ÒÅÌÀ 9. Ýëåìåíòû ìíîãîìåðíîé ãåîìåòðèè Öåëü è çàäà÷è.

ÒÅÌÀ 9. Ýëåìåíòû ìíîãîìåðíîé ãåîìåòðèè
Öåëü è çàäà÷è.
Öåëü êîíòåíòà òåìû 9 ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ ýëåìåíòàìè ìíîãîìåðíîé
ãåîìåòðèè, âîñòðåáîâàííûìè êàê â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ äèñöèïëèíû "Ìàòåìàòèêà", òàê è â ðàçëè÷íûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ.
Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 9:
• Ââåñòè ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè (è, â ÷àñòíîñòè, ãèïåðïëîñêîñòè) â Rn .
• Ïðèâåñòè êðèòåðèè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãèïåðïëîñêîñòåé.
• Óñòàíîâèòü ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ðåøåíèé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
• Çàäàòü àíàëèòè÷åñêè è óñòàíîâèòü ñâîéñòâà ïðÿìûõ è îòðåçêîâ â Rn .
• Îòìåòèòü ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ.
Îãëàâëåíèå.
Ÿ 9.1. Ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêèå è íåÿâíûå óðàâíåíèÿ ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ãèïåðïëîñêîñòü.
Ÿ 9.2. Ïðÿìàÿ è îòðåçîê â Rn . Ïîíÿòèå âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà.
Ÿ 9.1
Ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêèå è íåÿâíûå óðàâíåíèÿ ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè. Ãèïåðïëîñêîñòü.
Ïåðåä çíàêîìñòâîì ñ ìàòåðèàëîì, ïðåäñòàâëåííûì íèæå, ðåêîìåíäóåì
÷èòàòåëþ ïîâòîðèòü ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ, òåìû è ðàçäåëû:
• câîéñòâà âåùåñòâåííîãî n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Rn (Ÿ 4.4);
• ïîíÿòèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è ïîäïðîñòðàíñòâà, ñâîéñòâà áàçèñà
ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà (ŸŸ 1.1 è 1.3);
1
• ïîíÿòèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè âåêòîðîâ, ñòðóêòóðà ìíîæåñòâà ðåøåíèé
îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (ŸŸ 3.3 è 3.4);
• ïðÿìûå è ïëîñêîñòè (ãëàâà 5).
Ïóñòü S m ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè m ïðîñòðàíñòâà Rn ,
0 ≤ m ≤ n, {l1 , l2 , . . . , lm } áàçèñ ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, x̄ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà èç Rn .
Ìíîæåñòâî π m òî÷åê èç Rn íàçûâàþò m-ìåðíîé ïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå Rn â íàïðàâëåíèè ïîäïðîñòðàíñòâà S m , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x̄,
åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå
x ∈ π m ⇐⇒ (x − x̄) ∈ S m .
(9.1.1)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç t1 , t2 , . . . , tm âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû âåêòîðà (x − x̄)
â áàçèñå {l1 , l2 , . . . , lm }. Òîãäà óñëîâèå (9.1.1) ìîæíî çàïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå
m
x ∈ π ⇐⇒ x = x̄ +
èëè
m
X
tk lk , ãäå tk ∈ R1 ,
(9.1.2)
k=1
π m = x̄ + Lin{l1 , l2 , . . . , lm }.
(9.1.3)
Äàííîå îïðåäåëåíèå îáîáùàåò ïîíÿòèå ïëîñêîñòè íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî óñëîâèå (9.1.2) çàäàåò ïëîñêîñòü π m ïðè ïîìîùè
ïàðàìåòðè÷åñêîãî (ÿâíîãî) óðàâíåíèÿ, ãäå â ðîëè ïàðàìåòðîâ âûñòóïàþò
÷èñëà t1 , t2 , . . . , tm . Ïîäïðîñòðàíñòâî S m íàçûâàþò íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïëîñêîñòè π m .
Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå âàðèàíòû m-ìåðíûõ ïëîñêîñòåé â "ïðèâû÷íîì"
òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 .
