâü, äåéñòâóÿ ïîíèæàþùèì îïåðàòîðîì íà ñîñòîÿíèå ñ M = +1,
ïîëó÷èì ïîñëåäíåå èç ñîñòîÿíèé ñ L = 2:
´
1 ³
|1, 1, 2, 0i = √ |1, −1i|1, +1i + |1, +1i|1, −1i + 2|1, 0i|1, 0i .
6
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñîñòîÿíèé ñ ìîìåíòîì L = 1 âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ÊëåáøàÃîðäàíà
(1.21) è (1.22). Âíà÷àëå âûïèøåì ÿâíûé âèä óæå èçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ:
2,±2
C1,±1,1,±1
= 1,
2,0
C1,±1,1,∓1
1
2,±1
2,±1
C1,±1,1,0
= C1,0,1,±1
=√ ,
2
r
1
2
2,0
=
= √ , C1,0,1,0
.
3
6
9
Òåïåðü çàïèøåì ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ M 0 = M =
+1, L0 = 2, L = 1:
´
1 ³ 1,+1
1,+1
√ C1,+1,1,0
+ C1,0,1,+1
= 0.
2
Äëÿ çíà÷åíèé M 0 = M = 1 è L0 = L = 1 ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè åñòü ïðîñòî óñëîâèå íîðìèðîâêè, è ìû ïîëó÷àåì
´
1 ³
|1, 1, 1, +1i = √ |1, 0i|1, +1i − |1, +1i|1, 0i .
2
Âåêòîð ñîñòîÿíèÿ |1, 1, 1, −1i îïðåäåëÿåòñÿ îòñþäà òðèâèàëüíî. Òåb − ê ïîëó÷åííîìó ñîñòîÿïåðü ïðèìåíèì ïîíèæàþùèé îïåðàòîð L
íèþ:
1
|1, 1, 1, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i − |1, −1i|1, +1i) .
2
Îñòàëîñü ïîñòðîèòü ïîñëåäíèé âåêòîð ñ L = 0. Âíîâü âîñïîëüçóåìñÿ
ñîîòíîøåíèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ñîñòîÿíèé ñ M 0 = M = 0:
´
1 ³ 0,0
2 0,0
0,0
L0 = 2, L = 0 : √ C1,+1,1,−1
+C1,−1,1,+1
+ √ C1,0,1,0
= 0;
6
6
´
1 ³ 0,0
0,0
L0 = 1, L = 0 : √ C1,+1,1,−1
−C1,−1,1,+1
= 0.
(1.23)
2
Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (1.23) è èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ïîëó÷àåì
1
|1, 1, 0, 0i = √ (|1, −1i|1, +1i+
3
+ |1, −1i|1, +1i − |1, 0i|1, 0i) .
Î÷åíü ÷àñòî âìåñòî êîýôôèöèåíòîâ ÊëåáøàÃîðäàíà óäîáíî èñïîëüçîâàòü
èõ âûðàæåíèå ÷åðåç 3j -ñèìâîëû Âèãíåðà, êîòîðûå ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
=
CjJ,M
1 ,m1 ;j2 ,m2
(−1)j1 −j2 +M
√
2J + 1
j1
m1
j2
m2
J
−M
(1.24)
.
3j -ñèìâîëû îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ìû ïåðå-
÷èñëèì.
Ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåñòàíîâêå ñòîëáöîâ:
j1
m1
j2
m2
j3
m3
= (−1)j1 +j2 +j3
10
j2
m2
j1
m1
j3
m3
.
(1.25)
Ñèììåòðèÿ ïî îòíîøåíèþ ê çàìåíå çíàêà ïðîåêöèé:
j1
m1
j3
j1
= (−1)j1 +j2 +j3
m3
−m1
j2
m2
j2
−m2
j3
−m3
.
(1.26)
Ñóììà ïðîåêöèé ðàâíà íóëþ:
m1 + m2 + m3 = 0.
(1.27)
Êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ âàæíûõ ñâîéñòâ, ïðèâåäåì î÷åâèäíóþ, íî î÷åíü ïîëåçíóþ ôîðìóëó:
j
m
j
−m
1
0
= (−1)j−m √
.
0
2j + 1
(1.28)
Áîëåå ïîäðîáíîå èçëîæåíèå ñâîéñòâ 3j -ñèìâîëîâ ìîæíî íàéòè â ó÷åáíèêàõ
ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå èëè â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå, ïîñâÿùåííîé ïðåäñòàâëåíèÿì ãðóïïû âðàùåíèé (ñì., íàïðèìåð,[?]-[?]).
1.3. Cèñòåìà ñâÿçàííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ
Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê ìîæíî îïèñàòü ñèñòåìó ñ áîëüøèì ÷èñëîì
ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïóòåì ñâåäåíèÿ åå ê ñîâîêóïíîñòè íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå òàêîé ïåðåõîä îñóùåñòâëÿëñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ: â
ýòîì ñëó÷àå ñòåïåíè ñâîáîäû îêàçûâàëèñü íåçàâèñèìûìè. Äàííàÿ
ïðîöåäóðà âîçìîæíà âñåãäà, êîãäà ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Â
ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê N ñâÿçàííûõ îäíîìåðíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ, ãäå N ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Ãàìèëüòîíèàí òàêîé ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
b =
H
X Pb2
X
k
bk Q
bl ,
+
Vkl Q
2mk
k
(1.29)
k,l
b k è Pbk îïåðàòîðû îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ, êîãäå Q
òîðûå óäîâëåòâîðÿþò èçâåñòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì:
i
i
h
i h
h
b k , Pbl = i~δkl ,
bk , Q
b l = Pbk , Pbl = 0,
Q
(1.30)
Q
à ìàòðèöà ñâÿçè äåéñòâèòåëüíà è ñèììåòðè÷íà: Vkl = Vlk .
11
Ïðèâåäåì ãàìèëüòîíèàí (1.29) ê áîëåå ñèììåòðè÷íîìó âèäó, ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ
q̂k =
√
1 b
Pk
mk
bk ,
mk Q
p̂k = √
Ukl = √
2
Vkl ,
mk ml
(1.31)
è ââåäÿ ïåðåîïðåäåëåíèå
òîãäà êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îñòàíóòñÿ ïðåæíèìè (1.30), à
ãàìèëüòîíèàí ïðèìåò âèä2
X
1X
b =1
H
p̂2k +
Ukl q̂k q̂l .
2
2
k
(1.32)
k,l
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàòðèöà Ukl íåâûðîæäåíà è ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåíà, òîãäà åå ìîæíî äèàãîíàëèçîâàòü. Äèàãîíàëèçàöèÿ, ïî
ñóòè äåëà, îçíà÷àåò ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì q̂α . Ïóñòü
ïåðåõîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû:
X
X
q̂α =
Cαk q̂k , q̂k =
Ckα q̂α ,
(1.33)
α
k
ãäå
X
Cαk Cβk = δαβ ,
X
Cαk Cαl = δkl .
α
k
Ïîñêîëüêó ìàòðèöà Cαk äèàãîíàëèçóåò ìàòðèöó ñâÿçè, ìîæíî çàïèñàòü3 :
X
Ckα Vkl Clβ = ωα2 δαβ .
(1.34)
k,l
Ñëåäîâàòåëüíî,
X
X
X
X
X
Ukl q̂k q̂l =
Ukl
Ckα q̂α
Clβ q̂β =
ωα2 q̂α2 .
k,l
k,l
α
β
α
2 Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè ãàìèëüòîíèàíà îñöèëëÿòîðîâ ñ åäèíè÷íûìè ìàññàìè
áóäóò ïîëåçíà ïðè êâàíòîâàíèè ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â Ãëàâå ??.
3 Ìàòðèöà ñâÿçè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà!
12
Ïîñêîëüêó îïåðàòîðû êîîðäèíàòû è èìïóëüñà êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåíû, íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû èìïóëüñà òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ
ìàòðèöåé Cαk :
X
X
Cαk p̂k , p̂k =
Ckα p̂α ,
(1.35)
p̂α =
α
k
ïðè÷åì
(1.36)
[q̂α , p̂β ] = i~δαβ .
Ïîäñòàâëÿÿ âñå ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ â ôîðìóëó (1.32), ïîëó÷àåì ãàìèëüòîíèàí â âèäå ñóììû ãàìèëüòîíèàíîâ
íåñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ:
X¡
¢
b =1
p̂2α + ωα2 q̂α2 .
H
2 α
(1.37)
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîñòîÿíèé îäíîìåðíûõ îñöèëëÿòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íîðìàëüíûì ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Ïîñêîëüêó ñîñòîÿíèå îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî îäíèì êâàíòîâûì ÷èñëîì n, èìååì
|Ψi = |n1 i ⊗ |n2 i ⊗ · · · ⊗ |nN i ≡
N
Y
⊗|nα i.
(1.38)
α=1
Çäåñü ìû ÿâíî íàïèñàëè çíàê ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîñêîëüêó
ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé N îñöèëëÿòîðîâ èìååò ðàçìåðíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé îäíîìåðíûõ îñöèëëÿòîðîâ. Î÷åíü ÷àñòî çíàê ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ⊗ îïóñêàþò äëÿ
ïðîñòîòû, ñ÷èòàÿ ýòî ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùèìñÿ, îäíàêî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí ðàç âñå íóæíî íàïèñàòü â ÿâíîì âèäå. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû îñöèëëÿòîðîâ ðàâíà ñóììå ýíåðãèé. Ñîîòâåòñòâåííî, êàê è
äëÿ îäíîãî îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà, óäîáíî ââåñòè ïîâûøàþùèé
è ïîíèæàþùèé îïåðàòîðû:
µr
¶
1
ωα
i
√
√
âα =
p̂α ,
q̂α +
~
~ωα
2
µr
¶
1
ωα
i
+
âα = √
p̂α ,
(1.39)
q̂α − √
~
~ωα
2
13
r
q̂α =
¢
~ ¡ +
âα + âα ,
2ωα
r
p̂α = i
¢
~ωα ¡ +
âα − âα .
