ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ êóðñà Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ÷àñòü II äëÿ ñòóäåíòîâ ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. 1. Êëàññè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, îïåðàòîð ýâîëþöèè. Óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ëèóâèëëèàí ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. ×àñòè÷íûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Öåïî÷êà óðàâíåíèé Áîãîëþáîâà-Áîðíà-Ãðèíà-Êèðêâóäà-Èâîíà (ÁÁÃÊÈ). Ôàêòîðèçàöèÿ s-÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Êîððåëÿöèè. 2. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè (óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ-ôîí Íîéìàíà). 3. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè Ìîéàëà äëÿ ôóíêöèè Âèãíåðà. Óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè Âèãíåðà ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé. 4. Óðàâíåíèå ýâîëþöèè äëÿ òîìîãðàììû êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. 5. Çâåçäî÷íîå ïðîèçâåäåíèå, óðàâíåíèå ýâîëþöèè äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè â âèäå óðàâíåíèÿ íà ñèìâîë îïåðàòîðà ïëîòíîñòè îáùåãî âèäà. 6. Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé è ýíòðîïèÿ. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè è ýíòðîïèÿ. Òîìîãðàôè÷åñêîå îïèñàíèå è îïèñàíèå íà ÿçûêå ôóíêöèè Âèãíåðà. 7. Óãëîâîé ìîìåíò. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ, êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà. Òîìîãðàììà ñïèíîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñî ñïèíîì s = 1/2. 8. Ýíòàíãëåìåíò çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ. Ïðèìåð ñèñòåìû äâóõ ñïèíîâ 1/2. 9. Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ. Êëàññè÷åñêèé ïðåäåë óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè. 10. Èíòåðïðåòàöèÿ êâàíòîâîãî ôîðìàëèçìà äëÿ àíàëèçà ñèãíàëîâ, âêëþ÷àÿ êëàññè÷åñêèå ñèãíàëû. 11. Îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû è ðàçëîæåíèå ïî íèì îïåðàòîðîâ è ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Ïðåäñòàâëåíèå ñðåäíèõ â âèäå ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé. 12. Âçàèìîäåéñòâóþùèå ïîäñèñòåìû. Ïðèâåäåííàÿ (ðåäóöèðîâàííàÿ) ìàòðèöà ïëîòíîñòè. 13. Ïðåäñòàâëåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé. Îïåðàòîð ýâîëþöèè äëÿ íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì, õðîíîëîãèçîâàííîå ïðîèçâåäåíèå, T -ýêñïîíåíòà. 14. Âçàèìîäåéñòâèå ñ íåíàáëþäàåìîé ñèñòåìîé, ïîñòàíîâêà íåîáðàòèìîé âî âðåìåíè çàäà÷è. Ðåëàêñàöèîííîå óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè. 1 15. Îáîáùåííîå êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå â ïðèáëèæåíèè êîðîòêèõ âðåìåí êîððåëÿöèè. Ñâîéñòâà êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ, ñìûñë äåéñòâèòåëüíûõ è ìíèìûõ ÷àñòåé. Ñåêóëÿðíîå ïðèáëèæåíèå. Îñíîâíîå êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå, óðàâíåíèå äëÿ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ïëîòíîñòè (çàñåëåííîñòåé). Óðàâíåíèÿ Áëîõà, ïðîäîëüíîå è ïîïåðå÷íîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè. 16. Ìåòîä ìîìåíòîâ. Ñïåêòðàëüíàÿ ôîðìà ñèãíàëà, ìîìåíòû îñíîâíûõ ëèíèé, ðåëàêñàöèîííûé òåíçîð. Ñåêóëÿðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, ìåòîä êóìóëÿíòîâ. Òåíçîð ðåëàêñàöèè ïðè íàëè÷èè äèôôóçèè, èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå. Íåîäíîðîäíîå è îäíîðîäíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. ÇÀÄÀÍÈÅ 1. Ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ êëàññè÷åñêîãî ãàçà ñâîáîäíûõ áåññòðóêòóðíûõ ÷àñòèö. 2. Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö ñ ïàðíûì âçàèìîäåéñòâèåì âî âíåøíåì ïîëå. Ìàññû ÷àñòèö îäèíàêîâû è ðàâíû m. 3. Çàïèñàòü ïåðâûå ÷åòûðå óðàâíåíèÿ öåïî÷êè ÁÁÃÊÈ. 4. Ôàêòîðèçîâàòü 4-÷àñòè÷íóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. 5. Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå íà ôóíêöèþ Âèãíåðà èç óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ-ôîí Íîéìàíà. 6. Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ýâîëþöèè òîìîãðàììû èç óðàâíåíèÿ äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè. 7. Âû÷èñëèòü ýíòðîïèþ ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè è â ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ. 8. Ïîëó÷èòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ óãëîâîãî ìîìåíòà, âûðàçèâ èõ ÷åðåç îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ. 9. Òà æå çàäà÷à, íî äëÿ äâóõ ôåðìè-îñöèëëÿòîðîâ. 10. Âû÷èñëèòü ýâîëþöèþ òîìîãðàììû êîãåðåíòíîãî ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà. 11. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ íåýðìèòîâûõ îðòîãîíàëüíûõ îïåðàòîðîâ îïðå- 2 äåëåíèÿ îïåðàòîðîâ, ìàòðèöû ïëîòíîñòè è ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èìåþò âèä: X X X b + )ui = Q= Tr(Qu Q+ Q i u+ i i ui = i ; i ρ= X i Tr(ρu+ i )ui i hQi = i £ ui , u + k ¤ X Q+ i ρj = i = X = X X i ρ+ i ui = X i ρi u+ i ; i Qi ρ+ i ; i ¡ £ ¤¢ ∗ + cik l = Tr u+ = −cik l . l i ui , u k l cik ul , l 12. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Ωik : ³ ´ X −1 l b Ωik = ~ cik Tr Hul = −Ωki . l Ïîêàçàòü, ÷òî âñå Ωi0 = Ω0k = 0. 13. Ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð ýâîëþöèè óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñ ãàìèëüòîíèba + H b b + Vb ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: àíîì H Zt i −1 b −1 b b b VbI (t0 )dt0 , U (t) = e−i~ Ht = e−i~ (Ha +Hb +V )t = U0 (t)Tb exp − ~ 0 ãäå îïåðàòîð ýâîëþöèè U0 (t) îïðåäåëåí äëÿ íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà. 14. Îïðåäåëèòü âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü ñïèíîâîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè ÷àñòèöû ñî ñïèíîì s = 1/2, îáëàäàþùåé ìàãíèòíûì ìîìåíòîì µ0 è íàõîäÿùåéñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå H||z, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ρ(0) = (1 + Pσ)/2. Îïðåäåëèòü òàêæå òåíçîð Gik . 15. Äëÿ äâóõóðîâíåâîé ñèñòåìû ïîëó÷èòü âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü ðàçíîñòè çàñåëåííîñòåé óðîâíåé ýíåðãèè ρ11 − ρ22 . Îïðåäåëèòü òàêæå âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü íåäèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíòîâ ìàòðèöû ïëîòíîñòè. 16. Íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí äâóõ ñèñòåì èìååò âèä: b 0 = ~ω0 sz + H N X ~ωp Iz , a=1 ãäå sz îïåðàòîð ïðîåêöèè ñïèíà 1/2, Iz îïåðàòîð ïðîåêöèè ñïèíà I. Âçàèìîäåéñòâèå ïîäñèñòåì îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì Vb = 3 N X a=1 Ωa sI. Îïðåäåëèòü ñåêóëÿðíóþ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ è âòîðîé ìîìåíò ñèñòåìû. Âû÷èñëèòü âòîðîé ìîìåíò äëÿ èçîòðîïíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñÿùåãî îò óãëà θa : Ωa = Ω0 cos2 θa . 17. Îïðåäåëèòü ñìåùåíèå ÷àñòèöû, ñîâåðøàþùåé ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ (áðîóíîâñêîå äâèæåíèå), îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ çà âðåìÿ t. Ðàññìîòðåòü äâå ìîäåëè: 1) äâèæåíèå ÷àñòèöû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàíæåâåíà, 2) ÷àñòèöà ñîâåðøàåò ñëó÷àéíûå ñêà÷êè ÷åðåç ñëó÷àéíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. Ðàññìîòðåòü òàêæå ïðèáëèæåíèå ñêà÷êîâ íà ðàâíûå ðàññòîÿíèÿ (â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå). 4