ТЕМА 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

ÒÅÌÀ 3. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé.
Öåëü è çàäà÷è.
Öåëü êîíòåíòà òåìû 3 ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ ñ îñíîâíûìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ (ðåøåíèÿ) ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 3:
• Ñôîðìóëèðîâàòü êðèòåðèè ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè ëèíåéíûõ
ñèñòåì (òåîðåìû Êðîíåêåðà-Êàïåëëè).
• Ïðîäåìîíñòðèðîâàòü âû÷èñëèòåëüíóþ ñõåìó ìåòîäà Ãàóññà (ìåòîäà
ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ) íà ðÿäå ÷èñëåííûõ ïðèìåðîâ, à òàêæå ïðåäñòàâèòü ôîðìàëèçîâàííûé àëãîðèòì ýòîãî ìåòîäà
â îáùåì ñëó÷àå.
• Èçó÷èòü ñòðóêòóðó îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé è íåîäíîðîäíîé
íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
• Ïðåäñòàâèòü ìåòîä Êðàìåðà ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû.
Îãëàâëåíèå.
Ÿ 3.1. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè
è îïðåäåëåííîñòè.
Ÿ 3.2. Ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ÿ 3.3. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ÿ 3.4. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ÿ 3.5. Êâàäðàòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Òåîðåìà Êðàìåðà.
Ÿ 3.1
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè.
Óæå ⠟ 1.2 ïðè èçó÷åíèè âîïðîñà î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè (íåçàâèñèìîñòè) ñèñòåì âåêòîðîâ èç ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ñòîëêíóëèñü ñ íåîáõîäèìîñòüþ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
1
Îòìåòèì, ÷òî ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì âîñòðåáîâàíû âî ìíîãèõ ðàçäåëàõ ìèêðî- è ìàêðîýêîíîìè÷åñêîãî àíàëèçà. Äîñòàòî÷íî óïîìÿíóòü ïîèñê ÷àñòè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ íà ðûíêå ñ ëèíåéíûì ñïðîñîì è ïðåäëîæåíèåì, ëèíåéíóþ ìîäåëü Ëåîíòüåâà ìíîãîîòðàñëåâîé ýêîíîìèêè,
IS-LMìîäåëü â ìàêðîýêîíîìèêå è äð.
Êðîìå òîãî, èññëåäîâàíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ëåæèò â îñíîâå òàêèõ âàæíûõ è âîñòðåáîâàííûõ â ýêîíîìèêå è ìåíåäæìåíòå ðàçäåëîâ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, êàê ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå
è ýêîíîìåòðèêà.
Ïåðåéäåì ê ôîðìàëèçîâàííîìó îïèñàíèþ îñíîâ òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. À èìåííî, ðàññìîòðèì ñèñòåìó m ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xn :


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,



a x + a x + · · · + a x = b ,
21 1
22 2
2n n
2
.
..




