Практикум по теме 5 "Непрерывные случайные величины"

Ïðàêòèêóì ïî òåìå 5 "Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû"
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî âûïîëíåíèþ ïðàêòèêóìà
Öåëüþ ïðàêòèêóìà ÿâëÿåòñÿ áîëåå ãëóáîêîå óñâîåíèå ìàòåðèàëà êîíòåíòà
òåìû 5, à òàêæå ðàçâèòèå ñëåäóþùèõ íàâûêîâ:
• íàõîæäåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïî èçâåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ;
• íàõîæäåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî èçâåñòíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè
ðàñïðåäåëåíèÿ;
• âû÷èñëåíèå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí;
• èñïîëüçîâàíèå çíàíèÿ îñíîâíûõ çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷.
Ïåðåä ðåøåíèåì çàäàíèé ïðàêòèêóìà ðåêîìåíäóåòñÿ âíèìàòåëüíî èçó÷èòü ìàòåðèàë êîíòåíòà òåìû 5 è ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíûé àíàëèç âñåõ
ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ.
Ðåøåíèå òèïîâûõ çàäà÷
ÒÇ 5.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî-
ÿòíîñòåé:



0,
x ≤ 0,
4 − 2x
f (x) =
, 0 < x ≤ 1,

3

0,
x > 1.
Íàéäèòå:
à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
á) ïîñòðîéòå ãðàôèê ïëîòíîñòè è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ;
â) âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â èíòåðâàë
µ
¶
1 1
,
.
6 3
1
Ðåøåíèå:
Zx
à) F (x) =
f (t)dt =
−∞
 Zx




0dt = 0,
x ≤ 0,





−∞


µ
¶

Zx
 Z0
4
t2 x 4
x2
4 − 2t
dt =
t−
| = x − , 0 < x ≤ 1,
0dt +
=
3
3
3 0 3
3



−∞
0



Z0
Z1
Zx


4 − 2t


0dt +
dt + 0dt = 1,
x > 1.



3
−∞
0
1
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò
âèä:




F (x) =
á)
0,
x ≤ 0,
2
4
x
x
−
, 0 < x ≤ 1,

3
3


1,
x > 1.
6y = f (x)
4
3
2
3
0
q
I
q 1
q
q
q
¾
6y = F (x)
1 q
0
½
µ
â) P ξ ∈
=
7
.
36
1 1
;
6 3
¶¾
q
1
x
-
q
q
1
x
-
µ ¶
µ ¶ µ
¶ µ
¶
1
1
1
1
4 1
4 1
· −
· −
=F
−F
=
−
=
3
6
3 3 27
3 6 108
2
ÒÇ 5.2. Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ:


0,
x ≤ 0,

 2
cx
F (x) =
, 0 < x ≤ 2,

4

 1,
x > 2.
Íàéäèòå:
à) êîíñòàíòó c;
á) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ;
â) M ξ , Dξ .
Ðåøåíèå:
à)
Òàê êàê ξ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åå ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïðè ëþáîì x ∈ R.
Òîãäà lim F (x) = 1. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ðàâåíñòâîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ
x→2−
êîíñòàíòû c.
cx2
lim
=c
x→2− 4
á)
⇔
c = 1.


0,
x ≤ 0,

 2
x
F (x) =
, 0 < x ≤ 2,


 41,
x > 2.
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé f (x) = F 0 (x). Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èì:

0,
x ≤ 0,

 x
, 0 < x ≤ 2,
f (x) =
2


0,
x > 2.
â) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (5.3.1) è (5.3.4) èç êîíòåíòà òåìû
+∞
Z
Z2
5.
x
x3 2 8 4
Mξ =
xf (x)dx = x · dx = | = = .
2
60 6 3
−∞
0
+∞
Z
Z2
x2 f (x)dx − (M ξ)2 =
Dξ =
−∞
0
x
x2 · dx −
2
µ ¶2
4
=
3
x4 2 16 16 16 2
=
−
= .
= |−
80
9
8
9
9
3
ÒÇ 5.3. Ìèíóòíàÿ ñòðåëêà ýëåêòðè÷åñêèõ ÷àñîâ ïåðåìåùàåòñÿ ñêà÷êîì
â êîíöå êàæäîé ìèíóòû. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â äàííîå ìãíîâåíèå
÷àñû ïîêàæóò âðåìÿ, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîãî íå áîëåå ÷åì íà 20
ñåêóíä.
Ðåøåíèå: Ðàçíèöà â ïîêàçàíèÿõ ÷àñîâ è èñòèííîãî çíà÷åíèÿ âðåìåíè
ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ξ , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé íà îòðåçêå
[0; 60c].  çàäà÷å òðåáóåòñÿ íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ ∈ [0; 20c].
Z20
P {ξ ∈ [0; 20]} =
f (x)dx.
0
Äëÿ ðàâíîìåðíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ

0,
x < 0,



1
f (x) =
, 0 ≤ x ≤ 60,

60


0,
x > 60.
Z20
Òîãäà P {ξ ∈ [0; 20]} =
0
1
x 20 1
dx =
| = .
60
60 0
3
ÒÇ 5.4. Ïðîèçâîäèòñÿ âçâåøèâàíèå íåêîòîðîãî âåùåñòâà áåç ñèñòåìàòè-
÷åñêèõ îøèáîê. Ñëó÷àéíûå îøèáêè âçâåøèâàíèÿ ïîä÷èíåíû íîðìàëüíîìó
çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñî ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 20 ã.
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âçâåøèâàíèå áóäåò ïðîèçâåäåíî ñ îøèáêîé,
íå ïðåâîñõîäÿùåé ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå 10 ã.
Ðåøåíèå: Ïî óñëîâèþ çàäà÷è îøèáêà âçâåøèâàíèÿ ξ ∈ N (0, 20). Òðåáóåòñÿ íàéòè P {|ξ| ≤ 10}. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòîé âåðîÿòíîñòè âîñïîëüçóåìñÿ
òàáëèöåé çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà (êîíòåíò òåìû 12, ïðèëîæåíèå 2).
µ
P {|ξ| ≤ 10} = P {−10 ≤ ξ ≤ 10} = 2Φ0
10
20
¶
=
= 2Φ0 (0, 5) = 2 · 0, 1915 = 0, 383.
ÒÇ 5.5. Âðåìÿ îæèäàíèÿ ó áåíçîêîëîíêè àâòîçàïðàâî÷íîé ñòàíöèè ÿâ-
ëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ξ , ðàñïðåäåëåííîé ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó
ñî ñðåäíåì âðåìåíåì îæèäàíèÿ, ðàâíûì 5 ìèíóòàì. Íàéäèòå:
à) F (x);
á) P {2, 5 < ξ < 7, 5}.
4
Ðåøåíèå:
à)
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è M ξ = 5. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, M ξ =
ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ. Òîãäà
1
=5
α
⇔
1
, ãäå α α
α = 0, 2.
Çíàÿ ïàðàìåòð α, ìîæåì çàïèñàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ξ :
½
F (x) =
á)
0,
x < 0,
−0,2x
1−e
, x ≥ 0.
P {2, 5 < ξ < 7, 5} = F (7, 5) − F (2, 5) = e−0,2·2,5 − e−0,2·7,5 =
= e−0,5 − e−1,5 ≈ 0, 607 − 0, 223 = 0, 384.
Çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà
 çàäà÷àõ 5.1 5.5 â êîíöå ðåøåíèÿ ïîñòðîèòü ãðàôèêè ïëîòíîñòè f (x)
è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ .
5.1. Ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

x ≤ 0,
 0,
f (x) =
cx, 0 < x ≤ 3,

0,
x > 3.
½
¾
3
Íàéäèòå: a) c; á) F (x); â) P |ξ − M ξ| <
.
4
5.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî, M ξ = 1, Dξ = 3.
Íàéäèòå ïëîòíîñòü f (x) è ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ .
5.3. Ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

x < 0,
 0,
2
f (x) =
cx , 0 ≤ x ≤ 1,

0,
x > 1.
Íàéäèòå: a) c; á) F (x). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â äâóõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå
0,3?
5
5.4. Ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:





