Уточнение уравнения Øр¼дингера с учетом диссипации волн в

Óòî÷íåíèå óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñ ó÷åòîì
äèññèïàöèè âîëí â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå
Å. Ì. Áåíèàìèíîâ
 ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ïðèìåð ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ îïèñàíèÿ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñî
ñðåäîé.  êà÷åñòâå ìîäåëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ òåïëîâîãî ðàññåÿíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, çàäàííîé íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà òåïëîâàÿ äèôôóçèÿ çàäàåòñÿ òîëüêî
ïî èìïóëüñàì. Ïðèâîäèòñÿ è èññëåäóåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà äëÿ ýòîãî ïðîöåññà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ê ýòîìó óðàâíåíèþ ïî
ñòåïåíÿì âåëè÷èíû, îáðàòíîé ê âåëè÷èíå ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû íà
åäèíèöó ìàññû ÷àñòèöû ïðîöåññà. Ïðèáëèæåíèÿ ñòðîÿòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå èç îáû÷íîãî óðàâíåíèÿ
Êðàìåðñà, îïèñûâàþùåãî èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ñòðîèòñÿ ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå ýòîãî ïðîöåññà â âèäå
óðàâíåíèå Ôîêêåðà-Ïëàíêà äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå.
Äîêàçàíî, ÷òî íóëåâûì (îáðàòèìûì) ïðèáëèæåíèåì ê ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïî áîëüøîìó ïàðàìåòðó ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå îïèñàíèå â âèäå óðàâíåíèÿ
Øð¼äèíãåðà ñî ñòàíäàðòíûì îïåðàòîðîì Ãàìèëüòîíà.  ñòàòüå âûâîäèòñÿ ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå ê ìîäåëè ïî îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû.  ðåçóëüòàòå ñòðîèòñÿ
ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ó÷èòûâàþùåå äèññèïàöèþ ïðîöåññà â èñõîäíîé ìîäåëè.
1
1
Ââåäåíèå
 ýòîé ñòàòüå ïðîäîëæàåòñÿ èññëåäîâàíèå îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Êðàìåðñà, ââåäåííîãî â ñòàòüå [1].
 ðàáîòå [1] îáîáùåííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà âîçíèêëî â êà÷åñòâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ âîëí â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå
ïîä äåéñòâèåì ñðåäû, íàõîäÿùåéñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè. Â [1] áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ïàðàìåòðàõ ìîäåëè ïðîöåññ, îïèñûâàåìûé
îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîìïîçèöèè
áûñòðîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà è ìåäëåííîãî ïðîöåññà. Ìåäëåííûé ïðîöåññ, êàê áûëî äîêàçàíî, ïðèáëèæåííî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øð¼äèíãåðà, ïðèìåíÿåìûì äëÿ îïèñàíèÿ êâàíòîâûõ ïðîöåññîâ. Òàêèì îáðàçîì
ïîêàçàíî, ÷òî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå îïèñàíèå âîçíèêàåò êàê àñèìïòîòè÷åñêîå îïèñàíèå ïðîöåññîâ òåïëîâîãî ðàññåÿíèÿ âîëí â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Öåëüþ ýòîé ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ,
îïèñûâàþùåãî ìåäëåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ïðîöåññà, çàäàííîãî îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà, ñ òî÷íîñòüþ, ïðè êîòîðîé ïðîÿâëÿþòñÿ äèññèïàòèâíûå ýôôåêòû â ýòîì ïðîöåññå.
Ñòàòüÿ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ðàçäåëîâ è ïðèëîæåíèÿ.
 ñëåäóþùåì ðàçäåëå ïðèâîäÿòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è, îáîáùåííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà äëÿ ïðîöåññà òåïëîâîãî ðàññåÿíèÿ âîëí íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå è ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ, âõîäÿùèõ îáîáùåííîå óðàâíåíèå Êðàìåðñà.
 ðàçäåëå 3 ïðèâîäÿòñÿ ðàíåå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ îïèñàíèÿ
ïðîöåññà, çàäàííîãî îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà, äàåòñÿ ìåòîä
äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà ïî îòðèöàòåëüíûì ñòåïåíÿì êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû è ôîðìóëèðóåòñÿ îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñòàòüè â âèäå òåîðåìû 4.  òåîðåìå ïðèâîäèòñÿ óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ìåäëåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ èññëåäóåìîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì
äèññèïàöèè. Ýòèì óðàâíåíèåì ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå
Øð¼äèíãåðà, ó÷èòûâàþùåå íåîáðàòèìîñòü ïðîöåññà. Ïîêàçàíî, ÷òî ñëåäñòâèåì ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòû
äåêîãåðåíöèè è ñïîíòàííûõ ïåðåñêîêîâ ìåæäó óðîâíÿìè.
 ðàçäåëå 4 ñôîðìóëèðîâàíû íåêîòîðûå äàëüíåéøèå íàïðàâëåíèÿ ðàáîòû è âîçìîæíîñòè ñðàâíåíèÿ ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè ñ ýêñïåðèìåíòàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû ðàáîòû ïðåäñòàâëåíî â ïðèëîæåíèè.
2
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ óðàâíåíèÿ
Èòàê, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà. Ñîñòîÿíèå ïðîöåññà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ R çàäàåòñÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèåé ϕ[x, p, t] íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (x, p) ∈ R2n , ãäå n
ðàçìåðíîñòü êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Êîîðäèíàòû â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå çàäàþòñÿ íàáîðîì ÷èñåë x ∈ Rn , à èìïóëüñû
íàáîðîì ÷èñåë p ∈ Rn . (Äàëåå âñþäó àðãóìåíòû ôóíêöèè áóäåò ïèñàòüñÿ
â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, ÷òîáû îòëè÷àòü àðãóìåíò ôóíêöèè îò óìíîæåíèÿ
íà ïåðåìåííóþ.)
Îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà äëÿ ôóíêöèè ϕ[x, p, t] íàçûâàåòñÿ
óðàâíåíèå âèäà:
∂ϕ
= Aϕ + γBϕ,
(1)
∂t
n n
X
X
p2j ∂V ∂ϕ
pj ∂ϕ
i
ãäå
Aϕ =
−
−
V −
ϕ
(2)
m ∂xj
h̄
j=1 ∂xj ∂pj
j=1 2m
n
X
∂
Bϕ =
j=1 ∂pj
è
∂
∂ϕ
pj + ih̄
ϕ + kB T m
∂xj
∂pj
!
;
(3)
m ìàññà ÷àñòèöû; V [x] ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó; i ìíèìàÿ åäèíèöà; h̄ ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà;
γ = β/m êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû β íà åäèíèöó ìàññû ÷àñòèöû; kB ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà; T òåìïåðàòóðà ñðåäû.
Åñëè â óðàâíåíèè (1) ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì âèäà:
√
V [x]
p
kB T m
0
0
p =√
, x =
x, V 0 [x] =
,
(4)
h̄
kB T
kB T m
òî â íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä:
∂ϕ
= A0 ϕ + γB 0 ϕ,
∂t
ãäå
(5)
n n
X
(p0j )2 kB T X
∂V 0 ∂ϕ
0 ∂ϕ
0
Aϕ=
− pj 0 − i V −
ϕ
h̄ j=1 ∂x0j ∂p0j
∂xj
2
j=1
0
è
n
X
∂
Bϕ=
0
j=1 ∂pj
0
3
p0j
∂
∂ϕ
+i 0 ϕ+ 0
∂xj
∂pj
(6)
!
.
