§9 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 9.1 Понятие функции нескольких переменных x D

§9 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
9.1 Понятие функции нескольких переменных
Пусть каждой упорядоченной паре чисел (x, y)
из некоторой
области D соответствует определенное число zER. Тогда z=f(x,
y) называется функцией двух переменных x и y,
x, y –
независимыми переменными или аргументами, D – областью
определения, а множество Е всех значений функции
–
областью ее значений. Геометрически область определения
функции D представляет собой некоторую часть плоскости Оху,
ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не
принадлежать этой плоскости.
Под графиком функции
z
двух переменных будем
понимать поверхность,
M(x,y,z)
образованную
множеством точек
М(x, y, z) пространства,
О
x
y координаты которых
удовлетворяют
уравнению z=f (x, y).
Пример: Найти область определения функции z 
y
1
x  y 4
2
2
.
Данная функция
определена при x2+y2-4<0, т.е.
2
для точек (х, у) плоскости Оху
x
О
2
должно выполняться
неравенство x2+y2<4, что
соответствует внутренней
части окружности с R=2 и
центром в начале координат.
9.2 Непрерывность функции нескольких переменных
Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, y0),
если ее предел в точке М0 равен значению функции в этой точке
lim f ( M )  f ( M 0 )
или
M M 0
lim f ( x, y)  f ( x0 , y0 ).
( x , y )( x0 , y0 )
Функция непрерывная во всех точках некоторой области D,
называется непрерывной в данной области. Точки, в которых
функция не определена или не является непрерывной, называются
точками разрыва функции.
Свойства функций непрерывных в области D:
1. если функции f и g непрерывны в точке М0, то функции fg,
fg и f /g (g(M0)0) непрерывны в точке M0;
2. Теорема Вейерштрасса: если функция f(M) непрерывна на
ограниченном замкнутом множестве D, то она ограничена на нем и
достигает в некоторых точках М1 и М2 этого множества своих
наибольшего и наименьшего значений.
9.3 Частные производные
Пусть дана функция двух переменных z=f(x, y) определенная в
области D и точка М0(x0, y0)D. Зафиксируем значения y, положив
y=y0. При этом получим функцию z=f(x, y0) одной переменной х.
Если эта функция при х=х0 дифференцируема, то
 lim
x 0
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) f ( M 0 )

 f x( M 0 ).
x
x
называемый частной производной функции z=f(x, y) по
переменной х в точке М0(x0, y0). Аналогично определяются
частные производные этой функции по переменной y:
f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 ) f ( M 0 )
lim

 f y ( M 0 ).
y 0
y
y
Пример: Найти частные производные функции z=f(x, y) в точке
М0(3,2), если z=x3y+xy2-2x+3y-1.
z ( M 0 )
 3x 2 y  y 2  2
x


M0
 56,
z ( M 0 )
 x 3  2 xy  3
y


M0
 42.
Если функция z=f(x, y) дифференцируема в точке М0(x0, y0), то
выражение
f ( M 0 )
f ( M 0 )
dz ( M 0 ) 
dx 
dy.
x
y
называется полным дифференциалом.
Градиентом дифференцируемой функции z=f(x, y) в точке М
называется вектор
 z ( M ) z ( M ) 
.
grad z ( M )  
,
y 
 x
9.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной
gradu(N0 )
поверхности
плоскостью
S
в
ее
точке
к
N0
называется плоскость, содержащая в
N0
себе все касательные к кривым,
проведенным на поверхности через
S
точку N0. Вектор
 u ( N 0 ) u ( N 0 ) u ( N 0 ) 

grad u ( N 0 )  
,
,
y
z 
 x
является вектором нормали для касательной плоскости и ее
уравнение примет вид: z  z0  f x( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ).
Нормалью к поверхности S в точке N0 называется прямая,
перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через
точку N0. Направляющим вектором для нормали является вектор
grad u ( N 0 ) и каноническое уравнение нормали имеет вид:
x  x0
y  y0
z  z0