• m = 0 : íàïðàâëÿþùåå ïðîñòðàíñòâî S 0 = {0}, 0-ìåðíàÿ ïëîñêîñòü π 0
ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé òî÷êè x̄;
• m = 1 : l1 åäèíñòâåííûé áàçèñíûé âåêòîð íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà S 1 , â ñîîòâåòñòâèè ñ (9.1.3)
π 1 = {x ∈ R3 | x = x̄ + t1 l1 , t1 ∈ R1 }
îáû÷íàÿ ïðÿìàÿ p â ïðîñòðàíñòâå R3 (ñì. Ÿ 5.6);
• m = 2 : {l1 , l2 } áàçèñ íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà S 2 ,
π 2 = {x ∈ R3 | x = x̄ + t1 l1 + t2 l2 , t1 ∈ R1 , t2 ∈ R1 }
"îáû÷íàÿ" ïëîñêîñòü π â ïðîñòðàíñòâå R3 (ñì. Ÿ 5.4);
2
• m = 3 : â ýòîì ñëó÷àå íàïðàâëÿþùåå ïîäïðîñòðàíñòâî S 3 è òðåõìåðíàÿ ïëîñêîñòü π 3 ñîâïàäóò ñ ñàìèì ïðîñòðàíñòâîì R3 .
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå x̄ = 0̄ ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü îáÿçàòåëüíî ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (íóëåâîé ýëåìåíò â Rn ) è ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, òàê êàê ñîâïàäàåò ñî ñâîèì íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì.
Îñòàíîâèìñÿ íèæå íà ñëó÷àå, êîãäà ðàçìåðíîñòü íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà ðîâíî íà åäèíèöó ìåíüøå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà Rn . Â
ýòîì ñëó÷àå ìíîãîìåðíóþ ïëîñêîñòü π n−1 íàçûâàþò ãèïåðïëîñêîñòüþ â
ïðîñòðàíñòâå Rn . Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
• Ïðÿìàÿ p íà ïëîñêîñòè R2 ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå
R2 (ñì. Ÿ 5.1).
• "Îáû÷íàÿ" ïëîñêîñòü π â ïðîñòðàíñòâå R3 ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ
â äàííîì ïðîñòðàíñòâå (ñì. Ÿ 5.4).
• Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê âèäà
(x1 , x2 , . . . , xk−1 , 0, xk+1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
ãäå âñå êîîðäèíàòû, êðîìå k -é, ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ π n−1 â ïðîñòðàíñòâå
Rn . Åå íàçûâàþò k -é êîîðäèíàòíîé ãèïåðïëîñêîñòüþ.
Îòìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 ⊂ Rn , ïîìèìî ÿâíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (9.1.2), ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ïðè ïîìîùè òàê
íàçûâàåìîãî îáùåãî óðàâíåíèÿ
b1 x1 + b2 x2 + . . . + bn xn + b0 = 0,
ãäå
(9.1.4)
ïî
êðàéíåé ìåðå îäèí èç ïåðâûõ n êîýôôèöèåíòîâ
b1 , . . . , bn îòëè÷åí îò íóëÿ. Êîýôôèöèåíòû b1 , b2 , . . . , bn â îáùåì óðàâíåíèè
ãèïåðïëîñêîñòè óäîáíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê êîîðäèíàòû åå íîðìàëüíîãî
âåêòîðà.
Àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 , çàäàííîé îáùèì
óðàâíåíèåì (9.1.4), è ãèïåðïëîñêîñòè π∗n−1 , çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì
c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn + c0 = 0,
ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ ŸŸ 5.2 è 5.5. À èìåííî, ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 è
π∗n−1 ñ÷èòàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè
b1 c1 + b2 c2 + . . . + bn cn = 0.
3
Ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 è π∗n−1 ñ÷èòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè ïåðâûå n
êîýôôèöèåíòîâ èõ îáùèõ óðàâíåíèé ïðîïîðöèîíàëüíû:
b1
b2
bn
=
= ... = .
c1
c2
cn
bk
= const ïðè k = 0, 1, . . . , n, ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 è π∗n−1 ñîâïàäàþò.
ck
Ñòîëü æå åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîíÿòèÿ óãëà ìåæäó ïðÿìûìè â R2
(ïëîñêîñòÿìè â R3 ) è ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ýòèõ îáúåêòîâ (ñì. ŸŸ 5.2 è
5.4) ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ñëó÷àé ãèïåðïëîñêîñòåé â Rn .