(7)
Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð A0 êîñîýðìèòîâ, à îïåðàòîð B 0 íå ÿâëÿåòñÿ
íè êîñîýðìèòîâûì, íè ñàìîñîïðÿæåííûì. Îïåðàòîð B 0 îïðåäåëÿåò ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ïî èìïóëüñàì è, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáðàòèìîñòü ïðîöåññà.  ýòîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà γ áîëüøàÿ âåëè÷èíà, òî åñòü âêëàä îïåðàòîðà B 0 â îáùèé ïðîöåññ èçìåíåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè âåëèê. Ñâîéñòâà îïåðàòîðà B 0 ïðåäñòàâëåíû â
ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Òåîðåìà 1.
B0
ϕ[x, p]
0, −1, −2, ...
0
B
Îïåðàòîð , çàäàííûé âûðàæåíèåì (7), èìååò ïîëíûé
íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (â êëàññå ôóíêöèé
, ñòðåìÿùèõñÿ ê
íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè) c ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè
Ñîîòâåòñòâåííî, îïåðàòîð ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå:
B0 = −
∞
X
(8)
kPk ,
k=0
ãäå Pk îïåðàòîðû ïðîåêöèè íà ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè −k.
Îïåðàòîðû Pk , êàê ïðîåêòîðû íà ñîáñòâåííûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà B 0, óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì:
Pk Pk = Pk , Pk Pk = 0 ïðè k 6= k 0 , Pk B 0 = B 0 Pk = −kPk
(9)
0
∞
X
è E = Pk ,
k=0
ãäå E òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.
(10)
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áóäåò äàíî âìåñòå ñ äîêàçàòåëüñòâîì
ñëåäóþùåé òåîðåìû, â êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âèä îïåðàòîðîâ ïðîåêöèè
Pk .
def
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Hkk1 ...kn [p] = Hk1 [p1 ]...Hkn [pn ] ïðîèçâåäåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà [7] îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåííûõ, ãäå k = k1 + ... + kn ñóììà ñòåïåíåé ïîëèíîìîâ Ýðìèòà, âõîäÿùèõ â ïðîèçâåäåíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëèíîì Ýðìèòà Hkj [pj ] çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì:
p2
Hkj [pj ] = exp
2
def
!
∂
−
∂pj
!kj
p2
exp −
2
!
(11)
Ïóñòü Sk1 ,...,kn è Ik1 ,...,kn îïåðàòîðû, êîòîðûå çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè:
def
ψk1 ,...,kn = Sk1 ,...,kn [ϕ] =
Z
"
Hkk1 ...kn
Rn
4
#
∂
p + i 00 ϕ[x00 , p00 ]dp00 ,
∂x
00
(12)
def
ϕk1 ,...,kn = Ik1 ,...,kn [ψk1 ,...,kn ] =
(13)
Z
0
0
2
(p −s )
1
1
1
0 0
00
...
ψk1 ,...,kn [x00 ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 .
3n/2
(2π)
k1 ! kn ! 2n
R
Òåîðåìà 2.
Îïåðàòîðû ïðîåêöèè Pk èìåþò âèä:
k
X
Pk =
Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn ,
(14)
k1 ,...,kn =0
k1 +...+kn =k
è îïåðàòîðû Sk ,...,k , Ik ,...,k óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì:
0
1
0
n
n
1
Sk10 ,...,kn0 Ik1 ,...,kn ψk1 ,...,kn = δk10 ,k1 ...δkn0 ,kn ψk1 ,...,kn ,
ãäå δk k ðàâíû 0, åñëè ki0 6= ki, è ðàâíû 1, åñëè ki0 = ki.
(15)
0
i i
 ÷àñòíîñòè, èç ôîððìóë (12), (13) è òåîðåìû 2 ñëåäóåò, ÷òî
Z
def
ψ[x0 ] = S0̄ [ϕ] =
(16)
ϕ[x0 , p0 ]dp0 ,
Rn
def
ϕ0 [x0 , p0 ] = I0̄ [ψ] =
Z
(p0 −s0 )2
1
0 0
00
00 −
2
ψ[x
]e
eis (x −x ) ds0 dx00 , (17)
3n/2
(2π)
2n
R
Z
(p0 −s0 )2
1
0 0
00
00 00
00 −
2
ϕ[x
,
p
]dp
e
P0 ϕ =
eis (x −x ) ds0 dx00 ,
3n/2
(2π)
3n
(18)
R
n
X
!
Z
∂
1
00
pj + i 00 ϕ[x00 , p00 ]dp00 ×
P1 ϕ =
3n/2
(2π)
∂xj
j=1
3n
R
(p0j − s0j )e
(p0 −s0 )2
−
2
0
0
00
eis (x −x ) ds0 dx00 ,
(19)
Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû I0̄ è S0̄ , çàäàííûå ôîðìóëàìè (17) è (16),
óñòàíàâëèâàþò áèåêöèþ ìåæäó ìíîæåñòâîì ôóíêöèé ψ[x0 ] è ìíîæåñòâîì
ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ϕ0 [x0 , p0 ] îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì,
ðàâíûì 0. Ôóíêöèþ ψ[x0 ] = S0̄ [ϕ0 [x0 , p0 ]] áóäåì íàçûâàòü ïðåäñòàâëåíèåì
ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ϕ0 [x0 , p0 ].
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 1 è 2. Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå (7) ïðåäñòàâëåíèå ϕ[x0 , p0 , t0 ] â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå ïî x0 è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:
ϕ[x0 , p0 , t0 ]=
Z
1
0 0
ϕ̃[s0 , p0 , t0 ]eis x ds0 ,
n/2
(2π)
Rn
5
(20)
Z
1
0 00
ãäå ϕ̃[s , p , t ] =
ϕ[x00 , p0 , t0 ]e−is x dx00 ,
n/2
n
(2π)
R
0
0
0 def
def
è ÷åðåç s0 x0 îáîçíà÷åíî âûðàæåíèå s0 x0 =
Ïîëó÷èì, ÷òî îïåðàòîð B 0 èìååò âèä:
Pn
j=1
(21)
s0j x0j .
n
1 Z X
∂ϕ is0 (x0 −x00 ) 0 00
∂
0
0
B [ϕ[x , p ]] =
(pj − sj )ϕ + 0 e
ds dx . (22)
(2π)n R2n j=1 ∂p0j
∂pj
0
00
0
Âû÷èñëÿÿ â ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ èíòåãðàë ïî x00 , ñ
ó÷åòîì ðàâåíñòâà (21) ïîëó÷èì:
Z X
n
1
∂ ϕ̃ is0 x0 0
∂
0
0
B [ϕ[x , p ]] =
(pj − sj )ϕ̃ + 0 e ds .
(2π)n/2 Rn j=1 ∂p0j
∂pj
0
00
0
Îïåðàòîð
n
X
∂
∂ ϕ̃
(p0j − s0j )ϕ̃ + 0 ,
0
∂pj
j=1 ∂pj
(23)
(24)
ñòîÿùèé ïîä èíòåãðàëîì â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè, õîðîøî èçâåñòåí
(ñì., íàïðèìåð [6]). Ýòîò îïåðàòîð èìååò ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ
ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê íóëþ, ïðè |p0 − s0 |,
ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîãî îïåðàòîðà
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öåëûå íåïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 0 ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âèäà
ϕ̃0 [s0 , p0 ] = ψ̃[s0 ]e−
(p0 −s0 )2
2
,
ãäå ψ̃[s0 ] ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äëÿ s0 ∈ Rn .
Îñòàëüíûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ (÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ) äèôôåðåíöèðîâàíèåì ôóíêöèé ϕ̃0 [s0 , p0 ] ïî p0j , j = 1, . . . , n, è èìåþò
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå −1, −2, ..., ñîîòâåòñòâåííî, â çàâèñèìîñòè
îò ñòåïåíè ïðîèçâîäíîé. Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè c ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì −k = −(k1 + ... + kn ) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè âèäà:
ψ̃k1 ...kn [s0 ](−1)k
(p0 −s0 )2
∂ k1
∂ kn − (p0 −s0 )2
0
k
0
0 −
2
2
...
e
=
ψ̃
,
[s
]H
[p
−
s
]e
k
...k
n
1
k1 ...kn
0kn
1
∂p
∂p0k
n
1
6
ãäå ψ̃k1 ...kn [s0 ] ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíîçíà÷íûå ôóíêöèè îò s0 ∈ Rn ,
Hkk1 ...kn [p0 ] = Hk1 [p01 ]...Hkn [p0n ] ïðîèçâåäåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåìåííûõ, è k = k1 +...+kn ñóììà ñòåïåíåé ïîëèíîìîâ.