2
(1.40)
Òàê ââåäåííûå íàìè îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì
ñîîòíîøåíèÿì:
h
i
h
i
+
+
[âα , âβ ] = â+
,
â
=
0,
â
,
â
(1.41)
α
α
β
β = δαβ .
Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðîâ è èõ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (1.41), çàïèøåì ãàìèëüòîíèàí (1.32) â âèäå
µ
¶
X
1
+
b
H=
~ωα âα âα +
.
(1.42)
2
α
Ñîîòâåòñòâåííî ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ çàäàþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ N
÷èñåë nα è èõ ìîæíî çàïèñàòü êàê
"
#
Y (a+ )nα
α
√
|Ψi ≡ |n1 n2 , . . . nN i =
|00 . . . 0i,
(1.43)
nα !
α
à óðîâíè ýíåðãèè ðàâíû
En1 ,n2 , ...nN =
X
(nα + 1/2) ~ωα .
(1.44)
α
P
Ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ |00 . . . 0i ðàâíà α ~ωα /2 è äëÿ ñèñòåìû ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Ïîýòîìó îáû÷íî ýíåðãèþ ñèñòåìû ïåðåîïðåäåëÿþò, îòñ÷èòûâàÿ îò ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ.  òàêîì ñëó÷àå â ôîðìóëàõ
(1.42) è (1.44) 1/2 â ñêîáêàõ èñ÷åçàåò.
 çàêëþ÷åíèå ïàðàãðàôà, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê àíñàìáëü íåçàâèñèìûõ îñöèëëÿòîðîâ, à ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà ñóììå ýíåðãèé
âñåõ íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì. Ïðè ýòîì çàìåòèì, ÷òî åñëè ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ýíåðãèþ ñèñòåìû (1.44), åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ñóììó ýíåðãèé
X
N =
nα
α
îñöèëëÿòîðîâ, èç êîòîðûõ nα îïèñûâàþòñÿ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé
ωα è íàõîäÿòñÿ íà ïåðâîì âîçáóæäåííîì óðîâíå. Òåïåðü â íàøåì
14
îïèñàíèè ïîëó÷èëè, ÷òî âñå nα√îñöèëëÿòîðîâ íåðàçëè÷èìû, è ýòîò
ôàêò âûðàæàåòñÿ ìíîæèòåëåì nα ! â çíàìåíàòåëå ôîðìóëû (1.44).
Çàìåòèì, ÷òî nα ! ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê îäèíàêîâûõ (òîæäåñòâåííûõ) îñöèëëÿòîðîâ.
15
Ãëàâà 2
Ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö
2.1. Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê
×àñòèöû, êîòîðûå îáëàäàþò âñåìè îäèíàêîâûìè ôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íåðàçëè÷èìû è íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííûìè. Èíûìè ñëîâàìè, òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû
íåâîçìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü. Ýòî âàæíîå ñëåäñòâèå ñîîòíîøåíèÿ
íåîïðåäåëåííîñòåé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
Ðàññìîòðèì äâå òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðûõ
îïèñûâàåòñÿ äâóõ÷àñòè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé. Îáû÷íî â íåðåëÿòèâèñòñêîé ôèçèêå ñïèí ÷àñòèöû íå ðàññìàòðèâàþò, åñëè íåò ìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ
çàäà÷ ñïèí íà÷èíàåò èãðàòü ïðèíöèïèàëüíóþ ðîëü. Äåéñòâèòåëüíî,
ïîëíîå îïèñàíèå ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû çàäàåòñÿ íå òîëüêî â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, íî è ñîñòîÿíèåì äîïîëíèòåëüíûõ, âíóòðåííèõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü êâàíòîâàíèÿ.
Î÷åâèäíî, ÷àñòèöû, îáëàäàþùèå ðàçëè÷íûìè ïðîåêöèÿìè ñïèíà,
íàõîäÿòñÿ â ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèÿõ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåðàçëè÷èìîñòü ÷àñòèö ìîæåò ïðîÿâèòüñÿ òîëüêî â èíâàðèàíòíîñòè âñåõ
ñâîéñòâ ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè (ïåðåìåíû) ÷àñòèö ìåñòàìè, íî ÷àñòèöà ïðè ýòîì ïåðåíîñèòñÿ âìåñòå ñî ñâîèìè âíóòðåííèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ò.å. ïðîåêöèåé ñïèíà ms . Ïîýòîìó, åñëè
ìû õîòèì îïèñàòü ïîëîæåíèå ÷àñòèöû, ñëåäóåò õàðàêòåðèçîâàòü åå
êàê êîîðäèíàòîé â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå r, òàê è êîîðäèíàòîé âíóòðåííèõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ms . Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæåíèå ÷àñòèöû â ñèñòåìå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö îáÿçàòåëüíî äîëæíî
îïðåäåëÿòüñÿ ïàðîé
{r, ms } ≡ x.
(2.1)
Ñîîòâåòñòâåííî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû äâóõ òîæäåñòâåííûõ
16
÷àñòèö çàâèñèò îò ïàðû êîîðäèíàò (2.1) è ïðè ïåðåñòàíîâêå ÷àñòèö
ìåñòàìè äîëæíà îïèñûâàòü ôèçè÷åñêè òî æå ñàìîå ñîñòîÿíèå:
PbΨ(x1 , x2 ; t) = Ψ(x2 , x1 ; t),
(2.2)
ãäå Pb îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö. Çàïèøåì ôîðìàëüíî
ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû äâóõ íåðåëÿòèâèñòñêèõ òîæäåñòâåííûõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ âî âíåøíåì ïîëå:
2
2
b 2) = p1 + p2 + U (r1 ) + U (r2 ) + V (r1 , r2 ).
H(1,
2m 2m
(2.3)
Î÷åâèäíî, ãàìèëüòîíèàí (2.3) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè äâóõ ÷àñòèö, ïîýòîìó êîììóòàòîð
b 2)] = 0,
[Pb, H(1,
(2.4)
à ñëåäîâàòåëüíî, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ
Øðåäèíãåðà
i~
∂
b 2)Ψ(x1 , x2 ; t),
Ψ(x1 , x2 ; t) = H(1,
∂t
(2.5)
áóäåò òàêæå ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà ïåðåñòàíîâêè:
PbΨ(x1 , x2 ; t) = λΨ(x1 , x2 ; t).
(2.6)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ = ±1. Ñëåäîâàòåëüíî,
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà îáëàäàòü îïðåäåëåííîé ÷åòíîñòüþ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö, è ýòî ñâîéñòâî åñòü èíòåãðàë äâèæåíèÿ.
Ýòîò âûâîä âûòåêàåò èç îáùèõ ñâîéñòâ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà,
òî÷íåå, èç ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, è íèêàê íå ñâÿçàí
ñî ñïèíîì ÷àñòèö. Âàæíî áûëî òîëüêî åãî íàëè÷èå êàê òàêîâîãî.
Îäíàêî, íà ñàìîì äåëå, ñâîéñòâî ñèììåòðèè âîëíîâîé ôóíêöèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö íîñèò ôóíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð è îäíîçíà÷íî ñâÿçàíî ñî ñïèíîì ÷àñòèöû. Ýòî
óòâåðæäåíèå íå ñëåäóåò èç êàêèõ-ëèáî îáùèõ ïðèíöèïîâ è ïðèíèìàåòñÿ êàê ïîñòóëàò. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì
îáðàçîì.
Ïîñòóëàò î òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèöàõ. Òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû, îáëàäàþùèå ïîëóöåëûì ñïèíîì (1/2, 3/2, 5/2, . . . ), îïèñûâàþòñÿ òîëüêî àíòèñèììåòðè÷íûìè, à îáëàäàþùèå öåëûì ñïèíîì (0, 1,
17
2, ...) òîëüêî ñèììåòðè÷íûìè âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáûõ äâóõ ÷àñòèö.
×àñòèöû ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì íàçûâàþòñÿ ôåðìè-÷àñòèöàìè è
ïîä÷èíÿþòñÿ ñòàòèñòèêå ÔåðìèÄèðàêà, à ÷àñòèöû ñ öåëûì ñïèíîì íàçûâàþòñÿ áîçå-÷àñòèöàìè è ïîä÷èíÿþòñÿ ñòàòèñòèêå Áîçå
Ýéíøòåéíà. Èíûìè ñëîâàìè:
Ψ(x1 , x2 ; t) = − Ψ(x2 , x1 ; t) ïðè s = 1/2, 3/2, . . .
− ôåðìè-÷àñòèöû;
Ψ(x1 , x2 ; t) = + Ψ(x2 , x1 ; t) ïðè s = 0, 1, 2, . . .
− áîçå-÷àñòèöû.
(2.7)
Åñëè â ñèñòåìå íàõîäèòñÿ áîëüøå äâóõ ÷àñòèö, ôîðìóëû (2.7)
ëåãêî îáîáùàþòñÿ:
Ψ(x1 . . . xi . . . xk . . . ; t) = ±Ψ(x1 . . . xk . . . xi . . . ; t),
(2.8)
ãäå âåðõíèé çíàê îòíîñèòñÿ ê áîçå-, à íèæíèé ê ôåðìè-÷àñòèöàì.
2.2. Cèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö
 ïàðàãðàôå 1.3 ïîêàçàíî, ÷òî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ñ N ñòåïåíÿìè
ñâîáîäû ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ñèñòåìå N íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì
è ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü N íåçàâèñèìûõ ðàçëè÷èìûõ ÷àñòèö. Åñëè
ìû óñëîâíî ïðîíóìåðóåì âñå ýòè íåçàâèñèìûå ðàçëè÷íûå ÷àñòèöû è â ïðîèçâåäåíèè, îïèñûâàþùåì ñîñòîÿíèå âñåé ñèñòåìû ìåñòî
êàæäîãî ñîìíîæèòåëÿ â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ÷àñòèöå ñ äàííûì íîìåðîì, òîãäà òàêîå N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå
áóäåò çàïèñàíî â âèäå
|ψiN = |ψ1 i|ψ2 i . . . |ψN i ≡ |ψ1 , ψ2 , . . . , ψN i.
