Лекция: "Строение поверхностей, содержащих прямую"

1
Òîïîëîãè÷åñêîå è ìåòðè÷åñêîå ñòðîåíèå ïîâåðõíîñòåé, ñîäåðæàùèõ ïðÿìóþ
([1]). Ïóñòü F ⊂ En äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 0 , èçîìåòðè÷íàÿ ïëîñêîñòè, è íà F ëåæèò åâêëèäîâà ïðÿìàÿ p. Òîãäà F áóäåò
öèëèíäðîì ñ îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé p.
Òåîðåìà 1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F̄ äâóìåðíàÿ åâêëèäîâà ïëîñêîñòü, èçîìåòðè÷íàÿ ïîâåðõíîñòè F , à f : F → F̄ ñîîòâåòñòâóþùàÿ èçîìåòðèÿ1 . Äëÿ ëþáîé
òî÷êè Q ∈ F è êðèâîé γ ⊂ F áóäåì îáîçíà÷àòü Q̄ := f (Q) è γ̄ := f (γ) èõ
îáðàçû íà ïëîñêîñòè F̄ ïîä äåéñòâèåì èçîìåòðèè f .
Òàê êàê f èçîìåòðèÿ, òî p̄ := f (p) ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè F̄ . Äàëåå,
ââåäåì íà ïðÿìîé p̄ ïàðàìåòð äëèíû s, è ïóñòü òî÷êà P̄ (0) ∈ p̄ îòâå÷àåò çíà÷åíèþ s = 0, à òî÷êà P̄ (s) ∈ p̄ îòñòîèò îò íåå íà ðàññòîÿíèè s. Îáîçíà÷èì
÷åðåç m̄(s) ⊂ F̄ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó P̄ (s) ïåðïåíäèêóëÿðíî p̄. Êðèâàÿ m(s) ⊂ F ïðîîáðàç m̄(s), ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó P (s) ∈ p,
ÿâëÿþùóþñÿ ïðîîáðàçîì P̄ (s).
A) Ïîéìåì, êàê óñòðîåíû êðèâûå m(s). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ãèïåðïëîñêîñòü En−1 (s), ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó P (s) ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé
p. È ïóñòü l(s) := En−1 (s) ∩ F êðèâàÿ â ïåðåñå÷åíèè ïîâåðõíîñòè F ýòîé
ãèïåðïëîñêîñòüþ. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ s ñïðàâåäëèâî
(1.1)
l(s) = m(s).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ s1 íà êðèâîé l(s1 ) ñóùåñòâóåò òî÷êà Q ∈ l(s1 ), ëåæàùàÿ îäíîâðåìåííî è íà íåêîòîðîé
êðèâîé m(s2 ) äëÿ s1 6= s2 . Çàìåòèì, ÷òî ïî ïîñòðîåíèþ, êðèâàÿ l(s1 ) ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé p è ïåðåñåêàåò åå â òî÷êå P (s1 ). Ðàññìîòðèì òî÷êè
Q̄ ∈ m̄(s2 ) è P̄ (s1 ) = p̄ ∩ m̄(s1 ).
Íà ïðÿìîé p̄ âûáåðåì òî÷êó P̄ (s) òàê, ÷òîáû óãîë ∠P̄ (s)P̄ (s1 )Q̄ áûë
îñòðûì è
Q̄P̄ (s) < P̄ (s1 )P̄ (s).
(1.2)
Òóò è âåçäå äàëåå, äëÿ äâóõ òî÷åê A è B ïîä AB ìû ïîäðàçóìåâàåò äëèíó
åâêëèäîâà îòðåçêà, èõ ñîåäèíÿþùåãî.
Ðàññìîòðèì òî÷êè P (s1 ), Q, P (s) ∈ F è îòâå÷àþùèé èì òðåóãîëüíèê
4P (s1 )QP (s) ⊂ En , ñîñòàâëåííûé èç åâêëèäîâûõ îòðåçêîâ. Òàê êàê, ïî
ïîñòðîåíèþ, òî÷êà Q ëåæèò â îðòîãîíàëüíîé ê p ãèïåðïëîñêîñòè En−1 (s1 ),
òî ∠QP (s1 )P (s) = π/2. Ñëåäîâàòåëüíî,
(1.3)
QP (s) > P (s1 )P (s).
