первая
реклама
ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÀÐÍÛÕ ÑÐÀÂÍÅÍÈÉ À. À. Çàñëàâñêèé Ðàññìàòðèâàþòñÿ ïàðíûå ñðàâíåíèÿ n îáúåêòîâ ñ íè÷üèìè. Êàæäîé ìàòðèöå ïàðíûõ ñðàâíåíèé ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå òî÷êà â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîëó÷åííàÿ êîíôèãóðàöèÿ òî÷åê îáðàáàòûâàåòñÿ ìåòîäàìè âûïóêëîãî àíàëèçà è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. 1. Ââåäåíèå Ïàðíûå ñðàâíåíèÿ [1] ÿâëÿþòñÿ îäíèì èç âèäîâ ýêñïåðòíûõ îöåíîê. Ïðèìåíÿòüñÿ îíè íà÷àëè ðàíüøå îñòàëüíûõ âèäîâ. Ñîîòâåòñòâåííî, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíî ìíîæåñòâî àëãîðèòìîâ àíàëèçà ïàðíûõ ñðàâíåíèé. Îäíàêî, ïî ïðèìåíÿåìîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó àïïàðàòó ýòè ìåòîäû äîâîëüíî áëèçêè äðóã ê äðóãó, è íå èñêëþ÷åíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ äðóãèõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè ìîæåò ïðèâåñòè ê èíòåðåñíûì ðåçóëüòàòàì.  äàííîé ðàáîòå íàìå÷àåòñÿ îäèí èç âîçìîæíûõ ïóòåé èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ îáðàáîòêè ïàðíûõ ñðàâíåíèé ìåòîäîâ âûïóêëîãî àíàëèçà è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïàðíûå ñðàâíåíèÿ n îáúåêòîâ ñ íè÷üèìè, ïðè êîòîðûõ ýêñïåðòó ïðåäúÿâëÿþòñÿ âñå âîçìîæíûå ïàðû îáúåêòîâ, è ýêñïåðò ëèáî ñîîáùàåò, êàêîé èç íèõ ïðåäïî÷òèòåëüíåå, ëèáî îáúÿâëÿåò îáúåêòû ðàâíîöåííûìè. Ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèé áóäåì çàïèñûâàòü â ìàòðèöó X (áåç äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ), òàê ÷òî, åñëè ýêñïåðò ïðåäïî÷åë i-é îáúåêò j -ìó, òî xij = 1 è xji = 0, à åñëè ýòè îáúåêòû ðàâíîöåííû, òî xij = xji = 1/2. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ P i è j xij + xji = 1. Äëÿ êàæäîãî îáúåêòà íàéäåì ñóììó íàáðàííûõ èì î÷êîâ: si = j6=i xij . Áóäåì ñ÷èòàòü îáúåêòû óïîðÿäî÷åííûìè ïî âîçðàñòàíèþ ýòèõ ñóìì, ò.å. s1 ≤ · · · ≤ sn . Âîîáùå ãîâîðÿ, îòâåòû ýêñïåðòà ìîãóò ñîäåðæàòü ïðîòèâîðå÷èÿ, ò.å. â ìàòðèöå X ìîãóò áûòü ïîäìàòðèöû 3 × 3 îäíîãî èç − 0 1 ñëåäóþùèõ âèäîâ: 1 0 − 1 1/2 − − 1 1 , 0 − , 1/2 0 − 1/2 0 − 0 1/2 1 1/2 . 1/2 − − Åñëè X íå ñîäåðæèò òàêèõ ïîäìàòðèö, òî îáúåêòû ìîæíî ðàçáèòü íà íåñêîëüêî êëàññîâ, ïðè÷åì ýêñïåðò îáúåêòû èç îäíîãî êëàññà ñ÷èòàåò ðàâíîöåííûìè, à îáúåêò èç êëàññà ñ áîëüøèì íîìåðîì ïðåäïî÷èòàåò îáúåêòó èç êëàññà ñ ìåíüøèì íîìåðîì. Òàêèå ìàòðèöû áóäåì íàçûâàòü òðàíçèòèâíûìè. Âîçüìåì òåïåðü â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ êàæäîé ìàòðèöû X òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (s1 , . . . , sn ) è ïîñòðîèì âûïóêëóþ îáîëî÷êó M ýòèõ òî÷åê. Íàøà öåëü èññëåäîâàíèå ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà M . 2. Ñâîéñòâà ìíîæåñòâà M Ýòîò ðàçäåë ñòàòüè ïîñâÿùåí, ïðåæäå âñåãî, äîêàçàòåëüñòâó ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ñòðîåíèå ìíîæåñòâà M . Óòâåðæäåíèå. M ÿâëÿåòñÿ (n − 1)-ìåðíûì ìíîãîãðàííèêîì, êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòíûì ñîîòâåòñòâóþùåìó êóáó, à åãî âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþò òðàíçèòèâíûì ìàòðèöàì. 