(2.9)
Ïîñêîëüêó âñå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëåíû â ñâîèõ îäíî÷àñòè÷íûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ N ÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé åñòü
hϕ|ψi = (hϕ1 |hϕ2 | . . . hϕN |)(|ψ1 i|ψ2 i| . . . |ψN i) =
= hϕ1 |ψ1 ihϕ2 |ψ2 i . . . hϕN |ψN i.
18
(2.10)
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ N -÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ (2.10) ìîæåò áûòü
çàïèñàíà êàê
ψ(r1 , r2 . . . rN ) =
= hr1 |hr2 | . . . hrN ||ψi = ψ(r1)ψ(r2) · · · ψ(rN ).
(2.11)
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (2.11) íå îáëàäàåò íèêàêîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö, ïîñêîëüêó îíè â äàííîì ñëó÷àå âñå
ðàçëè÷èìû.
Ñèñòåìó N íåçàâèñèìûõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö òàêæå ìîæíî
îïèñàòü íà ÿçûêå îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé, îäíàêî â ñèëó íåðàçëè÷èìîñòè ÷àñòèö ìû òåïåðü íå ìîæåì ïðîíóìåðîâàòü èõ, à ìîæåì
òîëüêî êîíñòàòèðîâàòü ôàêò, ÷òî â äàííîì N -÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè
ïðåäñòàâëåíû N , âîîáùå ãîâîðÿ ðàçëè÷íûõ, îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñîõðàíÿÿ òåïåðü âìåñòî íóìåðàöèè ÷àñòèö íóìåðàöèþ ñîñòîÿíèé, ìû äîëæíû ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàòü èëè àíòèñèììåòðèçîâàòü N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö. Ïîñêîëüêó ñèììåòðè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè îïèñûâàþòñÿ áîçå-÷àñòèöû, à àíòèñèììåòðè÷íûìè ôåðìè-÷àñòèöû, ââåäåì ïàðàìåòð ζ, êîòîðûé
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
½
+1 äëÿ áîçå-÷àñòèö,
ζ=
(2.12)
−1 äëÿ ôåðìè-÷àñòèö.
Äëÿ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö èìååò ìåñòî ñâîéñòâî
|ψ1 , . . . , ψi , . . . , ψk , . . . , ψN i = ζ|ψ1 i, . . . , ψk , . . . , ψi , . . . , ψN i. (2.13)
Òåïåðü ñîñòîÿíèå (2.13) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, ïðîâåäÿ âñå âîçìîæíûå ïåðåñòàíîâêè:
1 X P
|ψ1 , ψ2 . . . ψNiζ = √
ζ |ψP (1) i|ψP (2) i . . . |ψP (N )i,
N! P
(2.14)
ãäå ñèìâîë P îçíà÷àåò âñå ïåðåñòàíîâêè N àðãóìåíòîâ. Íàì íóæíî
óìåòü ïåðåõîäèòü îò âåêòîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.14) ê âîëíîâûì
ôóíêöèÿì. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îïðåäåëèòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
òàêèõ (àíòè)ñèììåòðèçîâàííûõ âûðàæåíèé. Çàïèøåì âåêòîð áðà:
ζ hϕ1 , ϕ2 ,
1 X Q
. . . , ϕN | = √
ζ hϕQ(1) |hϕQ(2) | · · · hϕQ(N ) |
N! Q
19
(2.15)
è íàéäåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå åãî ñ âåêòîðîì (2.14):
ζ hϕ1 , ϕ2 ,
=
. . . , ϕN |ψ1 , ψ2 , . . . , ψN iζ =
1 X Q P
ζ ζ hϕQ(1) |hϕQ(2) |. . .hϕQ(N) ||ψP (1)i|ψP (2)i. . .|ψP (N)i =
N!
Q,P
1 X Q P
=
ζ ζ hϕQ(1) |ψP (1)ihϕQ(2) |ψP (2)i. . .hϕQ(N ) |ψP (N )i =
N!
Q,P
1 X P Q−1
ζ
hϕ1 |ψP Q−1 (1) ihϕ2 |ψP Q−1 (2)i. . .hϕN |ψP Q−1 (N)i.
=
N ! −1
PQ
,Q
−1
Îáîçíà÷àÿ ïåðåñòàíîâêó P Q
P = R è ó÷èòûâàÿ, ÷òî îñòàþùååñÿ
íåçàâèñèìîå ñóììèðîâàíèå Q = N !, ïîëó÷àåì
ζ hϕ1 . . .ϕN |ψ1 . . .ψN iζ =
X
ζ R hϕ1 |ψR(1) i. . .hϕN |ψR(N) i.
(2.16)
R
Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ôåðìè-÷àñòèö ñóììà (2.16) ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé äåòåðìèíàíò ìàòðèöû


hϕ1 |ψ1 i . . . hϕ1 |ψN i
 ...
...
. . .  . (2.17)
− hϕ1 , . . . , ϕN |ψ1 , . . . , ψN i− = det
hϕN |ψ1 i . . . hϕN |ψN i
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íèêàêèå äâå ôåðìè-÷àñòèöû íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ
â îäèíàêîâîì ñîñòîÿíèè.
Äëÿ áîçå-÷àñòèö âìåñòî äåòåðìèíàíòà â âûðàæåíèè (2.16) ñòîèò
ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íàÿ ñóììà ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé, êîòîðàÿ
íàçûâàåòñÿ ïåðìàíåíòîì.
2.3. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ
÷àñòèö
Íàõîæäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç áîëåå ÷åì
äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå òàê æå íåâîçìîæíî, êàê è ðåøåíèå ìíîãî÷àñòè÷íîé çàäà÷è
â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Îäíàêî êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ïî ñâîåìó
ñìûñëó íàõîäèòñÿ â áîëåå âûãîäíîì ïîëîæåíèè. Äåéñòâèòåëüíî,
20
äàæå äëÿ îäíî÷àñòè÷íîé çàäà÷è áûëî âåñüìà ïðîáëåìàòè÷íûì íàõîæäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè (îïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèÿ). Áëàãîäàðÿ
ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè ýòó ïðîáëåìó óäàëîñü îáîéòè, ïðåäñòàâèâ
ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â âèäå ñóïåðïîçèöèè âîçìîæíûõ
ñîñòîÿíèé, â êîòîðûõ îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòèêè (ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû), êîòîðûå ïðè ýòîì ìîæíî îäíîâðåìåííî èçìåðèòü.  ÷àñòíîñòè, äàæå ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ìîæíî áûëî
îïèñàòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ñîñòîÿíèé ñ îïðåäåëåííûì èìïóëüñîì, õîòÿ ÷àñòèöà îáëàäàåò îïðåäåëåííûì èìïóëüñîì òîëüêî áóäó÷è ñâîáîäíîé.
 ìíîãî÷àñòè÷íîì ñëó÷àå ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ïðåäñòàâèòü ñåáå
òàêóþ êàðòèíó, êîãäà íàì óäàëîñü-òàêè íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â âèäå ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Âîçíèêàåò
âîïðîñ: äàåò ëè çíàíèå òàêîé ôóíêöèè ïîíÿòíóþ ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó? Ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ëþáóþ âåëè÷èíó, à ôàêòè÷åñêè íàì íóæíû âåëè÷èíû, êîòîðûå íåïîñðåäñòâåííî ìîãóò áûòü èçìåðåíû. Ìàêðîñêîïè÷åñêèé íàáëþäàòåëü â ëþáîì
ñëó÷àå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìíîãèõ ÷àñòèö â âèäå
ñîâîêóïíîñòè ñîñòîÿíèé êàæäîé ÷àñòèöû.  äàííîì ñëó÷àå äàæå íå
ïðèíöèïèàëüíî, ÷òî âñå ÷àñòèöû íåðàçëè÷èìû. Âàæíî òî, ÷òî ñèñòåìà ìíîãèõ ÷àñòèö îïèñûâàåòñÿ ñ ïîçèöèé ñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ
÷àñòèö îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ñòðîãî ãîâîðÿ, îäíî÷àñòè÷íûå
ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû òîëüêî äëÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, ò.å. êîãäà ïåðåìåííûå, îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçíûì ÷àñòèöàì, ðàçäåëÿþòñÿ. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé
ìîæåò ñëóæèòü áàçèñîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ áàçèñà ìíîãî÷àñòè÷íûõ
ñîñòîÿíèé.
Îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå êàæäîé ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ ïîëíûì íàáîðîì âåëè÷èí, êîòîðûé â ñèñòåìå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö
îäèíàêîâ (õîòÿ êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ êâàíòîâûõ ÷èñåë ñîñòîÿíèÿ
êîíå÷íî â îáùåì ñëó÷àå ðàçëè÷íû).  òàêîì ñëó÷àå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ îäíî÷àñòè÷íîé âîëíîâîé
ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñïèíîâûå è êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû:
|n, ms i → ψn (x) → hr|n, ms i = ψn (r)|ms i.
(2.18)
Çäåñü n îáîçíà÷àåò ïîëíûé íàáîð ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí çà èñêëþ÷åíèåì ïðîåêöèè ñïèíà.