Òàêæå, â ñèëó èçîìåòðè÷íîñòè ïîâåðõíîñòåé, èìååì P (s1 )P (s) = P̄ (s1 )P̄ (s)
è Q̄P̄ (s) = ρ(Q, P (s)), ãäå ρ(Q, P (s)) äëèíà êðàò÷àéøåé (ãåîäåçè÷åñêîé)
íà ïîâåðõíîñòè F , ñîåäèíÿþùåé òî÷êè Q è P (s). Èñïîëüçóÿ ýòè ðàâåíñòâà
è (1.2), ïîëó÷àåì
QP (s) 6 ρ(Q, P (s)) = Q̄P̄ (s) < P̄ (s1 )P̄ (s) = P (s1 )P (s),
1 Íàïîìíèì,
÷òî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
ðèåé äâóõ ïîâåðõíîñòåé
F1
è
F2 ,
åñëè
îòîáðàæåíèþ êðèâûõ.  òîì ÷èñëå,
ñòè
F1
è
F2
f
f
f : F1 → F2
íàçûâàåòñÿ èçîìåò-
ñîõðàíÿåò äëèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ïî ýòîìó
ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Ïîâåðõíî-
íàçûâàþòñÿ èçîìåòðè÷íûìè.
1
÷òî ïðîòèâîðå÷èò (1.3). Ðàâåíñòâî (1.1) äîêàçàíî.
B) Ïîëó÷èì òåïåðü, ÷òî (1.1) âëå÷åò çà ñîáîé öèëèíäðè÷íîñòü F . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ q̄ ⊂ F̄ , ïàðàëëåëüíóþ p̄ è ïîêàæåì, ÷òî
ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé êðèâàÿ q ∈ F áóäåò åâêëèäîâîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé
p. Âìåñòå ñ ïóíêòîì A) ýòî è áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî F öèëèíäð íóæíîãî
âèäà.
×òîáû ðåàëèçîâàòü ñêàçàííîå âûøå, íà ïðÿìîé q̄ ðàññìîòðèì äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè Q̄1 è Q̄2 . Ïóñòü P̄1 ∈ p̄ è P̄2 ∈ p̄ îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç Q̄i íà ïðÿìóþ p̄. Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîîáðàçû
Q1 , Q2 íà q è P1 , P2 íà p ÿâëÿþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, âåðøèíàìè òðåõìåðíîãî
÷åòûðåõóãîëüíèêà.
Ââåäåì â ýòîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà÷àëî êîîðäèíàò âîçüìåì â òî÷êå P1 . Îñü z íàïðàâèì
ïî ïðÿìîé p è ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî Q1 ëåæèò â ïëîñêîñòè xy . Ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû òî÷åê:
P1 (0, 0, 0), P2 (0, 0, z2 ), Q1 (x1 , y1 , 0), Q2 (x2 , y2 , z2 ),
ãäå xi , yj è z2 íåêîòîðûå ÷èñëà. Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíèå êîîðäèíàòû òî÷åê
P2 è Q2 , â ñèëó A), ñîâïàäàþò.
p
Âèäíî, ÷òî P1 P2 = |z2 |, à Q1 Q2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + z22 > P1 P2 .
Íî
P1 P2 = P̄1 P̄2 = Q̄1 Q̄2
è
Q1 Q2 6 ρ(Q1 , Q2 ) = Q̄1 Q̄2 .
Çíà÷èò, Q1 Q2 6 P1 P2 . È òàêèì îáðàçîì, Q1 Q2 = P1 P2 . Ýòî âîçìîæíî, åñëè
âî âñåõ íåðàâåíñòâàõ âûøå äîñòèãàþòñÿ ðàâåíñòâà, ÷òî âîçìîæíî òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà x1 = x2 , y1 = y2 (÷òî âëå÷åò Q1 Q2 ||P1 P2 ), è åâêëèäîâ
îòðåçîê Q1 Q2 ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé íà ïîâåðõíîñòè F .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà òî÷åê Qi , ïîëó÷àåì, ÷òî q ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè
F è ïàðàëëåëüíàÿ p. Òàêèì îáðàçîì, F öèëèíäð íóæíîãî âèäà. Òåîðåìà
äîêàçàíà.