Îòìåòèì, ÷òî ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 , çàäàííàÿ îáùèì óðàâíåíèåì (9.1.4),
äåëèò âñå ïðîñòðàíñòâî Rn íà äâå ÷àñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ ëåâàÿ ÷àñòü
(9.1.4) ñîõðàíÿåò îïðåäåëåííûé çíàê (ñðàâíèòå ñ ŸŸ 5.3 è 5.5).
Ìíîæåñòâà
Åñëè
è
n−1
π+
= {x ∈ Rn | b1 x1 + b2 x2 + . . . + bn xn + b0 > 0}
(9.1.5)
n−1
π−
= {x ∈ Rn | b1 x1 + b2 x2 + . . . + bn xn + b0 < 0}
(9.1.6)
íàçûâàþò ïîëóïðîñòðàíñòâàìè â Rn (ïîëîæèòåëüíûì è îòðèöàòåëüíûì
ñîîòâåòñòâåííî). Ýòî îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ãðàíèöà ìåæäó íèìè ñàìà
ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 .
Óñòàíîâèì ãåîìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé è
íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïóñòü (çäåñü è äàëåå äî êîíöà
§ 9.1 ìû ñîõðàíÿåì îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûå ðàíåå ⠟ 3.3 è Ÿ 3.4)
Ax = b
(9.1.7)
ñèñòåìà ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n ïåðåìåííûõ
x1 , x 2 , . . . , x n ,
Ax = 0̄
(9.1.8)
ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìå (9.1.7) îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, r = rang A < n, {x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r } ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñèñòåìû (9.1.8), x íåêîòîðîå (÷àñòíîå) ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.7).
Òîãäà ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.8)
W n−r = {x ∈ Rn | x = c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r } = Lin{x1 , . . . , xn−r },
ãäå c1 , c2 , . . . , cn−r ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè (n − r) ïðîñòðàíñòâà Rn . Îäíîâðåìåííî
4
W n−r ÿâëÿåòñÿ (n − r)-ìåðíîé ïëîñêîñòüþ â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðîõîäÿùåé
÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò 0̄.
Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.7)
Ω = {x ∈ Rn | x = x + c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r },
ãäå c1 , c2 , . . . , cn−r ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé (n − r)-ìåðíóþ ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
x, ñ íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì W n−r .
Ó÷èòûâàÿ
ïðåäûäóùèå
ðåçóëüòàòû,
ìîæíî
ñêàçàòü,
÷òî íåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà (9.1.7) çàäàåò íåÿâíî ìíîãîìåðíóþ ïëîñêîñòü
π n−r â ïðîñòðàíñòâå Rn (ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó x, c íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì W n−r ).  ÷àñòíîñòè, åñëè ñèñòåìà (9.1.7) ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî óðàâíåíèÿ, òî äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåÿâíûì óðàâíåíèåì
ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 â ïðîñòðàíñòâå Rn . Âûøå ìû íàçâàëè ýòî óðàâíåíèå
ãèïåðïëîñêîñòè îáùèì (ñì. (9.1.4)).
Ïðèìåð 9.1.1. Ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü π m â R4 çàäàíà íåÿâíî ñëåäóþùåé
ñèñòåìîé óðàâíåíèé:


2x1 − 3x2 − 12x3 + 10x4 = −1
2x1 + x2 + 4x3 − 2x4 = 3 .

10x1 − 7x2 − 28x3 + 26x4 = 3
(9.1.9)
Íàéäåì ðàçìåðíîñòü m ýòîé ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè, áàçèñ åe íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà è çàïèøåì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ π m .
Ðåøåíèå ñèñòåìû (9.1.9) ìåòîäîì Ãàóññà ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó îáùåìó ðåøåíèþ:

1
− x4
2
= 1 − 4x3 + 3x4
∈ R 1 , x4 ∈ R 5 .



x1 = 1



x2
x3
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû:
x 1 = (0, −4, 1, 0)T ;
1
x 2 = (− , 3, 0, 1)T .
2
Óäîáíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.9):
x = (1, 1, 0, 0)T .
Òîãäà îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (9.1.9) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå
W 2 = x + Lin{x1 , x2 }.
5
Ñëåäîâàòåëüíî, π m ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíóþ ïëîñêîñòü â R4 , ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (1, 1, 0, 0), áàçèñ åå íàïðàâëÿþùåãî ïðîñòðàíñòâà
1
{l1 = (0, −4, 1, 0); l2 = (− , 3, 0, 1)}.