Ïóñòü â ôîðìóëå (2.13) îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ
21
âåêòîðàìè (2.18). Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö íåîáõîäèìî ñïðîåêòèðîâàòü ñîñòîÿíèÿ
(2.14) íà ïðîñòðàíñòâî ïåðåìåííûõ (2.1), ò.å. ôîðìóëà (2.15) îïðåäåëÿåò ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàííûé èëè àíòèñèììåòðèçîâàííûé
âåêòîð, îïðåäåëÿþùèé ïîëîæåíèå ÷àñòèö â êîîðäèíàòíîì è ñïèíîâîì ïðîñòðàíñòâå (â ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåííûõ (2.1): hϕk | = hxk | =
hrk ; msk |. Ñîîòâåòñòâåííî â ôîðìóëå (2.16) â ïðîèçâåäåíèè áóäóò
ñòîÿòü îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè
hϕk |ψR(i) i → hxk |ψni i = ψni (xk ).
(2.19)
Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû N ôåðìè-÷àñòèö,
íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì íàáîðîì îäíî÷àñòè÷íûõ
ñîñòîÿíèé, èìååò âèä
Ψ(−)
n1 ,n2 ,...,nN (x1 , x2 , . . . , xN ) =

ψn1 (x1 ) ψn2 (x1 ) . . .

1
 ψn1 (x2 ) ψn2 (x2 ) . . .
= √ det 
..

N!
.
ψn1 (xN ) ψn2 (xN ) . . .

ψnN (x1 )
ψnN (x2 ) 

,
..

.
(2.20)
ψnN (xN )
√
ãäå ñòîÿùèé â çíàìåíàòåëå ìíîæèòåëü N ! îáåñïå÷èâàåò íîðìèðîâêó âîëíîâîé ôóíêöèè ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå îäíî÷àñòè÷íûå âîëíîâûå ôóíêöèè íîðìèðîâàíû íà 1. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ôåðìè-÷àñòèö
â ôîðìå (2.20) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì Ñëåòòåðà.
Äëÿ ñèñòåìû áîçå-÷àñòèö íóæíî ñîñòàâèòü ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàííóþ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì ñóììó, êîòîðàÿ èíîãäà íàçûâàåòñÿ ïåðìàíåíòîì:
Ψ(+)
n1 ,n2 ,...,nN (x1 , x2 , . . . , xN ) =
1 X
=√
Pψn1 (xP1 )ψn2 (xP2 ) . . . ψnN (xPN ),
N ! {P}
(2.21)
ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì P .
Ôóíêöèè âèäà (2.20) è (2.21) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé N -÷àñòè÷íûé
áàçèñ â îäíî÷àñòè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè. Ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå N
òîæäåñòâåííûõ (âçàèìîäåéñòâóþùèõ) ÷àñòèö ñîãëàñíî ïðèíöèïó
22
ñóïåðïîçèöèè ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå:
Ψ(±) (x1 , x2 , . . . , xN ) =
X
=
Cn1 ,n2 , ..., nN Ψn(±)
(x1 , x2 , . . . , xN ).
1 ,n2 , ..., nN
(2.22)
{n1 ,n2 , ..., nN }
Çäåñü ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì íàáîðàì îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé {n1 , n2 , . . . , nN }. Åñòåñòâåííî, îáû÷íî ñóììà (2.22) ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
äàæå â áàçèñíûõ âîëíîâûõ ôóíêöèÿõ (2.20) è (2.21) ñïèíîâûå è
êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå íå ðàçäåëÿþòñÿ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â
îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèÿõ îíè ðàçäåëåíû.
2.4. Ñâÿçü N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ ïîëíûì
ñïèíîì
Ñïèíîâûå è êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå â ñèñòåìå íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ìîãóò áûòü â íåêîòîðîì ñìûñëå ðàçäåëåíû, îäíàêî òåïåðü áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ áóäóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ïîëíîãî (ñóììàðíîãî) ñïèíà âñåé ñèñòåìû.
Âíîâü ðàññìîòðèì ñíà÷àëà äëÿ ïðîñòîòû ñèñòåìó äâóõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö. Îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ çàïèøåì â âèäå (2.18):
ψn1,2 (x1,2 ) = ψn1,2 (r1,2 )|m1,2 i.
(2.23)
Áàçèñíûå ôóíêöèè äâóõ÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé çàïèøóòñÿ êàê
1 ³
√
Ψ(±)
(x
,
x
)
=
ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )|m1 i|m2 i±
1
2
n1 ,n2
2
´
±ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )|m2 i|m1 i .
(2.24)
Ïîñêîëüêó â ôîðìóëå (2.24) â îáùåì ñëó÷àå |m1 i|m2 i 6= |m2 i|m1 i,
ñïèíîâûå è êîîðäèíàòíûå ïåðåìåííûå íå ðàçäåëÿþòñÿ, ò.å. íåëüçÿ
çàïèñàòü âûðàæåíèå â âèäå îäíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Φ(r1 , r2 )|m1 , m2 i.
Âïðî÷åì, ýòî íå î÷åíü óäèâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå
âèäà |m1 i|m2 i íå õàðàêòåðèçóåò ñèñòåìó êàê öåëóþ. ×òîáû ðàçîáðàòüñÿ â ýòîì, ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè.
23
Âî-ïåðâûõ, äëÿ äâóõ áîçå-÷àñòèö ñî ñïèíîì 0 íèêàêèõ ïðîáëåì
íå âîçíèêàåò, ïîñêîëüêó íåò ñïèíîâûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïîýòîìó
ðàññìîòðèì ñëó÷àé äâóõ ÷àñòèö ñ ìèíèìàëüíûì îòëè÷íûì îò íóëÿ
ñïèíîì 1/2, ò.å. äâóõ ôåðìè-÷àñòèö. Ïðîåêöèè ñïèíîâ ìîãóò ïðèíèìàòü äâà çíà÷åíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî äâà îäíî÷àñòè÷íûõ ñïèíîâûõ
ñîñòîÿíèÿ |+i è |−i. Âñåãî âîçìîæíû 4 äâóõ÷àñòè÷íûõ ñïèíîâûõ
ñîñòîÿíèÿ:
|+i|+i, |+i|−i, |−i|+i, |−i|−i.
(2.25)
Äëÿ ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî ñëó÷àåâ ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå ìîæíî âûíåñòè èç ñêîáîê ôîðìóëû (2.24):
(−)
Ψ(−)
n1 ,n2 (x1 , x2 ) = Φn1 ,n2 (r1 , r2 )|±i|±i,
(2.26)
ãäå
1
Φ(−)
n1 ,n2 (r1 , r2 ) = √ (ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )−ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )) .
2
(2.27)
Ïðè ýòîì ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ â ôîðìóëå (2.26) åñòü ñîáñòâåííûå
ñîñòîÿíèÿ ñóììàðíîãî ñïèíà S = 1 ñ ïðîåêöèÿìè ±1:
|S = 1, MS = ±1i = |±i|±i.
Ïóñòü òåïåðü ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷íû, òîãäà èìååì
Ψ(−)
n1 ,n2 (x1 , x2 ) =
´
1 ³
= √ ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )|+i|−i − ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )|−i|+i ,
2
(2.28)
ãäå ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå íåëüçÿ âûíåñòè çà ñêîáêè. Çàìåòèì, îäíàêî,
÷òî êàê |+i|−i, òàê è |−i|+i íå îïèñûâàþò ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ñóììàðíûì ñïèíîì äâóõ ÷àñòèö, íî îïèñûâàþò ñîñòîÿíèÿ ñ
ñóììàðíîé ïðîåêöèåé ñïèíîâ, ðàâíîé 0. Ñîñòîÿíèÿ ñî ñïèíîì S = 1
è S = 0 ñ ïðîåêöèÿìè 0 èìåþò âèä
1
|S = 1, MS = 0i = √ (|+i|−i + |−i|+i),
2
1
|S = 0, MS = 0i = √ (|+i|−i − |−i|+i).
2
24
(2.29)
Ñïèíîâûå ñîñòîÿíèÿ â ôîðìóëå (2.28) ñëåäóåò âûðàçèòü ÷åðåç ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ïîëíûì ñïèíîì (2.29):
1
|+i|−i = √ (|1, 0i + |0, 0i),
2
1
|−i|+i = √ (|1, 0i − |0, 0i).
2
(2.30)
Ïîäñòàâèì òåïåðü âûðàæåíèÿ (2.30) â ôîðìóëó (2.28) è ïîëó÷èì
i
1 h (−)
Ψ(−)
Φn1 ,n2 (r1 , r2 )|1, 0i + Φ(+)
n1 ,n2 (x1 , x2 ) = √
n1 ,n2 (r1 , r2 )|0, 0i ,
2
(2.31)
ãäå
1
Φ(+)
n1 ,n2 (r1 , r2 ) = √ (ψn1 (r1 )ψn2 (r2 ) + ψn1 (r2 )ψn2 (r1 )) .
2
(2.32)
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå åäèíîé ôîðìóëû:
X
Ψ(−)
CS,MS Φ(S)
(2.33)
n1 ,n2 (x1 , x2 ) =
n1 ,n2 (r1 , r2 )|S, MS i.
S,MS
Çäåñü
¢
1 ¡
Φ(S)
ψn1 (r1 )ψn2 (r2 )+(−1)S ψn1 (r2 )ψn2 (r1 ) .
n1 ,n2 (r1 , r2 ) = √
2
(2.34)
Ëåãêî ïîëó÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ôîðìóëà (2.33) èìååò ìåñòî
è äëÿ äâóõ áîçå-÷àñòèö:
X
Ψ(+)
CS,MS Φ(S)
(2.35)
n1 ,n2 (x1 , x2 ) =
n1 ,n2 (r1 , r2 )|S, MS i,
S,MS
ïðè÷åì êîîðäèíàòíàÿ äâóõ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïîïðåæíåìó ôîðìóëîé (2.34). Èíûìè ñëîâàìè, ôîðìóëû (2.33) è
(2.35) èìåþò ìåñòî ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ôåðìè- è áîçå-÷àñòèö ñ ëþáûì ñïèíîì.
Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ äâóõ ÷àñòèö, ìîæíî îáîáùèòü è íà
ñëó÷àé N òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö:
Ψ(±)
n1 ,n2 , ..., nN (x1 , x2 , . . . , xN ) =
X
=
CS,MS Φ(S)
n1 ,n2 , ..., nN (r1 , r2 , . . . , rN )|S, MS i,
S,MS
25
(2.36)
îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòíûå è ñïèíîâûå ôóíêöèè óæå íå
èìåþò òàêîãî ïðîñòîãî âèäà è ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû, èñõîäÿ èç
ñâîéñòâ ãðóïïû ïåðåñòàíîâîê â òåîðèè ñèììåòðèè. Çàìåòèì òîëüêî,
÷òî äëÿ ñèñòåìû ôåðìè-÷àñòèö ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê ÷àñòèö êîîðäèíàòíîé è ñïèíîâîé ôóíêöèé |S, MS i äîëæíû
áûòü ïðîòèâîïîëîæíû, òîãäà êàê äëÿ áîçå-÷àñòèö îäèíàêîâû.
2.5. Îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå
Ñâîéñòâà òîæäåñòâåííîñòè ÷àñòèö ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ÷èñòî
êâàíòîâûõ ýôôåêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ òàê íàçûâàåìûì îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö,
âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êîòîðûìè Vb (r1 − r2 ) = Vb (r2 − r1 ) íå çàâèñèò îò ñïèíà è ìîæåò áûòü ó÷òåíî êàê âîçìóùåíèå ê ãàìèëüòîíèàíó
b0 = H
b1 + H
b2.
H
(2.37)
Óðîâíè ýíåðãèè íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö
= En1 + En2
En(0)
1 n2
(2.38)
äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü âûðîæäåííûìè òîëüêî ïî ñïèíîâûì
ïåðåìåííûì (2s+1)2 -êðàòíî1 . Âûáåðåì â êà÷åñòâå èñõîäíîãî áàçèñà
ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ñóììàðíûì ñïèíîì S :
Ψ(0) (x1 , x2 ) = Φ(S)
n1 ,n2 (r1 , r2 )|S, MS i.
(2.39)
Ðåøåíèå çàäà÷è ïî òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ âûðîæäåííîãî ñïåêòðà ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ìàòðèöû âîçìóùåíèÿ:
0
hΨ(0) |V |Ψ(0) i = δSS 0 δMS MS0 hΦ(S) |V |Φ(S) i.
(2.40)
Ìàòðèöà âîçìóùåíèÿ îêàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé ïî ïîëíîìó ñïèíó
è åãî ïðîåêöèè è åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
hΦ(S) |V |Φ(S) i = I + (−1)S J,
(2.41)
1 Ýòî òðåáîâàíèå ñîâñåì íåîáÿçàòåëüíî, îäíàêî óïðîùàåò äàëüíåéøåå èçëî-
æåíèå, íå êîíêðåòèçèðóÿ òèï ÷àñòèö, íåâîçìóùåííûõ ñèñòåì è âçàèìîäåéñòâèÿ.
26
ãäå
ZZ
|ψn1 (r1 )|2 |ψn2 (r2 )|2 V (r1 − r2 |) dr1 dr2 =
I=
ZZ
|ψn2 (r1 )|2 |ψn1 (r2 )|2 V (r1 − r2 ) dr1 dr2 ;
=
(2.42)
ZZ
J=
ZZ
=
ψn∗ 1 (r1 )ψn2 (r1 )ψn∗ 2 (r2 )ψn1 (r2 )V (r1 − r2 ) dr1 dr2 =
ψn∗ 2 (r1 )ψn1 (r1 )ψn∗ 1 (r2 )ψn2 (r2 )V (r1 − r2 ) dr1 dr2 .
(2.43)
Èòàê, íåñìîòðÿ íà íåçàâèñèìîñòü âîçìóùåíèÿ îò ñïèíîâ ÷àñòèö,
ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè óæå çàâèñÿò îò âåëè÷èíû ïîëíîãî ñïèíà.
Îáñóäèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë äâóõ ñëàãàåìûõ, îïðåäåëÿþùèõ ïîïðàâêó ê íåâîçìóùåííîìó óðîâíþ ýíåðãèè (2.38). Ïåðâîå ñëàãàåìîå
åñòü ïðîñòî ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ñèñòåì ñ ïëîòíîñòÿìè
ðàñïðåäåëåíèÿ ρ1,2 (r) = |ψn1,2 (r)|2 :
ZZ
I=
ρn1 (r1 )ρn2 (r2 )V (r1 − r2 )dr1 dr2 .
(2.44)
 ÷àñòíîñòè, åñëè ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîíû â àòîìå, âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèìè êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå, à e|ψn1,2 (r)|2 =
ρn1,2 (r) ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ. Òîãäà
ZZ
Iêóëîí =
ρ1 (r1 )ρ2 (r2 )
dr1 dr2
|r1 − r2 |
(2.45)
åñòü ïðîñòî èçâåñòíàÿ ôîðìóëà êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè, îïðåäåëÿþùàÿ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ðàñïðåäåëåííûõ
ïëîòíîñòåé çàðÿäîâ.
Âòîðîå ñëàãàåìîå êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà íå èìååò, ïîñêîëüêó
ñîäåðæèò ïåðåêðåñòíûå ÷ëåíû, âîçíèêàþùèå èç-çà ñèììåòðèçàöèè âîëíîâîé ôóíêöèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè (îáìåíà) ÷àñòèö. Ýòî òàê íàçûâàåìûé îáìåííûé èíòåãðàë, êîòîðûé ñâÿçàí ñ
îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì2 . Åñëè ââåñòè îáìåííóþ ïëîòíîñòü
2 Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ, êàê ïðàâèëî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû (÷àùå âñåãî
ýëåêòðîíû), ýòî âçàèìîäåéñòâèå åùå ÷àñòî íàçûâàþò êóëîíîâñêèì îáìåííûì
èëè ñïèí-îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì.
27
ðàñïðåäåëåíèÿ ρex (r) = ψ1 (r)ψ2∗ (r), îáìåííûé èíòåãðàë ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
ZZ
J=
ρex (r1 )ρ∗ex (r2 )V (r1 − r2 ) dr1 dr2 .
(2.46)
Âèäíî, ÷òî ðàñùåïëåíèå óðîâíÿ ýíåðãèè äëÿ ñîñòîÿíèé c ðàçíûìè
çíà÷åíèÿìè ñóììàðíîãî ñïèíà S ðàâíî
∆E = E÷åòS − Eíå÷åòS = 2J.
(2.47)
Èíîãäà, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü çàâèñèìîñòü ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà
ñèñòåìû îò îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ñïèíîâ,
ââîäÿò ýôôåêòèâíîå ñïèí-îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå â âèäå îïåðàòîðà, îïèñûâàþùåãî ôîðìàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ñïèíîâ:
Vbex = 2Jŝ1 ŝ2 .
(2.48)
 ýòîì ñëó÷àå íåâîçìóùåííûé óðîâåíü ýíåðãèè ðàâåí
E0 = En1 + En2 + I − J/2.
(2.49)
ïîïðàâêè ê íåìó íàõîäÿòñÿ ïðîñòûì âû÷èñëåíèåì ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà (2.48) ïî ñîñòîÿíèÿì ñ ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî ñïèíà. Åñëè îáìåííûé èíòåãðàë ïîëîæèòåëåí J > 0, îñíîâíîå
ñîñòîÿíèå èìååò íå÷åòíûé ñóììàðíûé ñïèí. Íàïðèìåð, äëÿ äâóõ
ýëåêòðîíîâ îñíîâíîå ñîñòîÿíèå áóäåò èìåòü S = 1. Ïîëîæèòåëüíûé îáìåííûé èíòåãðàë ïðèâîäèò ê ÿâëåíèþ ôåððîìàãíåòèçìà â
òâåðäûõ òåëàõ. Åñëè îáìåííûé èíòåãðàë îòðèöàòåëåí J < 0, îñíîâíîå ñîñòîÿíèå èìååò ÷åòíûé ñóììàðíûé ñïèí, íàïðèìåð, äëÿ äâóõ
ýëåêòðîíîâ S = 0. Îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå îáúÿñíÿåò ïðèðîäó
õèìè÷åñêîé ñâÿçè è äèàìàãíåòèçì ìîëåêóë.
28
Ãëàâà 3
Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ
3.1. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ
 ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû óâèäåëè, ÷òî îïèñàíèå ñèñòåì òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö íà ÿçûêå âîëíîâûõ ôóíêöèé îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ãðîìîçäêèì. Ê ñîæàëåíèþ, òàêèõ òðóäíîñòåé íå óäàåòñÿ èçáåæàòü â
ñëó÷àå, êîãäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ îïðåäåëåííûõ ðåçóëüòàòîâ íåîáõîäèìî
çàïèñàòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ, â ÷àñòíîñòè, èìååò
ìåñòî â çàäà÷àõ êâàíòîâîé õèìèè. Îäíàêî â çàäà÷àõ ñòàòèñòè÷åñêîé
ôèçèêè îáû÷íî íå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå ñîñòîÿíèé, áîëåå òîãî, êàê ìû óâèäèì äàëåå,
êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå âîîáùå íå ïðèãîäíî â çàäà÷àõ ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè. Äëÿ òàêèõ çàäà÷ íåîáõîäèìî ðàçâèòü áîëåå àäåêâàòíûé ôîðìàëèçì, â êîòîðîì áû â ÿâíîì âèäå ó÷èòûâàëàñü òîæäåñòâåííîñòü ÷àñòèö è ñîîòâåòñòâåííî èõ ïðèíöèïèàëüíàÿ íåðàçëè÷èìîñòü.  ïàðàãðàôå 2.3 ìû çàïèñàëè â îáùåì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ñ îïðåäåëåííûì íàáîðîì îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé â âèäå ïîëíîñòüþ ñèììåòðèçîâàííîãî èëè
àíòèñèììåòðèçîâàííîãî âûðàæåíèÿ (2.14). Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîäâèíóòüñÿ äàëüøå, íåîáõîäèìî, ñëåäóÿ ñèñòåìå ïîñòóëàòîâ, îïðåäåëèòü
äåéñòâèå ðàçëè÷íûõ îïåðàòîðîâ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí íà òàêèå ñîñòîÿíèÿ.