a x + a x + · · · + a x = b .
m1 1
m2 2
mn n
m
(3.1.1)
×èñëà
aij
ïðèíÿòî
íàçûâàòü
êîýôôèöèåíòàìè
(ïðè
íåèçâåñòíûõ), à ÷èñëà bi ñâîáîäíûìè ÷ëåíàìè. Ìàòðèöà A[m×n] = (aij ),
ñîñòàâëåííàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñèñòåìû (3.1.1).
Åñëè ê ýòîé ìàòðèöå äîáàâèòü (ñïðàâà) ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b = (b1 , b2 , . . . , bm )T , òî ïîëó÷èì ìàòðèöó (A, b)[m × (n + 1)], íàçûâàåìóþ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (3.1.1).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîì ñòîëáöå āj ìàòðèöû ñèñòåìû åñòü ïî êðàéíåé ìåðå îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà (3.1.1) íå
íåñåò â ñåáå íèêàêîé èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî âîçìîæíûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé íåèçâåñòíîãî xj .
Ëèíåéíóþ ñèñòåìó (3.1.1) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå:
Ax = b,
(3.1.2)
ãäå x = (x1 , x2 . . . . , xn )T ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ, ëèáî:
1
2
n
x1 ā + x2 ā + · · · + xn ā =
n
X
xj āj = b.
(3.1.3)
j=1
Åñëè âñå ñâîáîäíûå ÷ëåíû b1 , b2 , . . . , bm â ñèñòåìå (3.1.1) ðàâíû íóëþ, ëèíåéíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé.
Ðåøåíèåì ëèíåéíîé ñèñòåìû (3.1.1) áóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë x̄ = (x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n ), ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðûõ â ñèñòåìó êàæäîå
èç m óðàâíåíèé îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî.
2
Ñèñòåìà, èìåþùàÿ õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé. Ñèñòåìà, íå èìåþùàÿ ðåøåíèé, íàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòíîé. Ñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííîé, åñëè îíà èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå, è íåîïðåäåëåííîé, åñëè ðåøåíèé áîëüøå.
Çàìå÷àíèå 3.1.1. Çàäà÷à ïîèñêà êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû
(3.1.1) ýêâèâàëåíòíà â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.3) çàäà÷å ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà b
ïî âåêòîðàì ā1 , . . . , ān , ò. å. ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðà b â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ā1 , . . . , ān . Ðîëü êîýôôèöèåíòîâ â ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè èãðàþò íåèçâåñòíûå x1 , . . . , xn . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî êàæäûé ñòîëáåö āj
ìàòðèöû ñèñòåìû àññîöèèðîâàí ñî "ñâîåé" íåèçâåñòíîé xj .
Äâå ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îäíèõ è òåõ æå íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xn
ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâîå ìíîæåñòâî
ðåøåíèé (âîçìîæíî, ïóñòîå). Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëî óðàâíåíèé â ðàâíîñèëüíûõ ñèñòåìàõ íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàåò.
Ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñâÿçàíû ñ
ïåðåâîäîì èñõîäíîé ñèñòåìû (3.1.1) â áîëåå ïðîñòóþ ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó. Ýòîò ïåðåâîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òàê íàçûâàåìûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèñòåìû, ê êîòîðûì ìû îòíåñåì
ñëåäóþùèå:
• îáìåí ìåñòàìè äâóõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå;
• óìíîæåíèå óðàâíåíèÿ íà ÷èñëî, íå ðàâíîå íóëþ;
• ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî óðàâíåíèÿ òîé æå ñèñòåìû,
óìíîæåííîãî ïðåäâàðèòåëüíî íà íåêîòîðîå ÷èñëî;
• èñêëþ÷åíèå èç ñèñòåìû òîæäåñòâ.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò èñõîäíóþ ñèñòåìó â ðàâíîñèëüíóþ. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ñðàâíèòü îòìå÷åííûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ñ ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè íàä ñòðîêàìè ìàòðèöû.
Ëåììà 3.1.1. Ïóñòü âåêòîðû {ā1 , ā2 , . . . , ār } ëèíåéíî íåçàâèñèìû è âåêòîð b̄ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýòèõ âåêòîðîâ. Òîãäà
rang {ā1 , ā2 , . . . , ār , b̄} = r.
Ëåììà 3.1.2. Åñëè âåêòîð b̄ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ
ā1 , ā2 , . . . , ān , òî
rang {ā1 , ā2 , . . . , ān } = rang {ā1 , ā2 , . . . , ān , b̄}.
3
Ëåììà 3.1.3. Ïóñòü V è W äâå ñèñòåìû âåêòîðîâ èç íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, è V ⊂ W . Åñëè rang V = rang W , òî êàæäûé áàçèñ
ñèñòåìû V ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ñèñòåìû W , à êàæäûé âåêòîð èç W ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ èç V .
Ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.1.1)
êëþ÷åâûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î åå ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè. Îòâåòèòü
íà ýòîò âîïðîñ ïîìîãàþò ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû, íàçûâàåìûå òåîðåìàìè
Êðîíåêåðà Êàïåëëè.
Òåîðåìà 3.1.1(óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè).
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.1.1) áûëà ñîâìåñòíîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû ñîâïàäàë ñ ðàíãîì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû:
rang A = rang (A, b).
Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè ñëåäóåò èç ëåììû 3.1.2, à äîñòàòî÷íîñòè
èç ëåììû 3.1.3.
Îòìåòèì, ÷òî åñëè óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ, òî
rang (A, b) = rang A + 1.
Òåîðåìà 3.1.2(óñëîâèå îïðåäåëåííîñòè).
Ïóñòü ñèñòåìà (3.1.1) ñîâìåñòíà, òî åñòü
rang (A, b) = rang A = r(A).
Åñëè ðàíã ìàòðèöû ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ðàâåí ÷èñëó íåèçâåñòíûõ (òî åñòü
r(A) = n), ñèñòåìà (3.1.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Åñëè ðàíã ìàòðèöû ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ (òî
åñòü r(A) < n), ñèñòåìà (3.1.1) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Ÿ 3.2
Ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Ìåòîä Ãàóññà (èëè ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ)
ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì àëãîðèòìîì ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðîñòåéøóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñõåìó ýòîãî ìåòîäà ìû
ïðîäåìîíñòðèðóåì ñíà÷àëà íà ðÿäå ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 3.2.1. Ðåøèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

 x1 + x2 + x3 = 2,
3x1 + 2x2 + 2x3 = 1,

4x1 + 3x2 + 2x3 = 4.
4
Ñ öåëüþ èñêëþ÷èòü íåèçâåñòíóþ x1 èç âñåõ óðàâíåíèé, êðîìå ïåðâîãî,
ïðèáàâèì êî âòîðîìó óðàâíåíèþ ïåðâîå óðàâíåíèå, óìíîæåííîå íà (−3), à
ê òðåòüåìó óðàâíåíèþ ïåðâîå, óìíîæåííîå íà (−4). Ïîëó÷èòñÿ ñëåäóþùàÿ ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà:

 x1 + x2 + x3 = 2,
− x2 − x3 = −5,

− x2 − 2x3 = −4.
Ñ öåëüþ èñêëþ÷èòü íåèçâåñòíóþ x2 èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ, ïðèáàâèì ê
òðåòüåìó óðàâíåíèþ âòîðîå óðàâíåíèå, óìíîæåííîå íà (−1):

 x1 + x2 +
− x2 −

x3 = 2,
x3 = −5,
−x3 = 1.
Îòìåòèì, ÷òî ìàòðèöà ïîñëåäíåé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé òðåóãîëüíîé, âñå ýëåìåíòû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè îòëè÷íû îò íóëÿ. Ïðîâåäåííàÿ
âûøå öåïî÷êà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñîñòàâëÿåò òàê íàçûâàåìûé
ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà.
Êðîìå òîãî,
rang (A, b) = rang A = n = 3,
è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìàìè Êðîíåêåðà Êàïåëëè ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Êîìïîíåíòû ýòîãî ðåøåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ èç ïîñëåäíåé ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî îáðàòíîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà
(íà÷èíàÿ ñ íèæíåãî óðàâíåíèÿ):
x3 = −1,
x2 = −x3 + 5 = 6,
x1 = −x2 − x3 + 2 = −3.
Ïðèìåð 3.2.2. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

 x1 + x2 + x3 = 2,
3x + 2x2 + 2x3 = 1,
 1
4x1 + 3x2 + 3x3 = 4.
Ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ (òî åñòü ïðÿìîé
õîä ìåòîäà Ãàóññà) â äàííîì ñëó÷àå ïîâòîðÿåò ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîäðîáíî
ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Â ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà
5
Ãàóññà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ðàâíîñèëüíóþ èñõîäíîé ñèñòåìó ñ ìàòðèöåé
òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû:

