Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè ÓÄÊ 512.54, 512.7, 514.172 Êàçàðíîâñêèé Áîðèñ ßêîâëåâè÷ Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà, èíêðåìåíòû

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
ÓÄÊ 512.54, 512.7, 514.172
Êàçàðíîâñêèé Áîðèñ ßêîâëåâè÷
Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà, èíêðåìåíòû
è êîðíè ñèñòåì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé
ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï
01.01.04 ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ
Àâòîðåôåðàò
äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè
êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Ìîñêâà 2008
Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòû
Àêòóàëüíîñòü òåìû
 ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìíîãîîáðàçèÿ êîðíåé ñèñòåì ìàòðè÷íûõ
ôóíêöèé ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîìïëåêñíîé ãðóïïû Ëè
(ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åííàÿ íà ðàññìàòðèâàåìóþ ãðóïïó
ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîðîâ ïðåäñòàâëåíèÿ). Íàñ
èíòåðåñóþò ñâîéñòâà ìíîãîîáðàçèé, çàâèñÿùèå òîëüêî îò âûáðàííûõ
ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå àëãåáðàè÷åñêèõ ãðóïï
òàêèì ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî êîðíåé ïîëíîé ñèñòåìû
ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé îáùåãî ïîëîæåíèÿ.
Ïåðâûì ðåçóëüòàòîì òàêîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà Êóøíèðåíêî1
î òîì, ÷òî êîëè÷åñòâî êîðíåé îáùåé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé
êîíå÷íîìåðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ n-ìåðíîãî êîìïëåêñíîãî òîðà ðàâíî
îáúåìó âåñîâîãî ìíîãîãðàííèêà ïðåäñòàâëåíèÿ, óìíîæåííîìó íà n!
Çàòåì ïîñëåäîâàëè ðàáîòû, â êîòîðûõ âû÷èñëÿëèñü èíâàðèàíòû
àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîìïëåêñíîãî òîðà, çàäàííîãî
êàê ìíîæåñòâî êîðíåé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ôèêñèðîâàííûìè
ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà2 .
1 À.Ã.
Êóøíèðåíêî. Ìíîãîãðàííèê Íüþòîíà è ÷èñëî ðåøåíèé ñèñòåìû k óðàâíåíèé ñ k
íåèçâåñòíûìè. ÓÌÍ, 30:266-267, 1975.
2 Ä.Í.Áåðíøòåéí, À.Ã.Êóøíèðåíêî, À.Ã.Õîâàíñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà. ÓÌÍ, 1976,
ò. 31, âûï. 3, c. 201-201.; À.Ã.Õîâàíñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è òîðè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ.
1
Âñå ýòè ðàáîòû èäåíòèôèöèðîâàëèñü (òàê æå êàê ñîâðåìåííûå
ðàáîòû íà ýòó òåìó) êàê âû÷èñëåíèÿ ñ ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà.
Ñëîâî "ïðåäñòàâëåíèå"â íèõ íå óïîìèíàëîñü. Äåëî â òîì, ÷òî
ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ òîðà ýòî ïîëèíîì Ëîðàíà, à
âåñîâîé ìíîãîãðàííèê ïðåäñòàâëåíèÿ âûïóêëàÿ îáîëî÷êà íàáîðà
ñòåïåíåé ïîëèíîìà Ëîðàíà, ò.å. åãî ìíîãîãðàííèê Íüþòîíà.
Âàæíîé îñîáåííîñòüþ âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà
ÿâëÿåòñÿ
èõ
ñâÿçü
ñ
ãåîìåòðèåé
âûïóêëûõ
ìíîãîãðàííèêîâ.
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ôîðìóëèðóþòñÿ íà ÿçûêå ãåîìåòðèè, ÷òî
äåëàåò èõ áîëåå ÿñíûìè. Êðîìå òîãî, ýòè âû÷èñëåíèÿ ÷àñòî ïðèâîäÿò
ê íîâûì ðåçóëüòàòàì ãåîìåòðèè ìíîãîãðàííèêîâ. Èíòåðåñíûå è
íåîæèäàííûå ðåçóëüòàòû â ýòîì íàïðàâëåíèè áûëè ïîëó÷åíû â
ðàáîòàõ À.Ã. Õîâàíñêîãî, À.Â. Ïóõëèêîâà, Ï. ÌàêÌàëëåíà, Ð. Ñòýíëè
è äðóãèõ àâòîðîâ.
 óêàçàííûõ âûøå ðàáîòàõ À.Ã. Õîâàíñêîãî âïåðâûå áûëà
ïðèìåíåíà
òåîðèÿ
ìíîãîîáðàçèé3
òîðè÷åñêèõ
(ò.å.