2
Ïàðàìåòðè÷åñêèå (ÿâíûå) óðàâíåíèÿ äâóìåðíîé ïëîñêîñòè π 2 :











1
− t2
2
= 1 − 4t1 + 3t2 ,
=
t1
=
t2
x1 = 1
x2
x3
x4
t 1 , t2 ∈ R 1 .
Ïðèìåð 9.1.2. Ïðîâåäåì àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òðåõ ãèïåðïëîñêîñòåé â R4 :
π13 : 2x1 − x2
+ 2x4 − 3 = 0
3
π2 : −x1
+ x3 + x4 − 2 = 0
1
3
π3 : −x1 + 2 x2
− x4 + 1 = 0
è íàéäåì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (1, −2, 3, −1) äî ãèïåðïëîñêîñòè π13 .
Îòìåòèì, ÷òî ãèïåðïëîñêîñòè π13 è π23 îðòîãîíàëüíû, ïîñêîëüêó
(2, −1, 0, 2) .(−1, 0, 1, 1) = 0,
à ãèïåðïëîñêîñòè π13 è π33 ïàðàëëåëüíû, òàê êàê
2
−1
0
2
=
= =
,
−1 1/2 0 −1
íî íå ñîâïàäàþò. Åñòåñòâåííî, ãèïåðïëîñêîñòè π33 è π23 òàêæå îðòîãîíàëüíû.
ρ(M, π13 ) =
|2 · 1 − 1 · (−2) + 0 · 3 + 2 · (−1) − 3| | − 1| 1
p
=
= .
3
3
22 + (−1)2 + 02 + 22
Êðîìå òîãî, òî÷êà M ëåæèò â îòðèöàòåëüíîì ïîëóïðîñòðàíñòâå (îòíîñèòåëüíî π13 ).
Ÿ 9.2
Ïðÿìàÿ è îòðåçîê â Rn. Ïîíÿòèå âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà
Ïóñòü x̄ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà â ïðîñòðàíñòâå Rn , l íåíóëåâîé
âåêòîð òîãî æå ïðîñòðàíñòâà, t ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, êîòîðûé ìîæåò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ.
6
Îäíîìåðíóþ ïëîñêîñòü π 1 = p, îïðåäåëÿåìóþ ïàðàìåòðè÷åñêèì (ÿâíûì) óðàâíåíèåì
x = x̄ + tl,
(9.2.1)
îáû÷íî íàçûâàþò ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
x̄ è ñ íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì l. Óðàâíåíèå (9.2.1) íàçûâàþò òàêæå âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé p. Åãî ìîæíî çàïèñàòü è â
êîîðäèíàòàõ:

x1 = x̄1 + α1 t



x2 = x̄2 + α2 t
, t ∈ R1 ,
···



xn = x̄n + αn t
(9.2.2)
ãäå α1 , α2 , . . . , αn êîîðäèíàòû íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà l, à òàêæå â âèäå
êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé
x1 − x̄1
x2 − x̄2
xn − x̄n
=
= ... =
.
α1
α2
αn
(9.2.3)
Îòìåòèì, ÷òî ââåäåííîå âûøå ïîíÿòèå ïðÿìîé p â ïðîñòðàíñòâå Rn åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåò ïîíÿòèå ïðÿìîé p íà ïëîñêîñòè R2 è â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 (ñðàâíèòå óðàâíåíèÿ (9.2.1), (9.2.2) ñ óðàâíåíèÿìè
(5.1.4), (5.1.5) è (5.6.1), (5.6.2)). Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî îñíîâíûå ðåçóëüòàòû,
ïðåäñòàâëåííûå ⠟Ÿ 5.1 5.3 è Ÿ 5.6 íå èçìåíÿòñÿ ñîäåðæàòåëüíî ïðè àíàëèçå ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå Rn . Ïðèâåäåì íèæå ëèøü íåêîòîðûå èç ýòèõ
ðåçóëüòàòîâ.
Ïóñòü l1 = (α1 , α2 , . . . , αn ) íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé p1 ⊂ Rn , à
l2 = (β1 , β2 , . . . , βn ) íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé p2 èç ýòîãî æå ïðîñòðàíñòâà. Ôîðìóëà
ϕ = arccos
|l1 .l2 |
=
|l1 | · |l2 |
|α1 β1 + α2 β2 + . . . + αn βn |
p
α12 + α22 + . . . + αn2 β12 + β22 + . . . + βn2
= arccos p
(9.2.4)
îïðåäåëÿåò óãîë ϕ ∈ [0, π2 ] ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè.