Ïðè ýòîì ïîëèíîìû Ýðìèòà ìàëûõ ñòåïåíåé èìåþò âèä:
H0 = 1, H1 [pj ] = pj , H2 [pj ] = p2j − 1.
(25)
Ïðåäñòàâèì, â ñâîþ î÷åðåäü, ôóíêöèè ψ̃k1 ...kn [s0 ] â âèäå èíòåãðàëîâ
Ôóðüå:
Z
1
0 00
0
ψ̃k1 ...kn [s ] =
ψk1 ...kn [x00 ]e−is x dx00 .
n/2
n
(2π)
R
Îòñþäà, ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ (20) ôóíêöèè ϕ[x0 , p0 , t0 ] ÷åðåç ϕ̃[s0 , p0 , t0 ],
ïîëó÷àåì, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ϕk1 ...kn [x0 , p0 ] îïåðàòîðà B 0 èìåþò
âèä:
(p0 −s0 )2
1 Z
0 0
00
00
k
0
0 −
2
[x
]H
[p
−
s
]e
ψ
eis (x −x ) ds0 dx00 .
ϕk1 ...kn [x , p ] =
k
...k
n
1
k
...k
n
1
n
(2π) R2n
0
0
Èçâåñòíî [7], ÷òî ïîëèíîìû Ýðìèòà îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó ôóíêöèé è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì îðòîãîíàëüíîñòè:
02
1
1
1 Z
0 − p2
k0
0
k
H
dp0 = δk10 k1 ...δkn0 kn ,
...
0 ...k 0 [p ]Hk ...k [p ]e
k
n
1
n/2
n
1
n
(2π) k1 ! kn ! R
(26)
ãäå δki0 ki ðàâíû 0, åñëè ki0 6= ki , è ðàâíû 1, åñëè ki0 = ki (â ýòèõ ôîðìóëàõ
ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî 0!=1).
Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò óòâåðæäåíèÿ òåîðåì 1 è 2.  ÷àñòíîñòè, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òåîðåìû 1 ñëåäóåò èç ïîëíîòû íàáîðà ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ îïåðàòîðà B 0 .
Çàìåòèì, ÷òî â ïðåäñòàâëåíèè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà B 0 â
âèäå ôîðìóëû (13) ìîæíî âûïîëíèòü èíòåãðèðîâàíèå ïî s0 . Äëÿ ýòîãî
ïîäñòàâèì â ýòó ôîðìóëó âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà (11). Ïîëó÷èì:
ϕk1 ,...,kn = Ik1 ,...,kn [ψk1 ,...,kn ]=
(27)
Z
(p0 −s0 )2
1
1
(−1)k ∂ k
1
0 0
00
00 −
2
...
ψ
[x
]e
eis (x −x ) ds0 dx00 .
k
,...,k
n
1
k1
k
3n/2
0
n
0
(2π)
k1 ! kn ! ∂p1 ...∂pn 2n
R
Äàëåå, ïîä èíòåãðàëîì ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ s0 = s00 + p0 è âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî s00 , âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíûì ðàâåíñòâîì,
7
÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò ôóíêöèè exp(−s00 /2) åñòü ôóíêöèÿ ýòîãî
æå âèäà. Ïîëó÷èì:
ϕk1 ,...,kn = Ik1 ,...,kn [ψk1 ,...,kn ]=
(x0 −x00 )2
1
(−1)k ∂ k Z
1 1
00 −
ip0 (x0 −x00 )
2
ψ
...
[x
]e
e
dx00 =
k
,...,k
n
1
k1
k
n
0
(2π) k1 ! kn ! ∂p1 ...∂p0n n n
R
n
Y
(x0 −x00 )2
1
(−i) 1
0 0
00
00
0
00 kj −
2
...
ψ
[x
]
eip (x −x ) dx00 .
(x
−
x
)
e
k
,...,k
n
1
n
(2π) k1 ! kn ! n
j=1
k
Z
(28)
R
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ïîñëå âûïîëíåíèÿ òðåáóåìûõ â ôîðìóëå
äèôôåðåíöèðîâàíèé ïî p0 , íî ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â ÷àñòíîì ñëó÷àå äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé
îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì íóëþ, èìååì âûðàæåíèå:
(x0 −x00 )2
1 Z
0 0
00
00 −
2
ψ
[x
]e
eip (x −x ) dx00 .
ϕ0 = I0̄ [ψ0 ]=
0
n
(2π) n
(29)
R
3
Óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà äëÿ ïðîöåññà ðàññåÿíèå âîëí è åãî óòî÷íåíèå
 ðàáîòàõ [1, 3] áûëà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå óðàâíåíèåì (1), àñèìïòîòè÷åñêè ðàñïàäàåòñÿ ïðè áîëüøîé âåëè÷èíå γ íà áûñòðîå äâèæåíèå è ìåäëåííîå.
1) Â ðåçóëüòàòå áûñòðîãî äâèæåíèÿ ïðîèçâîëüíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x, p, 0) ïåðåõîäèò çà âðåìÿ ïîðÿäêà 1/γ ê ôóíêöèè ϕ0 = P0ϕ, êîòîðàÿ ïîñëå íîðìèðîâàíèÿ è â èñõîäíûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä:
Òåîðåìà 3.
Z
1
ψ[y, 0]χ[x − y]eip(x−y)/h̄ dy,
ϕ0 [x, p] =
n/2
(2πh̄)
n
(30)
R
!n/4
e−k T m(x−y) /(2h̄ ) . (31)
ãäå ||ψ|| = 1 è χ[x − y] =
Âîëíîâûå ôóíêöèè âèäà (30) îáðàçóþò ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà B , çàäàííîãî âûðàæåíèåì (3), ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì íóëþ. Ýëåìåíòû ýòîãîR ïîäïðîñòðàíñòâà ïàðàìåòðèçóþòñÿ âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè ψ[y, 0] = R ϕ[y, p]dp, çàâèñÿùèìè
òîëüêî îò êîîðäèíàò y ∈ Rn.
kB T m
πh̄2
B
n
8
2
2
2) Ìåäëåííîå äâèæåíèå, íà÷èíàþùååñÿ c âîëíîâîé ôóíêöèè ϕ0[x, p]
âèäà (30) ñ íåíóëåâîé ôóíêöèåé ψ[y, 0], ïðîèñõîäèò ïî ïîäïðîñòðàíñòâó
òàêèõ ôóíêöèé è ïàðàìåòðèçóåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ[y, t], çàâèñÿùåé îò âðåìåíè. Ôóíêöèÿ ψ[y, t] ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Øð¼äèíãåðà âèäà ih̄∂ψ/∂t = Ĥψ, ãäå äåéñòâèå îïåðàòîðà Ĥ ïðè γ → ∞
èìååò âèä:
2 X
n
2 Ĥψ = −
h̄
2m
kB T
∂ ψ
+ V [y]ψ −
nψ.
2
2
k=1 ∂yk
(32)
Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû 3 ïðèâåäåíî â [3]. Äîêàçàòåëüñòâî
âòîðîé ÷àñòè ýòîé òåîðåìû ïðèâåäåíî â [1], îäíàêî òàì áûëà äîïóùåíà
îøèáêà ïðè âû÷èñëåíèè çíàêà ïåðåä (kB T /2)nψ .