 x1 + x2 + x3 = 2,
− x2 − x3 = −5,

0 = 1.
Ïîíÿòíî, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà íåñîâìåñòíà.  äàííîì ñëó÷àå
rang A = 2 < rang (A, b) = 3,
è îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà íå èñïîëüçóåòñÿ.
Ïðèìåð 3.2.3. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

 x1 + x2 + x3 = 2,
3x + 2x2 + 2x3 = 1,
 1
4x1 + 3x2 + 3x3 = 3.
Ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ â äàííîì ñëó÷àå
ïîâòîðÿåò ïðåîáðàçîâàíèÿ, èñïîëüçîâàííûå â ïðèìåðàõ 3.2.1 è 3.2.2.  ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ðàâíîñèëüíóþ
èñõîäíîé ñèñòåìó ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû:
½
x1 + x2 + x3 = 2,
− x2 − x3 = −5.
Îòìåòèì, ÷òî
rang A = rang (A, b) = 2 < n = 3,
è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìàìè Êðîíåêåðà Êàïåëëè äàííàÿ ñèñòåìà èìååò
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Ïîñêîëüêó â ïîñëåäíåé ñèñòåìå ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé íà åäèíèöó ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå îäíîé èç êîìïîíåíò ðåøåíèÿ (íàïðèìåð, x3 ) ìîæåò áûòü âûáðàíî èññëåäîâàòåëåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Íàçîâåì íåèçâåñòíóþ x3 ñâîáîäíîé è
ïåðåíåñåì åå â ïðàâóþ ÷àñòü:
½
x1 + x2 = − x3 + 2,
− x2 =
x3 − 5.
Çíà÷åíèÿ îñòàâøèõñÿ êîìïîíåíò ðåøåíèÿ (x2 è x1 ) ïîñëåäîâàòåëüíî âûðàæàþòñÿ (÷åðåç ñâîáîäíóþ íåèçâåñòíóþ x3 ) ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî õîäà
ìåòîäà Ãàóññà:
x2 = −x3 + 5,
x1 = −x2 − x3 + 2 = (x3 − 5) − x3 + 2 = −3.
6
Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû (èëè òàê íàçûâàåìîå îáùåå
ðåøåíèå) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

 x1 = −3,
x2 = −x3 + 5,

x3 ∈ R 1 .
Ïðèäàâàÿ ñâîáîäíîé íåèçâåñòíîé x3 êîíêðåòíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü êîíêðåòíûå (÷àñòíûå) ðåøåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû. Íàïðèìåð,
ïðè x3 = 2 ïîëó÷èì: x1 = −3 è x2 = 3, à ïðè x3 = 0 ñîîòâåòñòâåííî
x1 = −3 è x2 = 5.
Ïåðåéäåì ê ôîðìàëèçîâàííîìó îïèñàíèþ ìåòîäà Ãàóññà ðåøåíèÿ (èññëåäîâàíèÿ) ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.1.1).
Ýòàï 1 (ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà).
Íà äàííîì ýòàïå èñõîäíàÿ ñèñòåìà (3.1.1) ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (è, âîçìîæíî, èçìåíåíèÿ åñòåñòâåííîãî ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ
íåèçâåñòíûõ â êàæäîì èç óðàâíåíèé ñèñòåìû) ïðèâîäèòñÿ ê ðàâíîñèëüíîé
ñèñòåìå ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû
(3.2.1):

x1 + α12 x2 + . . . + α1r xr + α1,r+1 xr+1 + . . . + α1n xn = β1 ,




x2 + . . . + α2r xr + α2,r+1 xr+1 + . . . + α2n xn = β2 ,



..


.

xr + αr,r+1 xr+1 + . . . + αrn xn = βr ,



0 = βr+1 ,


..


.



0 = βm .
Çäåñü r = r(A) ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû (3.1.1) è (3.2.1), r ≤ min{m, n};
x1 , x2 , . . . , xr íåèçâåñòíûå, ñòîÿùèå ñ åäèíè÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè íà
"ãëàâíîé äèàãîíàëè"ìàòðèöû ñèñòåìû (3.2.1). Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî íå îáÿçàòåëüíî ïåðâûå ïî ïîðÿäêó r íåèçâåñòíûõ èñõîäíîé ñèñòåìû, õîòÿ îáîçíà÷åíèÿ â ñèñòåìå (3.2.1) îòâå÷àþò èìåííî ýòîìó ñëó÷àþ.
Ýòàï 2. Àíàëèç ñèñòåìû (3.2.1).
Åñëè õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë βr+1 , . . . , βm â ïîñëåäíèõ (m − r) ñòðîêàõ
ïðàâîé ÷àñòè (3.2.1) îòëè÷íî îò íóëÿ, òî ñèñòåìà (3.2.1), à çíà÷èò, è èñõîäíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà íåñîâìåñòíû (r(A) < r(A, b)).  ýòîì ñëó÷àå àíàëèç
èñõîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû çàâåðøåí.
Ïóñòü βr+1 = βr+2 = . . . = βm = 0. Òîãäà r = r(A) = r(A, b), è â
ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.1.1 ñèñòåìà ñîâìåñòíà.
Åñëè, êðîìå òîãî, r = n, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.1.2 ñèñòåìà èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, à ìàòðèöà ñèñòåìû (3.2.1) âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ.
7
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïåðåõîäèòü ê ýòàïó 3 (îáðàòíîìó
õîäó ìåòîäà Ãàóññà).
Åñëè æå r < n, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.1.2 ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Ðåêîìåíäóåì â äàííîì ñëó÷àå ïåðåíåñòè ñëàãàåìûå,
ñîäåðæàùèå xr+1 , . . . , xn , â ïðàâóþ ÷àñòü, òî åñòü ïåðåïèñàòü ñèñòåìó (3.2.1)
â ñëåäóþùåì âèäå
(3.2.2):


x1 + α12 x2 + . . . + α1r xr = β1 − α1,r+1 xr+1 − . . . − α1n xn ,



x2 + . . . + α2r xr = β2 − α2,r+1 xr+1 − . . . − α2n xn ,
..

