Ãëàâà 7 Íåðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ. 7.1 Ââåäåíèå  ýòîì ñåìåñòðå ìû ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Âîîáùå ãîâîðÿ, îïèñàíèå êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâûõ ñèñòåì îòëè÷àåòñÿ, îäíàêî ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû ïîñòðîåíèÿ ñàìèõ óðàâíåíèé ÷àñòî ýòî ðàçëè÷èå îòñóòñòâóåò è ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì óæå ïðè áîëüøåé äåòàëèçàöèè óðàâíåíèé.  îáåèõ ñëó÷àÿõ îïèñàíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì äîëæíî ñâîäèòüñÿ ê îïðåäåëåíèþ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñòàòèñòè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïî îïðåäåëåíèþ îïèñûâàåò ñâîéñòâà âñåé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç áîëüøîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ïîäñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (êëàññè÷åñêèå èëè êâàíòîâûå). Äðóãîå äåëî, ÷òî êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò èçìåíåíèå (äâèæåíèå) ñàìèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, à êâàíòîâûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îïðåäåëÿþò ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ, à ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà åñòü ñðåäíåå îò ñîîòâåòñòâóþùåãî îïåðàòîðà â äàííîì ñîñòîÿíèè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàåì ñòàòèñòè÷åñêóþ ñèñòåìó, îíà ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà, êàê ïðàâèëî, îäèíàêîâûõ ïîäñèñòåì, ò.å. àíñàìáëÿ ñèñòåì, à àíñàìáëü ñèñòåì â êâàíòîâîé ìåõàíèêå óæå îïèñûâàåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå íå âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ ñîñòîÿíèÿ, à ìàòðèöåé ïëîòíîñòè. Çíàíèå ìàòðèöû ïëîòíîñòè ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü (îïðåäåëÿòü) ìàêðîñêîïè÷åñêèå âåëè÷èíû àíñàìáëÿ, ò.å. ñòàòèñòè÷åñêîé ñèñòåìû: F = hfˆi = T r(ρfˆ). Ìû ïîìíèì, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè â êàêîì-ëèáî ïðåäñòàâëåíèè îïðåäåëÿþò âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ñèñòåì àíñàìáëÿ â äàííûõ ñîñòîÿíèÿõ ýëåìåíòàðíûõ ïîäñèñòåì ρnn = wn .  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå íåò òàêîé íåîäíîçíà÷íîñòè â âûáîðå ñïîñîáà îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ýëåìåíòàðíîé ïîäñèñòåìû, îäíàêî ïîíÿòíî, ÷òî â ñòàòèñòè÷åñêîì àíñàìáëå ïîäñèñòåìû áóäóò íàõîäèòüñÿ â ðàçëè÷íûõ (êëàññè÷åñêèõ) ñîñòîÿíèÿõ íî ñ îïðåäåëåííûìè âåðîÿòíîñòÿìè wn . Ñîîòâåòñòâåííî, ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà åñòü ñðåäíåå äàííîé âåëè÷èíû ïî àíñàìáëþ ïîäñèñòåì, ñîñòàâëÿþùèõ áîëüøóþ ñòàòèñòè- ÷åñêóþ ñèñòåìó: F = X fn w n . n  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìàòðèöà ïëîòíîñòè è íàáîð âåðîÿòíîñòåé èãðàþò îäíó è òó æå ðîëü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí íåîáõîäèìî çíàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ è åå âðåìåííóþ ýâîëþöèþ. Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ýòè çàìå÷àíèÿ ñïðàâåäëèâû êàê äëÿ ðàâíîâåñíûõ, òàê è äëÿ íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì. Ðàçíèöà áóäåò ñîñòîÿòü â òîì, â ïåðâîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, ëèáî â êâàíòîâîé ñèñòåìå íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíûõ (ñ îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé) ñîñòîÿíèÿõ, à âî âòîðîì ñëó÷àå îáÿçàòåëüíî èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè. Èìåííî âî âòîðîì ñëó÷àå ïðîÿâëÿåòñÿ ïðèíöèïèàëüíàÿ îñîáåííîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì, à èìåííî: íåîáðàòèìîñòü èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ñ îäíîé ñòîðîíû ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî íåîáðàòèìîñòü âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ïî ñîñòîÿíèÿì àíñàìáëÿ ïîäñèñòåì: ìû óñòðàíÿåì èíäèâèäóàëüíîñòü êàæäîé ïîäñèñòåìû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû õîòåëîñü áû ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, èñõîäÿ èç èçâåñòíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïîäñèñòåì. Îäíàêî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîäñèñòåì îáðàòèìû êàê â êëàññè÷åñêîì, òàê è â êâàíòîâîì ñëó÷àå. Êàê ïåðåéòè îò îáðàòèìîé ýâîëþöèè ê íåîáðàòèìîé? Êîãäà è êàê òåðÿåòñÿ îáðàòèìîñòü? Íåïðåðûâíîãî ïåðåõîäà îò îáðàòèìîé ýâîëþöèè ïîäñèñòåì ê íåîáðàòèìîé ýâîëþöèè ñòàòèñòè÷åñêîé ñèñòåìû íåò, îíà ïîñòóëèðóåòñÿ, ïîñòóëèðîâàíèå èìååò ðàçëè÷íûé õàðàêòåð äëÿ êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâûõ ïîäñèñòåì. Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îïèñàíèþ íåîáðàòèìîé ýâîëþöèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ñèñòåì ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. 7.2 Óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ êëàññè÷åñêîé ñèñòåìû Ñîñòîÿíèå êëàññè÷åñêîé ñèñòåìû îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ òî÷êîé ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, çàäàâàåìîãî îáîáùåííûìè èìïóëüñàìè è êîîðäèíàòàìè. Äëÿ ïîäñèñòåì àíñàìáëÿ îïðåäåëåíû äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè (ñì. Ãë.1), êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ. Ïîäñèñòåìû ìîãóò íàõîäèòüñÿ â ðàçíûõ âíåøíèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, ÷òî áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ çàäàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ âíåøíèõ ïàðàìåòðîâ x. Òàêèì îáðàçîì, äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå â Ãë.1 áóäóò òàêæå çàâèñåòü òåïåðü îò ýòèõ âíåøíèõ ïàðàìåòðîâ: b(p, q) −→ b(p, q; x). (2.1) Äèíàìè÷åñêèì ôóíêöèÿì (2.1) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íå çàâèñÿùàÿ îò p, q : B(x) ≡ hb(p, q; x)i. (2.2)  ôîðìóëå (2.2) óãîëêîâûå ñêîáêè îçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì ïîäñèñòåì, ò.å. ïî âñåì âîçìîæíûì âåðîÿòíîñòÿì íàõîäèòüñÿ ïîäñèñòåìàì â îïðåäåëåííîé òî÷êå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ â îïðåäåëåííîé òî÷êå îáëàñòè íåïðåðûâíûõ ïåðåìåííûõ ðàâíà íóëþ, ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ïî ñâîåìó ñìûñëó åñòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ ïîäñèñòåì. Îáîçíà÷èì åå f (p, q), òîãäà Z (2.3) B(x) = dpdq b(p, q; x)f (p, q), ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè: Z dpdq f (p, q) = 1. Î÷åâèäíî f (p, q) ≥ 1. (2.4) Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìîæåò ñî âðåìåíåì èçìåíÿòüñÿ, ðàññìîòðèì, êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Äèíàìè÷åñêèå âåëè÷èíû èçìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (?) Ãëàâû 1: ¶ N µ X ∂b ∂b ḃ(q, p) = q̇n + ṗn = ∂qn ∂pn n=1 ¶ N µ X ∂b ∂H ∂b ∂H − = = [b, H]P . ∂qn ∂pn ∂pn ∂qn n=1 (2.5) Çàäàâàÿ çíà÷åíèå äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ìîæíî âûðàçèòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â îïåðàòîðíîì âèäå ÷åðåç ïðîïàãàòîð U (t) : b(p, q; x, t) = U (t)b(p, q; x). Ïðîïàãàòîð óäîâëåòâîðÿåò îïåðàòîðíîìó óðàâíåíèþ: ¶ N µ X ∂H ∂ ∂ ∂H ∂ U (t) ≡ ∂t U (t) = − = −[H, . . . ]P . ∂t ∂p ∂q ∂q ∂p n n n n n=1 (2.6) (2.7) Äëÿ ïðîïàãàòîðà U (t) ñóùåñòâóåò îáðàòíûé1 : b(p, q; x) = U −1 (t)b(p, q; x, t), U −1 (t)U (t) = 1. (2.8) Ïîýòîìó äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ïåðåìåííîé ìîæåì çàïèñàòü: Z B(x, t) = dpdq (U (t)b(p, q; x)) f (p, q). (2.9)  óðàâíåíèè (2.9) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè òàê æå, êàê è â óðàâíåíèè (2.3), à âñÿ âðåìåííàÿ ýâîëþöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåííîé çàâèñèìîñòüþ äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè. Íàñ æå èíòåðåñóåò ýâîëþöèÿ âî âðåìåíè 1 Ìû çäåñü íå áóäåì âäàâàòüñÿ â òîíêîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè, àïåëëèðóÿ òîëüêî ëèøü ê îáðàòèìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî çàâèñèìîñòü äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè îò âðåìåíè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ. Äåéñòâèòåëüíî, â êà÷åñòâå äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè ìîæíî ðàññìîòðåòü ëèáî îáîáùåííóþ êîîðäèíàòó, ëèáî èìïóëüñ, òîãäà ïîëó÷àþùàÿñÿ ïàðàìåòðè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà: q(t) = U (t)q, p(t) = U (t)p. Ñîîòâåòñòâåííî U (t)b(p, q; x) = b(U (t)p, U (t)q; x). (2.10) (2.11) Ðåøåíèå óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (2.10) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ïðè êîòîðîì ýëåìåíò îáúåìà íå èçìåíÿåòñÿ: dqdp = dq(t)dp(t), ò.å. ÿêîáèàí òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâåí åäèíèöå. Ñäåëàåì îáðàòíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (2.9): Z B(x, t) = dp(t)dq(t) b(p(t), q(t); x)f (p, q) = Z ¡ ¢¡ ¢ = dpdq U −1 (t)U (t)b(p, q; x) U −1 (t)f (p, q) = Z Z ¡ −1 ¢ = dpdq b(p, q; x) U (t)f (p, q) = dpdq b(p, q; x)f (p, q; t). (2.12) Êàê âèäèì, âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ïåðåíîñèòñÿ íà ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ: ¶ N µ X ∂H ∂f ∂H ∂f ∂t f (p, q; t) = Lf (p, q; t) ≡ [H, f ]P = − (2.13) . ∂qn ∂pn ∂pn ∂qn n=1 Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå íîðìèðîâêè (2.4)âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ýòî óòâåðæäåíèå ïðîâåðÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåìåííûõ â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè (2.4). Óïðàæíåíèå Ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ êëàññè÷åñêîãî ãàçà ñâîáîäíûõ áåññòðóêòóðíûõ ÷àñòèö. 2.3 Óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì âî âíåøíåì ïîëå Ðàññìîòðèì îïèñàíèå ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïîäñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âíåøíèì âîçäåéñòâèåì.  îáùåì ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàí ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ îïåðàòîðîâ2 : H = H 0 + V int + V ext , 2 Äëÿ êâàíòîâûõ ïîäñèñòåì ñëåäóåò ïîíèìàòü âåçäå ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû. (3.1) ãäå H 0 ãàìèëüòîíèàí íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì, V int ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè è V ext ýíåðãèÿ ïîäñèñòåì âî âíåøíåì ïîëå. Î÷åâèäíî, ÷àñòü ãàìèëüòîíèàíà íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì ðàâíà ïðîñòî ñóììå ãàìèëüòîíèàíîâ: X H0 = Ha0 . (3.2) a Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âíåøíèì ïîëåì òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû íåçàâèñèìûõ ýíåðãèé: X V ext = Vaext . (3.3) a Åñëè âíåøíåå âîçäåéñòâèå ñîçäàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñ ïîòåíöèàëîì ϕ(r), äëÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü ýòîãî ñëàãàåìîãî òîëüêî îò êîîðäèíàò: X V ext = ea ϕ(ra ). (3.4) a Åñëè çàðÿæåííûå ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå, ïîÿâëÿåòñÿ òàêæå çàâèñèìîñòü è îò èìïóëüñà. Ïîñêîëüêó äëÿ âíåøíèõ ïîëåé ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, â ëþáîì ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèå ïîäñèñòåì ñ âíåøíèì ïîëåì âõîäèò â ãàìèëüòîíèàí àääèòèâíî. Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïîäñèñòåìàìè íîñèò ìåíåå îïðåäåëåííûé õàðàêòåð. ×àùå âñåãî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì, ò.