Òåîðåìà 3 îïèñûâàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) è, ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèÿ (5) â íóëåâîì äåòåðìèíèðîâàííîì ïðèáëèæåíèè ïî ïàðàìåòðó 1/γ
ïîñëå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ÷åðåç âðåìÿ ïîðÿäêà 1/γ . Öåëüþ ýòîé ðàáîòû
ÿâëÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, óòî÷íÿþùèé ðåçóëüòàò òåîðåìû 3 â ÷àñòè, îïèñûâàþùåé ìåäëåííîå äâèæåíèå. Äëÿ ýòîãî ñòðîèòñÿ ñëåäóþùåå
ïðèáëèæåíèå óðàâíåíèÿ (5) ïî ïàðàìåòðó 1/γ .
Èòàê, ïåðåéäåì ê ïðèáëèæåííîìó îïèñàíèþ îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ
Êðàìåðñà (5) äëÿ áîëüøèõ γ ñ ïîìîùüþ ñèñòåìàòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ
ïî ñòåïåíÿì γ −1 . Ìåòîä, êîòîðûé ìû çäåñü èñïîëüçóåì, àíàëîãè÷åí ìåòîäó, èçëîæåííîìó â êíèãå Âàí Êàìïåíà [5].  íåé èç óðàâíåíèÿ Êðàìåðñà,
îïèñûâàþùåãî áðîóíîâñêîå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå,
âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå Ôîêêåðà-Ïëàíêà, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùåå ýòîò
æå ïðîöåññ, íî â âèäå áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå ïîñëå íåêîòîðîãî âðåìåíè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, âî
âðåìÿ êîòîðîãî óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà ïî èìïóëüñàì.
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5) â âèäå:
1
Bϕ=
γ
0
!
∂ϕ
− A0 ϕ .
∂t
(33)
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â âèäå:
ϕ = ϕ0 + γ −1 ϕ1 + γ −2 ϕ2 + ...
(34)
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (34) â óðàâíåíèå (33) è âûïèøåì óðàâíåíèÿ äëÿ
êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ γ −1 . Ïîëó÷èì:
äëÿ γ 0 :
B 0 ϕ0 = 0;
9
(35)
∂ϕ0
− A0 ϕ0 ;
∂t
∂ϕ1
B 0 ϕ2 =
− A0 ϕ1 ; ...
∂t
äëÿ γ −1 :
(36)
B 0 ϕ1 =
äëÿ γ −2 :
(37)
Èç óðàâíåíèÿ (35) ñëåäóåò, ÷òî ϕ0 ïðèíàäëåæèò ïîäïðîñòðàíñòâó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 0, òî åñòü
ϕ0 = P0 ϕ0 , ãäå P0 îïåðàòîð ïðîåêöèè íà ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî
îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 0.
Ïðèìåíèì ñëåâà ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà (36) îïåðàòîð ïðîåêöèè
P0 . Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ P0 B 0 = 0 è ϕ0 = P0 ϕ0 ïîëó÷èì:
0=
∂ϕ0
− P0 A0 P0 ϕ0 .
∂t
(38)
(Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðó P0 A0 P0 ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð Øð¼äèíãåðà H 0
â òåîðåìå 3.)
Ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (38) óðàâíåíèå (36) èìååò ðåøåíèå, êîòîðîå ìû ïðåäñòàâèì â âèäå:
ϕ1 = ϕ1,0 + f1 , ãäå P0 f1 = 0, ϕ1,0 = P0 ϕ1 = P0 ϕ1,0 ,
0
f1 = B −1 (P0 A0 P0 ϕ0 − A0 P0 ϕ0 ),
(39)
0
è B −1 îáðàòíûé îïåðàòîð ê îïåðàòîðó B 0 íà ïîäïðîñòðàíñòâå, ïîðîæäåííîì ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà B 0 ñ íåíóëåâûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Èç ôîðìóëû (8) äëÿ îïåðàòîðà B 0 ñëåäóåò, ÷òî
0
îïåðàòîð B −1 èìååò âèä:
B
0 −1
=−
∞
X
(40)
k −1 Pk .
k=1
0
Îòñþäà è èç ñâîéñòâ îïåðàòîðîâ ïðîåêöèè (9) ñëåäóåò, ÷òî P0 B −1 = 0 è
0
Pk B −1 = −k −1 Pk .
0
Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà B −1 P0 = 0 âûðàæåíèå äëÿ f1 â ôîðìóëå (39)
ïðèíèìàåò âèä
0
f1 = −B −1 A0 P0 ϕ0 .
(41)
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå ϕ1 = ϕ1,0 + f1 ôîðìóëû (39) â ðàâåíñòâî (37) è
ïðèìåíèì ñëåâà ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà (37) îïåðàòîð ïðîåêöèè P0 . Ñ
10
ó÷åòîì ðàâåíñòâ P0 B 0 = 0, P0 f1 =0 è ϕ1,0 = P0 ϕ1,0 è ðàâåíñòâà (41) ïîñëå
ïåðå÷èñëåííûõ ïîäñòàíîâîê è ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïîëó÷èì:
0 = P0
∂ϕ1
− A0 ϕ1
∂t
!
èëè
∂ϕ1,0
0
− P0 A0 P0 ϕ1,0 + P0 A0 B −1 A0 P0 ϕ0 .
(42)
∂t
Ñëîæèì, òåïåðü, óðàâíåíèÿ (38) è (42), óìíîæåííûå, ñîîòâåòñòâåííî,
íà 1 è γ −1 . Òîãäà äëÿ ôóíêöèè ϕγ1,0 , ïî îïðåäåëåíèþ çàäàííîé ðàâåíñòâîì
def
ϕγ1,0 = ϕ0 + γ −1 ϕ1,0 ,
(43)
0=
ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà γ −1 :
0=
∂ϕγ1,0
0
− P0 A0 P0 ϕγ1,0 + γ −1 P0 A0 B −1 A0 P0 ϕγ1,0 + O[γ −2 ].
∂t
(44)
def
Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ôóíêöèè ϕγ1 = ϕ0 +γ −1 ϕ1 , ó÷èòûâàþùåé òîëüêî
äâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â ðàçëîæåíèè (34) äëÿ ϕ, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî
ϕ1 = ϕ1,0 + f1 â âûðàæåíèè (39) è ïîäñòàâèâ â íåãî âûðàæåíèå (41) äëÿ
f1 , ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà
γ −1 :
0
ϕγ1 = ϕγ1,0 − γ −1 B −1 A0 P0 ϕγ1,0 + O[γ −2 ]
(45)
Òàê êàê ϕγ1,0 = P0 ϕγ1,0 , òî åñòü ϕγ1,0 ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà B 0 ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì 0, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (16) è (17) è òåîðåìîé 2 îíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé
def
ψ = S0̄ [ϕγ1,0 ] ïî ôîðìóëå ϕγ1,0 = I0̄ [ψ], ãäå S0̄ è I0̄ îïåðàòîðû, îïðåäåëåííûå ôîðìóëàìè (16) è (17). Êàê è ðàíåå, ýòó ôóíêöèþ ψ áóäåì
íàçûâàòü ïðåäñòàâëåíèå ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ϕγ1,0 .
×òîáû ïîëó÷èòü ψ -ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ (44), ïîäñòàâèì â íåãî
âìåñòî ôóíêöèè ϕγ1,0 ðàâíîå åé âûðàæåíèå I0̄ [ψ], ïîäåéñòâóåì íà îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ îïåðàòîðîì S0̄ è âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè,
âûòåêàþùèìè èç ñîîòíîøåíèé òåîðåìû 2:
P0 ϕγ1,0 = I0̄ S0̄ [ϕγ1,0 ] = I0̄ [ψ], S0̄ P0 = S0̄
11
è ψ = S0̄ I0̄ [ψ].
