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Zentrum Mathematik
Tehnishe Universität Münhen
Prof. Dr. Bernd Shmidt
12. Januar 2010
Dr. Johannes Giannoulis
Blatt 11
Partielle Dierentialgleihungen
im Wintersemester 2009/10
Aufgabe 38: Eine relativkompakte Funktionenmenge
Sei U = B1 (0) ⊂ R2 und A := {u ∈ W01,1 (U) : |∇u(x)| ≤ |x|−1 für f.a. x ∈ U }.
Zeigen Sie: A ist relativkompakt in Lq (U) für alle 1 ≤ q < ∞.
Aufgabe 39: Der eindimensionale Laplae-Operator
Es sei 1 ≤ p < ∞. Betrahten Sie den
Laplae-Operator
∆ : W02,p (0, 1) → Lp (0, 1), u 7→ ∆u = u′′ .
a) Zeigen Sie, dass ∆ ein (stetiger) Isomorphismus ist.
b) Zeigen Sie, dass ∆−1 : Lp (0, 1) → Lp (0, 1) kompakt ist.
(Bemerkung: Mit etwas Funktionalanalysis lässt sih leiht zeigen, dass
∆−1 : Lp (0, 1) → W02,p (0, 1) niht kompakt ist.)
Aufgabe 40: Gleihgradige Stetigkeit auf kompakten Mengen
Es seien V ⊂ Rn kompakt und fk ∈ C(V ), k ∈ N, gleihgradig stetige Funktionen, d.h.
∀x ∈ V ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀k ∈ N ∀y ∈ V : kx − yk < δ ⇒ |fk (x) − fk (y)| < ε.
Begründen Sie, dass die fk , k ∈ N, sogar gleihmäÿig gleihgradig stetig auf V sind.
Aufgabe 41: Der Satz von Arzelà-Asoli
Es seien (M, d) ein kompakter metrisher Raum und K ⊂ C(M), wobei C(M) mit der
sup-Norm versehen sei. Dann ist K relativkompakt genau dann, wenn K
• beshränkt ist: ∃ C > 0 : kf k∞ ≤ C ∀ f ∈ K und
• gleihgradig stetig ist:
∀ x ∈ M ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |f (x) − f (y)| < ε ∀ y mit d(y, x) < δ ∀ f ∈ K.
Tipp:
Zeigen Sie, dass K totalbeshränkt ist wie folgt.
a) Zu ε > 0 wählen Sie δ gemäÿ der gleihmäÿig gleihgradigen Stetigkeit von K .
Nutzen Sie dann die Kompaktheit von M , um ein δ -Netz
M⊂
N
[
Bδ (mi )
i=1
zu nden.
b) Für z > 0 so groÿ, dass K ⊂ Bz (0) gilt, betrahten Sie die Zerlegung −z = z0 <
z1 < . . . < zν = z mit zi − zi−1 < ε. Betrahten Sie die Indexmenge {1, . . . , ν}N
und wählen Sie f(j1 ,...,jN ) , so dass f(j1 ,...,jN ) (mi ) ∈ [zji −1 , zji ] für alle i gilt, wenn das
möglih ist.