ðåçóëüòàòû
êëàññèôèêàöèè è èññëåäîâàíèÿ ýêâèâàðèàíòíûõ ïîïîëíåíèé òîðà),
îêàçàâøàÿñÿ ýôôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè Íüþòîíà.
 80-õ ãîäàõ äâà îáñòîÿòåëüñòâà ïðèâåëè ê ïðåäïîëîæåíèþ
î òåîðåòèêî-ãðóïïîâîé ïðèðîäå âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè
Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1977, ò.11, âûï.4, c.56-64.;
À.Ã.Õîâàíñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è
ðîä ïîëíûõ ïåðåñå÷åíèé. Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1978, ò.12, âûï.1, c.51-61.
3 G.Kemph, F.Knudsen, D.Mamford, B.Saint-Donat. Toroidal embeddings, 1. Lect. Notes Math.,
No.339, Springer-Verlag, 1973; Â.È.Äàíèëîâ. Ãåîìåòðèÿ òîðè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé. ÓÌÍ., 1978,
ò.33, âûï.2, c.85-134.
2
Íüþòîíà. Ò.å. ê ãèïîòåçå î òîì, ÷òî, åñëè ðàññìàòðèâàòü ýòè
âû÷èñëåíèÿ êàê ðåçóëüòàòû îá àëãåáðàè÷åñêèõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ
òîðà, òî àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ âîçìîæíû ïðè çàìåíå òîðà íà
äðóãèå ãðóïïû Ëè (íàïðèìåð, íà ëþáóþ êîìïëåêñíóþ ðåäóêòèâíóþ
ãðóïïó).
Ïåðâîå èç ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâ ïîÿâëåíèå òåîðèè ñôåðè÷åñêèõ
ïðîñòðàíñòâ4 , ò.å. àíàëîãà òåîðèè òîðè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ðåäóêòèâíûõ ãðóïï.
Âòîðîå ïåðåíîñ ïðîñòåéøèõ âû÷èñëåíèé ñ ìíîãîãðàííèêàìè
Íüþòîíà íà ñëó÷àé ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì5 (ñì. òàêæå [1]).
Ýêñïîíåíöèàëüíûå
ñóììû
ÿâëÿþòñÿ
ìàòðè÷íûìè
ôóíêöèÿìè
êîíå÷íîìåðíûõ äèàãîíàëèçóåìûõ ïðåäñòàâëåíèé àääèòèâíîé ãðóïïû
êîìïëåêñíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Â ýòîé ñèòóàöèè âåñîâîé
ìíîãîãðàííèê ïðåäñòàâëåíèÿ âûïóêëûé (â îáùåì ñëó÷àå) 2n-ìåðíûé
ìíîãîãðàííèê â Cn . Àíàëîã òåîðåìû Êóøíèðåíêî ñîñòîèò â òîì (ñì.
ðàçä. 2.5 äèññåðòàöèè), ÷òî ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà íóëåé ñèñòåìû n
ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé ðàâíà "êîíòàêòíîìó îáúåìó"ãðàíèöû âåñîâîãî
ìíîãîãðàííèêà. Åñëè âåñà ïðåäñòàâëåíèÿ ëåæàò â ïðîñòðàíñòâå Re Cn ,
òî ïëîòíîñòü ìíîæåñòâà íóëåé ðàâíà (êàê â òåîðåìå Êóøíèðåíêî)
îáúåìó âåñîâîãî ìíîãîãðàííèêà.
Ïåðâûé ðåçóëüòàò â íàïðàâëåíèè ïåðåíîñà ïîäîáíûõ âû÷èñëåíèé
â êîíòåêñò òåîðèè ãðóïï âû÷èñëåíèå ÷èñëà ðåøåíèé îáùåé
4 M.Brion,
D.Luna, Th.Vust, Espaces homogenes spheriques, Invent. Math. 84 (1986), 617-632
Î íóëÿõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1981, ò. 257, âûï. 4, ñ.
5 Á.ß.Êàçàðíîâñêèé
804-808;
Î.À. Ãåëüôîíä. Êîðíè ñèñòåì ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ. Ïðåïðèíò ÔÈÀÍ N
200, 1978
3
ïîëíîé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé
êîìïëåêñíîé
ðåäóêòèâíîé
ãðóïïû
[2].
Êîìïîíåíòû
ôîðìóëû
äëÿ ÷èñëà ðåøåíèé ñèñòåìà êîðíåé è âåñîâûå ìíîãîãðàííèêè
ïðåäñòàâëåíèé.