å. ñëó÷àåì, êîãäà êàæäàÿ ïîäñèñòåìà âçàèìîäåéñòâóåò ñ äðóãèìè íåçàâèñèìî. Ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ðàçðåæåííûõ ãàçîâ, êîãäà âçàèìîäåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïîëÿìè (íàïðèìåð, ýëåêòðîìàãíèòíûìè).  òàêîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü: 1X 1X Vab = V (ra , rb ). V int = (3.5) 2 2 a6=b a6=b Ïîñêîëüêó äëÿ òîæäåñòâåííûõ ïîäñèñòåì äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå Vab = Vba , îáû÷íî 1/2 ïåðåä ñóììîé íå ïèøóò, íî èñêëþ÷àþò ïîâòîðíîå ñóììèðîâàíèå îäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ: X X V int = Vab = V (ra , rb ). (3.6) a>b a>b Óïðàæíåíèÿ 1. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ñ ìàññîé m. Äëÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö ãàìèëüòîíèàí åñòü ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé: H0 = X p2 a , 2m a ïîýòîìó ïîëó÷àåì L0 = −[H 0 , . . . ]P = − X X ∂H 0 ∂ = L0a , ∂p ∂r a a a a ãäå L0a = − pa ∇a = −(va ∇a ) m (3.7) 2. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïî çàêîíó V (|ra − rb |). Çàïèøåì òîëüêî ÷àñòü îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ, îòâåòñòâåííóþ çà âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè. Ïîñêîëüêó âçàèìîäåéñòâèå çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàò, ñêîáêè Ïóàññîíà ñâîäÿòñÿ òîëüêî êî âòîðîìó ñëàãàåìîìó: int L = −[V int X ∂V int ∂ ,...] = . ∂rc ∂pc c ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòàì (ãðàäèåíòû) ðàâíû: ∂ X V (|ra − rb |) = (∇a V (|ra − rb |))δc,a + (∇b V (|ra − rb |))δc,b . ∂rc a,b  ñèëó òðåòüåãî çàêîíà Íüþòîíà èìååì: (∇a V (|ra − rb |)) = −(∇b V (|ra − rb |)) = ∇V (r), ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü int L = X µ Lint ab , Lint ab ãäå = (∇a V (|ra − rb |)) a,b ∂ ∂ − ∂pa ∂pb ¶ . (3.8) 3. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö âî âíåøíåì ïîëå.  ýòîì ñëó÷àå âñå ïðîñòî. Çàìåòèì, ÷òî ãðàäèåíòû îïðåäåëÿò ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöû ñî ñòîðîíû ïîëÿ Fa , à ïðîèçâîäíûå ïî èìïóëüñàì îñòàâèì íà ñëó÷àé, êîãäà âíåøíåå âçàèìîäåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå ìàãíèòíûìè ïîëÿìè, ïîýòîìó èìååì: Lext = X Lext a , ãäå Lext a = − a ∂Vaext ∂ ∇a − Fa . ∂pa ∂pa (3.9)  çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàôà çàïèøåì óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì âî âíåøíåì ïîëå: X X )f + Lint ∂t f = (L0a + Lext (3.10) ab f a a 3.4 a,b s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ìàêðîñêîïè÷åñêèå âåëè÷èíû ñòàòèñòè÷åñêîé ñèñòåìû è çàâèñèò îò (êàíîíè÷åñêèõ) ïåðåìåííûõ âñåõ ïîäñèñòåì. Âìåñòå ñ òåì, ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ (ìàêðîñêîïè÷åñêèõ) âåëè÷èí èñïîëüçóþòñÿ äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùèå âçàèìîäåéñòâèÿ (èëè äðóãèå ñâîéñòâà) îäíîâðåìåííî êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîäñèñòåì. Íàïðèìåð, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàëè ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîäñèñòåì, ìû îãðàíè÷èëèñü òîëüêî ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ýòî, êîíå÷íî, íå èñêëþ÷àåò ñóùåñòâîâàíèÿ òðåõ÷àñòè÷íûõ è äðóãèõ áîëåå ñëîæíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Âàæíî îñîçíàâàòü, ÷òî ïðàêòè÷åñêè èçó÷àþòñÿ è ó÷èòûâàþòñÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîäñèñòåì. Ââåäåì äëÿ óäîáñòâà, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ, îáîçíà÷åíèå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, îòíîñÿùèõñÿ ê äàííîé ïîäñèñòåìå, îäíîé áóêâîé: (4.1) xa ≡ (qa , pa ). Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç àíñàìáëÿ N îäèíàêîâûõ ïîäñèñòåì, ïîýòîìó âñå äèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè äîëæíû áûòü ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ïåðåìåííûõ ðàçëè÷íûõ ïîäñèñòåì: b(q, p) ≡ b(x, p) = b(x1 , . . . xa , . . . , xb , . . . , xN ) = b(x1 , . . . xb , . . . , xa , . . . , xN ). Ñîîòâåòñòâåííî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òàêæå áóäåò çàïèñàíà â âèäå: f (p, q) ≡ f (x1 , . . . xa , . . . , xb , . . . , xN ) = f (x1 , . . . xb , . . . , xa , . . . , xN ). Ïðè ýòîì óñëîâèå íîðìèðîâêè ïðèìåò âèä: Z Z dqdpf (q, p; t) = dx1 dx2 . . . dxN f (x1 , x2 , . . . , xN ) = 1. (4.2) (4.3) Ïðîèçâîëüíóþ äèíàìè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû: b(x1 , . . . , xN ) =b0 + N X b1 (xa ) + a=1 N X + N X b2 (xa , xb )+ a<b=1 b3 (xa , xb , xc ) + · · · + bN (x1 , x2 , . . . , xN ). (4.4) a<b<c=1  ãàìèëüòîíèàíå ñ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìû îãðàíè÷èëèñü ïåðâûìè òðåìÿ ÷ëåíàìè â ðàçëîæåíèè (4.4). Âû÷èñëèì òåïåðü ñðåäíåå äëÿ äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè (4.4). Äëÿ ÷ëåíà b0 âñå òðèâèàëüíî. Ðàññìîòðèì îäíî÷àñòè÷íûé ÷ëåí, ñîäåðæàùèé òîëüêî ïåðåìåííûé îäíîé ïîäñèñòåìû. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì: à N ! Z X B1 = dx1 . . . dxN b1 (xa ) f (x1 , . . . , xN ) Z =N a=1 dx1 dx2 . . . dxN b1 (x1 )f (x1 , x2 , . . . , xN ). (4.5) Èç âûðàæåíèÿ (4.5) âèäíî, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îäíî÷àñòè÷íîãî ñðåäíåãî íàì äîñòàòî÷íî çíàòü íå ïîëíóþ, à âñåãî ëèøü îäíî÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðóþ îïðåäåëèì êàê Z f1 (x1 ) = N dx2 . . . dxN f (x1 , x2 , . . . , xN ). (4.6) Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (4.5) ïåðåïèøåòñÿ â áîëåå ïðîñòîì è êîìïàêòíîì âèäå Z B1 = dx1 b1 (x1 )f1 (x1 ). (4.7) Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ââåñòè s-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñðåäíåãî îò s-÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Çàïèøåì ïî îïðåäåëåíèþ: ! à N Z X bs (xa , xb , . . . , xc ) f (x1 , x2 , . . . , xN ) = Bs = dx1 . . . dxN N! = (N − s)!s! Z a<b···<c=s dx1 . . . dxs . . . dxN bs (x1 , x2 , . . . , xs )f (x1 , . . . , xs , . . . , xN ). Ìû çäåñü ó÷ëè ÷èñëî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî îáðàçîâàòü s-÷àñòè÷íûå êîìs áèíàöèè èç N ÷àñòèö CN . Îïðåäåëåíèå s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíî: Z N! fs = (4.8) dxs+1 . . . dxN f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ). (N − s)! Î÷åâèäíî âñå s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè êîîðäèíàò ÷àñòèö. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (4.8) s-÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìèðîâàíà íå íà 1: Z N! dx1 . . . dxs f (x1 , . . . , xs ) = . (4.9) (N − s)! Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (4.8) ëåãêî çàïèñàòü îïðåäåëåíèå ñðåäíåãî äëÿ s-÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ: Z 1 Bs = dx1 . . . dxs bs (x1 , . . . , xs )f (x1 , . . . , xs ). (4.10) s! Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ñðåäíåãî îò äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè (4.4) ìîæíî çàïèñàòü: Z N X 1 dx1 . . . dxs bs (x1 , . . . , xs )f (x1 , . . . , xs ). B = hbi = Bs = s! s=0 s=0 N X (4.11) Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùåé òåîðèè ýâîëþöèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñèñòåìû àíñàìáëÿ N ïîäñèñòåì óäîáíî ðàññìîòðåòü ñîâîêóïíîñòü âñåõ âîçìîæíûõ s-÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå åäèíîãî îáúåêòà: N +1ìåðíîãî âåêòîðà ðàñïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû: f = {f0 , f1 (x1 ), f2 (x1 , x2 ), . . . , fN (x1 , . . . , xN )}. (4.12) Íàðÿäó ñ îïðåäåëåíèåì (4.12) ìîæíî ââåñòè òàêæå âìåñòî ôîðìóëû (4.4) îïðåäåëåíèå N + 1-ìåðíîãî âåêòîðà s-÷àñòè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèé: b = {b0 , b1 (x1 ), b2 (x1 , x2 ), . . . , bN (x1 , . . . , xN )}. (4.13) Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèé (4.12 è (4.13 âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåãî ïðîèçâîëüíîé äèíàìè÷åñêîé ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: B = hbi = (b, f ). 