II. Эластичность функции

II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè
563
Óïðàæíåíèÿ
1. Ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé
f(õ) = à + bõ + ñõ2, à > 0, b > 0, ñ > 0.
Íàéäèòå ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ f (x) è f ′(x) , ó÷àñòêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ
ñðåäíåé âåëè÷èíû è ïîëîæåíèå åå ìèíèìóìà; ïðåäñòàâüòå ðåçóëüòàòû ãðàôè÷åñêè.
2. Ôóíêöèÿ f(õ) çàäàíà ãðàôè÷åñêè (ðèñ. 5). Ïîñòðîéòå êà÷åñòâåííî ãðàôèêè
ôóíêöèé f (x) è f ′(x) . ×åì èíòåðåñíû
òî÷êè à, b, ñ, d?
3. Ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé f(x) = àõb. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè âñåõ õ ñðåäíèå çàòðàòû ïðîïîðöèîíàëüíû ïðåäåëüíûì.
Ñîâåòóåì Âàì ïîñëå ïðî÷òåíèÿ
Ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðèëîæåíèÿ II âûïîëíèòü ñëåäóþùèå óïðàæíåíèÿ, â êîòîðûõ f(õ) ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìîé
ïîëîæèòåëüíîé
ôóíêöèåé ïðè õ > 0.
4. Äîêàæèòå òîæäåñòâà:
Εx [f ] = f ′(x) / f (x);
Ðèñ. 5. Ê óïðàæíåíèþ 2.
[]
Εx f = Εx [f ] − 1.
5. Äîêàæèòå, ÷òî f (x) âîçðàñòàåò ïðè
ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè Ε (f ) = 1.
óáûâàåò ïðè
Εx (f ) < 1 è ïðèíèìàåò
x
II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè
Ïóñòü âåëè÷èíà y çàâèñèò îò âåëè÷èíû õ, è ýòà çàâèñèìîñòü
îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ó = f(õ). Ãëàâíûé âîïðîñ àíàëèçà çàâèñèìîñòåé — ýòî âûÿñíåíèå òîãî, êàê èçìåíèòñÿ çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ
ó âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà õ. Îñíîâíîå ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ — ïðîèçâîäíàÿ — îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðåäåë
îòíîøåíèÿ àáñîëþòíûõ ïðèðàùåíèé ïåðåìåííûõ
dy
∆y
.
= lim
dx ∆x→0 ∆x
(1)
Íî î÷åíü ÷àñòî îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ èíòåðåñóþò ýêîíîìè-
564
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
ñòà ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì àáñîëþòíûå. Åñëè, íàïðèìåð, ìàëåíüêèé
àðáóç ïîäîðîæàë íà 15 êîï., òî ïðè ýòîì áîëüøîé àðáóç ïîäîðîæàë, ñêàæåì, íà 50 êîï. èëè äàæå íà ðóáëü. Â òî æå âðåìÿ, åñëè
àðáóçû ïîäîðîæàëè â 1.5 ðàçà, òî â 1.5 ðàçà äîðîæå ñòàë è ìàëåíüêèé, è áîëüøîé àðáóç, è êèëîãðàìì, è âàãîí àðáóçîâ.
Àíàëèç îòíîñèòåëüíûõ èçìåíåíèé ïîçâîëÿåò ñóäèòü î ìíîãèõ
ýêîíîìè÷åñêèõ ÿâëåíèÿõ ñ áîëüøåé ñòåïåíüþ îáùíîñòè, ÷åì àíàëèç àáñîëþòíûõ èçìåíåíèé. Ïîýòîìó íàðÿäó ñ ïðîèçâîäíûìè ïðè
àíàëèçå ðàçëè÷íûõ çàâèñèìîñòåé â ýêîíîìèêå øèðîêî ïîëüçóþòñÿ
îñîáûìè ïîêàçàòåëÿìè — ýëàñòè÷íîñòÿìè. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
äëÿ îòíîñèòåëüíûõ ïðèðàùåíèé:
∆x
;
δx =
x
δy =
∆y f (x + ∆x) − f (x)
=
.
y
f (x)
Ýëàñòè÷íîñòüþ ïåðåìåííîé ó ïî ïåðåìåííîé õ íàçûâàåòñÿ ïðåäåë
Εx [f ] =
δy
.