÷èñëà
ðåøåíèé
Øèðîêî
èçâåñòíî
ïîëèíîìèàëüíîé
àíàëîãè÷íîå
ñèñòåìû
íà
âû÷èñëåíèå
ïðîèçâîëüíîì
ñôåðè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèèè6 . Äàëåå áûëî ïîêàçàíî7 , ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ
êëàññè÷åñêèõ ãðóïï ïîëèíîì Ãèëüáåðòà ïðîåêòèâíîé ñôåðè÷åñêîé
êîìïàêòèôèêàöèè ðåäóêòèâíîé ãðóïïû ñîâïàäàåò ñ ïîëèíîìîì
Ýðõàðäà íåêîòîðîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà, ðàñïîëîæåííîãî â
"ïðîñòðàíñòâå äèàãðàìì Ãåëüôàíäà-Öåòëèíà".
Âû÷èñëåíèå ÷èñëà ðåøåíèé â [2] ðàññìàòðèâàëîñü êàê ïåðâûé
øàã â ðàñïðîñòðàíåíèè èçâåñòíûõ â ñëó÷àå òîðà âû÷èñëåíèé íà
ïðîèçâîëüíûå ðåäóêòèâíûå ãðóïïû. Ñëåäóþùèé øàã äîëæåí áûë
ñîñòîÿòü â âû÷èñëåíèè ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè ìíîãîîáðàçèÿ
ðåøåíèé. Îäíàêî âûÿñíèëîñü8 , ÷òî ôîðìóëà, àíàëîãè÷íàÿ òîðè÷åñêîé,
íåâåðíà. Ïðîãðåññ áûë äîñòèãíóò íåäàâíî â ðàáîòå Â. Êèðè÷åíêî9 ,
ãäå íàéäåíà ôîðìóëà ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè ìíîãîîáðàçèÿ
ðåøåíèé
îáùåé
ñèñòåìû
ìàòðè÷íûõ
ôóíêöèé
ïðåäñòàâëåíèé
ðåäóêòèâíîé ãðóïïû. Êîìïîíåíòû ôîðìóëû (òàê æå êàê â [2])
ñèñòåìà êîðíåé è âåñîâûå ìíîãîãðàííèêè ïðåäñòàâëåíèé. Ñ
6 M.Brion.
Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques. Duke Math J.
58, N 2 (1989), 397-424
7 À.Îêóíüêîâ. Çàìå÷àíèå î ïîëèíîìå Ãèëüáåðòà ñôåðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. - Ôóíêö. Àíàë.
Ïðèë., 1997, ò.31, âûï.2, c.82-85
8 Kuimars Kaveh. Morse theory and Euler characteristic of sections of spherical varieties. Transformation Groups, 9, N.1 (2003), 47-63
9 V. Kiritchenko On intersection indices of subvarieties in reductive groups. Mosc. Math. Journ.,
2007, vol. 7, N 3 (òàêæå ñì. http://arxiv.org/abs/math.AG/0605695)
4
íåêîììóòàòèâíîñòüþ ãðóïïû ñâÿçàíû íåêîòîðûå òîïîëîãè÷åñêèå
ïðåïÿòñòâèÿ, óñëîæíÿþùèå êàê ñàìó ôîðìóëó ýéëåðîâîé õàðàêòåðèñòèêè, òàê è åå âûâîä. Ýòè ïðåïÿòñòâèÿ íàéäåíû Â. Êèðè÷åíêî10
â âèäå öèêëîâ âûðîæäåíèÿ îáùåãî íàáîðà âåêòîðíûõ ïîëåé âèäà α−β,
ãäå α è β ñîîòâåòñòâåííî ëåâîèíâàðèàíòíîå è ïðàâîèíâàðèàíòíîå
âåêòîðíûå
ïîëÿ
íà
ðåäóêòèâíîé
ãðóïïå.
Ýòè
ïðåïÿòñòâèÿ
ìîãóò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê êëàññû ×æýíÿ ëîãàðèôìè÷åñêîãî
êàñàòåëüíîãî ðàññëîåíèÿ íàä íåêîòîðîé êîìïàêòèôèêàöèåé èñõîäíîé
ãðóïïû.
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà îòíîñèòñÿ ê îïèñàííîé âûøå äåÿòåëüíîñòè ïî
îïèñàíèþ òåõ ñâîéñòâ ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ
ôóíêöèé ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Ëè, êîòîðûå çàâèñÿò òîëüêî îò
âûáðàííûõ ïðåäñòàâëåíèé.
Öåëü ðàáîòû
Öåëü ðàáîòû ñîñòîèò â ïîñòðîåíèèè è âû÷èñëåíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ
ïëîòíîñòåé ìíîãîîáðàçèé ðåøåíèé ñèñòåì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé
ãîëîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï Ëè.
Îñíîâíûå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ
 ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ ãðóïï, àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ,
ïëþðèñóáãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè, áåñêîíå÷íîìåðíîå èíòåãðèðîâàíèå,
èíòåãðàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è òåîðèÿ ìåðû.
10 V.
Kiritchenko.
Chern
classes
of
reductive
http://arxiv.org/abs/math.AG/0411331
5
groups
and
an
adjunction
formula.
Íàó÷íàÿ íîâèçíà
Ïîíÿòèå óñðåäíåííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ
ðåøåíèé ñèñòåìû ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé âïåðâûå ïîÿâèëîñü â ðàáîòå
àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû ñîñòîÿò â
âû÷èñëåíèè òàêèõ ïëîòíîñòåé â ðàçíûõ ñèòóàöèÿõ. Ýòè ðåçóëüòàòû
ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.
Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü
Ðàáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Îäèí èç ðåçóëüòàòîâ
ðàáîòû îòíîñèòñÿ ê áåñêîíå÷íîìåðíîé èíòåãðàëüíîé ãåîìåòðèè. Ýòîò
ðåçóëüòàò ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûì â ðàçíûõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè.
Íàïðèìåð, îí ïîçâîëÿåò ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë óòâåðæäåíèþ î òîì,
÷òî íóëè ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé íà åäèíè÷íîì êðóãå â ñðåäíåì
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî ïëîùàäè ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî â
ìîäåëè Ïóàíêàðå.
Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ
Ðåçóëüòàòû ðàáîòû íåîäíîêðàòíî ÿâëÿëèñü òåìàìè äîêëàäîâ íà
íàó÷íûõ ñåìèíàðàõ, â òîì ÷èñëå, íà ñåìèíàðàõ àêàä. Â. È. Àðíîëüäà,
ïðîô. Ý. Á. Âèíáåðãà è ïðîô. Â. Ë. Ïîïîâà, ïðîô. Ñ. Ì. Ãóñåéí-Çàäå
íà ìåõ-ìàòå ÌÃÓ.
Ïóáëèêàöèè
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â ÷åòûðåõ ðàáîòàõ, ñïèñîê
6
êîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå ðåôåðàòà.
Ñòðóêòóðà äèññåðòàöèè
Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Ïåðâàÿ
ãëàâà
ÿâëÿåòñÿ
èññëåäîâàíèÿ
ââîäíîé
è
êðàòêîå
îíà
ñîäåðæèò
îïèñàíèå
îïèñàíèå
ïîëó÷åííûõ
ïðåäìåòà
ðåçóëüòàòîâ.
Ôîðìóëèðîâêè ðåçóëüòàòîâ è êîììåíòàðèè ê íèì ñîäåðæàòñÿ â
ãëàâå 2. Âûâîä ðåçóëüòàòîâ ïîìåùåí â òðåòüåé ãëàâå. Ïîëíûé îáúåì
äèññåðòàöèè 62 ñòðàíèöû, áèáëèîãðàôèÿ âêëþ÷àåò 37 íàèìåíîâàíèé.
Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ðàáîòû
Ïóñòü f1 , · · · , fk íåêîòîðûå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè ãîëîìîðôíûõ
ïðåäñòàâëåíèé π1 , · · · , πk ãðóïïû G. Ðàññìîòðèì ìíîãîîáðàçèå X
êîðíåé ñèñòåìû óðàâíåíèé
f1 (g) = · · · = fk (g) = 0,
(1)
è îáîçíà÷èì ÷åðåç Xm ìíîæåñòâî êîðíåé ñèñòåìû
f1 (g m ) = · · · = fk (g m ) = 0.
Èíà÷å ãîâîðÿ, Xm ìíîãîîáðàçèå, îáðàçîâàííîå êîðíÿìè m-îé
ñòåïåíè èç ýëåìåíòîâ ìíîãîîáðàçèÿ X.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðîñò
ìíîãîîáðàçèé Xm ïðè m → ∞ ïðèîáðåòàåò àñèìïòîòèêó ïîðÿäêà mk .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, åñëè ðàññìàòðèâàòü Xm êàê ïîòîê (ò.å. ôóíêöèîíàë
Xm (ϕ) =
R
Xm
ϕ íà ïðîñòðàíñòâå ôèíèòíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
ôîðì), òî
Xm = mk (Σ(X) + o(1))
7
(2)
ãäå ïîòîê Σ(X) îòâå÷àåò çà àñèìïòîòèêó ðîñòà ìíîãîîáðàçèÿ Xm
ïðè m → ∞ è ìîæåò áûòü íàçâàí àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ
ìíîãîîáðàçèÿ X. Íàïðèìåð, åñëè X êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî
êîìïëåêñíîãî òîðà (C \ 0)n , òî Σ(X)(ϕ) óìíîæåííûé íà
êîëè÷åñòâî òî÷åê ìíîæåñòâà X
èíòåãðàë îò ôóíêöèè ϕ ïî
êîìïàêòíîìó ïîäòîðó {(z1 , · · · , zn ) :
|zi |
=
1} òîðà (C \ 0)n .