4.5 (4.14) Öåïî÷êà óðàâíåíèé ÁÁÃÊÈ Íåñìîòðÿ íà óäîáñòâî s-÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ çíà÷åíèé â ñòàòè÷åñêîì, íå çàâèñÿùåì îò âðåìåíè ñëó÷àå, âîçíèêàþò îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ïðè îïðåäåëåíèè èõ âðåìåííîé ýâîëþöèè. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ îïèñûâàåò ýâîëþöèè ïîëíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âñåé ñèñòåìû, äëÿ êîòîðîé îïðåäåëåí ñîîòâåòñòâóþùèé ãàìèëüòîíèàí èëè îïåðàòîð Ëèóâèëëÿ (3.10). Âèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå äàæå ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé â ñèñòåìå íå óäàñòñÿ ñâåñòè âðåìåííóþ ýâîëþöèþ ïîëíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê ýâîëþöèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íå áîëåå ÷åì äâóõ÷àñòè÷íûõ, ïîñêîëüêó âçàèìîäåéñòâèå ïåðåìåøèâàåò è ñâÿçûâàåò ïåðåìåííûå âñåõ ïîäñèñòåì. Çàïèøåì óðàâíåíèå ýâîëþöèè s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì Ëèóâèëëÿ (3.10), ïðîèíòåãðèðîâàâ åãî ïî îñòàâøèìñÿ s + 1 ïåðåìåííûì: ∂t fs (x1 , . . . , xs ) = à N Z X N! = dxs+1 . . . dxN (L0a + Lext a )+ (N − s)! a=1 ! N X f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ). + Lint ab (5.1) a<b=2 Äëÿ äàëüíåéøåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóëû (5.1) íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âñïîìîãàòåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïîñêîëüêó ïîëíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìèðîâàíà, è óñëîâèå íîðìèðîâêè íå çàâèñèò îò âðåìåíè, ïîäåéñòâîâàâ íà íåãî îïåðàòîðîì Ëèóâèëëÿ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå: Z ∂t dx1 . . . dxN f (x1 , . . . , xN ) = ! à N Z N X X Lint f (x1 , . . . , xN ) = 0. (5.2) dx1 . . . dxN (L0a + Lext ab a )+ a=1 a<b=2 Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (5.2) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ñèñòåìû, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ âñåõ ñëàãàåìûõ â òðåõ íåçàâèñèìûõ ñóììàõ: Z dxa L0a f (x1 , . . . , xN ) = 0, Z dxa Lext (5.3) a f (x1 , . . . , xN ) = 0, Z dxa dxb Lint ab f (x1 , . . . , xN ) = 0. Ñ îäíî÷àñòè÷íûìè îïåðàòîðàìè â ôîðìóëå (5.1) ðàçîáðàòüñÿ ëåãêî. Äåéñòâèòåëüíî, èõ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû: N N N X X X 0 ext 0 ext (La + La ) = (La + La ) + (L0a + Lext a ). a=1 a=1 (5.4) a=s+1 Åñëè òåïåðü â ôîðìóëå (5.1) ñòîèò ïåðâàÿ ÷àñòü ñóììû (5.4), îíà ìîæåò áûòü âûíåñåíà èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà, è îñòàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñóììà s-÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ âòîðîé ÷àñòè ñóììû ñîãëàñíî óñëîâèÿì (5.3) ïîëó÷àåì íóëü. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü: s X a=1 N! (L0a + Lext a ) (N − s)! Z dxs+1 . . . dxN f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ) = N X = (L0a + Lext a )fs (x1 , . . . , xs ). (5.5) a=1 Ïðåîáðàçîâàíèå ÷ëåíîâ, ó÷èòûâàþùèõ ïàðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ â óðàâíåíèè (5.1), òðåáóþò áîëåå äëèííîãî àíàëèçà. Îäíàêî ñóòü ïðåîáðàçîâàíèé ïîïðåæíåìó áóäåò îñíîâûâàòüñÿ íà ðàçáèåíèå ïîäñèñòåì íà ãðóïïû è ó÷åòå óñëîâèÿ (5.3). Ñëåäóåò ðàññìîòðåòü òðè âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ ðàçáèåíèÿ íà ãðóïïû. 