([2]). Ïóñòü D ⊂ E3 âûïóêëàÿ îáëàñòü, F = ∂D ãðàíè÷íàÿ
ïîâåðõíîñòü.
Òåîðåìà 2
1. Åñëè D ñîäåðæèò ïðÿìóþ p, òî F ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðîì ñ îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé p.
2. Åñëè D ñîäåðæèò ëó÷, íî íå ñîäåðæèò íè îäíîé ïðÿìîé, òî F ãîìåîìîðôíà2 ïëîñêîñòè.
3. Åñëè D íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ëó÷à, òî F ãîìåîìîðôíà ñôåðå.
2 Íàïîìíèì,
÷òî ãîìåîìîðôèçìîì íàçûâàåòñÿ áèåêòèâíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå,
îáðàòíîå ê êîòîðîìó òîæå íåïðåðûâíî.
2
2
Ãàóññîâà êðèâèçíà âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé
Íà ëþáîé çàìêíóòîé3 ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè F ⊂
E êëàññà C ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà F ïîëîæèòåëüíà.
Óòâåðæäåíèå 2.1.
3
2
(Æ. Àäàìàð). Åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà â êàæäîé òî÷êå çàìêíóòîé ðåãóëÿðíîé êëàññà C 2 ïîâåðõíîñòè F ïîëîæèòåëüíà, òî F âûïóêëàÿ
ïîâåðõíîñòü.
Òåîðåìà 3
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü D çàìêíóòàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷èâàåìàÿ ïîâåðõíîñòüþ F . Òàê êàê F çàìêíóòà, òî òàêàÿ îáëàñòü ñóùåñòâóåò. Ðàññìîòðèì âíóòðåííå ïîëå íîðìàëåé ê F .  ñèëó óòâåðæäåíèÿ 2.1, ïî îòíîøåíèþ
ê âûáðàííîìó ïîëþ íîðìàëåé ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà Q ∈ F , ÷òî â íåé
kn (Q) > 0. Çíà÷èò, ïî íåïðåðûâíîñòè, äëÿ ëþáîé P ∈ F è v ∈ TP F âûïîëíÿåòñÿ kn (P, v) > 0.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Q ∈ int D îïðåäåëèì
ΓQ := {P ∈ int D : îòðåçîê P Q ⊂ int D}.
Ïîêàæåì, ÷òî
ΓQ = D.
(2.1)
Èç ýòîãî, â ñèëó ñâÿçíîñòè D, è áóäåò ñëåäîâàòü óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.
A) Ìíîæåñòâî ΓQ îòêðûòî, ÷òî ñëåäóåò èç îòêðûòîñòè int D è âûïóêëîñòè ìíîæåñòâà, ÿâëÿþùåãîñÿ òðóáêîé íàä îòðåçêîì.
B) Ïîêàæåì, ÷òî ΓQ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê {Qi } ⊂ ΓQ òàêèõ, ÷òî
Qi → Q0 è Q0 ∈ int D, ñëåäóåò ÷òî è òî÷êà Q0 ëåæèò â ìíîæåñòâå ΓQ .
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òî åñòü Q0 6= ΓQ . Òîãäà îòðåçîê QQ0 äîëæåí
êàñàòüñÿ ïîâåðõíîñòè F â íåêîòîðîé
P , ïðè÷åì P âíóòðåííÿÿ òî÷ −−→òî÷êå
êà îòðåçêà QQ0 . Íî òîãäà kn P, P Q0 6 0. Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ΓQ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
Èç A) è B) ñëåäóåò (2.1).
Èìååò ìåñòî áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü F çàìêíóòàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 ,
ïîãðóæåííàÿ â E3 . Åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà F íåîòðèöàòåëüíà â êàæäîé,
òî F âûïóêëà, à, ñëåäîâàòåëüíî, âëîæåíà.
Òåîðåìà 4.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] À. À. Áîðèñåíêî. Î ñòðîåíèè íåïðåðûâíîé ïîâåðõíîñòè, ñîäåðæàùåé
ïðÿìóþ. Óêðàèíñêèé ãåîìåòðè÷åñêèé ñáîðíèê, (14):2124, 1973.
[2] V. A. Toponogov and Rovenski V. Dierential Geometry of Curves and
Surfaces: A Concise Guide. Birkhauser, 2006.
3 Òî
åñòü êîìïàêòíîé è áåç êðàÿ.
3