Âîîáùå äëÿ ëþáîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ êîìïëåêñíîãî
òîðà
àñèìïòîòè÷åñêàÿ
ïëîòíîñòü
ñóùåñòâóåò.
Â
ýòîì
ñëó÷àå
àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì òîðè÷åñêîãî êîëüöà
×æîó (îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ïëîòíîñòÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé
ñì. ðàçä. 2.4 äèññåðòàöèè).
Ìû
ïðåäïî÷èòàåì
èñïîëüçîâàòü
äëÿ
îïèñàíèÿ
àñèìïòîòèêè
äðóãóþ (ïðàêòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíóþ) êîíñòðóêöèþ àñèìïòîòè÷åñêîé
ïëîòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ êàê ïîòîêà íà àëãåáðå Ëè. Ò.ê. â ýòîì
ñëó÷àå ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñòàíîâÿòñÿ áîëåå íàãëÿäíûìè îíè
ôîðìóëèðóþòñÿ â òåðìèíàõ ãåîìåòðèè âûïóêëûõ òåë. Äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ X
⊂ G îáîçíà÷èì ÷åðåç log X åãî
ïðîîáðàç ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè exp : G → G. Áóäåì
ðàññìàòðèâàòü log X êàê ïîòîê íà àëãåáðå Ëè G ãðóïïû G. Ïóñòü
gt : ξ 7→ ξ/t ìàñøòàáèðóþùåå îòîáðàæåíèå G → G. Òîãäà, åñëè ïðè
t→∞
(gt )∗ log X = tcodim X (σ(X) + o(1)),
(3)
òî íàçîâåì ïîòîê σ(X) àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ ìíîãîîáðàçèÿ
X.
Ïóñòü X(π1 , · · · , πk ) ïîòîê â ïðîñòðàíñòâå G , ïîëó÷åííûé
8
óñðåäíåíèåì11 ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû ïî âñåì ñèñòåìàì âèäà
(1). Òîãäà, åñëè ïðè t → ∞
(gt )∗ log X(π1 , · · · , πk ) = tcodim X (σ(π1 , · · · , πk ) + o(1)),
òî
ïîòîê
σ(π1 , · · · , πk )
ìû
íàçûâàåì
ïîòîêîì
(4)
óñðåäíåííîé
àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè íàáîðà ïðåäñòàâëåíèé π1 , · · · , πk .
Ðåçóëüòàòû ðàáîòû âû÷èñëåíèÿ óñðåäíåííîé àñèìïòîòè÷åñêîé
ïëîòíîñòè. Ýòà ïëîòíîñòü âûðàæàåòñÿ ÷åðåç èíêðåìåíòû (ñì.
íèæå)
ó÷àñòâóþùèõ
ïðåäñòàâëåíèé,
à
ðåçóëüòàòû
âû÷èñëåíèé
ôîðìóëèðóþòñÿ íà ÿçûêå ãåîìåòðèè âûïóêëûõ òåë, ðàñïîëîæåííûõ
â ïðîñòðàíñòâå, äâîéñòâåííîì àëãåáðå Ëè ãðóïïû G.
Ìû âû÷èñëÿåì óñðåäíåííóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü â òðåõ
ñëåäóþùèõ ñèòóàöèÿõ.
(G) (ðàçä. 2.1) Êîíå÷íîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ êîìïëåêñíûõ ãðóïï.
(R) (ðàçä. 2.2) Êîíå÷íîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ðåäóêòèâíûõ ãðóïï.
(D) (ðàçä. 2.3) Ïðåäñòàâëåíèÿ πK àääèòèâíîé ãðóïïû ïðîñòðàíñòâà
Cn (ñì. íèæå), äëÿ êîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îáîáùåííûõ
ôóíêöèé ñ íîñèòåëÿìè íà êîìïàêòå K ⊂ Re Cn∗ ÿâëÿþòñÿ
ìàòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè. Çäåñü ìû âû÷èñëÿåì óñðåäíåííóþ
àñèìïòîòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ ðåøåíèé ñèñòåì âèäà
f1 = · · · = fk = 0, ãäå fi ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îáîáùåííûõ
11 êîíñòðóêöèÿ
óñðåäíåíèÿ äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé îïèñàíà â òåêñòå äèññåðòàöèè â
êîíöå ðàçäåëà "Ââåäåíèå", à â áåñêîíå÷íîìåðíîé ñèòóàöèè â ðàçäåëå 2.6
9
ôóíêöèé ñ íîñèòåëÿìè íà ôèêñèðîâàííûõ êîìïàêòàõ Ki .