1. Îáå ïîäñèñòåìû a è b ïðèíàäëåæàò s-÷àñòè÷íîé ãðóïïå: 1 ≤ a, b ≤ s. Äëÿ ýòîé ãðóïïû ïîäñèñòåì îïåðàòîð Lint ab âûíîñèòñÿ èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà. Îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ äàåò s-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, è ìû ïîëó÷àåì ñëàãàåìîå âèäà N X Lint ab f (x1 , . . . , xs ). (5.6) a<b=2 2. Îáå ïîäñèñòåìû a è b íå ïðèíàäëåæàò s-÷àñòè÷íîé ãðóïïå: s+1 ≤ a, b ≤ N.  ýòîì ñëó÷àå â ñèëó óñëîâèé (5.3) èíòåãðàëû ðàâíû íóëþ. 3. Îäíà èç ïîäñèñòåì ïðèíàäëåæèò s-÷àñòè÷íîé ãðóïïå, à äðóãàÿ íåò, íàïðèìåð, 1 ≤ a ≤ s, s + 1 ≤ b ≤ N. Ýòîò ñëó÷àé íå ñâîäèòñÿ íè ê îäíîìó èç ðàññìîòðåííûõ è òðåáóåò îïðåäåëåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî âûðàæåíèÿ â ôîðìóëå (5.1). Çàïèøåì öåïî÷êó âûêëàäîê: Z s N X X N! dxs+1 . . . dxN Lint ab f (x1 , . . . , xs , xs+1 , . . . , xN ) = (N − s)! a=1 b=s+1 Z s X N! (N − s)Lint dxs+1 . . . dxN = a,s+1 f (x1 , . . . , xN ) = (N − s)! a=1 Z s X N! = dxs+1 dxs+2 . . . dxN Lint a,s+1 f (x1 , . . . , xN ) = (N − s − 1)! a=1 Z s Z X N! int dxs+2 . . . dxN f (x1 , . . . , xN ) = = dxs+1 La,s+1 (N − s − 1)! a=1 s Z X = dxs+1 Lint a,s+1 fs+1 (x1 , . . . , xs+1 ). (5.7) a=1 Ïîäñòàâèì ðåçóëüòàòû ïðåîáðàçîâàíèé (5.5-5.7) â óðàâíåíèå (5.1) è ïîëó÷èì ñèñòåìó N çàöåïëÿþùèõñÿ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ öåïî÷êîé ÁÁÃÊÈ ïî èìåíè àâòîðîâ Áîãîëþáîâà, Áîðíà, Ãðèíà, Êèðêâóäà è Èâîíà: N X ∂t fs (x1 , . . . , xs ) = (L0a + Lext a )fs (x1 , . . . , xs )+ + + a=1 N X a<b=2 s Z X Lint ab f (x1 , . . . , xs )+ dxs+1 Lint a,s+1 fs+1 (x1 , . . . , xs+1 ). (5.8) a=1 Óïðàæíåíèå. Çàïèñàòü ïåðâûå ÷åòûðå óðàâíåíèÿ öåïî÷êè ÁÁÃÊÈ. Ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.8) ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå, óäîáíîé äëÿ àíàëèçà åå ñâîéñòâ ïðîâåäåíèÿ ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì íàáîðà s-÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå âåêòîðà ðàñïðåäåëåíèÿ (4.12): ∂t f (t) = Lf (t) = (L0 + Lext + Lint )f (t). (5.9) Ìàòðèöó â óðàâíåíèè (5.9) ìîæíî çàïèñàòü â ÿâíîì âèäå. Óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè äèðàêîâñêèì îáîçíà÷åíèÿì â êâàíòîâîé ìåõàíèêå äëÿ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé: â íàøåì ñëó÷àå ñîñòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì ïîäñèñòåì â ãðóïïå è åìó ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð-ñòîëáåö |si. Âåêòîðó-ñòðîêå ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð áðà hs|. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5.9) â íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ: ∂t fs (t) = N X hs|(L0 + Lext + Lint )|s0 ifs0 (t). (5.10) s0 =0 Óïðàæíåíèå. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà â óðàâíåíèè (5.10) èìååò êâàçèäèàãîíàëüíûé âèä ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ ÷ëåíàìè òîëüêî íà ãëàâíîé è ñîñåäíåé ñ íåé ñâåðõó äèàãîíàëÿõ. 5.6 Ôàêòîðèçàöèÿ s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êîððåëÿöèè Ìû âèäåëè, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (5.8) ñâÿçàíà áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó ïîäñèñòåìàìè.  îñòóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèé s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî áûëî áû ïðåäñòàâèòü ïðîñòî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ, íàïðèìåð: f20 (x1 , x2 , t) = f10 (x1 , t)f10 (x2 , t). (6.1) Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ 0 óêàçûâàåò íà îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèé â èäåàëüíîì ñòàòèñòè÷åñêîì àíñàìáëå. Íà ñàìîì äåëå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ïîäñèñòåìàìè íå ïîçâîëÿþò ôàêòîðèçîâàòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, îäíàêî ìîæíî ââåñòè ìåðó âêëàäà âçàèìîäåéñòâèé â s-÷àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, äîáàâëÿÿ ê ôàêòîðèçîâàííîìó ïðåäñòàâëåíèþ äîïîëíèòåëüíûå ôóíêöèè, êîòîðûå íàçîâåì êîððåëÿöèîííûìè.  ÷àñòíîñòè, äâóõ÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê f2 (x1 , x2 , t) = f1 (x1 , t)f1 (x2 , t) + g2 (x1 , x2 , t), (6.2) ãäå g2 (x1 , x2 , t) êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ, ó÷èòûâàþùàÿ êîððåëÿöèè (âçàèìîäåéñòâèÿ) äâóõ ÷àñòèö (ïîäñèñòåì). Äëÿ òðåõ÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ó÷åñòü íå òîëüêî ïàðíûå, íî è òðîéíûå êîððåëÿöèè, ïîýòîìó èìååì: f3 (x1 , x2 , x3 , t) =f1 (x1 , t)f1 (x2 , t)f1 (x3 , t)+ +g2 (x1 , x2 , t) + g2 (x1 , x3 , t) + g2 (x2 , x3 , t) + g3 (x1 , x2 , x3 , t). (6.3) Òàê ïðîöåäóðó ôàêòîðèçàöèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïðîäîëæèòü äî êàêîãî óãîäíî ïîðÿäêà. Óïðàæíåíèå. Ôàêòîðèçîâàòü 4-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî âî âñåõ âûðàæåíèÿõ âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé äèíàìèêîé ïîäñèñòåì àíñàìáëÿ.  çàêëþ÷åíèå ëåêöèè ñäåëàåì íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ îòíîñèòåëüíî âðåìåííîé ýâîëþöèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñòåñòâåííî, ìû âèäèì, ÷òî êàê óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ (3.10), òàê è ýêâèâàëåíòíàÿ åìó öåïî÷êà óðàâíåíèé ÁÁÃÊÈ (5.8) îáðàòèìû ïî âðåìåíè, ïîñêîëüêó îñíîâàíû íà îáðàòèìûõ óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ïîäñèñòåì.  òàêèõ ñèñòåìàõ íå âîçíèêàåò ðåëàêñàöèè è, ñîîòâåòñòâåííî, óñòàíîâëåíèÿ (òåðìîäèíàìè÷åñêîãî) ðàâíîâåñèÿ. Êàê ìû óæå ãîâîðèëè, òàêàÿ íåîáðàòèìîñòü ïîñòóëèðóåòñÿ, ââîäèòñÿ ðóêàìè. Ñ îäíîé ñòîðîíû ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé ìû íå ìîæåì ïîòðåáîâàòü îáðàòèìîñòè, ïîñêîëüêó îíè ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïîñòóëàòà î ñóùåñòâîâàíèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è åå âåðîÿòíîñòíîì ñìûñëå. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ââåäåíèå ýëåìåíòîâ âåðîÿòíîñòíîé òðàêòîâêè ïðèâîäèò ê íåîáðàòèìîñòÿì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû ââåäåíèå ýëåìåíòîâ âåðîÿòíîñòíîãî ïîäõîäà ïîäðàçóìåâàåò ÷àñòè÷íóþ ïîòåðþ èíôîðìàöèè î ñâîéñòâàõ ñèñòåìû.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû äåòàëüíàÿ ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ íå òîëüêî íåâàæíà, íî åñëè äàæå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíà íàì îêàçàëàñü äîñòóïíîé, ñêîðåå âñåãî çà îãðîìíûì (ìàêðîñêîïè÷åñêèì!) îáúåìîì èíôîðìàöèè ñêðûëàñü áû ñóùåñòâåííàÿ èíôîðìàöèÿ î ïîâåäåíèè ìàêðîñêîïè÷åñêîãî îáúåêòà êàê öåëîãî. Òàêèì îáðàçîì, íåîáðàòèìîñòü âîçíèêàåò âñÿêèé ðàç, êîãäà ìû îòêàçûâàåìñÿ îò ÷àñòè íåñóùåñòâåííîé äëÿ íàñ èíôîðìàöèè. Ïåðåíîñÿ ðàññóæäåíèÿ íà ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî çäåñü ïîäîáíîãî ðîäà ïðèáëèæåíèÿ ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ñ êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè. Èõ íåäîñòàòî÷íî îáîðâàòü ðóêàìè íà êàêîì-òî ýòàïå.  òàêîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðîñòî ñòàíåò îãðàíè÷åííîé. Íåîáõîäèìî ïðåäëîæèòü ïîñòóëàòû îá èõ âðåìåííîé ýâîëþöèè . Îáû÷íî ïîñòóëèðóåòñÿ îáðàùåíèå â íóëü êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ïî ïðîøåñòâèè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî (ïî ñðàâíåíèþ ñ íåêîòîðûìè õàðàêòåðíûìè âðåìåíàìè ýâîëþöèè ïîäñèñòåì) âðåìåíè. Ýòî óòâåðæäåíèå íèêàê íå ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ, à íàêëàäûâàåòñÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé.  äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, êàê ïîñòóëèðóåòñÿ íåîáðàòèìîñòü â ðàçëè÷íûõ ìîäåëÿõ è ïðèáëèæåíèÿõ.