Íàïîìíèì, ÷òî äåéñòâèå ëþáîãî îïåðàòîðà íà ïðîèçâîëüíûé
âåêòîð ñîñòîÿíèÿ â îáùåì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ýòîãî âåêòîðà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñòðîèòü îïåðàòîð, âûáèðàþò íåêîòîðîå
ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì îïåðàòîð âñåãäà ìîæíî çàïèñàòü â âè-
29
äå ìàòðèöû. Âèä ìàòðèöû îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì áàçèñà:
X
cn |ni,
|ψi =
n
fˆ|ψi =
X
fkn cn |ki.
(3.1)
n,k
P
Çäåñü fkn = hk|fˆ|ni, è ìîæíî îïðåäåëèòü c̃k = n fkn cn , òîãäà
fˆ|ψi ≡ |ϕi =
X
c̃k |ki.
k
Íà ïåðâûé âçãëÿä ìû íè÷åãî íîâîãî íå íàïèñàëè, à âñåãî ëèøü çàíèìàëèñü ïåðåîáîçíà÷åíèÿìè. Îäíàêî ïîïðîáóåì îáúÿñíèòü ñëîâàìè
ïðîâåäåííûå ìàíèïóëÿöèè. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (3.1), äåéñòâèå
îïåðàòîðà íà ñîñòîÿíèå |ni â âûáðàííîì ïðåäñòàâëåíèè ñâîäèòñÿ ê
òîìó, ÷òî îíî çàìåíÿåòñÿ íà äðóãîå: |ki. Ýòó çàìåíó ôîðìàëüíî
òàêæå ìîæíî îïèñàòü, ââåäÿ íîâûå îïåðàòîðû, ïîçâîëÿþùèå çàìåíÿòü îäíî ñîñòîÿíèå íà äðóãîå. Ïðîùå âñåãî òàêóþ îïåðàöèþ
îïðåäåëèòü, ðàçáèâ åå íà äâà ýòàïà: íà ïåðâîì ýòàïå èçáàâëÿåìñÿ
îò ñòàðîãî ñîñòîÿíèÿ, à íà âòîðîì ýòàïå ââîäèì íîâîå. Îïðåäåëèì îïåðàòîð, êîòîðûé ïîçâîëÿåò èçáàâëÿòüñÿ îò ñóùåñòâóþùåãî
ñîñòîÿíèÿ:
ân |ni = |0i,
(3.2)
ãäå íîâûé âåêòîð |0i áóäåò îáîçíà÷àòü, ÷òî ýòî ñîñòîÿíèå ïóñòîå.
Òåïåðü èç ýòîãî ïóñòîãî ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü äðóãîå.
Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì âòîðîé îïåðàòîð, êîòîðûé ñîçäàåò èñêîìîå
ñîñòîÿíèå:
â+
(3.3)
k |0i = |ki.
Òîãäà ñîñòîÿíèå |ni ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå |ki ïðîñòûì äåéñòâèåì:
|ki = â+
k ân |ni.
Èìåÿ îïåðàòîðû â+
k â êîëè÷åñòâå, ðàâíîì ÷èñëó ñîñòîÿíèé (âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íîì), ìîæíî ïîñòðîèòü âñå ñîñòîÿíèÿ èç îäíîãî ïóñòîãî, à ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ è îïåðàòîð â ôîð-
30
ìóëå (3.1) ñîîòâåòñòâåííî ïðåäñòàâèòü â âèäå
X
|ψi =
cn â+
n |0i,
n
fˆ|ψi =
X
ˆ
cn fkn â+
k ân |ni èëè f =
X
cn fkn â+
k ân .
(3.4)
n,k
n,k
Êàê âèäèì èç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû (3.4), ðîëü áàçèñíûõ âåêòîðîâ
âçÿëè íà ñåáÿ îïåðàòîðû â+
k è åäèíñòâåííûé âåêòîð |0i.  îáû÷íîì ñëó÷àå ñìûñë ââåäåíèÿ íîâûõ îïåðàòîðîâ êàæåòñÿ âåñüìà ñîìíèòåëüíûì, îäíàêî ïðè îïèñàíèè ñèñòåì òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö
àïïàðàò, èñïîëüçóþùèé òàêèå îïåðàòîðû, ñòàíîâèòñÿ íàèáîëåå àäåêâàòíûì.
Îïðåäåëèì îïåðàòîð â+ (ϕ) òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïðè äåéñòâèè íà
ëþáîå N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå îí ïåðåâîäèò åãî â N + 1-÷àñòè÷íîå
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
â+ (ϕ)|ψ1 , . . . , ψN i = |ϕ, ψ1 , . . . , ψN i.
(3.5)
Îïåðàòîð â+ (ϕ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ. Ââåäåííûé òàêèì îáðàçîì îïåðàòîð íåýðìèòîâ, ïîñêîëüêó
¡ +
¢+
â (ϕ)|ψ1 . . . ψN i = hψ1 . . . ψN |â(ϕ) = hϕ, ψ1 . . . ψN |.
Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â(ϕ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì óíè÷òîæåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ
hϕ, ψ1 . . . ψN |ϕ, ψ1 . . . ψN i = hψ1 . . . ψN |â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 . . . ψN i = |c|2 ,
ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð â(ϕ)â+ (ϕ)|ψ1 . . . ψN i N -÷àñòè÷íûé, è, òàêèì
îáðàçîì, îïåðàòîð â(ϕ) ïåðåâîäèò (N+1) -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå â N ÷àñòè÷íîå, óíè÷òîæàÿ îäíî ñîñòîÿíèå. Îïðåäåëèì òåïåðü äåéñòâèå
îïåðàòîðà óíè÷òîæåíèÿ íà N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå.
Âû÷èñëèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò
C(ϕ) = hχ1 . . . χN −1 |â(ϕ)|ψ1 . . . ψN i =
¡
¢∗
= hψ1 . . . ψN |â+ (ϕ)|χ1 . . . χN−1i = hψ1 . . . ψN |ϕ, χ1 . . . χN−1i∗.
Cîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé (2.16) ïîëó÷àåì
C ∗(ϕ) =
N
X
ζ k−1 hψk |ϕihψ1 . . . ψk−1 ψk+1 . . . ψN |χ1 . . . χN −1 i.
k=1
31
Îêîí÷àòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ïðîèçâîëüíîñòü (N −1) -÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ hχ1 . . . χN−1|, èìååì
N
X
ζ k−1 hϕ|ψk i|ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i.
â(ϕ)|ψ1 . . . ψN i =
(3.6)
k=1
Îïðåäåëèì òåïåðü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ââåäåííûõ
îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
â+ (ϕ1 )â+ (ϕ2 ) = ζâ+ (ϕ2 )â+ (ϕ1 ).
(3.7)
Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îïåðàòîðîâ óíè÷òîæåíèÿ òàêæå
â(ϕ1 )â(ϕ2 ) = ζâ(ϕ2 )â(ϕ1 ).
Èíûìè ñëîâàìè, îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðû
óíè÷òîæåíèÿ ìåæäó ñîáîé êîììóòèðóþò äëÿ áîçå-÷àñòèö è àíòèêîììóòèðóþò äëÿ ôåðìè-÷àñòèö.
Ïîëó÷èì òåïåðü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Èìååì
â(ϕ1 )â+ (ϕ2 )|ψ1 . . . ψN i = â(ϕ1 )|ϕ2 , ψ1 . . . ψN i =
=hϕ1 |ϕ2 i|ψ1 . . . ψN i +
N
X
ζ k hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i.
k=1
(3.8)
Äåéñòâèå îïåðàòîðîâ â îáðàòíîì ïîðÿäêå äàåò
â+ (ϕ2 )â(ϕ1 )|ψ1 . . . ψN i =
=
N
X
ζ k−1 hϕ1 |ψk iâ+ (ϕ2 )|ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i =
k=1
=
N
X
ζ k−1 hϕ1 |ψk i|ϕ2 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i.
(3.9)
k=1
Óìíîæèì âûðàæåíèå (3.9) íà ζ è âû÷òåì åãî èç (3.8). Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì
â(ϕ1 )â+ (ϕ2 ) − ζâ+ (ϕ2 )â(ϕ1 ) = hϕ1 |ϕ2 i.
(3.10)
Åñëè îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ |αi, êîììóòàòîð (3.10) ïðèíèìàåò ïðîñòîé âèä:
+
âα â+
α0 − ζâα0 âα = δαα0 .
32
(3.11)
3.2. Ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ
Óñëîâèìñÿ, êàê íóìåðîâàòü îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ. Ðàññìîòðèì
âíà÷àëå áîçå-÷àñòèöû. Î÷åâèäíî, äëÿ îïèñàíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé óäîáíî âûáðàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ |βi i, ãäå βi ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë, íåîáõîäèìûõ äëÿ îïèñàíèÿ äàííûõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ìîæíî ïðîíóìåðîâàòü â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ êàêîé-ëèáî âåëè÷èíû, ñêàæåì, ýíåðãèè. Òîãäà N ÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ìîæíî çàïèñàòü êàê |β1 , β2 . . . βNi, ãäå β1 ≤
β2 . . . βN äëÿ áîçå-÷àñòèö.
Îáîçíà÷èì ïîëíûé íàáîð êâàíòîâûõ ÷èñåë ôåðìè-÷àñòèö αi .