Èíà÷å ãîâîðÿ, ñîãëàñíî òåîðåìå Ïýëè-Âèíåðà, ìû ðàññìàòðèâàåì
ñèñòåìû óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûå èç ôóíêöèé ýêñïîíåíöèàëüíîãî
ðîñòà, èìåþùèõ ïîëèíîìèàëüíûé ðîñò âäîëü ÷èñòî ìíèìîãî
ïîäïðîñòðàíñòâà Cn .
Åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé áîëüøå ðàíãà ãðóïïû (ðàíã ãðóïïû ðàçìåðíîñòü åå êàðòàíîâñêîé ïîäàëãåáðû), òî îïðåäåëåííàÿ âûøå
àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü îêàçûâàåòñÿ íóëåâîé. Ïîýòîìó, â ñëó÷àå
ðåäóêòèâíûõ ãðóïï ìû íå ïîëó÷àåì ôîðìóëû äëÿ êîëè÷åñòâà
ðåøåíèé ïîëèíîìèàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íîé ôîðìóëå
Êóøíèðåíêî-Áåðíøòåéíà. Ïîýòîìó â ñëó÷àå (R) ïðèâîäèòñÿ äðóãîå
(â ðàçä. 2.2 äèññåðòàöèè), îòëè÷íîå îò îïèñàííîãî âûøå, îïðåäåëåíèå
àñèìïòîòè÷åñêîé
ïëîòíîñòè
(ðåäóêòèâíàÿ
àñèìïòîòè÷åñêàÿ
ïëîòíîñòü).
Âñå òðè âû÷èñëåíèÿ óñðåäíåííîé ïëîòíîñòè ïîñòðîåíû ïî åäèíîé
3-øàãîâîé ñõåìå.
(1) Ïðèìåíåíèå
èíòåãðàëüíî-ãåîìåòðè÷åñêîé
ôîðìóëû
òèïà
ôîðìóëû Êðîôòîíà äëÿ çàïèñè âûðàæåíèÿ (gt )∗ log X(π1 , · · · , πk )
èç ôîðìóëû (4) (èëè (rt )∗ logr X(π1 , · · · , πk ) â ñëó÷àå (R), ãäå rt
ðåäóêòèâíîå ìàñøòàáèðóþùåå îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå â
òåêñòå äèññåðòàöèè) â âèäå12
Ξ(t) = ddc H1 (t, ζ) ∧ · · · ∧ ddc Hk (t, ζ),
12 dc f
=
√
¯ ), ãäå ∂f è ∂f
¯ ãîëîìîðôíûé è ñîîòâåòñòâåííî àíòèãîëîìîðôíûé
−1/(4π)(∂f − ∂f
äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè f
10
ãäå Hi (t, ζ) íåïðåðûâíûå ïëþðèñóáãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè íà
àëãåáðå Ëè ñ ÷èñëîâûì ïàðàìåòðîì t.
(2) Íàõîæäåíèå àñèìïòîòèêè Ξ(t) ïðè t → ∞. Êîýôôèöèåíòîì ïðè
ñòàðøåì ÷ëåíå àñèìïòîòèêè âñåãäà îêàçûàåòñÿ ðåãóëÿðèçîâàííîå
çíà÷åíèå ñìåøàííîãî îïåðàòîðà Ìîíæà-Àìïåðà (óòâåðæäåíèå 1
â ðàçäåëå 2.1) íà íàáîðå èíêðåìåíòîâ ïðåäñòàâëåíèé.
(3) Âû÷èñëåíèå èëè ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïîñòðîåííîãî
ðåãóëÿðèçîâàííîãî çíà÷åíèÿ.
Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïîòîê óñðåäíåííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè
ðàâåí (òåîðåìû 1, 2, 3 â ðàçäåëàõ ñîîòâåòñòâåííî 2.1, 2.2, 2.3)
ddc h1 ∧ · · · ∧ ddc hk 13 ,
(5)
ãäå hi (ξ) èíêðåìåíò 14 (â ñëó÷àå (R) ðåäóêòèâíûé èíêðåìåíò15 )
ïðåäñòàâëåíèÿ πi , ò.å. ôóíêöèÿ íà àëãåáðå Ëè G, ðàâíàÿ ìàêñèìàëüíîé
âåùåñòâåííîé ÷àñòè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà dπi (ξ).