.



x =β − α
x − ... − α x .
r
r
r,r+1 r+1
rn n
 ïîñëåäíåé ñèñòåìå (n − r) íåèçâåñòíûõ xr+1 , . . . , xn íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè. Âûáîð êîíêðåòíûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ýòèõ íåèçâåñòíûõ ìîæåò
îñóùåñòâëÿòüñÿ èññëåäîâàòåëåì ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíî (ëèáî ñ ó÷åòîì
êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, êîòîðûå íå îòðàæåíû èçíà÷àëüíî â
ñèñòåìå (3.1.1)). Îñòàëüíûå r íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xr îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå.
Ýòàï 3. Îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà.
Íà äàííîì ýòàïå çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xr (â îáðàòíîì ïîðÿäêå) ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû (3.2.1) (ñëó÷àé r = n)
ëèáî èç ñèñòåìû (3.2.2) (ñëó÷àé r < n).  îáîèõ ñëó÷àÿõ ñîîòâåòñòâóþùèå
ñèñòåìû ðåøàþòñÿ, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíèõ (íèæíèõ) óðàâíåíèé.
Ïðèìåð 3.2.4. Ðåøèì ìåòîäîì Ãàóññà ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé

x1



x1
2x


 1
3x1
+
+
+
+
4x2
3x2
8x2
10x2
+
+
+
+
3x3
x3
6x3
5x3
+
+
+
+
4x4
2x4
9x4
7x4
+
+
+
+
5x5
x5
12x5
5x5
=
=
=
=
1,
2,
1,
6.
(3.2.3)
1) Ïðÿìîé õîä:

x1 +



⇐⇒



(3.2.3) ⇐⇒
4x2 + 3x3 + 4x4
x2 + 2x3 + 2x4
x4
−2x2 − 4x3 − 5x4
+ 5x5
+ 4x5
+ 2x5
− 10x5
= 1,
= −1,
⇐⇒
= −1,
= 3.
8

x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 +



x2 + 2x3 + 2x4 +
⇐⇒
x4 +



− x4 −

x1 + 4x2 + 4x4 + 3x3



x2 + 2x4 + 2x3
⇐⇒
x4



5x5
4x5
2x5
2x5
= 1,
= −1, (∗)
⇐⇒
= −1,
= 1.
+ 5x5
+ 4x5
+ 2x5
0
= 1,
= −1,
= −1,
= 0.
(3.2.4)
Ïîñëåäíÿÿ ñèñòåìà (3.2.4) èìååò ìàòðèöó òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû (÷òîáû äîáèòüñÿ ýòîãî, íàì ïðèøëîñü ïðè ðàâíîñèëüíîì ïåðåõîäå (∗) èçìåíèòü
åñòåñòâåííîå ðàñïîëîæåíèå ñëàãàåìûõ ñ íåèçâåñòíûìè x3 è x4 â êàæäîì èç
óðàâíåíèé ñèñòåìû).
2) Àíàëèç ñèñòåìû (3.2.4): Îòìåòèì, ÷òî r = r(A) = r(A, b) = 3, n = 5,
ò. å. r < n. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (3.2.3) ñîâìåñòíà è èìååò áåñêîíå÷íî
ìíîãî ðåøåíèé. Ïåðåíåñåì äâå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå x3 è x5 â ïðàâóþ
÷àñòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñèñòåìó âèäà (3.2.2):

 x1 + 4x2 + 4x4 = 1 − 3x3 − 5x5 ,
x2 + 2x4 = −1 − 2x3 − 4x5 ,

x4 = −1
− 2x5 .
(3.2.5)
3) Îáðàòíûé õîä: Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ñâîáîäíûõ
íåèçâåñòíûõ x3 è x5 óæå âûáðàíû. Âûðàçèì çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ íåèçâåñòíûõ x4 , x2 è x1 ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå, ïîñëåäîâàòåëüíî (ñíèçó
ââåðõ) ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.2.5).
Ïîëó÷èì, ÷òî âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.2.3) èìåþò âèä:

x1




 x2
x3


x


 4
x5
Ÿ 3.3
=
=
∈
=
∈
1 + 5x3 + 3x5 ,
1 − 2x3 ,
R1 ,
−1 − 2x5 ,
R1 .
Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n
íåèçâåñòíûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà
9
Rn . Ðàçìåðíîñòü ýòîãî ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ðàâíà êîëè÷åñòâó ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ â ñèñòåìå.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó m ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé

 a11 x1 + . . . + a1n xn = 0,
..
..
⇐⇒ Ax = 0̄
(3.3.1)
.
.

am1 x1 + . . . + amn xn = 0.
è ñèñòåìó ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî òåõ æå íåèçâåñòíûõ è ñ òàêîé æå ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ

 a11 x1 + . . . + a1n xn
..
.