δx → 0 δ x
lim
(2)
Ðàçóìååòñÿ, îòíîñèòåëüíûå îòêëîíåíèÿ èìåþò ñìûñë ëèøü äëÿ
âåëè÷èí, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ýòî îòíîñèòñÿ è ê ýëàñòè÷íîñòÿì. Ïîýòîìó äàëüøå ìû âñþäó
áóäåì ïîëàãàòü õ > 0, ó > 0. Ïðè ýòîì ñëó÷àè õ = 0 èëè ó = 0
ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî êàê ïðåäåëüíûå.
Òàê êàê óñëîâèå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà δx → 0 ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ
∆x → 0 , ðàâåíñòâî (2) ìîæåò áûòü ðàñêðûòî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Εx [f ] =
lim
∆x → 0
∆y / y 
∆ y x
⋅ ,
=  lim
∆ x / x  ∆x → 0 ∆ x y
à ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé (1) ïîëó÷àåì
Εx [f ] =
dy x
⋅ .
dx y
(3)
Ïîñêîëüêó õ è ó ïîëîæèòåëüíû, çíàê ýëàñòè÷íîñòè âñåãäà ñîâïàäàåò
ñî çíàêîì ïðîèçâîäíîé: Εx [y] > 0 — äëÿ âîçðàñòàþùèé ôóíêöèé,
Εx [y] < 0 — äëÿ óáûâàþùèõ. Ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà ýëàñòè÷íîñòü ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ: Εx [y] > 0 — íà ó÷àñòêàõ
âîçðàñòàíèÿ, Εx [y] < 0 — íà ó÷àñòêàõ óáûâàíèÿ ôóíêöèè.
×òîáû ñäåëàòü ïîíÿòèå ýëàñòè÷íîñòè áîëåå äîõîä÷èâûì, íåêîòîðûå àâòîðû îïðåäåëÿþò åãî òàê: ýëàñòè÷íîñòü ïîêàçûâàåò, íà ñêîëüêî
II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè
565
ïðîöåíòîâ óâåëè÷èòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè, åñëè àðãóìåíò óâåëè÷èòñÿ
íà 1 %. Ýòî îïðåäåëåíèå íå ñîâñåì òî÷íî: îòíîñèòåëüíîå ïðèðàùåíèå 0.01 â îáû÷íûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî c÷èòàòü ìàëîé âåëè÷èíîé, íî
âñå-òàêè íå áåñêîíå÷íî ìàëîé, êàê ýòî ïðåäïîëàãàåòñÿ îïðåäåëåíèåì (2). Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = Àõ2 ýëàñòè÷íîñòü, êàê ïîêàçûâàåò
ðàâåíñòâî (3), ðàâíà 2, à óâåëè÷åíèå õ íà 1 % âëå÷åò çà ñîáîé
óâåëè÷åíèå ó íà 2.01 % (ïðîâåðüòå!).
Èç ðàâåíñòâà (3) ñëåäóþò îñíîâíûå ñâîéñòâà ýëàñòè÷íîñòè:
à) ýëàñòè÷íîñòü — áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà, çíà÷åíèå êîòîðîé íå
çàâèñèò îò òîãî, â êàêèõ åäèíèöàõ èçìåðåíû àðãóìåíò è ôóíêöèÿ.
Åñëè è = Àõ, v = By, òî
Εu [x] =
dv u B dy Ax
⋅ =
⋅
⋅
= Εx [y];
du v
A dx By
á) ýëàñòè÷íîñòè âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíêöèé — âçàèìíî îáðàòíûå
âåëè÷èíû:
Εy [ x] =
dx y
⋅ =
dy x
1
Εx [y]
.