Ìîäåëüíûå
ïðèìåðû
äëÿ
ñëó÷àÿ
(G)
êîíå÷íîìåðíûå
ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïëåêñíîãî òîðà è êîíå÷íîìåðíûå äèàãîíàëèçóåìûå
ïðåäñòàâëåíèÿ àääèòèâíîé ãðóïïû Cn . Îïèñàíèÿ ýòèõ ïðèìåðîâ
ïðèâåäåíû â ðàçäåëàõ 2.4 è 2.5.  ïåðâîì ñëó÷àå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè ïîëèíîìû Ëîðàíà, âåñîâûå ìíîãîãðàííèêè ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà
13 Èíêðåìåíòû ïðåäñòàâëåíèé ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ïëþðèñóáãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.
Ïîýòîìó (ñì. óòâåðæäåíèå 1 â ðàçä. 2.1) ïðèâåäåííîå âûðàæåíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíî
14 åñëè ïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè (2), òî ôóíêöèþ "èíêðåìåíò"íà
àëãåáðå Ëè ñëåäóåò çàìåíèòü ôóíêöèåé "ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ"íà ñàìîé ãðóïïå.
15 Ïóñòü Im G êîìïàêòíàÿ ïîäàëãåáðà àëãåáðû Ëè G ãðóïïû G. Ðåäóêòèâíûé èíêðåìåíò
ôóíêöèÿ íà G, ñîâïàäàþùàÿ ñ èíêðåìåíòîì íà ïîäïðîñòðàíñòâå Re G è ïîñòîÿííàÿ âäîëü
ïîäïðîñòðàíñòâà Im G
11
ïîëèíîìîâ Ëîðàíà, à èíêðåìåíò16 îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîãðàííèêà
Íüþòîíà. Ïðè k = n ñëåäñòâèå òåîðåìû 1 âûðàæåíèå êîëè÷åñòâà
ðåøåíèé îáùåé ñèñòåìû ïîëèíîìîâ ÷åðåç ñìåøàííûé îáúåì èõ
ìíîãîãðàííèêîâ Íüþòîíà [2].
Âî âòîðîì ñëó÷àå ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ñóììà,
âåñîâîé ìíîãîãðàííèê åå ìíîãîãðàííèê Íüþòîíà (ýòî 2n-ìåðíûé
âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê â ïðîñòðàíñòâå Cn∗ ), à èíêðåìåíò îïîðíàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî ìíîãîãðàííèêà. Ïðè k = n ñëåäñòâèå
òåîðåìû 1 âûðàæåíèå óñðåäíåííîé ïëîòíîñòè ìíîæåñòâà êîðíåé
ñèñòåì ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì ÷åðåç ñìåøàííûé ïñåâäîîáúåì17 èõ
ìíîãîãðàííèêîâ Íüþòîíà [1].
 ñëó÷àå (R) äëÿ êîëè÷åñòâà êîðíåé ïîëíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé
ìû ïîëó÷àåì îòâåò â âèäå ñìåøàííîãî îáúåìà ñîîòâåòñòâóþùèõ
ïðåäñòàâëåíèÿì πi ãðóïïû G âûïóêëûõ òåë, ðàñïîëîæåííûõ â
ïðîñòðàíñòâå, äâîéñòâåííîì àëãåáðå Ëè ìàêñèìàëüíîé êîìïàêòíîé
ïîäãðóïïû K ãðóïïû G. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèþ òåëî
îáúåäèíåíèå îðáèò êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ ãðóïïû K,
ïåðåñåêàþùèõ âåñîâîé ìíîãîãðàííèê ïðåäñòàâëåíèÿ.
 ñëó÷àå (D) ìû èìååì äåëî ñ áåñêîíå÷íîìåðíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè
è áåñêîíå÷íîìåðíûì èíòåãðèðîâàíèåì.
Ïðåäñòàâëåíèÿ πK ñòðîÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü IK ïðîñòðàíñòâî ðîñòêîâ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ
ãëàäêèìè êîýôôèöèåíòàìè íà ïðîñòðàíñòâå Re Cn∗ , îïðåäåëåííûõ â
16 Â
ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèè èíêðåìåíò è ðåäóêòèâíûé èíêðåìåíò ñîâïàäàþò
âûïóêëîãî òåëà â Cn êîíòàêòíûé îáúåì åãî ãðàíèöû
17 ïñåâäîîáúåì
12
ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè êîìïàêòà K. Äåéñòâèå îïåðàòîðà
πK (z) íà ïðîñòðàíñòâå IK çàäàåòñÿ êàê
X
fα Dα 7−→
X
fα Dα exphxzi,
ò.å. êàê îáû÷íîå äåéñòâèå íà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðàõ,
äåéñòâóþùèõ íà ôóíêöèè àðãóìåíòà x.
