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Zentrum Mathematik
Tehnishe Universität Münhen
Prof. Dr. Bernd Shmidt
30. Juni 2010
Dr. Johannes Giannoulis
Blatt 9
Shwahe Konvergenzmethoden für
nihtlineare partielle Dierentialgleihungen
im Sommersemester 2010
Aufgabe 33: Die Gleihung für die Korrektorfunktion.
n
n×n
Sei Ω ⊂ Rn oen und beshränkt, die Matrix (aij ) ∈ L∞
per (R ; Rsym ) gleihmäÿig elliptish,
1
1
1
Q := [0, 1]n , Hper
(Q) := {u|Q : u ∈ Hloc
(Rn ), u Q-periodi} und χ ∈ Hper
(Q) eine
shwahe Lösung von
−
n
X
∂yi aij (y)∂yj χ(y) =
i,j=1
n
X
∂yi aik (y).
i=1
Zeigen Sie, dass φ(x) := xk + ǫχ( xǫ ), x ∈ Ω, eine shwahe Lösung ist von
−
n
X
i,j=1
∂xi aij
x
ǫ
∂xj φ(x) = 0 in Ω.
Aufgabe 34: Das eindimensionale Homogenisierungsproblem.
1
Sei a ∈ Cper
(R) mit Periode 1, a > 0, f ∈ L2 (0, 1), und u(ǫ) eine Folge von Lösungen der
Gleihungen
( ·
(ǫ)
− a
ux
= f in (0, 1),
ǫ
x
u(ǫ) (0) = u(ǫ) (1) = 0.
Zeigen Sie durh direkte Berehnung, d.h. ohne Verwendung des relevanten Satzes aus
der Vorlesung, dass u(ǫ) ⇀ u in H01 (0, 1), wobei u die Gleihung löst:
(
−auxx = f in (0, 1),
u(0) = u(1) = 0,
a :=
Z
1
−1
a(y) dy
0
−1
.
Aufgabe 35: Homogenisierung geshihteter Materialien.
Sei u(ǫ) eine Folge von (shwahen) Lösungen der Gleihungen
(
−∇ · A(ǫ) ∇u(ǫ) = f
u(ǫ) = 0
in (0, 1)2 ,
auf ∂(0, 1)2 ,
(
c1 I, y1 ≤ 12 ,
, c1 , c2 > 0 , f ∈
c2 I, y1 > 21 ,
⇀ u in W01,2 ((0, 1)2 ), u die Gleihung
wobei A(ǫ) = A( ǫ· ) mit A (0, 1)2 -periodish und A(y) =
L2 ((0, 1)2). Bestimmen Sie A explizit, sodass für u(ǫ)
löst:
(
−∇ · A∇u = f in (0, 1)2,
u=0
auf ∂(0, 1)2 .