Ïîëó÷èì:
0 =
∂ψ
0
− S0̄ A0 I0̄ ψ + γ −1 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ψ + O[γ −2 ].
∂t
(46)
Ñîîòâåòñòâåííî, âûðàæåíèå (45) ôóíêöèè ϕγ1 [x0 , p0 ], ïðåäñòàâëåííîå
÷åðåç ôóíêöèþ ψ[x0 ], áåç ó÷åòà ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà γ −2 èìååò âèä:
0
ϕγ1 = I0̄ [ψ] − γ −1 B −1 A0 I0̄ [ψ] + O[γ −2 ]
(47)
Çàìåòèì, ÷òî èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî S0̄ ϕγ1 = ψ . Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (47) è îïåðàòîð S0̄ óñòàíàâëèâàþò âçàèìíî îáðàòíûå
áèåêöèè ìåæäó ìíîæåñòâîì ôóíêöèé ϕγ1 [x0 , p0 ] è ìíîæåñòâîì ôóíêöèé
ψ[x0 ]. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ψ[x0 ] ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïðåäñòàâëåíèåì
ôóíêöèè ϕγ1 [x0 , p0 ] ïî ôîðìóëå (47). Ïðè ýòîì, ôóíêöèÿ ψ[x0 ] ìåíÿåòñÿ
âî âðåìåíè â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (46).
Èòàê, èç óðàâíåíèÿ (46) è ñîîòíîøåíèÿ P0 = I0̄ S0̄ òåîðåìû 2 ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå ñ ó÷åòîì ñëàãàåìûõ äî ïîðÿäêà
γ −1 äëÿ ìåäëåííîãî ïîäïðîöåññà â ïðîöåññå, îïèñûâàåìîì ìîäèôèöèðîâàííûì óðàâíåíèåì Êðàìåðñà (5):
∂ψ
0
= S0̄ A0 I0̄ ψ − γ −1 S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ψ + O[γ −2 ]
∂t
(48)
(Âèä ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ îïåðàòîðà S0̄ A0 I0̄ ,
íàì èçâåñòåí èç òåîðåìû 3.) Ïîëíîå îïèñàíèå ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.
Ìåäëåííîå äâèæåíèå, î êîòîðîì ãîâîðèòñÿ â òåîðåìå 3,
íà÷èíàþùååñÿ c âîëíîâîé ôóíêöèè ϕ0[x, p] âèäà (30) ñ íåíóëåâîé ôóíêöèåé ψ[y, 0] è ïàðàìåòðèçóåìîå âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ[y, t], óäîâëåòâîðÿåò ìîäèôèöèðîâàííîìó óðàâíåíèþ Øð¼äèíãåðà âèäà ih̄∂ψ/∂t = Ĥ1ψ, ãäå
äåéñòâèå îïåðàòîðà Ĥ1 èìååò âèä:
Òåîðåìà 4.
n
n
h̄2 X
∂ 2ψ
kB T n
iγ −1 X
h̄ ∂ 2 V
(kB T )2 n
Ĥ1 ψ = −
+Vψ−
ψ+
−
ψ+
2m k=1 ∂yk2
2
4 j=1 m ∂yj2
h̄
(49)
+O[γ −2 ].
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 ïðèâåäåíî â ïðèëîæåíèè 1.
12
Êîíñòàíòàìè â îïåðàòîðàõ Ĥ è Ĥ1 òåîðåì 3 è 4 ìîæíî ïðåíåáðå÷ü,
îíè íåñóøåñòâåííû. Èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûé ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèé
[9], âû÷èñëèì ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì è ôóíêöèÿì îïåðàòîðà
Ãàìèëüòîíà äëÿ îïåðàòîðà Ĥ1 .
Ïóñòü En(0) cîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà Ĥ , è ψn(0) ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Ïóñòü En è ψn ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ĥ1 . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ
ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âåðíû ðàâåíñòâà Ĥψn(0) = En(0) ψn(0) è Ĥ1 ψn = En ψn .
Áóäåì èñêàòü En è ψn â âèäå:
(50)
(51)
En = En(0) + γ −1 En(1) + O(γ −2 )
X
(0)
cnm ψm
+ O(γ −2 ).
ψn = ψn(0) + γ −1
m
m6=n
Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â ðàâåíñòâî (49). Ïðèðàâíÿåì â ïîëó÷åííîì
âûðàæåíèè êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ γ −1 è âîçüìåì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ îò îáåèõ ÷àñòåé ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ ñ ψn(0)
(0)
èëè ψk . Âîñïîëüçîâàâùèñü îðòîíîðìèðîâàííîñòüþ ñèñòåìû ñîáñòâåí(0)
íûõ ôóíêöèé ψk îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ h ; i, ãäå
hψk ; ψm i =
Z
(52)
ψk [y]ψk∗ [y]dx,
Rn
ïîëó÷èì:
ih̄
h∆2 V ψn(0) ; ψn(0) i
4m
(0)
ih̄ h∆2 V ψn(0) ; ψk i
,
=
4m En(0) − Ek(0)
(53)
En(1) =
cnk
ãäå ∆2 V
=
n
X
∂ 2V
k=1
∂yk2
(54)
(55)
.
Òîãäà, èç ýòèõ ðàâåíñòâ è ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà
ih̄∂ψ/∂t = Ĥ1 ψ ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ ψn ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì:
iEn t
iE (0) t iγ −1 En(1) t
ψn [t] = ψn [0] exp −
= ψn [0] exp − n −
,
h̄
h̄
h̄
!
13
iγ −1 En(1)
γ −1 2
ãäå −
=
h∆ V ψn(0) ; ψn(0) i äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà.
h̄
4m
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîäóëü ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ψn ýêïîíåíöèàëüíî ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ñ ïîêàçàòåëåì ýêñïîíåíòû (γ −1 /4m)h∆2 V ψn(0) ; ψn(0) it.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñèñòåìà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòP
ñÿ â ñîñòîÿíèè ψ[0], ãäå ψ[0] = ∞
n an ψn íåêîòîðàÿ ñóïåðïîçèöèÿ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà Ĥ1 , òî ÷åðåç âðåìÿ t ñèñòåìà áóäåò íàP
õîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè ψ[t]/|ψ[t]|, ãäå ψ[t] = ∞
n an ψn [t]. Òàê êàê ìîäóëè ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé ψn [t] ýêïîíåíöèîíàëüíî ìåíÿþòñÿ ñ ðàçíûìè
ñêîðîñòÿìè, òî ÷åðåç äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ ñîòîÿíèå ψ[t]/|ψ[t]| áóäåò áëèçêî ê íåêîòîðîìó ñîáñòâåííîìó ñîñòîÿíèþ ψk , äëÿ êîòîðîãî âå(1)
ëè÷èíà −iEk íàèáîëüøàÿ ñðåäè âåëè÷èí −iEn(1) äëÿ n ñ íåíóëåâûìè
P∞
an â ñóììå n an ψn . Òàêîå ÿâëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå äåêîãåðåíöèè è
èçó÷àëîñü â ðÿäå ðàáîò [10, 11, 12]. Âðåìÿ äåêîãåðåíöèè â íàøåé ìîäå(1)t/h̄
) >>
ëè ìîæåò áûòü îöåíåíî, êàê âðåìÿ t, ïðè êîòîðîì ak exp(−iEk
(1)
(1)
(1)
ak1 exp(−iEk1 t/h̄), ãäå −iEk1 ñëåäóþùåå ïî âåëè÷åíå ÷èñëî ïîñëå −iEk
P
ñðåäè ÷èñåë −iEn(1) äëÿ n ñ íåíóëåâûìè an â ñóììå ∞
n an ψn .
Êðîìå òîãî, èç ôîðìóë (51) è (54) ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
ψn îïåðàòîðà Ĥ1 â îáùåì ñëó÷àå íå îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó. Èìååì:
hψn ; ψk i = γ −1 (cnk + c∗kn ) = 2γ −1 cnk .