Ïîñêîëüêó ôåðìè-÷àñòèöû íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ â îäèíàêîâûõ ñîñòîÿíèÿõ |αi i, ñëåäóåò îñòàâèòü ñòðîãèå íåðàâåíñòâà â îïðåäåëåíèè
N -÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ
|α1 , α2 , . . . αN i è α1 < α2 < · · · < αN . Ïîëó÷åííîå òàê N -÷àñòè÷íîå
ñîñòîÿíèå äëÿ ôåðìè-÷àñòèö íîðìèðîâàíî, à äëÿ áîçå-÷àñòèö íå
áóäåò íîðìèðîâàííûì, åñëè â |βi i ñîñòîÿíèè íàõîäèòñÿ ni > 1 ÷àñòèö. Íîðìèðîâêà äîñòèãàåòñÿ äåëåíèåì íà êîðåíü êâàäðàòíûé èç
ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü:
|β1 , β2 . . . βN i
√
; β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βN äëÿ áîçå-÷àñòèö,
n1 !n2 ! . . .
|α1 , α2 . . . αN i; α1 < α2 < · · · < αN äëÿ ôåðìè-÷àñòèö.
(3.12)
Èòàê, ñîâîêóïíîñòü ñîñòîÿíèé (3.12) ñîñòàâëÿåò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñîîòâåòñòâåííî áîçå- è ôåðìèñèñòåì. Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìû ñ ïåðåìåííûì ÷èñëîì ÷àñòèö, ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé òàêèõ ñèñòåì äîëæíî áûòü ïðÿìîé
ñóììîé ïðîñòðàíñòâ âñåõ âîçìîæíûõ N -÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé:
X
|Ψi = |ψ (1) i ⊕ |ψ (2) i ⊕ · · · ⊕ |ψ (N ) i ⊕ · · · =
⊕|ψ (N ) i.
(3.13)
N =1
Î÷åâèäíî, ïî îïðåäåëåíèþ ñîñòîÿíèÿ ñ ðàçíûì ÷èñëîì ÷àñòèö îïðåäåëåíû â ïîäïðîñòðàíñòâàõ, ïîýòîìó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (3.13) êàê ñóììà ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé âåêòîðîâ â ïîäïðîñòðàíñòâàõ ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ÷àñòèö. Îáû÷íî âìåñòî çíàêà
ïðÿìîé ñóììû ïèøóò çíàê îáû÷íîãî ñóììèðîâàíèÿ, ïîëàãàÿ òàêîå
ïðåäñòàâëåíèå î÷åâèäíûì. Ìû òàêæå äëÿ ïðîñòîòû â äàëüíåéøåì
33
áóäåì ïèñàòü âìåñòî çíàêà ⊕ çíàê îáû÷íîãî ñóììèðîâàíèÿ, ïîëàãàÿ, ÷òî ýòî íå ïðèâåäåò â äàëüíåéøåì ê íåäîðàçóìåíèÿì. Ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (3.13) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì Ôîêà.
Äëÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, ïî ñóòè äåëà, íå èìååò
ñìûñëà ïåðå÷èñëÿòü âñå îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ N ÷àñòèö, òåì áîëåå åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñîñòîÿíèå,
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íåêîòîðûõ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñèñòåìû ôåðìè-÷àñòèö íèêàêîå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå íå ìîæåò ïîâòîðèòüñÿ, ïîýòîìó åñòü ñìûñë
òîëüêî óêàçàòü, ïðåäñòàâëåíî ëè äàííîå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå
èëè íåò. Äëÿ ñèñòåìû áîçå-÷àñòèö íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ýòîò
ñ÷åò íåò, ïîýòîìó íàì íóæíî çíàòü òîëüêî ñêîëüêî ÷àñòèö íàõîäèòñÿ â äàííîì îäíî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè. Èíûìè ñëîâàìè, ñëåäóåò ïåðåéòè îò èçáûòî÷íî äåòàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.14) è ñîîòâåòñòâåííî áàçèñà (3.12) ê ïðåäñòàâëåíèþ, â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ
èíôîðìàöèÿ òîëüêî î òîì, ïðåäñòàâëåíî ëè äàííîå îäíî÷àñòè÷íîå
ñîñòîÿíèå â ðàññìàòðèâàåìîì N ÷àñòè÷íîì è ñêîëüêî ÷àñòèö â íåì
íàõîäèòñÿ. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ÷èñåë
çàïîëíåíèÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ñëó÷àè áîçå- è ôåðìè-÷àñòèö ðàçäåëüíî.
3.3. Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ
Áîçå-÷àñòèöû. Ýòîò ñëó÷àé â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðîùå, ïîýòîìó
ðàññìîòðèì åãî ïåðâûì. Êàê ñëåäóåò èç ââîäíûõ çàìå÷àíèé ê ýòîìó
ïàðàãðàôó, íóæíî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ðàññìîòðåíèåì áàçèñíûõ
ñîñòîÿíèé (3.12). Äëÿ áîçå-÷àñòèö çàïèøåì:
|n1 , n2 , . . . i = √
1
| β1 . . . β1 , β2 . . . β2 , . . . i.
n1 !n2 ! . . . | {z } | {z }
n1
(3.14)
n2
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êàæäîå nβ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå (nβ = 0, 1, 2, . . . ), ìíîæåñòâî âñåõ
âåêòîðîâ (3.14) ñîñòàâëÿåò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé (3.13).
Äëÿ áàçèñíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ïðîñòûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ êîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè äëÿ ïîâûøàþùèõ è ïîíèæàþùèõ
34
îïåðàòîðîâ ñèñòåìû ñâÿçàííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ:
+
[aβ , aβ 0 ] = [a+
β , aβ 0 ] = 0,
0
[aβ , a+
β 0 ] = δββ .
(3.15)
Çàìåòèì, ÷òî â ôèçèêå î÷åíü ÷àñòî âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî
îïèñàòü êàê ñèñòåìû ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé êâàçè÷àñòèö,
êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ áîçåâñêèìè èëè ôåðìèåâñêèìè ôóíêöèÿìè.
 îáùåì ñëó÷àå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (3.15) ñëåäóþò èç
ñâîéñòâ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ÷àñòèö.
Ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ íà ñîñòîÿíèÿ (3.14):
a+
β |n1 , n2 , . . . i = √
1
|βi , β1 , . . ., β2 , . . ., . . . , βi , . . ., . . . i =
| {z } | {z }
| {z }
n1 !n2 ! . . . ni ! . . .
n1
n2
ni
1
|β1 , . . . , β2 , . . . βi , . . ., . . . i =
=√
| {z }
n1 !n2 ! . . . ni ! . . .
ni +1
√
= ni + 1|n1 , n2 , . . . , ni + 1, . . . i.
(3.16)
Òåïåðü ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì óíè÷òîæåíèÿ íà ñîñòîÿíèÿ (3.14):
aβi |n1 , n2 , . . . i = √
1
a β | β 1 , . . ., β 2 , . . ., . . . , β i , . . ., . . . i =
| {z }
n1 !n2 ! . . . ni ! . . . i | {z } | {z }
n1
n2
ni
X
1
=√
| β1 , . . ., β2 , . . ., . . . , βi , . . ., . . . i =
| {z }
n1 !n2 ! . . . ni ! . . . β | {z } | {z }
i
n1
n2
ni −1
ni
=√
| β1 , . . ., β2 , . . ., . . . , βi , . . ., . . . i =
| {z }
n1 !n2 ! . . . ni ! . . . | {z } | {z }
√
n1
= ni |n1 , n2 , . . . , ni − 1, . . . i.
n2
ni −1
(3.17)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ β èìååì:
p
a+
nβ + 1|n1 , n2 , . . . , nβ + 1, . . . i,
β |n1 , n2 , . . . i =
√
aβ |n1 , n2 , . . . i = nβ |n1 , n2 , . . . , nβ − 1, . . . i.
(3.18)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýðìèòîâ îïåðàòîð
Nβ = a+
β aβ
35
(3.19)
åñòü îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèö â äàííîì îäíî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè.
Ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîð ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö åñòü
X
b=
(3.20)
N
a+
β aβ .
β
Äëÿ ôåðìè-÷àñòèö áàçèñíîå ñîñòîÿíèå (3.12) ìîæíî çàïèñàòü
êàê
|n1 , n2 , . . . i = |α1 , α2 , . . . i, ãäå nα = 0, 1.
(3.21)
Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ äëÿ ôåðìè-÷àñòèö óäîâëåòâîðÿþò àíòèêîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì:
+
{aα , aα0 } = {a+
α , aα0 } = 0,
ãäå
{A, B} = AB + BA
−
{aα , a+
α0 } = δαα0 ,
(3.22)
àíòèêîììóòàòîð.
Ïîäåéñòâóåì òåïåðü îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ íà áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ ôåðìè-ñèñòåìû â ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ:

 0,
åñëè nα = 1,
a+
1 . . . i, åñëè nα = 0,
α |n1 , n2 . . . i = |n1 , n2 . . . |{z}

α

 0,
åñëè nα = 0,
aα |n1 , n2 . . . i = |n1 , n2 . . . |{z}
(3.23)
0 . . . i, åñëè nα = 1.

α
Ëåãêî âèäåòü, òî îïåðàòîðû ÷èñëà ÷àñòèö â îäíî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè è ñîîòâåòñòâåííî ïîëíîãî ÷èñëà ÷àñòèö ðàâíû:
X
N=
(3.24)
N α = a+
a+
α aα ,
α aα ,
α
Èç àíòèêîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (3.22) è îïðåäåëåíèÿ (3.24)
ñëåäóåò
aα a+
α = 1 − Nα .
Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè äèñêðåòíûå êâàíòîâûå ÷èñëà,
ìåæäó òåì, ñ îäíîé ñòîðîíû, âåñüìà ÷àñòî áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ
ìîãóò îïðåäåëÿòüñÿ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷àñòî ñîñòîÿíèÿ óäîáíî îïèñûâàòü íåïðåðûâíûìè âîëíîâûìè
36
ôóíêöèÿìè. Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà íîðìèðîâàíû íà δ -ôóíêöèþ. Íàïðèìåð, ïóñòü îäíî÷àñòè÷íûé
áàçèñ îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì èìïóëüñà
(ñâîáîäíûå ÷àñòèöû) è hp0 |pi = δ(p0 − p), òîãäà êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ (3.11) ïåðåïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
+
0
âp0 â+
p − ζâp âp0 = δ(p − p).
(3.25)
Ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ÷àñòèöû â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà r.  ýòîì ñëó÷àå ïðèíÿòî ââîäèòü
íåìíîãî íîâîå îáîçíà÷åíèå äëÿ ïîëåâîãî ψ -îïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâåííî ψ̂ + (r) è ψ̂(r), òîãäà
ψ̂(r0 )ψ̂ + (r) − ζ ψ̂ + (r)ψ̂(r0 ) = δ(r0 − r).
(3.26)
Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå
ýêâèâàëåíòíû ñîñòîÿíèÿì, ïîýòîìó ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïåðåõîäèòü îò îäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðîâ ê äðóãîìó ñ
ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö ïåðåõîäà. Íàïðèìåð, ïåðåõîä
îò êîîðäèíàòíîãî ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ îñóùåñòâëÿåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïåðåõîäà, êîòîðàÿ åñòü, ïî ñóòè äåëà, âîëíà
äå-Áðîéëÿ, ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü ñâÿçü 1 :
Z
−1
dp
ψ̂(r) =
ei~ pr ap ,
(2π~)3/2
Z
−1
dp
ψ̂ + (r) =
e−i~ pr a+
(3.27)
p.
(2π~)3/2
Äåéñòâèòåëüíî, ïîäåéñòâóåì ïîëåâûì îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ ψ̂ + (r) íà íåêîòîðûé (ïðîèçâîëüíûé) âåêòîð, â êîòîðîì îòñóòñòâóåò îïèñàíèå ÷àñòèöû â òî÷êå
r:
ψ̂ + (r)| . . . i = |r, . . . i = |ri| . . . i.
Åñëè ïîäåéñòâóåì íà ýòî æå ñîñòîÿíèå îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p, ïîëó÷èì
a+
p | . . . i = |p, . . . i = |pi| . . . i.
Òåïåðü ïåðåéäåì îò êîîðäèíàòíîãî ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ:
ψ̂ + (r)| . . . i =
Z
Z
=
Z
dp|pihp|ri| . . . i =
dphp|ri|pi| . . . i =
−1
dp
e−i~ pr a+
p | . . . i.
(2π )3/2
~
1 Èíîãäà ñîîòíîøåíèå (3.27) îïåðåäåëÿþò íåñèììåòðè÷íî, ïî îòíîøåíèþ ê
îáðàòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, òîãäà çíàìåíàòåëü â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè
ðàâåí 1, à â ôîðìóëå (3.28) ðàâåí (2π ~)3 .
37
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ | . . . i, ïîëó÷àåì ôîðìóëó (3.27).
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä:
Z
−1
dr
ap =
e−i~ pr ψ̂(r),
(2π~)3/2
Z
−1
dr
+
ap =
ei~ pr ψ̂ + (r).
(2π~)3/2
(3.28)
Ñîîòíîøåíèÿ (3.27) ìîæíî îáîáùèòü è íà ëþáîé äðóãîé, â ÷àñòíîñòè äèñêðåòíûé, áàçèñ. Ïðè ýòîì ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðîëü ìàòðèöû ïåðåõîäà áóäåò èãðàòü ñîîòâåòñòâóþùàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ
äèñêðåòíîãî îäíî÷àñòè÷íîãî áàçèñà ϕn (r):
X
X
ψ̂(r) =
ϕn (r)an , ψ̂ + (r) =
(3.29)
ϕ∗n (r)a+
n.
n
n
Ñîîòíîøåíèÿ (3.27) è (3.29) îïðåäåëÿþò îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è
ðîæäåíèÿ ÷àñòèöû â òî÷êå r, ïðè îïèñàíèè åå ñîñòîÿíèé â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ.
Ñ ïîìîùüþ ψ -îïåðàòîðîâ ìîæíî çàïèñàòü îïåðàòîð ïëîòíîñòè
÷èñëà ÷àñòèö:
ρ̂(r) = ψ̂ + (r)ψ̂(r)
(3.30)
è ñîîòâåòñòâåííî ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö åñòü
Z
Z
N = drρ̂(r) = drψ̂ + (r)ψ̂(r).
(3.31)
3.4. Ïðåäñòàâëåíèå îñíîâíûõ îïåðàòîðîâ
Ïîëó÷èì òåïåðü âûðàæåíèå îñíîâíûõ îïåðàòîðîâ â ïðåäñòàâëåíèè
âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ. Îñíîâû äëÿ äàííîãî îïèñàíèÿ çàëîæåíû
â íà÷àëå ïàðàãðàôà 3.1. Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîé îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð fˆ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
X
fˆ =
fnk |nihk|,
(3.32)
n,k
ãäå |ni îäíî÷àñòè÷íûé áàçèñ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì (3.32) íà ïðîèçâîëüíóþ îäíî÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ:
X
X
fnk ck |ni.
fnk |nihk|ψi =
fˆ|ψi =
n,k
n,k
38
Ïîëó÷èëè âûðàæåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ ôîðìóëîé (3.1).
Ïðè îïèñàíèè ëþáîé ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ââîäÿòñÿ îïåðàòîðû, êîòîðûå äåéñòâóþò òîëüêî íà ñîñòîÿíèå îäíîé ÷àñòèöû, îäíî÷àñòè÷íûå îïåðàòîðû; îïåðàòîðû, êîòîðûå îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ÷àñòèö, äâóõ÷àñòè÷íûå îïåðàòîðû è ò.ä. Î÷åâèäíî,
çàïèñü ýòèõ îïåðàòîðîâ â ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ
áóäåò ðàçëè÷íîé.
Îïðåäåëèì äåéñòâèå îäíî÷àñòè÷íûõ îïåðàòîðîâ íà N -÷àñòè÷íîå
ñîñòîÿíèå |ψiζ .  ëèíåéíîé êîìáèíàöèè (2.14) îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð ìîæåò äåéñòâîâàòü òîëüêî íà îäíó ÷àñòèöó, à ïîñêîëüêó â
ñèñòåìå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö îíà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ëþáîì ñîñòîÿíèè, îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð äîëæåí ïîäåéñòâîâàòü íà âñå
îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ ìîæåò íàõîäèòüñÿ ÷àñòèöà.
Îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð çàìåíÿåò îäíî áàçèñíîå ñîñòîÿíèå íà
äðóãîå ñ âåñîì, ðàâíûì ñîîòâåòñòâóþùåìó ìàòðè÷íîìó ýëåìåíòó
(3.32). Ïîýòîìó ìû äîëæíû îáîáùèòü òàêîé ïîäõîä íà ñèììåòðèçîâàííîå ìíîãî÷àñòè÷íîå áàçèñíîå ñîñòîÿíèå. Ïóñòü |ϕi îäíî
èç íîðìèðîâàííûõ îäíî÷àñòè÷íûõ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé. Îïðåäåëèì
äåéñòâèå îïåðàòîðà a+ (ϕ1 )a(ϕ2 ) íà N -÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå |ψiζ :
a+ (ϕ1 )a(ϕ2 )|ψiζ =
=
N
X
ζ k−1 hϕ2 , ψk i|ϕ1 , ψ1 . . . ψk−1 , ψk+1 . . . ψN i.
(3.33)
k=1
Çàìåòèì äàëåå, ÷òî â ôîðìóëå (3.33) ìîæíî ïîñòàâèòü ñîñòîÿíèå
|ϕ1 i íà ìåñòî ñîñòîÿíèÿ |ψk i :
ζ k−1 |ϕ1 , ψ1 , . . . , ψk−1 , ψk+1 , . . . , ψN i =
=|ψ1 . . . ψk−1 , ϕ1 , ψk+1 . . . ψN i.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé îäíî÷àñòè÷íûé îïåðàòîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
X
fˆ(1) =
fmn a+
(3.34)
m an ,
m,n
ãäå an ≡ a(ϕn ).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðîâ, îïèñûâàþùèõ
âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ÷àñòèö äâóõ÷àñòè÷íîå èëè ïàðíîå âçàèìîäåéñòâèå: V (r1 − r2 ) = V (r2 − r1 ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñêàçàííîå îá
39
îäíî÷àñòè÷íîì îïåðàòîðå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ è íà
äâóõ÷àñòè÷íûé: çäåñü îäíîâðåìåííî äîëæíû èçìåíèòüñÿ äâà îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèÿ â N -÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè |ψiζ . Ïóñòü â êà÷åñòâå îäíî÷àñòè÷íîãî áàçèñà âûáðàíû ñîñòîÿíèÿ ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì òàê æå, êàê è â ôîðìóëå (3.32), òîãäà ìîæíî çàïèñàòü:
1
Vb (2) =
2!
X
+
Vmn,m0 n0 a+
m an an0 am0 ,
(3.35)
m,m0 ,n,n0
ãäå ìàòðè÷íûé ýëåìåíò
³
´
Vmn,m0 n0 = hm, n|V |m0 , n0 i ≡ hm| hn|Vb |n0 i |m0 i,
à êîýôôèöèåíò ïåðåä çíàêîì ñóììèðîâàíèÿ ó÷èòûâàåò ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê îäèíàêîâûõ ÷àñòèö.
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî çàïèñàòü â ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ ëþáîé îïåðàòîð n-÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, íå çàáûâàÿ ïðè ýòîì ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê n!.
40