 ñëó÷àå (D) ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû âèäà {f1 = · · · = fk = 0},
â êîòîðûõ fi ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå íåêîòîðîé îáîáùåííîé
ôóíêöèè ñ íîñèòåëåì íà êîìïàêòå Ki (ÿñíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ìàòðè÷íîé ôóíêöèåé ïðåäñòàâëåíèÿ πK ).
Ïåðâûé øàã àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ïëîòíîñòè â
ñëó÷àå (D) èìååò íåêîòîðûå îñîáåííîñòè. Âî-ïåðâûõ, â ýòîì ñëó÷àå
ïðèìåíÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíàÿ ôîðìóëà Êðîôòîíà (ôîðìóëèðîâêà è
äîêàçàòåëüñòâî â ðàçäåëàõ 2.6 è 3.4). Òàêàÿ ôîðìóëà ìîæåò îêàçàòüñÿ
ïîëåçíîé â äðóãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. Íàïðèìåð, îíà ïîçâîëÿåò
ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë óòâåðæäåíèþ î òîì, ÷òî íóëè ãîëîìîðôíûõ
ôóíêöèé íà åäèíè÷íîì êðóãå â ñðåäíåì ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî
ïëîùàäè ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè Ïóàíêàðå (ñì. ïðèìåð â
ðàçäåëå 2.6).
Âî-âòîðûõ, ìû ïðîèçâîäèì óñðåäíåíèå íå òîëüêî ïî ìíîæåñòâó
âñåõ ðàññìàòèâàåìûõ ñèñòåì óðàâíåíèé, íî òàêæå ïî íåêîòîðûì åãî
ïîäìíîæåñòâàì. Íàïðèìåð, åñëè n = k = 1, à ìíîæåñòâî K êîíå÷íî,
òî ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå èìååò âèä
X
ap,λ z p exp(zλ) = 0.
λ∈K, 0≤p¿∞
13
Ïîýòîìó, óñðåäíÿÿ ïî ìíîæåñòâó âñåõ ñèñòåì, ìû ïðîïóñêàåì ñëó÷àé
ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì (ñì. ðàçäåë 2.5 â òåêñòå äèññåðòàöèè).
Â
òðåòüèõ,
â
áåñêîíå÷íîìåðíûõ
ïðîñòðàíñòâàõ
îáû÷íî
íå
ñóùåñòâóåò êàêèõ-ëèáî âûäåëåííûõ ñ÷åòíî àääèòèâíûõ ìåð, à ëþáàÿ
èç èñïîëüçóåìûõ äëÿ óñðåäíåíèÿ ñ÷åòíî àääèòèâíûõ ãàóññîâñêèõ ìåð
(ïî ïîñòðîåíèþ) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî âûðîæäåííîé (ñì. ðàçä. 2.6).
Ïîýòîìó âû÷èñëåíèå îäèíàêîâûõ ïî ñìûñëó ñðåäíèõ âåëè÷èí ÷àñòî
ïðèâîäèò ê ðàçíûì ðåçóëüòàòàì (ñì. ïðèìåð â ðàçäåëå 2.6). Â ðàçä. 3.3
(äëÿ ïîâûøåíèÿ äîñòîâåðíîñòè âû÷èñëåíèé) èñïîëüçóåòñÿ ñåìåéñòâî
ãàóññîâñêèõ ìåð íà ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò
âåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà. Ýòî ñåìåéñòâî ñâÿçàíî ñ íåêîòîðîé øêàëîé
ïðîñòðàíñòâ ôóíêöèé (íàïîäîáèå ñîáîëåâñêîé øêàëû). Ïîêàçàíî, ÷òî
óñðåäíåííàÿ ïëîòíîñòü íå çàâèñèò îò âûáîðà ìåðû.
14
Ðàáîòû àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè
[1] Á.ß. Êàçàðíîâñêèé, Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è êîðíè ñèñòåì
ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñóìì// Ôóíêö. Àíàë. Ïðèë., 1984, ò.18, âûï. 4, c.
40-49.
[2] Á.ß.Êàçàðíîâñêèé. Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà è ôîðìóëà Áåçó äëÿ
ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé// Ôóíêö. Àíàë.
Ïðèë., 1987, ò.21, âûï.4, c.73-74.
[3]
Á.ß.
Êàçàðíîâñêèé,
"Ìíîãîãðàííèêè
Íüþòîíà"îáîáùåííûõ
ôóíêöèé.// Èçâ. ÐÀÍ, ò. 68,  2, 2004, ñòð. 273-289.
[4] Á.ß. Êàçàðíîâñêèé, Ìíîãîãðàííèêè Íüþòîíà, èíêðåìåíòû è êîðíè
ñèñòåì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé.// Ôóíêö.
Àíàë. Ïðèë., 2004, ò.38, âûï. 4, c. 256-266.
15