Ýòî ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ (2);
â) ýëàñòè÷íîñòü ïåðåìåííîé ó ïî ïåðåìåííîé õ ðàâíà ïðîèçâîäíîé
ëîãàðèôìà ó ïî ëîãàðèôìó õ. Òàê êàê
d ln x 1
= ,
dx
x
d ln y 1 dy
= ⋅
,
dx
y dx
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
dln y dln y / dx
x dy
=
= ⋅
= Εx [y ],
d ln x d ln x / dx
y dx
èëè
Εx [y] =
d log y
.
d log x
(4)
 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè èñïîëüçîâàíû ëîãàðèôìû ïî ïðîèçâîëüíîìó îñíîâàíèþ: ïåðåõîä îò îäíîãî îñíîâàíèÿ ëîãàðèôìîâ ê
äðóãîìó ðàâíîñèëåí óìíîæåíèþ íà êîíñòàíòó è ÷èñëèòåëÿ, è çíàìåíàòåëÿ äðîáè (4), à ýòî íå èçìåíèò åå çíà÷åíèÿ.
Ðàâåíñòâî (4) ïîêàçûâàåò, ÷òî èçó÷åíèå ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ýëàñòè÷íîñòè ëåãêî ñâåñòè ê èçó÷åíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ïðîèçâîäíûõ: äîñòàòî÷íî ïåðåéòè îò âåëè÷èí x è y ê èõ ëîãàðèôìàì.
566
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
Äîïóñòèì, íàñ èíòåðåñóåò ýëàñòè÷íîñòü ïðîèçâåäåíèÿ uv äâóõ
ïåðåìåííûõ, çàâèñÿùèõ îò îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà õ:
Εx [uv] =
d ln uv d ln u d ln v
=
+
= Εx [u] + Εx [v].
d ln x
d ln x d ln x
Òàê êàê Εx [x] = 1, èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå âàæíîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ:
Εx [xy] = Εx [y] + 1.
(5)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå õó óáûâàåò ñ ðîñòîì õ,
åñëè Εx [y] < −1, è âîçðàñòàåò,
åñëè Εx [y ] > −1 (ðèñ. 1).
Êàê ìîæíî îöåíèòü ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè ó = f(õ) ïî åå
ãðàôèêó? Ðàññìîòðèì âíà÷àëå
âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ (ýëàñòè÷íîñòü ïðè ýòîì ïîëîæèòåëüíà). Âûáåðåì íà ãðàôèêå òî÷êó
Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç ýòó òî÷êó
Ðèñ. 1. Èçìåíåíèå ïðîèçâåäåíèÿ õó ïðè
êàñàòåëüíóþ; îáîçíà÷èì À è Â
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ýëàñòè÷íîñòè.
— òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ êàñàòåëüíîé ñ îñÿìè àáñöèññ è îðäèíàò, à Ñ è D — ïðîåêöèè òî÷êè Ì íà
êîîðäèíàòíûå îñè. Äîïóñòèì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðåñåêàåò îñü îðäèíàò â îòðèöàòåëüíîé îáëàñòè, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 2,à.
Ðèñ. 2. Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ýëàñòè÷íîñòè: âàðèàíòû ïîëîæåíèÿ
êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè.
II. Ýëàñòè÷íîñòü ôóíêöèè
Èç ñâîéñòâ ïðîèçâîäíîé ñëåäóåò, ÷òî
567
MC
dy
.
=
AC
dx
Íî MC = y, MD = OC = x, à èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ BMD
è MAC ñëåäóåò
MB
MD
x dy
,
=
= ⋅
MA
AC
y dx
èëè
Εx [y] =
MB
.
MA
(6)
Âñå ïðèâåäåííûå âûêëàäêè è ðåçóëüòàò (6) ïîëíîñòüþ ïðèìåíèìû
è ê ïîëîæåíèþ êàñàòåëüíîé íà ðèñ. 2,á.