am1 x1 + . . . + amn xn
= b1 ,
..
⇐⇒ Ax = b.
.
= bm .
(3.3.2)
 ïîñëåäíåé ñèñòåìå õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë b1 , b2 , . . . , bm ïðåäïîëàãàåòñÿ
îòëè÷íûì îò íóëÿ. Ëèíåéíûå ñèñòåìû (3.3.1) è (3.3.2) áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèìè äðóã äðóãó.
Çàìå÷àíèå 3.3.1. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (3.3.1) âñåãäà ñîâìåñòíà, òàê êàê
èìååò î÷åâèäíîå ðåøåíèå x̄ = (0, 0, . . . , 0)T , íàçûâàåìîå òðèâèàëüíûì.
Ýòîò æå ôàêò ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.1.1, ïîñêîëüêó rang A = rang (A, 0̄).
Ëþáîå äðóãîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3.3.1) áóäåì íàçûâàòü íåòðèâèàëüíûì.
Òåîðåìà 3.3.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû îäíîðîäíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà (3.3.1) èìåëà íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàíã ìàòðèöû
ñèñòåìû áûë ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ (rang A < n).
Äîêàçàòåëüñòâî: Äîñòàòî÷íîñòü ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.1.2.
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ñèñòåìà (3.3.1) èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå.
Êðîìå òîãî, îíà, áåçóñëîâíî, èìååò è òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, à çíà÷èò ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé. Ñ ó÷åòîì òåîðåìû 3.1.2 ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû íå
ìîæåò áûòü ðàâåí ÷èñëó íåèçâåñòíûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, r(A) < n.
Ñëåäñòâèå 3.3.1. Åñëè ÷èñëî íåèçâåñòíûõ â îäíîðîäíîé ñèñòåìå (3.3.1)
áîëüøå ÷èñëà óðàâíåíèé (n > m), äàííàÿ ñèñòåìà îáÿçàòåëüíî èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ.
Ïóñòü â îäíîðîäíîé ñèñòåìå (3.3.1) rang A = r < n; x̄, x̃ äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ (3.3.1); λ ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Òîãäà âåêòîðû (x̄ + x̃) è λx̄ òàêæå áóäóò ÿâëÿòüñÿ ðåøåíèÿìè ëèíåéíîé îäíîðîäíîé
ñèñòåìû (3.3.1).
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ëèíåéíîé îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (3.3.1) îáðàçóåò ïîäïðîñòðàíñòâî W ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Rn .
Îòìåòèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå r < n èñõîäíàÿ îäíîðîäíàÿ
ñèñòåìà (3.3.1) èìååò (n − r) ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ è ñ ïîìîùüþ ýëå10
ìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó (3.2.2). Ïóñòü
xr+1 , xr+2 , . . . , xn ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Íàïîìíèì, ÷òî îñòàëüíûå r
íåèçâåñòíûõ x1 , x2 , . . . , xr îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñîâîêóïíîñòü èç k = n − r ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1):


x̄1 = (x̄11 , . . . , x̄1r , 1, 0, 0, . . . , 0)T ,



x̄2 = (x̄2 , . . . , x̄2 , 0, 1, 0, . . . , 0)T ,
1
r
.
..




x̄k = (x̄k , . . . , x̄k , 0, 0, 0, . . . , 1)T .
1
(3.3.3)
r
Êàæäîå èç ðåøåíèé ñîâîêóïíîñòè (3.3.3) ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðèäàâ îäíîé
èç ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, à îñòàëüíûì çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî íàáîð ðåøåíèé (3.3.3) îáðàçóåò
ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ. Êðîìå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ëþáîå ðåøåíèå x̄ îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ëèíåéíîé êîìáèíàöèè1 ðåøåíèé èç ñîâîêóïíîñòè (3.3.3):
x̄ = c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + ck x̄k .
(3.3.4)
Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèÿ x̄1 , x̄2 , . . . , x̄k îáðàçóþò áàçèñ ìíîæåñòâà W âñåõ
ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1). Îòìåòèì, ÷òî dimW = k = n − r.
Áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà W = W n−r âñåõ ðåøåíèé ëèíåéíîé îäíîðîäíîé
è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (3.3.1) ïðèíÿòî íàçûâàòü ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé.
Ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íàèáîëåå óäîáíîé (åñòåñòâåííîé) ôóíäàìåíòàëüíîé
ñèñòåìû ðåøåíèé (3.3.3) èçëîæåí âûøå. Ðåøåíèÿ x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r , ñîñòàâëÿþùèå ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, íàçûâàþò áàçèñíûìè ðåøåíèÿìè. Êîëè÷åñòâî áàçèñíûõ ðåøåíèé ðàâíî n − r.
Ïóñòü ā1 , ā2 , . . . , āk âåêòîðû èç íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V .
Ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ (ñ ïðîèçâîëüíûìè âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè t1 , t2 , . . . tk ) ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ ā1 , ā2 , . . . , āk íàçûâàþò
ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ýòèõ âåêòîðîâ è îáîçíà÷àþò Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk }:
Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk } =
= {t1 ā1 + t2 ā2 + . . . + tk āk | t1 ∈ R1 , . . . , tk ∈ R1 }.
Ñâîéñòâî 3.3.1. Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk } ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì
ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ {ā1 , ā2 , . . . , āk } ëèíåéíî
1 Óòî÷íèì,
÷òî
â
ðàçëîæåíèè
(3.3.4)
ðåøåíèÿ
îäíîðîäíîé
ñèñòåìû
(3.3.1)
x̄ = (x̄1 , x̄2 , . . . , x̄r , x̄r+1 , . . . , x̄n )T ïî âåêòîðàì x̄1 , x̄2 , . . . , x̄k êîýôôèöèåíòû c1 , c2 , . . . , ck ñîâïàäàþò ñ ÷èñëàìè x̄r+1 , x̄r+2 , . . . , x̄n , ò. å. ñ ïîñëåäíèìè (n − r) êîìïîíåíòàìè âåêòîðà x̄.
11
íåçàâèñèìà, òî îíà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ýòîãî ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, è
ðàçìåðíîñòü Lin{ā1 , ā2 , . . . , āk } ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì k èñõîäíûõ âåêòîðîâ.
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ
c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r
(3.3.5)
áàçèñíûõ ðåøåíèé x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû
(3.3.1). Åñëè êîýôôèöèåíòàì c1 , c2 , . . . , cn−r ïðèäàòü êîíêðåòíûå ÷èñëîâûå
çíà÷åíèÿ, òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (3.3.5) îïðåäåëÿåò êîíêðåòíîå ðåøåíèå
ñèñòåìû (3.3.1), íàçûâàåìîå ÷àñòíûì ðåøåíèåì.
Ïåðåáèðàÿ âñå âîçìîæíûå íàáîðû âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ c1 , c2 , . . . , cn−r , ìîæíî ïîëó÷èòü âñå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1).
Òåîðåìà 3.3.2.(î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé).
Îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé (rang A = r < n) ñèñòåìû
ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (3.3.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ
îáîëî÷êó (n − r) áàçèñíûõ ðåøåíèé:
W n−r = Lin{x̄1 , x̄2 , . . . , x̄n−r }.
Ïðèìåð 3.3.1. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:

