Постановка задачи: Найти уравнение касательной плоскости и

Постановка задачи: Найти уравнение касательной плоскости и нормали
к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0, в точке M (x0 , y0 , z0 ).
План решения:
Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением F (x, y, z) = 0, в
точке M (x0 , y0 , z0 ) определяется формулой
¯
¯
¯ ¾
½
∂F ¯¯
∂F ¯¯
∂F ¯¯
,
,
~n = gradF |M =
∂x ¯M ∂y ¯M ∂z ¯M
Следовательно, уравнение касательной плоскости к данной поверхности в
точке M (x0 , y0 , z0 ) есть
¯
¯
¯
0¯
0¯
0¯
(1)
Fx ¯ (x − x0 ) + Fy ¯ (y − y0 ) + Fz ¯ (z − z0 ) = 0
M
M
и уравнение нормали
M
x − x0
y − y0
z − z0
¯ =
¯ =
¯
0¯
0¯
0¯
Fx ¯
Fy ¯
Fz ¯
M
M
0
(2)
M
0
0
1. Находим частные производные Fx , Fy , Fz в точке M (x0 , y0 , z0 ).
2. Подставляем найденные значения в уравнения (1) и (2) и записываем
ответ.
Замечание: Если заданы только значения x0 , y0 , то координата z0 точки
M принадлежит данной поверхности, т.е. F (x0 , y0 , z0 ) = 0.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности, заданной уравнением z = xy в точке M (1, 1).
Решение: запишем уравнение поверхности в виде xy −z = 0, т.е. F = xy −z.
Координаты точки M : x0 = 1, y0 = 1. Координату z0 определяем из условия,
что точка M принадлежит данной поверхности, т.е. F (1, 1, z0 ). Получаем z0 = 1.
0
0
0
1. Находим частные производные Fx , Fy , Fz в точке M (1, 1, 1):
¯
0
Fx ¯(1,1,1) = y|(1,1,1) = 1
¯
0
Fy ¯(1,1,1) = x|(1,1,1) = 1
¯
0
Fz ¯(1,1,1) = −1
2. Подставляя найденные значения в уравнения (1) и (2), получаем
уравнение касательной к плоскости
1(x − 1) + 1(y − 1) − 1(z − 1) = 0 =⇒ x + y − z − 1 = 0
1
и уравнение нормали
x−1
y−1
z−1
=
=
=⇒ x − 1 = y − 1 = 1 − z.
1
1
−1
2