Ðàçíèöà ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå |ÌÂ| > |ÌÀ|,
òàê ÷òî îí îòíîñèòñÿ ê çíà÷åíèÿì Εx [y] > 1; âî âòîðîì ñëó÷àå |ÌÂ|
< |ÌÀ|, òàê ÷òî çäåñü 0 < Εx [y] < 1. Ïðè Εx [y] = 1 êàñàòåëüíàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Ãðàôèê äëÿ ôóíêöèè ñ îòðèöàòåëüíîé ýëàñòè÷íîñòüþ ïðåäñòàâëåí
íà ðèñ. 2,â. Âñå îáîçíà÷åíèÿ îñòàâëåíû ïðåæíèìè. Ðàññóæäàÿ ïî
àíàëîãèè, ÷èòàòåëü áåç òðóäà óñòàíîâèò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå
Εx [y] = −
MB
.
MA
(7)
Ìû ìîãëè áû ïðèìåíèòü ðàâåíñòâî (6) è ê ýòîìó ñëó÷àþ,
åñëè áû óñëîâèëèñü ñ÷èòàòü îòíîøåíèå îòðåçêîâ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îíè íàïðàâëåíû â
îäíó ñòîðîíó (îò òî÷êè M), è
îòðèöàòåëüíûì — åñëè â ïðîòèâîïîëîæíûå.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ýëàñòè÷íîñòü äâóõ âèäîâ ôóíêöèé, øèðîêî èñïîëüçóåìûõ â ðàçëè÷íûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëÿõ.
Ðàññìîòðèì ñòåïåííóþ ôóíêöèþ (ðèñ. 3) âèäà
ó = ÀõB.
(8)
Ðèñ. 3. Ñòåïåííûå ôóíêöèè.
568
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå
dy
= ABx B −1,
Åå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà
dx
à ýëàñòè÷íîñòü
x
Εx [y] = ABx B −1 ⋅ B = B
Ax
(9)
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ. Èíûìè ñëîâàìè, ýëàñòè÷íîñòü ñòåïåííîé
ôóíêöèè ïîñòîÿííà è ñîâïàäàåò ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè.
Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ (ðèñ. 4)
ó = à + bõ
(10)
èìååò ïîñòîÿííóþ ïðîèçâîäíóþ, íî åå ýëàñòè÷íîñòü ïðè a ≠ 0 èçìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì õ.
Ïîíÿòèå ýëàñòè÷íîñòè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ
ïåðåìåííûõ:
y = f(x1, x2, ..., xN).
Ïîä ÷àñòíîé ýëàñòè÷íîñòüþ ôóíêöèè ïî îäíîìó èç àðãóìåíòîâ xk
ïîíèìàåòñÿ ýëàñòè÷íîñòü ïåðåìåííîé ó, ðàññìàòðèâàåìîé â çàâèñèìîñòè
òîëüêî îò xk, ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ îñòàëüíûõ àðãóìåíòîâ. Îíà
ñâÿçàíà ñ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî ýòîìó àðãóìåíòó ñîîòíîøåíèåì
Εxk [y] =
∂y xk
.
⋅
∂xk y
Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ìîãóò áûòü äîêàçàíû ÷èòàòåëåì êàê
ñàìîñòîÿòåëüíûå óïðàæíåíèÿ.
1. Äëÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè (10): à) åñëè à > 0, b > 0, òî ñ èçìåíåíèåì
õ îò 0 äî + ∞ ýëàñòè÷íîñòü âîçðàñòàåò îò 0 äî +1 (ðèñ. 4,à);
á) åñëè à < 0, b > 0, òî ñ èçìåíåíèåì x oò –a/b äî + ∞ ýëàñòè÷íîñòü óáûâàåò îò + ∞ äî +1 (ðèñ. 4,á);
â) åñëè à > 0, b < 0, òî ñ èçìåíåíèåì õ îò 0 äî –a/b ýëàñòè÷íîñòü
óáûâàåò îò 0 äî – ∞ ; â ñåðåäèíå ýòîãî îòðåçêà Εx [y ] = −1 (ðèñ. 4,â);
2. Ýëàñòè÷íîñòü ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ó = ÀÂx èçìåíÿåòñÿ
ïðîïîðöèîíàëüíî õ.
Ðèñ. 4. Âàðèàíòû ëèíåéíîé ôóíêöèè.
III. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà è ôóíêöèè
569
3. Âñå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé ñ ïîñòîÿííîé ýëàñòè÷íîñòüþ
èìåþò âèä (8) (âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì (4)).
4. Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñ ïîñòîÿííûìè ÷àñòíûìè
ýëàñòè÷íîñòÿìè — ýòî ñòåïåííûå ôóíêöèè âèäà
B
y = Ax1B1 x2B2 ,..., xNN .
III. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà è ôóíêöèè
Ïðè èññëåäîâàíèè ýêîíîìè÷åñêèõ ÿâëåíèé ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè âåñüìà çíà÷èòåëüíûì îêàçûâàåòñÿ òàêîå ñâîéñòâî ìíîãèõ
ìíîæåñòâ è ôóíêöèé, êàê âûïóêëîñòü. Õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ ìíîãèõ
ýêîíîìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ñâÿçàí ñ òåì. ÷òî îïðåäåëåííûå çàâèñèìîñòè, îïèñûâàþùèå ýòè îáúåêòû, ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìè. Ñ âûïóêëîñòüþ ôóíêöèé è ìíîæåñòâ ÷àñòî ñâÿçàíî ñóùåñòâîâàíèå èëè åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ çàäà÷: íà ýòîì æå ñâîéñòâå
îñíîâàíû ìíîãèå âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû.
Ñïðàâåäëèâîñòü ìíîãèõ óòâåðæäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê âûïóêëûì
ìíîæåñòâàì è ôóíêöèÿì, ñîâåðøåííî ÿñíà, îíè ïî÷òè î÷åâèäíû.  òî
æå âðåìÿ èõ äîêàçàòåëüñòâî çà÷àñòóþ î÷åíü ñëîæíî. Ïîýòîìó çäåñü
áóäóò èçëîæåíû íåêîòîðûå îñíîâíûå ôàêòû, ñâÿçàííûå ñ âûïóêëîñòüþ, áåç äîêàçàòåëüñòâ, â ðàñ÷åòå íà èõ èíòóèòèâíóþ óáåäèòåëüíîñòü.
1. Âûïóêëûå ìíîæåñòâà íà ïëîñêîñòè
Ëþáàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôèãóðà íà ïëîñêîñòè ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé ôèãóðå. Îäíè ìíîæåñòâà (íàïðèìåð, êðóã, ïðÿìîóãîëüíèê, ïîëîñà ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè
ïðÿìûìè) ñîäåðæàò è âíóòðåííèå, è ãðàíè÷íûå òî÷êè; äðóãèå (íàïðèìåð, îòðåçîê, îêðóæíîñòü) ñîñòîÿò òîëüêî èç ãðàíè÷íûõ òî÷åê.
Ìíîæåñòâî òî÷åê íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îíî îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ëþáûå äâå òî÷êè
ýòîãî ìíîæåñòâà, öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ýòîì ìíîæåñòâå (ðèñ. 1).
Ïðèìåðàìè âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ: òðåóãîëüíèê, îòðåçîê, ïîëóïëîñêîñòü (÷àñòü ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ ïî îäíó ñòîðîíó îò
êàêîé-ëèáî ïðÿìîé), âñÿ ïëîñêîñòü. Äðóãèå ïðèìåðû âûïóêëûõ
ìíîæåñòâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2,à. Íà ðèñ. 2,á ïðèâåäåíû ïðèìåðû
íåâûïóêëûõ ìíîæåñòâ.
Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé-åäèíñòâåííîé òî÷êè, è ïóñòîå ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîé òî÷êè, ïî ïðèíÿòîìó ñîãëàøåíèþ,
òàêæå ñ÷èòàþòñÿ âûïóêëûìè. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, â ýòèõ ìíîæåñòâàõ
íåâîçìîæíî ïðîâåñòè îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-òî òî÷êè ýòèõ ìíîæåñòâ è íå ïðèíàäëåæàùèé ýòèì ìíîæåñòâàì öåëèêîì, — â íèõ