 x1 − 2x2 + 2x3 −x4 = 0,
x1 − 3x2 + x3 −4x4 = 0,

2x1 − 5x2 + 3x3 −5x4 = 0.
Îòìåòèì, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé (ñì.
ñëåäñòâèå 3.1.1). Ðåçóëüòàòîì ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà áóäåò ñëåäóþùàÿ ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà:
½
x1
x2
+ 4x3 + 5x4 = 0,
+ x3 + 3x4 = 0.
Ïåðåíåñåì (n − r) = 2 ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ x3 è x4 â ïðàâóþ ÷àñòü
è ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé W 2 îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå:

x1



x2
x


 3
x4
=
=
∈
∈
−4x3 − 5x4 ,
−x3 − 3x4 ,
R1 ,
R1 .
12
Ïîñòðîèì áàçèñíûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû:
x̄1 = (−4, −1, 1, 0)T ;
x̄2 = (−5, −3, 0, 1)T .
Òîãäà îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû â ñîîòâåòñòâèè ñ
òåîðåìîé 3.3.2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
W 2 = Lin{(−4, −1, 1, 0)T ; (−5, −3, 0, 1)T } =
= {c1 (−4, −1, 1, 0)T + c2 (−5, −3, 0, 1)T | c1 ∈ R1 , c2 ∈ R1 }.
Ÿ 3.4
Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Óñòàíîâèì ñâÿçü ìíîæåñòâà âñåõ ðåøåíèé ñîâìåñòíîé íåîïðåäåëåííîé
íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1.2) è îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.1.1).
Ïóñòü r(A) < n, x = (x1 , . . . , xn )T íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ðåøåíèå
ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (3.3.2), íàçûâàåìîå ÷àñòíûì ðåøåíèåì, à x = (x1 , . . . , xn )T ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ýòîé
æå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: x̄ = x − x. Òîãäà
Ax̄ = A(x − x) = Ax − Ax = b − b = 0̄.
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð x̄ = x − x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé
îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, x = x + x̄, ãäå x̄ ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû
(3.3.1). Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû
(3.3.2) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ îäíîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ x ýòîé æå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû è ïîäõîäÿùåãî ðåøåíèÿ x̄ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.3.1). Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé
íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû (3.3.2) ÷åðåç Ω.
Òåîðåìà 3.4.1.(î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé).
Ïóñòü â ñîâìåñòíîé ñèñòåìå (3.1.2) rang A = r < n. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå
íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ýòîé
ñèñòåìû è îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû:
Ω = x + W n−r =
= {x + c1 x̄1 + c2 x̄2 + . . . + cn−r x̄n−r | c1 ∈ R1 , . . . , cn−r ∈ R1 } .
Îòìåòèì, ÷òî çíàê = â ïîñëåäíåé çàïèñè îçíà÷àåò ðàâåíñòâî äâóõ ìíîæåñòâ èç Rn .
13
Ïðèìåð 3.4.1. Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ íåîäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:

 x1 − 2x2 + 2x3 −x4 = 0,
x − 3x2 + x3 −4x4 = −5,
 1
2x1 − 5x2 + 3x3 −5x4 = −5.
Îòìåòèì, ÷òî ýòîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìå ñîîòâåòñòâóåò îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà, ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå 3.3.1 (ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ó íèõ îäèíàêîâûå). Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ìåòîäîì Ãàóññà ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ìíîæåñòâó ðåøåíèé:

x1



x2
x


 3
x4
=
=
∈
∈
10 − 4x3 − 5x4 ,
5 − x3 − 3x4 ,
R1 ,
R1 .
Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû, íàïðèìåð, ïðèäàâ ñâîáîäíûì íåèçâåñòíûì çíà÷åíèÿ, ðàâíûå íóëþ:
x = (10, 5, 0, 0)T .
Òîãäà îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû â ñîîòâåòñòâèè ñ
òåîðåìîé 3.4.1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
Ω = x + W2 =
= {(10, 5, 0, 0)T + c1 (−4, −1, 1, 0)T +
+c2 (−5, −3, 0, 1)T | c1 ∈ R1 , c2 ∈ R1 } .
Ñëåäñòâèå 3.4.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû çàäàòü ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ñîâìåñòíîé íåîäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé (r < n) ëèíåéíîé ñèñòåìû (3.3.2),
äîñòàòî÷íî íàéòè îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû è (n − r) ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.
Çàìå÷àíèå 3.4.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîäîáðàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå ñîâìåñòíîé
íåîäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé ëèíåéíîé ñèñòåìû, äîñòàòî÷íî:
• ïðèâåñòè ýòó ñèñòåìó ê âèäó (3.2.2);
• ïîëîæèòü â ïîñëåäíåé ñèñòåìå âñå ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå ðàâíûìè
íóëþ;
• íàéòè çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ íåèçâåñòíûõ, ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.2.2), íà÷èíàÿ ñ íèæíåãî.
14
Ÿ 3.5
Êâàäðàòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Òåîðåìà Êðàìåðà
Îòäåëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé, ó êîòîðûõ êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ. À èìåííî, ðàññìîòðèì ñèñòåìó n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî
n íåèçâåñòíûõ


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
..
.