Ïóñòü ϕn [x, p] è ϕk [x, p] âîëíîâûå ôóíêöèè íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, ñîîòâåòñòâóþùèå ïî ôîðìóëå (47) ôóíêöèÿì ψn è ψk . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïîëîæåíèÿìè ìîäåëè êâàäðàò ìîäóëÿ îò ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íîðìèðîâàííûõ ôóíóêöèé ϕn [x, p] è ϕk [x, p] äàåò âåðîÿòíîñòü
íàéòè ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè ψk , åñëè îíà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ψn . Èç
ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è ôîðìóëû (47) ñëåäóåò, ÷òî ýòà âåðîÿòíîñòü íåíóëåâàÿ, åñëè cnk 6= 0.
4
Çàêëþ÷åíèå
 ýòîé ðàáîòå áûëî ïîñòðîåíî ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå ìåäëåííîé ôàçû
ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ òî÷íîñòüþ äî γ −1 , ãäå γ ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû íà åäèíèöó ìàññû ÷àñòèöûâîëíû. Ïîëó÷åííîå ïðèáëèæåíèå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà,
äîïîëíåíííîå ñëàãàåìûì ñ êîýôôèöèåíòîì γ −1 . Â ýòîì ïðèáëèæåíèå
14
ïðîÿâëÿþòñÿ ýôôåêòû äåêîãåðåíöèè è ñïîíòàííûõ ïåðåñêîêîâ ñ óðîâíÿ
íà óðîâåíü.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, êîãäà V = 0, è äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, êîãäà âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò ïîòåíöèàëà äàþò
êîíñòàíòó, ñëàãàåìîå îïåðàòîðà Ĥ1 ñ ìíîæèòåëåì γ −1 â òåîðåìå 4 ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé. Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðèáëèæåíèè äî γ −1 çà ñ÷åò ýòîãî
ñëàãàåìîãî â ýòèõ ñëó÷àÿõ âñå âîëíîâûå ôóíêöèè ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ óìåíüøàþòñÿ ïî àìïëèòóäå, è äèññèïàöèÿ íåíàáëþäàåìà. Ïîýòîìó,
÷òîáû äèññèïàöèÿ áûëà ó÷òåíà â ïðèáëèæåíèè ýòîé ìîäåëè è äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû è äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñëåäóåò ó÷èòûâàòü
÷ëåíû ñ ìíîæèòåëÿìè γ −2 è γ −3 . Çàìåòèì òàêæå, ÷òî èñïîëüçîâàííûé â
ýòîé ðàáîòå ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ â ìîäèôèöèðîâàííîì óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ñëàãàåìîãî ñ ìíîæèòåëåì γ −1 ïîçâîëÿåò, â ïðèíöèïå, ïîñòðîèòü
ñëàãàåìûå è ñ ìíîæèòåëÿìè γ −2 è γ −3 .
Ñëåäóþùåå ÿâëåíèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîÿâèòüñÿ â ýòîé ìîäåëè ýòî
ïîÿâëåíèå øèðèíû ó ëèíèé ñïåêòðà. Âçàèìîäåéñòâèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû
ñî ñðåäîé äîëæíî âûçûâàòü ïîÿâëåíèÿ øèðèíû ó óðîâíåé ýíåðãèè äëÿ
îïåðàòîðà ýíåðãèè. Òî åñòü, åñëè ψj ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà
Ãàìèëüòîíà ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Ej , òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ϕj [x0 , p0 ] â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (47).
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïîëîæåíèåì ìîäåëè ôóíêöèÿ ϕj [x0 , p0 ] îïðåäåëÿåò
ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå â âèäå ϕj [x0 , p0 ]ϕ∗j [x0 , p0 ]. Ñîîòâåòñòâåííî, ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè
ýíåðãèè H[x0 , p0 ] â ýòîì ñëó÷àå çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì:
Z
Ej =
H[x0 , p0 ]ϕj [x0 , p0 ]ϕ∗j [x0 , p0 ]dx0 dp0 .
(56)
R2n
Òîãäà (∆Ej )2 ñðåäíåå îò êâàäðàòà îòêëîíåíèå îò ñðåäíåãî äëÿ ýíåðãèè,
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
(∆Ej )2 =
Z
(H[x0 , p0 ] − Ej )2 ϕj [x0 , p0 ]ϕ∗j [x0 , p0 ]dx0 dp0 .
(57)
R2n
Ýòè âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè äî êîíöà äëÿ êîíêðåòíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì è ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü ∆Ej îò T è γ . Çàòåì, ïîëó÷åííûå
äàííûå ìîæíî áóäåò ñðàâíèòü ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè óøèðåíèé ëèíèé ñïåêòðà.
15
Ïðèëîæåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4 íóæíî âû÷èñëèòü ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (48) è ïåðåéòè ê èñõîäíûì êîîðäèíàòàì.
Âèä ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ âû÷èñëåí â
[1] (êàê áûëî îòìå÷åíî ðàíåå, â ýòîé ðàáîòå çíàê ïåðåä ïîñëåäíèì ñëàãàåìûì â ýòîé ôîðìóëå áûë âû÷èñëåí íåïðàâèëüíî). Îí èìååò âèä îïåðàòîðà Øð¼äèíãåðà, êîòîðûé â íîâûõ êîîðäèíàòàõ (4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â
âèäå:


n
2
X
1
∂
n
k
T
B
−
+ V 0 −  ψ.
S0̄ A0 I0̄ ψ = −i
h̄
2 j=1 ∂(x0j )2
2
0
Âèä îïåðàòîðà S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ , ñòîÿùèé â óðàâíåíèè (48) ñ ìíîæèòåëåì
γ −1 , ïðåäñòîèò âû÷èñëèòü.
Ñíà÷àëà ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ðàíåå (40)
P
0
−1
ðàâåíñòâî B −1 = − ∞
k=1 k Pk è ñîîòíîøåíèÿ äëÿ k > 0 âèäà Pk P0 = 0,
P
Pk = k1 +...+kn =k Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn òåîðåìû 2. Ïîëó÷èì:
0
S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ = −
= −
∞
X
k=1
∞
X
k −1 S0̄ A0 Pk A0 I0̄ =
(58)
k −1 S0̄ A0 Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn A0 I0̄
k1 ,...,kn =0
k1 +...+kn =k≥1
Âû÷èñëèì, òåïåðü, îïåðàòîð A0 Ik1 ,...,kn , ãäå îïåðàòîð A0 çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (6), à îïåðàòîð Ik1 ,...,kn îïðåäåëåí âûðàæåíèåì (13).
Èìååì,
0
n n
X
pj2 kB T X
∂V 0 ∂
0 ∂
0
− pj 0 − i V −
A Ik1 ,...,kn ψ =
◦
h̄ j=1 ∂x0j ∂p0j
∂xj
j=1 2
0
(59)
(p0 −s0 )2
1
1
1 Z
is0 (x0 −x00 )
00
k
0
0 −
2
...
ψ[x
]H
[p
−
s
]e
e
ds0 dx00 .
k
...k
n
1
(2π)3n/2 k1 ! kn ! 2n
R
Ââåäåì â ýòîì âûðàæåíèè ñëàãàåìûå îïåðàòîðà A0 ïîä çíàê èíòåãðàëà
è ðàçëîæèì ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ôóíêöèè îò (p0 − s0 ) ïî ïîëèíîìàì
Ýðìèòà Hll1 ...ln [p0 − s0 ]. Ó÷èòûâàÿ ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
(p0 −s0 )2
∂
k
0
0 −
2
H
[p
−
s
]e
k1 ...kn
∂p0j
def
= −Hkk+1
[p0 − s0 ]e−
1 ...kj +1...kn
16
(p0 −s0 )2
2
,
(60)
∂ is0 (x0 −x00 )
0 0
00
e
= is0j eis (x −x ) ,
0
∂xj
(61)
0
0
0
pj2 = ((p0j − s0j )2 − 1) + 2p0j s0j − sj2 + 1 = H2 [p0j − s0j ] + 2p0j s0j − sj2 + 1, (62)
ïîëó÷èì:
X
n
1
1
1 Z
kB T
∂V 0 k+1
...