π
x<− ,
2 π
π
c cos x, − ≤ x ≤ ,
f (x) =
2


π 2

 0,
x> .
2
n
πo
Íàéäèòå: a) c; á) F (x); â) P |ξ| <
.
4
0,
5.5. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü f (x) =
äèòå: a) c; á) F (x); â) P {|ξ| < 2}.
c
, ∀x ∈ R. Íàé4 + x2
c
. Íàéäèòå:
e−2x + e2x
a) c; á) F (x). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â äâóõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå 2.
5.6. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ïëîòíîñòü f (x) =
 çàäà÷àõ 5.7 5.8 ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàäàíà ãðàôè÷åñêè.
Íàéäèòå êîíñòàíòó c è íàïèøèòå âûðàæåíèÿ äëÿ f (x) è F (x).
5.7.
6y = f (x)
qc
µ
¡
¡
¡
¡
q
¾
q
¡
−2
-
x
0
5.8.
6y = f (x)
cq
0
@
I
@
@
@
q
@q
c
-
x
5.9. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Êîøè, îïðåäåëÿåìîìó
ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé
x
F (x) = b + c · arctg .
a
Âûáåðèòå êîýôôèöèåíòû a, b è c òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äàííîå ðàñïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâîâàëî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå íåïðåðûâíîãî òèïà.
6
5.10. Àâòîìàò èçãîòàâëèâàåò øàðèêè. Øàðèê ñ÷èòàåòñÿ ãîäíûì, åñëè îò-
êëîíåíèå ξ äèàìåòðà øàðèêà îò ïðîåêòíîãî ðàçìåðà ïî àáñîëþòíîé
âåëè÷èíå ìåíüøå 0,7 ìì. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñî
ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 0, 4 ìì, íàéäèòå, ñêîëüêî
â ñðåäíåì ãîäíûõ øàðèêîâ ñðåäè 100 èçãîòîâëåííûõ.
5.11. Èñïûòûâàþò 2 íåçàâèñèìûõ ðàáîòàþùèõ ýëåìåíòà. Äëèòåëüíîñòü âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïåðâîãî ýëåìåíòà èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
½
0,
t < 0,
−0,02t
1−e
, t ≥ 0,
F1 (t) =
âòîðîãî
½
F2 (t) =
0,
t < 0,
−0,05t
1−e
, t ≥ 0.
Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà âðåìÿ t = 6 ÷àñîâ òîëüêî îäèí
ýëåìåíòîâ îòêàæåò.
 çàäàíèÿõ 5.12 5.16 çàäàíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Íàéäèòå êîíñòàíòó c, M ξ , Dξ , ìîäó m.

 0, x ≤ 0,
5.12. F (x) = cx, 0 < x ≤ 1,

1, x > 1.
5.14. F (x) =
5.16. F (x) =


0,
x < 1,
 1 − c , x ≥ 1.
x3









0,

x ≤ 0,
 0,
2
5.13. F (x) = cx , x ∈ (0; 1],

1,
x > 1.


0,
x ≤ 0,
5.15. F (x) =
 cx , x > 0.
1+x
x ≤ −2,
c
(x + 2), −2 < x ≤ 2,
4
1,
x > 2.
 çàäà÷àõ 5.17 5.30 çàäàíû ïëîòíîñòè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Íàéäèòå êîíñòàíòó c, M ξ , Dξ , ìîäó m.
5.17. f (x) =



c
, x ∈ [a; b],
b−a
0,
x∈
/ [a; b].
(
5.18. f (x) =
2cx, x ∈ [0; 1],
0,
x∈
/ [0; 1].
7
(
5.19. f (x) =
cx, x ∈ [0; 2],
0, x ∈
/ [0; 2].
5.23. f (x) =
cx2 , x ∈ [0; 1],
0,
x∈
/ [0; 1].


√
c
,
x
∈
[0;
3],
2
1
+
x
5.25. f (x) =
√

0,
x∈
/ [0; 3].
(
5.27. f (x) =
c(2x − x2 ), x ∈ [0; 1],
0,
5.20. f (x) =
c(x2 + 2x), x ∈ [0; 1],
0,
x∈
/ [0; 1].
 µ
¶
1

 c x−
, x ∈ [1; 2],
2
5.22. f (x) =


0,
x∈
/ [1; 2].

 0, x ≤ 1,
5.21. f (x) =
 c , x > 1.
x4
(
(
x∈
/ [0; 1].
(
5.24. f (x) =
0,
x < 0,
4ce−4x , x ≥ 0.

·
¸
c
1



 x, x ∈ e; e ,
5.26.f (x) =
¸
·

1


;e .
/
 0, x ∈
e
(
5.28. f (x) =
cx(1 − x), x ∈ [0; 1],
0,
x∈
/ [0; 1].

c
 √
, x ∈ [−1; 1] ,
2
1
−
x
5.29. f (x) =

0,
x∈
/ [−1; 1] .
 µ
¶
1
3

2
 c − x + x − 2 , x ∈ [2; 4],
4
2
5.30. f (x) =


0,
x∈
/ [2; 4].
8