an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn .
(3.5.1)
Ñèñòåìó (3.5.1) ïðèíÿòî íàçûâàòü êâàäðàòíîé (òàê êàê ìàòðèöà ñèñòåìû
A[n × n] êâàäðàòíàÿ).
Çàìå÷àíèå 3.5.1. Âñå ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå ⠟Ÿ 3.1-3.4 äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì îáùåãî âèäà, â ïîëíîé ìåðå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ è íà êâàäðàòíûå ñèñòåìû.  ÷àñòíîñòè, íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ òàêèõ
ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàóññà.
Òåì íå ìåíåå, ìû ïðåäñòàâèì â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì (èñïîëüçóåìûé, íàïðèìåð, ïðè ïðîâåäåíèè àíàëèçà íà ÷óâñòâèòåëüíîñòü íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ ìàêðîýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëåé).
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
• ∆ = detA îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñèñòåìû (3.5.1);
• ∆j = det(ā1 , . . . , āj−1 , b, āj+1 , . . . , ān ) îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç A çàìåíîé ñòîëáöà āj íà ñòîëáåö b ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñèñòåìû (3.5.1).
Òåîðåìà 3.5.1.(òåîðåìà Êðàìåðà).
Åñëè îïðåäåëèòåëü ∆ ìàòðèöû êâàäðàòíîé ñèñòåìû (3.5.1) îòëè÷åí îò
íóëÿ, òî ñèñòåìà (3.5.1) ñîâìåñòíà è èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè:
xj =
∆j
, j = 1, n.
∆
(3.5.2)
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî r(A) ≤ r(A, b) ≤ n. Åñëè ∆ 6= 0, òî
â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 2.4.1 (ñì. Ÿ 2.4) r(A) = n. Ñëåäîâàòåëüíî,
r(A) = r(A, b) = n, è ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà Êàïåëëè ñèñòåìà (3.5.1)
ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé è îïðåäåëåííîé.
Êðîìå òîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 2.3.1 (ñì. Ÿ 2.3) ìàòðèöà ñèñòåìû
A èìååò îáðàòíóþ. Äîìíîæèì îáå ÷àñòè ñèñòåìû (3.5.1) ñëåâà íà ìàòðèöó
15
A−1 :
A−1 (Ax) = A−1 b
x = A−1 b.
⇐⇒
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.3.1) (ñì. Ÿ 2.3), ïîñëåäíåå ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
1
Ãb,
(3.5.3)
∆
ãäå à ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà (ñì Ÿ 2.3). Íàïîìíèì, ÷òî ñòðîêà j ìàòðèöû à ñîñòîèò èç àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ýëåìåíòîâ j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû A. Ñëåäîâàòåëüíî, j -å ñêàëÿðíîå ðàâåíñòâî â (3.5.3) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x=
1
1
ãj b = (A1j , A2j , · · · , Anj ) · (b1 , b2 , · · · , bn )T =
∆
∆
1
= (b1 A1j + b2 A2j + · · · + bn Anj ).
∆
Ïî òåîðåìå çàìåùåíèÿ (ñì. Ÿ 2.2) ïîñëåäíÿÿ ñóììà â ñêîáêàõ ðàâíà îïðåäåëèòåëþ ∆j .
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî (3.5.3) ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé n ñêàëÿðíûõ ðàâåíñòâ (3.5.2).
Çàìå÷àíèå 3.5.2. Ôîðìóëû (3.5.2) íàçûâàþò ôîðìóëàìè Êðàìåðà. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà (3.5.3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðè÷íóþ çàïèñü ôîðìóë Êðàìåðà.
Ñëåäñòâèå 3.5.1. Åñëè èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòíàÿ ñèñòåìà (3.5.1) íåñîâìåñòíà, ëèáî ñîâìåñòíà, íî ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé, òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû òàêîé ñèñòåìû îáÿçàòåëüíî ðàâåí íóëþ.
Ïðèìåð 3.5.1. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ êâàäðàòíóþ ñèñòåìó:
½
−x1 + 2x2 = 5,
2x1 − x2 = 2.
xj =
 äàííîì ñëó÷àå
¯
¯ −1 2
∆ = ¯¯
2 −1
¯
¯
¯ = −3,
¯
è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êðàìåðà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå:
¯
¯5 2
¯
¯ 2 −1
∆1
=
x1 =
∆
−3
¯
¯ −1 5
¯
¯ 2 2
∆2
x2 =
=
∆
−3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 3,
= 4.
16
Çàìå÷àíèå 3.5.3. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû Êðàìåðà ìàòðèöà A
ñèñòåìû (3.5.1) èìååò îáðàòíóþ A−1 , è ðåøåíèå ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
x = A−1 b.
(3.5.4)
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, êîãäà íåîáõîäèìî ðåøàòü ñåìåéñòâî
êâàäðàòíûõ ñèñòåì ñ íåèçìåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ, íî ðàçëè÷íûìè ñòîëáöàìè ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ) öåëåñîîáðàçíî íåïîñðåäñòâåííî íàéòè
ìàòðèöó A−1 è â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3.5.4).
Âûâîäû
• Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìîãóò áûòü íåñîâìåñòíûìè, ëèáî ñîâìåñòíûìè è îïðåäåëåííûìè (òî åñòü èìåòü îäíî ðåøåíèå), ëèáî ñîâìåñòíûìè è íåîïðåäåëåííûìè (òî åñòü èìåòü áåñêîíå÷íî
ìíîãî ðåøåíèé).