Hk1 ...kj +1...kn [p0 − s0 ] −
A Ik1 ,...,kn ψ =
−
0
h̄ (2π)3n/2 k1 ! kn ! 2n
∂x
j
j=1
0
R
−i
n
X
p0j s0j Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] − iV 0 [x0 ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] +
j=1
n
X
i
0
+
(H2 [p0j − s0j ] + 2p0j s0j − sj2 + 1)Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] ×
2 j=1
×ψ[x00 ]e−
(p0 −s0 )2
2
0
0
00
(63)
eis (x −x ) ds0 dx00 .
Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê â ïîñëåäíåì ñëàãàåìîì è ïðèâåäåíèÿ ÷ëåíîâ,
ïîäîáíûõ âòîðîìó ñëàãàåìîìó, ïîëó÷èì:
X
n
∂V 0 k+1
1
1
1 Z
kB T
...
−
Hk1 ...kj +1...kn [p0 − s0 ] −
A Ik1 ,...,kn ψ =
0
h̄ (2π)3n/2 k1 ! kn ! 2n
∂x
j
j=1
0
R
n
iX
H2 [p0j − s0j ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] −
−iV 0 [x0 ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ]+
2 j=1
−
n
(p0 −s0 )2
iX
0
0 0
00
(sj2 − 1)Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] ψ[x00 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 . (64)
2 j=1
Ëåììà 1.
Îïåðàòîðû S0̄A0Ik ,...,k èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
1
S0̄ A0 I0̄ [ψ] =
n
n
kB T
iX
∂ 2 ψ in
−iV 0 ψ +
+ ψ ;
0
h̄
2 j=1 ∂xj2
2
S0̄ A0 Ik1 ,...,kn [ψ] =
êîãäà k = k1 + ... + kn = 2
ðàâåí 2;
i kB T
ψ,
2 h̄
k1 , ..., kn
è òîëüêî îäèí èç
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ S0̄A0Ik ,...,k
(65)
(66)
n = 0.
1
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (16) îïåðàòîð S0̄ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî p. Ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë ëåììû 1 íóæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïî p îò âûðàæåíèÿ (64) îïåðàòîðà
Äîêàçàòåëüñòâî.
17
A0 Ik1 ,...,kn . Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé îðòîãîíàëüíîñòè ìíîãî÷ëåíîâ Ýðìèòà (26) è òåì, ÷òî H0̄0 = 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåãðàë ïî p îò ïåðâîãî ñëàãàåìîãî âûðàæåíèÿ (64) ðàâåí 0. Èíòåãðàë îò
Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] âî âòîðîì è ÷åòâåðòîì ñëàãàåìîì ïî 1/(2π)(n/2) exp[−(p0 −
s0 )2 /2]dp ðàâåí 1 òîëüêî òîãäà, êîãäà k = 0, à â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ òàêæå
ðàâåí 0. Èíòåãðàë îò H2 [p0j − s0j ]Hkk1 ...kn [p0 − s0 ] â òðåòüåì ñëàãàåìîì ïî
1/(2π)(n/2) exp[−(p0 − s0 )2 /2]dp îòëè÷åí îò 0 è ðàâåí 2 òîëüêî òîãäà, êîãäà
k = 2, kj = 2 è îñòàëüíûå k1 , ..., kn ðàâíû 0. Çàòåì â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè âû÷èñëÿþòñÿ èíòåãðàëû ïî s0 è x00 , èñïîëüçóÿ òî, ÷òî èíòåãðàë
0 0
00
îò 1/(2π)n eis (x −x ) ïî s0 åñòü äåëüòà-ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 , à èíòåãðàë îò
0 0
00
âûðàæåíèÿ 1/(2π)n s0 2 eis (x −x ) ïî s0 åñòü äåëüòà-ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 îò
−∂ 2 /∂x00 2 .  ðåçóëüòàòå ïðîèçâåäåííûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû 1.
Òàê êàê ïî ëåììå 1 îïåðàòîðû S0̄ A0 Ik1 ,...,kn ïðè k = k1 + ... + kn > 0 íå
ðàâíû 0 òîëüêî òîãäà, êîãäà k = 2, kj = 2 (è, ñëåäîâàòåëüíî, îñòàëüíûå
0
k1 , ..., kn ðàâíû 0), òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïåðàòîðà S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ïî ôîðìóëå (58) îñòàëîñü âû÷èñëèòü îïåðàòîðû Sk1 ,...,kn A0 I0̄ ïðè ýòèõ æå çíà÷åíèÿõ
k1 , ..., kn .
kj = 2 k1 +...+kn =
Ëåììà 2.
Sk1 ,...,kn A0 I0̄
2
Îïåðàòîðû
, èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
â ñëó÷àå, êîãäà
kB T
∂ 2V 0
Sk1 ,...,kn A I0̄ [ψ] =
−i 0 2 ψ + iψ
h̄
∂xj
0
è
(67)
 óñëîâèÿõ ëåììû 2, êîãäà k = kj = 2, îïåðàòîð
ïî ôîðìóëå (12) èìååò âèä:
Äîêàçàòåëüñòâî.
Sk1 ,...,kn
Sk1 ,...,kn [ϕ]
def
=
Z
"
Rn
=
Z
H2
#
∂
p + i 0 ϕ[x0 , p0 ]dp0 =
∂x
0
Hkk1 ...kn
p0j
Rn
∂
+i 0
∂xj
!
ϕ[x0 , p0 ]dp0 .
(68)
Îòñþäà è èç ôîðìóëû (64) äëÿ A0 I0̄ ïîëó÷èì:
!
Z
1
∂
k
T
B
Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ] =
H2 p0j + i 0 ◦
h̄ (2π)3n/2 3n
∂xj
R
n
∂V 0 [x0 ]
i X
0
0 0
0
−
s
]
−
iV
[x
]+
◦ −
H
[p
H2 [p0j 0 − s0j 0 ] −
1 j0
j0
0
∂x
2
j0
j 0 =1
j 0 =1
n
X
18
−
n
(p0 −s0 )2
i X
0 0
00
2
(s0 j 0 − 1) ψ[x00 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 dp0 .
2 j 0 =1
(69)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ìíîãî÷ëåíà Ýðìèòà
H2 p0j + i
∂
∂x0j

!
=  p0j + i
∂
∂x0j

!2
− 1 ,
ïðèìåíèì ýòîò îïåðàòîð â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè ñ ó÷åòîì ôîðìóëû
äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî ∂/∂x0j îò ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò x0 , è
ðàâåíñòâà
∂
0 0
00
0 0
00
i 0 eis (x −x ) = −s0 eis (x −x ) .