Ïðÿìûå p1 è p2 èç Rn ñ÷èòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè èõ íàïðàâëÿþùèå
âåêòîðû ëèíåéíî çàâèñèìû, ò. å. l1 = λl2 , ãäå λ îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî,
èëè
α1
α2
αn
=
= ... =
.
β1
β2
βn
Ïðÿìûå p1 è p2 èç Rn ñ÷èòàþò îðòîãîíàëüíûìè, åñëè
l1 .l2 = α1 β1 + α2 β2 + . . . + αn βn = 0.
(9.2.5)
(9.2.6)
7
Ïðèìåð 9.2.1. Ïîäìíîæåñòâî
p1 = {x ∈ Rn | x = (x1 , 0, 0, . . . , 0), x1 ∈ R1 }
ïðîñòðàíñòâà Rn ïðèíÿòî íàçûâàòü ïåðâîé êîîðäèíàòíîé îñüþ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî p1 ïðÿìàÿ â Rn , äîñòàòî÷íî
âûáðàòü åå íàïðàâëÿþùèé âåêòîð l1 = (1, 0, 0, . . . , 0) è ôèêñèðîâàííóþ
òî÷êó x̄ = 0̄ ∈ p1 . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ îñòàëüíûå (n − 1)
êîîðäèíàòíûõ îñåé p2 , p3 , . . . , pn ïðîñòðàíñòâà Rn . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî ðàçëè÷íûå êîîðäèíàòíûå îñè îðòîãîíàëüíû.
¯ ðàçëè÷íûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà Rn . Îíè
Ïóñòü x̄ è x̄
îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ p, â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà êîòîðîé ìîæíî
¯ − x̄) :
âçÿòü âåêòîð (x̄
¯ − x̄), t ∈ R1 }.
p = {x ∈ Rn | x = x̄ + t(x̄
(9.2.7)
Åñëè ÷èñëîâîé ïàðàìåòð âûáðàòü ðàâíûì íóëþ, òî÷êà x ñîâïàäåò ñ òî÷¯ , ïðè t = 12 òî÷êà x ðàñïîëîæèòñÿ íà ïðÿìîé
êîé x̄, ïðè t = 1 ïîëó÷èì x = x̄
¯ . Ïåðåáèðàÿ ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ
p ðîâíî ïîñåðåäèíå ìåæäó òî÷êàìè x̄ è x̄
ïàðàìåòðà t, áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ïîëîæåíèÿ òî÷êè x = x(t) íà ïðÿìîé p (ñì. ðèñ. 9.1).
t<0
1
t=0 t= 2
x
t=1 t>1
p
x
Ðèñ. 9.1. Ïîëîæåíèå òî÷êè x(t) íà ïðÿìîé p
 ÷àñòíîñòè, åñëè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t îãðàíè÷èòü ìíîæåñòâîì [0, 1],
òî÷êà x = x(t) áóäåò çàíèìàòü ëþáûå ïîëîæåíèÿ íà ïðÿìîé p "ìåæäó"
¯ (âêëþ÷èòåëüíî).
òî÷êàìè x̄ è x̄
Îïðåäåëåíèå 9.2.1. Ïîäìíîæåñòâî
¯ ] = {x ∈ Rn | x = x̄ + t(x̄
¯ − x̄), 0 ≤ t ≤ 1}
[x̄, x̄
(9.2.8)
ïðîñòðàíñòâà Rn íàçûâàþò îòðåçêîì ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîåäèíÿþùèì
¯ . Ïîíÿòíî, ÷òî [x̄, x̄
¯ ] ⊂ p ⊂ Rn .
òî÷êè x̄ è x̄
¯ ] ìîæíî çàäàòü àíàëèòè÷åñêè è â ñëåäóþùåì
Îòìåòèì, ÷òî îòðåçîê [x̄, x̄
âèäå:
¯ ] = {x ∈ Rn | x = (1 − t)x̄ + tx̄
¯ , 0 ≤ t ≤ 1} =
[x̄, x̄
¯ , t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, t1 + t2 = 1}.