1 Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî s1 , . . . , sn óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì: s1 + · · · + sn = s1 + · · · + sk ≥ Äåéñòâèòåëüíî, s1 +· · ·+sn = k(k−1) , 2 P i6=j xij = n(n−1) , 2 k(k−1) , 2 P (1) k = 1, . . . , n − 1. i<j (xij +xji ) = n(n−1) , 2 s1 +· · ·+sk ≥ P i<j≤k (xij +xji ) = ïðè÷åì, âî âòîðîì ñîîòíîøåíèè ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xij = 0 äëÿ âñåõ i ≤ k , j > k , ò.å. êîãäà ïðè âñåõ ñðàâíåíèÿõ îáúåêòà ñ íîìåðîì, ìåíüøèì k , è îáúåêòà ñ íîìåðîì, áîëüøèì k , ýêñïåðò ïðåäïî÷èòàåò îáúåêò ñ áîëüøèì íîìåðîì. Èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî âñå îòìå÷åííûå òî÷êè ëåæàò â (n − 1)-ìåðíîé ãèïåðïëîñêîñòè. Çàáóäåì âðåìåííî, ÷òî si ïîëóöåëûå, è ðàññìîòðèì óñëîâèÿ (1) è si ≤ si+1 . Îíè îïðåäåëÿþò âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, â âåðøèíàõ êîòîðîãî, ïî êðàéíåé ìåðå, n − 1 èç ðàñìàòðèâàåìûõ óñëîâèé îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà. Ïðè ýòîì, åñëè s1 + · · · + sk = k(k−1) , 2 òî xij = 0, xji = 1 äëÿ âñåõ i ≤ k , j > k . Ñëåäîâàòåëüíî, sk ≤ k −1 è sk+1 ≥ k , ò.å. â êàæäîé èç n−1 ïàð óñëîâèé sk ≤ sk+1 è s1 +· · ·+sk ≥ k(k−1) 2 â ðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ ðîâíî îäíî. Âûáðàòü ýòî óñëîâèå ìîæíî 2n−1 ñïîñîáîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà âèäà s1 = · · · = sk1 = · · · = sn = k1 + · · · + kl + n−1−k1 −···−kl , 2 k1 −1 2 , sk1 +1 = · · · = sk1 +k2 = k1 + k2 −1 2 , . . . , sk1 +···+kl +1 = à êàæäîé òàêîé òî÷êå ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå òðàíçèòèâíóþ ìàòðèöó, ïîðîæäàþùóþ ðàçáèåíèå îáúåêòîâ íà l + 1 êëàññ ÷èñëåííîñòüþ k1 , . . . , kl è (n − k1 − · · · − kl ). Åñòåñòâåííûì îáðàçîì èíòåðïðåòèðóþòñÿ òàêæå ðåáðà ìíîãîãðàííèêà M . Äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíî èç ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ðàçáèåíèé ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîãî "ñêëåèâàíèåì"äâóõ ñîñåäíèõ êëàññîâ â îäèí. Îïèøåì òåïåðü íåêîòîðûå äðóãèå ñâîéñòâà M . 1. M èìååò ]n/2[-ìåðíóþ ïëîñêîñòü ñèììåòðèè, çàäàâàåìóþ óðàâíåíèÿìè s1 + sn = s2 + sn−1 = · · · = n − 1. Äåéñòâèòåëüíî, ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò çàìåíå ðåçóëüòàòîâ âñåõ ñðàâíåíèé íà ïðîòèâîïîëîæíûå. n−1 2. M âïèñàí â ñôåðó, äèàìåòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê ìåæäó òî÷êàìè ( n−1 2 ,..., 2 ) è (0, 1, · · · , n − 1). Îáå ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè M , ïåðâàÿ ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîöåííîñòè âñåõ îáúåêòîâ, âòîðàÿ èõ ñòðîãîìó óïîðÿäî÷åíèþ. Öåíòð ñôåðû O çàäàåòñÿ óñëîâèÿìè s2 − s1 = s3 − s2 = · · · = sn − sn−1 = 1/2. Ïðè íå÷åòíîì n êîîðäèíàòû öåíòðà îêàçûâàþòñÿ ïîëóöåëûìè è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà ïàðíûõ ñðàâíåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè O äî ëþáîé âåðøèíû M . 3 Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îáúåì ìíîãîãðàííèêà M çàäàåòñÿ êðàñèâîé ôîðìóëîé V (M ) = nn− 2 . Ïîëó÷èòü åå ìîæíî, âûïèñàâ ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùåå îáúåì ìíîãîãðàííèêà äàííîé ðàçìåðíîñòè ÷åðåç îáúåìû ìíîãîãðàííèêîâ ìåíüøèõ ðàçìåðíîñòåé. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé îíî ïðèâîäèòñÿ ê ñîîòíîøåíèþ, ñâÿçûâàþùåìó êîëè÷åñòâà äåðåâüåâ ñ ðàçëè÷íûìè êîëè÷åñòâàìè ïîìå÷åííûõ âåðøèí. Ïîñêîëüêó ÷èñëî òàêèõ äåðåâüåâ ñ n âåðøèíàìè ðàâíî nn−2 , äëÿ îáúåìà M ïîëó÷àåòñÿ ïðèâåäåííàÿ ôîðìóëà. Êàêèì îáðàçîì îáúåì ìíîãîãðàííèêà îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàí ñ ÷èñëîì äåðåâüåâ, ìíå íåèçâåñòíî. 2 3. Âîçìîæíûå ïðèìåíåíèÿ ñâîéñòâ M  ïðàêòè÷åñêèõ ýêñïåðòèçàõ, êàê ïðàâèëî, îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ äàþò íåñêîëüêî ýêñïåðòîâ, ïîñëå ÷åãî èõ ìíåíèÿ àãðåãèðóþòñÿ. Ïîëó÷åíèå àãðåãèðîâàííîãî ìíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷åé, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ðàçðàáîòàíî ìíîæåñòâî ìåòîäîâ. Áîëüøèíñòâî ýòèõ ìåòîäîâ îñíîâàíî íà ââåäåíèè íåêîòîðîé ìåðû áëèçîñòè ìåæäó îòâåòàìè ýêñïåðòîâ è ìèíèìèçàöèè ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ýòîé ìåðû ìåæäó èòîãîâîé îöåíêîé è îòâåòàìè ýêñïåðòîâ.  ÷àñòíîñòè, â ìåòîäå ïàðíûõ ñðàâíåíèé ÷àùå âñåãî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòðèêà Êåìåíè [2]. Ïðè åå èñïîëüçîâàíèè, åñëè îòâåòàì e îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ýêñïåðòîâ ñîîòâåòñòâóþò ìàòðèöû X 1 , . . . , X N , òî èòîãîâàÿ ìàòðèöà X áîëüøèíñòâà: 1 x eij = 1 2 0 PN l l=1 xij PN l l=1 xij PN l l=1 xij > = < PN l=1 xlji l=1 xlji l=1 xlji . PN PN e ìîæåò îêàçàòüñÿ íåòðàíçèòèâíîé äàæå ïðè òðàíçèòèâíûõ X 1 , . . . , X N . Èçâåñòíî, ÷òî ìàòðèöà X Ïîýòîìó, åñëè ðåçóëüòàò ýêñïåðòèçû äîëæåí áûòü òðàíçèòèâíûì, òî âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ e .  ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâå ìåðû áëèçîñòè òðàíçèòèâíîé ìàòðèöû, áëèæàéøåé ê X ìåòðèêè Êåìåíè ýòà çàäà÷à îêàçûâàåòñÿ â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè âåñüìà ñëîæíîé [3]. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïåðñïåêòèâíûì ñëåäóþùèé "ãåîìåòðè÷åñêèé"ïîäõîä. e , è áóäåì èñêàòü áëèæàéøóþ ê P âåðøèíó Ïîñòðîèì òî÷êó P ∈ M , ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòðèöå X M . Íàäî ñêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîãðàííèêà ýòà çàäà÷à êðàéíå ñëîæíà. Íî, òàê êàê M âïèñàí â ñôåðó, îíà äîïóñêàåò äîâîëüíî ïðîñòîå ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé O ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì, ñôåðà, îïèñàííàÿ âîêðóã M , èìååò åäèíè÷íûé ðàäèóñ, à êîîðäèíàòû òî÷êè P ðàâíû (0, . . . , 0, y0 ), ãäå 0 < y0 < 1. Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ñôåðû X ñ êîîðäèíàòàìè (y1 , . . . , yn èìååì 2 XP 2 = y12 + · · · + yn−1 + (yn − y0 )2 = 1 − 2yn y0 + y02 , ò.å. ðàññòîÿíèå XP åñòü ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ yn . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî áëèæàéøåé ê P áóäåò âåðøèíà, ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà îñü OP ìàêñèìàëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ìàêñèìèçàöèè ëèíåéíîé ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå âåðøèí âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà M èëè, ÷òî òî æå ñàìîå íà âñåì ìíîãîãðàííèêå. Òàêèì îáðàçîì, èòîãîâîå ìíåíèå ýêñïåðòîâ ìîæåò áûòü íàéäåíî, êàê ðåøåíèå ñòàíäàðòíîé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîêà íåÿñíî, íàñêîëüêî ñèëüíî íàéäåííîå ðåøåíèå áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ïîëó÷åííîãî òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè ïîèñêà ìåäèàíû Êåìåíè. Ñêîðåå âñåãî, ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîé ñîãëàñîâàííîñòè èñõîäíûõ ýêñïåðòíûõ îöåíîê îòëè÷èå áóäåò íåâåëèêî, õîòÿ îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæåò äàòü òîëüêî ñåðèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. 4. Äàëüíåéøèå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé Ðàçâèòèå ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûì ïðè ðåøåíèè ñëåäóþùèõ òðàäèöèîííûõ äëÿ àíàëèçà ïàðíûõ ñðàâíåíèé çàäà÷. 3 1. Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ïðîòèâîðå÷èâîñòè êàæäîãî ýêñïåðòà.  êà÷åñòâå ïîêàçàòåëÿ ïðîòèâîðå÷èâîñòè îáû÷íî áåðåòñÿ êîëè÷åñòâî íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê. Äëÿ ñðàâíåíèé ñ íè÷üèìè öåëåñîîáðàçíî ïðèïèñûâàòü òðîéêàì ðàçëè÷íîãî âèäà ðàçíûå âåñà [4,5]. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âûÿñíåíèå ñâÿçè ìåæäó óðîâíåì íåòðàíçèòèâíîñòè ìàòðèöû è ïîëîæåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè â ìíîãîãðàííèêå M . 2. Îöåíêà ñîãëàñîâàííîñòè ýêñïåðòîâ ìåæäó ñîáîé è âûäåëåíèå ïîäãðóïï ñîãëàñîâàííûõ ýêñïåðòîâ. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ áëèçîñòè ýêñïåðòîâ äàñò íîâûå èíñòðóìåíòû äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷. 3.  ðÿäå èññëåäîâàíèé ýêñïåðòó ïðè ñðàâíåíèè äâóõ îáúåêòîâ ïðåäëàãàëîñü íå òîëüêî îòâåòèòü, êàêîé èç íèõ ïðåäïî÷òèòåëüíåå, íî è óêàçàòü ñòåïåíü ýòîãî ïðåäïî÷òåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíòû ìàòðèöû X ìîãóò ïðèíèìàòü íå òðè, à áîëüøåå ÷èñëî çíà÷åíèé. Ïîñòðîåíèå è ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáðàçîâ òàêèõ ìàòðèö ìîãëè áû ñòàòü ïîäòâåðæäåíèåì ïåðñïåêòèâíîñòè ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ [1] Äýâèä Ã. Ìåòîä ïàðíûõ ñðàâíåíèé. Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1978. [2] Êåìåíè Äæ., Ñíåëë Äæ. Êèáåðíåòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1972. [3] Ãèëüáóðä Ì. Ì. Îá ýâðèñòè÷åñêèõ ìåòîäàõ ïîñòðîåíèÿ ìåäèàíû â çàäà÷àõ ãðóïïîâîãî âûáîðà. Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà, 1988, N 7, ñ.131-136. [4] Êàçàíñêàÿ Ò. À. Ðàñïðîñòðàíåíèå êîýôôèöèåíòà Êåíäàëëà-Ñìèòà íà ïàðíûå ñðàâíåíèÿ ñî ñâÿçÿìè.  êí.: Ýêñïåðòíûå îöåíêè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ/ ÈÏÓ ÀÍ ÑÑÑÐ. Ì., 1982, ñ.42-50. [5] Çàñëàâñêèé À. À. Î ëîãè÷íûõ è íåëîãè÷íûõ òóðíèðàõ. Êâàíò, 1997, N 5, ñ.11-13. GEOMETRY OF PAIRED COMPARISONS A.Zaslavsky The paired comparisons with draws of n objects are considered. Each matrix of comparisons is in accordance with a point in Rn . Resulting conguration is treated by the methods of convex analysis and linear programming. 4