∂xj
Ïîëó÷èì:
Z
kB T
1
0
0
Sk1 ,...,kn A I0̄ [ψ] =
H
p
−
s
2
j
j ×
h̄ (2π)3n/2 3n
0
R
n
X
n
∂V 0 [x0 ]
i X
0
0
0 0
× −
H
[p
−
s
]
−
iV
[x
]+
H2 [p0j 0 − s0j 0 ] −
1 j0
j0
0
∂x
2
j0
j 0 =1
j 0 =1
−
+
n
(p0 −s0 )2
i X
0 0
00
2
(s0 j 0 − 1) ψ[x00 ]e− 2 eis (x −x ) ds0 dx00 dp0 +
2 j 0 =1
(70)
Z
n
X
kB T
∂ 2 V 0 [x0 ]
1
0
0
−2i(p
−
s
)
H1 [p0j 0 − s0j 0 ] +
j
j
0
0
3n/2
h̄ (2π)
∂xj ∂xj 0
j 0 =1
3n
R
n
X
0 0
∂ 2 V 0 [x0 ]
∂ V [x ]
0
0
0
0 ∂V [x ]
+
i
×
+
H
[p
−
s
]
+
2(p
−
s
)
0
0
1 j
j
j
j
∂ 2 x0j ∂x0j 0
∂x0j
∂x0j 2
j 0 =1
3
0
0
×ψ[x00 ]e−
(p0 −s0 )2
2
0
0
00
eis (x −x ) ds0 dx00 dp0
(71)
Äàëåå, â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè â êàæäîì èíòåãðàëå ïðîèçâåäåì èíòåãðèðîâàíèå ïî p0 , ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè ìíîãî÷ëåíîâ
Ýðìèòà (26) è ðàâåíñòâà 1 = H0 (p0j −s0j ) è (p0j −s0j ) = H1 (p0j −s0j ). Ïîëó÷èì:
Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ] =
i
kB T 1 Z
0 0
00
−0
−
0
+
2
−
0
ψ[x00 ]eis (x −x ) ds0 dx00 +
n
h̄ (2π) 2n
2
R
kB T 1
+
h̄ (2π)n
R
0
0
∂ V [x ]
∂ 2 V 0 [x0 ]
0 0
00
−2i
+
0
+
0
+
i
ψ[x00 ]eis (x −x ) ds0 dx00 . (72)
02
02
∂xj
∂xj
2n
Z
2
!
19
Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè ïî s0 è x00 è
ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì òðåáóåìîå â ëåììå 2 ðàâåíñòâî
kB T
∂ 2 V 0 [x0 ]
Sk1 ,...,kn A I0̄ [ψ] =
−i
ψ[x0 ] + iψ[x0 ] .
0
h̄
∂xj2
0
(73)
Òåïåðü ìû ãîòîâû ê òîìó, ÷òîáû ñ ïîìîùüþ ëåìì 1 è 2 âû÷èñëèòü
0
S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ ïî ôîðìóëå (58). Ïî ëåììå 1 ñëàãàåìûå â ôîðìóëå (58) ìîãóò áûòü íåíóëåâûìè òîëüêî, åñëè kj = 2 äëÿ íåêîòîðîãî j ∈ {1, ..., n},
à îñòàëüíûå k1 , ..., kn ðàâíû 0. Ëåììû 1 è 2 äàþò âûðàæåíèÿ îïåðàòîðîâ S0̄ A0 Ik1 ,...,kn è Sk1 ,...,kn A0 I0̄ â ýòîì ñëó÷àå. Èòàê, ïî ôîðìóëå (58) è
ëåììàì 1, 2 èìååì:
0
S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ [ψ] = −
∞
X
k −1 S0̄ A0 Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ]
k1 ,...,kn =0
k1 +...+kn =k≥1
= −
X
2−1 S0̄ A0 Ik1 ,...,kn Sk1 ,...,kn A0 I0̄ [ψ]
k1 ,...,kn ∈{0;2}
k1 +...+kn =2
= −
n
X
−1
2
j=1
1 kB T
= −
4 h̄
i kB T kB T
∂ 2V 0
−i 0 2 ψ + iψ
2 h̄ h̄
∂xj
2 X
n
∂ 2V 0
0 2 ψ − nψ .
j=1 ∂xj
(74)
Åñëè â ýòîì âûðàæåíèè âåðíóòüñÿ ê ñòàðûì êîîðäèíàòàì ïî ôîðìóëàì (4), òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
0
S0̄ A0 B −1 A0 I0̄ )[ψ] = −
n
1 1 X
∂ 2V
kB T
−
2
4 m j=1 ∂xj
h̄
2 n ψ.
(75)
Òàêèì îáðàçîì, ìû âû÷èñëèëè îïåðàòîð âî âòîðîì ñëàãàåìîì â óðàâíåíèè (48). Ýòîò îïåðàòîð ïîñëå óìíîæåíèÿ íà −ihγ −1 äàåò âòîðîå ñëàãàåìîå â îïåðàòîðå Ĥ1 òåîðåìû 4.
Áëàãîäàðíîñòè. Àâòîð áëàãîäàðåí ïðîôåññîðó Ã.Ë. Ëèòâèíîâó çà
ïîääåðæêó ðàáîò â ýòîì íàïðàâëåíèè è ñêîðáèò â ñâÿçè ñ óòðàòîé çàìå÷àòåëüíîãî ÷åëîâåêà è äðóãà.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Beniaminov E.M. Quantum Mechanics as Asymptotics of
Solutions of Generalized Kramers Equation. // Electronic
20
Journal of Theoretical Physics (EJTP) 8, No. 25 195-210 (2011)
http://www.ejtp.com/articles/ejtpv8i25p195.pdf.
Äèôôóçèîííûå ïðîöåññû â ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ è êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà // Äîêëàäû àêàäåìèè íàóê. 2007. Ò.
416.  1. Ñ. 31-35. (Beniaminov E. M. Diusion processes in phase
spaces and quantum mechanics // Doklady Mathematics (Proceedings
[2] Áåíèàìèíîâ Å.Ì.
of the Russian Academy of Sciences), 2007, vol.76, No. 2, 771774.)
Êâàíòîâàíèå êàê àñèìïòîòèêà íåêîòîðîãî äèôôóçèîííîãî ïðîöåññà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå// Proc.
[3] Áåíèàìèíîâ Å.Ì.
Intern. Geom. Center 2(4), 7-50 (2009) (òåêñò íà àíãë. ÿç.
http://arxiv.org/abs/0812.5116v1). (2008)
Brownian motion in a eld of force and the diusion
model of chemical reactions.// Physica. 7, 284304. (1940)
[4] Kramers H. A.
[5] Van Kampmen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry
North Holland, Amsterdam, 1981; ïåð.: Ì.:"Âûñøàÿ øêîëà 1990.
[6] Êàìêå
Ý.
Ñïðàâî÷íèê
ïî
îáûêíîâåííûì
äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
Ì.:"Íàóêà 1976.
(Kamke
E.,
Dierentialgleichungen:
Losungsmethoden
und
Losungen,
I,
Gewohnliche Dierentialgleichungen, B. G. Teubner, Leipzig, 1977. )
[7] Weisstein Eric W. Hermite PolynomialFrom MathWorldA Wolfram
Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
A Method for Justication of the View of Observables
in Quantum Mechanics and Probability Distributions in Phase Space
[8] Beniaminov E.M.
http://arxiv.org/abs/quant-ph/0106112 (2001).
[9] Landau L. D., Lifschitz E. M., Quantum mechanics (non-relativistic
theory). Theoretical physics, vol. 3, Nauka, Moscow, 1989 (in Russian).
Roots and Fruits of Decoherence.
[10] Zeh H.D.
// In: Quantum Decoherence,
Duplantier, B., Raimond, J.-M., and Rivasseau, V., edts. (Birkh
auser,
2006), p. 151-175 (arXiv:quant-ph/0512078v2).
21
Decoherence and the transition from quantum to classical
- REVISITED arXiv:quant-ph/0306072v1. 2003 (An updated version of
[11] Zurek W. H.
PHYSICS TODAY, 44:36-44 (1991)).
Äèññèïàöèÿ è äåêîãåðåíöèÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì.
Dissipation and
decoherence of quantum systems.
[12] Ìåíñêèé Ì.Á.
//
ÓÔÍ. 2003. Ò.173. Ñ.1199-1219. (Menskij M. B.
Physics-Uspekhi (Advances in Physical
Sciences), 2003, vol.173, 1199-1219.)
22