= {x ∈ Rn | x = t1 x̄ + t2 x̄
(9.2.9)
Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî {M } òî÷åê ïëîñêîñòè (ëèáî òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà) íàçûâàþò âûïóêëûì, åñëè ýòî ìíîæåñòâî âìåñòå ñ ëþáûìè ñâî¯ ñîäåðæèò è îòðåçîê [x̄, x̄
¯ ], ñîåäèíÿþùèé ýòè äâå òî÷êè.
èìè òî÷êàìè x̄ è x̄
8
Äàííîå îïðåäåëåíèå åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé
ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå Rn .
Îïðåäåëåíèå 9.2.2. Ìíîæåñòâî M ⊂ Rn íàçûâàþò âûïóêëûì, åñëè èç
óñëîâèé
¯ ∈ M, 0 ≤ t ≤ 1
x̄ ∈ M, x̄
¯ − x̄) ∈ M.
ñëåäóåò óñëîâèå x = x̄ + t(x̄
Ïðèìåðàìè âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå Rn ÿâëÿþòñÿ:
• ïðÿìàÿ p è ãèïåðïëîñêîñòü π n−1 ;
¯ ];
• îòðåçîê [x̄, x̄
• ëþáàÿ ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü;
• ε îêðåñòíîñòü Sε (x̄) íåêîòîðîé òî÷êè x̄ ∈ Rn ;
n−1
n−1
• ïîëóïðîñòðàíñòâà π+
è π−
.
Îòìåòèì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå äâóõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Rn
îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò.
Èç ðåçóëüòàòîâ ýòîãî ïàðàãðàôà è Ÿ 9.1 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî {M } ðåøåíèé
ñèñòåìû
ëèíåéíûõ
íåðàâåíñòâ
îòíîñèòåëüíî
ïåðåìåííûõ x1 , x2 , . . . , xn ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â ïðîñòðàíñòâå Rn (îòêðûòûì, åñëè âñå íåðàâåíñòâà ñòðîãèå, è çàìêíóòûì, åñëè âñå íåðàâåíñòâà
ñèñòåìû íåñòðîãèå).
Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xm ðàçëè÷íûå òî÷êè èç Rn . Ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
ýòèõ òî÷åê ñëåäóþùåãî âèäà
x = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λm xm ,
λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0,
m
X
λk = 1
(9.2.10)
k=1
íàçûâàþò âûïóêëîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé òî÷åê x1 , . . . , xm .
Îïðåäåëåíèå 9.2.3. Ìíîæåñòâî {M } ⊂ Rn , ñîäåðæàùåå âñåâîçìîæíûå
âûïóêëûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè òî÷åê x1 , x2 , . . . , xm , íàçûâàþò âûïóêëîé
îáîëî÷êîé ñèñòåìû òî÷åê x1 , x2 , . . . , xm (èëè âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêîì,
ïîðîæäåííûì äàííûìè òî÷êàìè) è îáîçíà÷àþò conv {x1 , x2 , . . . , xm } :
{M } = conv {x1 , x2 , . . . , xm } =
n
= {x ∈ R | x =
m
X
k=1
k
λk x , λk ≥ 0,
m
X
λk = 1}.
(9.2.11)
k=1
9
Îòìåòèì, ÷òî äàííîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì (ïî âêëþ÷åíèþ) âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â Rn , ñîäåðæàùèì òî÷êè x1 , x2 , . . . , xm .
Ïðèâåäåì òðè ïðèìåðà ê îïðåäåëåíèþ 9.2.3 (îãðàíè÷èìñÿ, äëÿ íàãëÿäíîñòè, ïðîñòðàíñòâîì R2 ).
¯ = x2 äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïëîñêîñòè.
Ïðèìåð 9.2.2. Ïóñòü x̄ = x1 è x̄
Ñðàâíåíèå (9.2.9) è (9.2.11) ïîêàçûâàåò, ÷òî âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû
òî÷åê x1 è x2 (âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, ïîðîæäåííûé òî÷êàìè x1 è x2 )
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòðåçîê, èõ ñîåäèíÿþùèé:
conv {x1 , x2 } = [x1 , x2 ] =
= {x ∈ R2 | x = λ1 x1 + λ2 x2 , λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1}.