•  êðèòåðèÿõ ñîâìåñòíîñòè è îïðåäåëåííîñòè ëèíåéíûõ ñèñòåì (òåîðåìû Êðîíåêåðà Êàïåëëè) èñïîëüçóþòñÿ òðè ïàðàìåòðà: ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû, ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû è ÷èñëî íåèçâåñòíûõ.
• Ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàóññà (ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ), ñîñòîÿùèé, â îáùåì ñëó÷àå, èç òðåõ ýòàïîâ: ïðÿìîé
õîä, èññëåäîâàíèå ñèñòåìû (3.2.1) ñ ìàòðèöåé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû
è îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà.
• Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé (òî åñòü îáùåå ðåøåíèå) îäíîðîäíîé è íåîïðåäåëåííîé (r < n) ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà Rn è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ îáîëî÷êó n−r áàçèñíûõ
ðåøåíèé.
• Îáùåå ðåøåíèå ñîâìåñòíîé íåîïðåäåëåííîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ÷àñòíîãî
ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû è îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.
• Ìåòîä Êðàìåðà ïîçâîëÿåò íàéòè åäèíñòâåííîå ðåøåíèå êâàäðàòíîé
ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé.
17
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1.
Âûïèøèòå ìàòðèöó ñèñòåìû è ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû äëÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé èç ïðèìåðà 3.2.2. Íàéäèòå
ðàíãè ýòèõ ìàòðèö ìåòîäàìè Ÿ 2.4.
2.
Çàïèøèòå ñèñòåìó èç ïðèìåðà 3.2.1 â ôîðìå (3.1.2) è (3.1.3).
3.
Ïåðå÷èñëèòå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
4.
Äîêàæèòå ëåììû 3.1.1 3.1.3.
5.
Äîêàæèòå óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (òåîðåìà 3.1.1).
6.
Ïóñòü â ëèíåéíîé ñèñòåìå òðè óðàâíåíèÿ (m = 3) è òðè íåèçâåñòíûõ (n = 3). Ïåðå÷èñëèòå âîçìîæíûå âàðèàíòû ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ: rang (A) è rang (A, b). Äëÿ êàæäîãî âàðèàíòà óêàæèòå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû.
7.
 ÷åì ñîñòîèò öåëü ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà?
8.
Ê êàêîìó ðåçóëüòàòó ïðèâîäèò ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà?
9.
 ÷åì ñîñòîèò ðàçëè÷èå ìåæäó ñâîáîäíûìè íåèçâåñòíûìè â íåîïðåäåëåííîé ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è îñòàëüíûìè
íåèçâåñòíûìè?
10.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà?
11. Ïîÿñíèòå ðàâíîñèëüíûé ïåðåõîä, îòìå÷åííûé çâåçäî÷êîé, â ïðîöåññå
ðåøåíèÿ ñèñòåìû èç ïðèìåðà 3.2.4.
12. Äîêàæèòå ñëåäñòâèå 3.3.1.
13. Ïî÷åìó íàáîð ðåøåíèé (3.3.3) îäíîðîäíîé ñèñòåìû îáðàçóåò ëèíåéíî
íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ?
14. Íàéäèòå áàçèñíûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé,
ñîîòâåòñòâóþùèõ íåîäíîðîäíûì ñèñòåìàì, ðàññìîòðåííûì â ïðèìåðàõ 3.2.3 è 3.2.4.
15. Äàéòå îïðåäåëåíèå ëèíåéíîé îáîëî÷êè âåêòîðîâ.
16. Äîêàæèòå ñâîéñòâî 3.3.1.
18
17.  ÷åì ðàçëè÷èå ìåæäó ÷àñòíûì è îáùèì ðåøåíèåì íåîïðåäåëåííîé
ëèíåéíîé ñèñòåìû?
18. Èìååò ëè ëèíåéíàÿ ñèñòåìà èç ïðèìåðà 3.3.1 ÷àñòíîå ðåøåíèå ñî âñåìè
ïîëîæèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè?
19. Êàê ñâÿçàíû ìíîæåñòâà ðåøåíèé íåîïðåäåëåííîé íåîäíîðîäíîé ñè-
ñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ñîîòâåòñòâóþùåé åé îäíîðîäíîé ñèñòåìû?
20. Ìîæåò ëè îáùåå ðåøåíèå Ω íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé íåîïðåäåëåííîé
ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî n íåèçâåñòíûõ áûòü ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïðîñòðàíñòâà Rn ?
21. Ïîäõîäèò ëè ìåòîä Êðàìåðà äëÿ ðåøåíèÿ êâàäðàòíîé ñèñòåìû ñ âûðîæäåííîé ìàòðèöåé?
22. Äîêàæèòå ñëåäñòâèå 3.5.1.
23. Ðåøèòå êâàäðàòíóþ ñèñòåìó èç ïðèìåðà 3.2.1 ìåòîäîì Êðàìåðà.
24. Ïðèìåíèòå ôîðìóëó (3.5.4) äëÿ ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé ñèñòåìû
µ
A=
−1 2
2 −1
¶
è ñëåäóþùèìè ñòîëáöàìè ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ:
µ
5
2
¶
µ
−1
0
¶
µ
0
1
¶
µ
−3
4
¶
µ
0
0
¶
.
Áèáëèîãðàôèÿ.
1. Êðàññ Ì.Ñ., ×óïðûíîâ Á.Ï. Îñíîâû ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèÿ â
ýêîíîìè÷åñêîì îáðàçîâàíèè. Ì., Äåëî, 2003.
2. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà). Ì.,
ÞÍÈÒÈ, 2006.
3. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È.
Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005.
4. Êóçþòèí Â.Ô., Çåíêåâè÷ Í.À., Åðåìååâ Â.Â. Ãåîìåòðèÿ. ÑÏá., Ëàíü,
2003.
19
5. Êóçþòèí Ä.Â., Êóëüòèíà Ì.Â., Âèøíÿêîâà Å.Â. Àëãåáðà âåêòîðîâ è
ìàòðèö. Ýëåìåíòû àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ÑÏá., èçä-âî ÌÁÈ, 2001.
6. C.P. Simon, L. Blume. Mathematics for Economists. N.Y., W.W. Norton
& Company, 1994.
7. Îáùèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè äëÿ ýêîíîìèñòîâ (ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà). Ì., ÈÍÔÐÀ-Ì, 2005.
20