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Fahbereih Mathematik
Prof. Dr. Wolfram Deker
Wintersemester 2010/11
2. Übungsblatt zur Vorlesung
Einführung in die Funktionentheorie
Abgabetermin: Mittwoh, 24.11.2010, 16:00 Uhr
Aufgabe 8.
reihe
f (z) =
Sei 0 6= p ∈ C[z]
P
∞
n
n=0 p(n)z .
ein Polynom vom Grad
d.
Betrahten Sie die Potenz-
(1) Bestimmen Sie den Konvergenzradius
(2)
R von f .
Zeigen Sie, dass es ein Polynom q ∈ C[z] gibt, so dass f (z) =
z ∈ KR (0) gilt.
Hinweis: Induktion über den Grad d von p.
Aufgabe 9.
Es sei
f (z) =
z
,
ez −1
q(z)
für alle
(1−z)d+1
z=
6 0,
z = 0.
1,
Zeigen Sie:
(1)
f
ist analytish um Null.
(2) Ist
f (z) =
∞
X
aν z ν
ν=0
Bν := aν · ν!, so gilt:
1
z
(a) B1 = − 2 und B2µ+1 = 0 für µ ≥ 1. (Hinweis: f (z) + 2 = f (−z)
Pn
n+1
Bν = 0 für alle n. (Hinweis: (ez − 1)f (z) = z .)
(b)
ν=0
ν
die Potenzreihenentwiklung um Null und ist
Aufgabe 10.
+
−z
.)
2
Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung analytisher Funktio-
nen
f
g
Ω−
→ Ω′ −
→C
wieder analytish ist.
Aufgabe 11.
Die Potenzreihe
f (z) =
∞
X
aν z ν
ν=0
habe den Konvergenzradius
reihenentwiklung von
Zeigen Sie:
R(d)
f
0 < R < ∞. Sei R(d) der Konvergenzradius der Potenzd ∈ KR (0).
um
ist eine stetige Funktion in
1
d.