Ïðèìåð 9.2.3. Ïóñòü x1 , x2 è x3 òðè òî÷êè ïëîñêîñòè, íå ëåæàùèå íà
îäíîé ïðÿìîé. Òîãäà ìíîæåñòâî
conv {x1 , x2 , x3 } =
= {x ∈ R2 |x = λ1 x1 + λ2 x2 + λ3 x3 , λk ≥ 0, λ1 + λ2 + λ3 = 1}
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè x1 , x2 è x3 (ñì. ðèñ. 9.2).
x3
x4
x1
x2
Ðèñ. 9.2. Òðåóãîëüíèê conv {x1 , x2 , x3 } è
âíóòðåííÿÿ òî÷êà x4
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê ýòîãî òðåóãîëüíèêà âñå êîýôôèöèåíòû λ1 , λ2 è λ3 ñîîòâåòñòâóþùèõ âûïóêëûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé
ïîëîæèòåëüíû, à äëÿ âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç ýòèõ
êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí íóëþ (íàïðèìåð, äëÿ òî÷êè x1 êîýôôèöèåíò λ1 = 1,
λ2 = λ3 = 0, äëÿ òî÷êè x2 êîýôôèöèåíò λ2 = 1, λ1 = λ3 = 0, äëÿ äðóãèõ òî÷åê îòðåçêà [x1 , x2 ] êîýôôèöèåíò λ3 = 0, îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû
ïîëîæèòåëüíû).
Ïðèìåð 9.2.4. Äîïîëíèòåëüíî ê òî÷êàì x1 , x2 è x3 èç ïðèìåðà 9.2.3 ðàññìîòðèì òî÷êó x4 , ëåæàùóþ âíóòðè òðåóãîëüíèêà conv {x1 , x2 , x3 } (ñì. ðèñ.
9.2). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî conv {x1 , x2 , x3 , x4 } = conv {x1 , x2 , x3 }.
Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êà x4 íå ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà
conv {x1 , x2 , x3 , x4 } , è, ñëåäîâàòåëüíî, íå âñå ïîðîæäàþùèå òî÷êè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ÿâëÿþòñÿ åãî âåðøèíàìè.
10
Ðàñïðîñòðàíèì ïîíÿòèå âåðøèíû âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà íà ñëó÷àé
ïðîñòðàíñòâà Rn .
Îïðåäåëåíèå 9.2.4. Òî÷êà x ∈ {M } íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé èëè êðàéíåé
òî÷êîé âûïóêëîãî ìíîæåñòâà {M } ⊂ Rn , åñëè èç óñëîâèé
¯ , 0 < t < 1, x̄ ∈ {M }, x̄
¯ ∈ {M }
x = (1 − t)x̄ + tx̄
¯ . Èíûìè ñëîâàìè, êðàéíÿÿ òî÷êà âûïóêëîãî ìíîæåñëåäóåò, ÷òî x = x̄ = x̄
ñòâà {M } íå ìîæåò áûòü âíóòðåííåé òî÷êîé íèêàêîãî îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî äâå òî÷êè èç {M }.
Îòìåòèì, ÷òî âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê {M } ⊂ Rn âñåãäà ìîæíî ïîëó÷èòü êàê âûïóêëóþ îáîëî÷êó òîëüêî åãî êðàéíèõ òî÷åê (òàê, â ïðèìåðå
9.2.4 äëÿ çàäàíèÿ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà conv {x1 , x2 , x3 , x4 } äîñòàòî÷íî âçÿòü òîëüêî åãî êðàéíèå òî÷êè x1 , x2 è x3 ). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî
ëþáîé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â Rn çàìêíóòîå è îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî.
Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåñòðîãèõ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ x1 , x2 , . . . , xn , åñëè îíî íåïóñòî
è îãðàíè÷åíî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â ïðîñòðàíñòâå
Rn .
Âûâîäû
• Ïîíÿòèå ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè â Rn îáîáùàåò ïîíÿòèÿ îáû÷íûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé.
• Àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ãèïåðïëîñêîñòåé óäîáíî ïðîâîäèòü ñ
èñïîëüçîâàíèåì èõ îáùèõ óðàâíåíèé.
• Ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîãîìåðíóþ ïëîñêîñòü â Rn , ðàçìåðíîñòü ýòîé ïëîñêîñòè ñîâïàäàåò ñ
÷èñëîì ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ.
• Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è ñâîéñòâà ïðÿìûõ â Rn ñîäåðæàòåëüíî àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèÿì è ñâîéñòâàì ïðÿìûõ íà
ïëîñêîñòè è â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
• Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî x1 , x2 , . . . , xn ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â Rn .
11
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1.
Çàïèøèòå ôîðìóëû, ïî êîòîðûì âû÷èñëÿþòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ èç R4 è ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â R5 .
2.
Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â R4 , çàïèøèòå áàçèñ
êàæäîãî èç ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ.
3.
Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìû î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ íåîïðåäåëåííîé è íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è
ñîîòâåòñòâóþùåé åé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.
4.
Çàïèøèòå îáùåå è ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè
è ïëîñêîñòè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
5.
 êàêîì ñëó÷àå ìíîãîìåðíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì?
6.
Ðàññìîòðèòå âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû m-ìåðíûõ ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå R2 .
7.
Çàïèøèòå óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè â R2 , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè
M1 (1, 2) è M2 (−2, 3).
8.
Ñêîëüêî ïàðàìåòðîâ â ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ãèïåðïëîñêîñòè
â ïðîñòðàíñòâå R6 ?
9.
Íàéäèòå áàçèñ íàïðàâëÿþùåãî ïîäïðîñòðàíñòâà òðåòüåé êîîðäèíàòíîé ãèïåðïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå R4 . Çàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå è
îáùåå óðàâíåíèÿ ýòîé ãèïåðïëîñêîñòè.
10. Óñòàíîâèòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äâå ãèïåðïëîñêîñòè â R4 íå ïåðåñåêàþòñÿ.
11. Êàê ïåðåéòè îò íåÿâíîãî óðàâíåíèÿ ìíîãîìåðíîé ïëîñêîñòè ê ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì?
12. ×åì îòëè÷àåòñÿ íåÿâíîå óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè îò åå îáùåãî óðàâíåíèÿ?
13. Çàïèøèòå óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ â R3 è R4 .
14. Çàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâóõ îðòîãîíàëüíûõ ïðÿìûõ
â R5 . Ïðîâåðüòå, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè ïðÿìûå.
15. Ïðîâåðüòå, ÷òî ðàçëè÷íûå êîîðäèíàòíûå îñè â R4 îðòîãîíàëüíû.
12
16. Çàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îòðåçêà [M1 , M2 ] â R4 , åñëè
M1 (1, −2, 0, 3); M2 (3, 0, 4, −1). Íàéäèòå êîîðäèíàòû ñåðåäèíû ýòîãî
îòðåçêà.
17. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû íåâûïóêëûõ ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâàõ R2 , R3 ,
R4 .
18. Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå äâóõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â Rn ÿâëÿåòñÿ
âûïóêëûì ìíîæåñòâîì.
19. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì â Rn .
20. Íàðèñóéòå ãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âûïóêëîé ëèíåéíîé êîìáè-
íàöèè ÷åòûðåõ òî÷åê íà ïëîñêîñòè ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî
èìååò:
• 2 êðàéíèå òî÷êè;
• 3 êðàéíèå òî÷êè;
• 4 êðàéíèå òî÷êè.
21. ×òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîé è ε-îêðåñòíîñòè ôèêñèðîâàííîé òî÷êè â R4 ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ê êàæäîìó âàðèàíòó îòâåòà.
Áèáëèîãðàôèÿ.
1. Êðàññ Ì.Ñ., ×óïðûíîâ Á.Ï. Îñíîâû ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèÿ â
ýêîíîìè÷åñêîì îáðàçîâàíèè. Ì., Äåëî, 2003.
2. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà). Ì.,
ÞÍÈÒÈ, 2006.
3. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È.
Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005.
4. Êóçþòèí Â.Ô., Çåíêåâè÷ Í.À., Åðåìååâ Â.Â. Ãåîìåòðèÿ. ÑÏá., Ëàíü,
2003.
5. Êóçþòèí Ä.Â., Êóëüòèíà Ì.Â., Âèøíÿêîâà Å.Â. Àëãåáðà âåêòîðîâ è
ìàòðèö. Ýëåìåíòû àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ÑÏá., èçä-âî ÌÁÈ, 2001.
6. C.P. Simon, L. Blume. Mathematics for Economists. N.Y., W.W. Norton
& Company, 1994.
13
7. Îáùèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005.
14