.
 f x( x0 , y0 )  f y ( x0 , y0 )
1
Пример: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности S: z=sinxcosy в точке N0(/4, /4, 1/2).
f x( / 4,  / 4)  cos x cos y (  / 4, / 4 ) 
1
,
2
1

f y ( / 4,  / 4)   sin x sin y (  / 4, / 4 )   .
2
Тогда уравнение касательной плоскости:
1 1 
 1 

z    x     y  
2 2 
4 2 
4


2z 1  x   y 
4
4
или x-y-2z+1=0, а уравнение нормали –
x   / 4 y   / 4 z  1/ 2


 1/ 2
1/ 2
1
или
x   / 4 y   / 4 z 1/ 2


.
1
1
2
9.5 Экстремум функции многих переменных
Теорема
9.1:
(необходимое
условие
экстремума)
если
дифференцируемая функция z=f(x, y) имеет в точке М0(х0, у0)
экстремум, то в этой точке выполняются равенства
f ( M 0 )
 0,
x
f ( M 0 )
 0.
y
Теорема 9.2: (достаточное условие экстремума) пусть М0(х0, у0) –
стационарная точка функции z=f(x, y) и в точке М0 существуют
непрерывные производные второго порядка
 2 f (M 0 )
A
,
2
x
 2 f (M 0 )
B
,
xy
 2 f (M 0 )
C
.
2
y
I Если B2-AC<0, то в точке М0 имеем экстремум, при чем при A<0
М0 – точка максимума, а при A>0 М0 – точка минимума.
II Если B2-AC>0, то в точке М0 экстремума нет.
Пример: Исследовать на экстремум функцию z=x2+xy+y2-2x-3y.
Найдем частные производные z\x=2x+y-2, z\y=x+2y-3.
Решая систему
2 x  y  2  0

x  2 y  3  0
находим стационарную точку M0(1/3, 4/3).
А=2z(М0)\x2=2>0,
B=2z(М0)\xy=1,
C=2z(М0)\у2=2.
Т.к. B2-AC=-3<0 и А>0, то M0(1/3, 4/3) – точка минимума и
zmin=-7/3.
9.6 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
Пусть функция z=f(x, y) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D с границей Г и дифференцируема во всех
ее внутренних точках. Тогда в силу теоремы Вейштрасса
существуют точки M1 и M2, в которых функция f
принимает
наибольшее и наименьшее значение, т.е.
f ( M 1 )  max f ( x), f ( M 2 )  min f ( x).
xD
xD
Точки M1 и M2 следует искать среди стационарных точек функции f
внутри области D или среди точек, принадлежащих границе Г.
Сравнив наибольшее и наименьшее значения функции f в
стационарных точках с наибольшим и наименьшим значением
функции f на границе Г, найдем искомый максимум и минимум
функции f в области D.
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z=x2+y2-xy+x+y в области, ограниченной линиями x=0, y=0, x+y=-3.
y
А
-3
М4
Решив систему
М3 О
М2
М1
-3
В
z / x  2 x  y  1  0

z / y  2 y  x  1  0
находим стационарную точку
М1(-1, -1).
z1(М1)=-1.
Исследуем данную функцию
на границах области.
На прямой ОВ: х=0 имеем z=y2 +y и задача сводится к отысканию
наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной
на отрезке [-3, 0].
Находим
z y  2 y  1  0,
у = -1/2,
z y  2.
Получили точку локального минимума М2(0, -1/2), в которой
z2(М2)= -1/4. На концах отрезка ОВ z3(0, 0)=0 и z4(0, -3)=6.
На прямой ОА: у=0 имеем z=х2 +х. Находим
zх  2 х  1  0, х = -1/2,
z х  2.
Получили точку локального минимума М3(-1/2, 0), в которой
z5(М3)=-1/4. На концах отрезка ОА z6(-3, 0)=6.
На прямой АВ: у=-3-х имеем z=3х2 +9х+6. Находим
zх  6 х  9  0,
х = -3/2,
z х  6.
Получили точку локального минимума М4(-3/2, -3/2), в которой
z7(М4)=-3/4.
Сравнивая все полученные значения z, получаем, что zнаиб=6
достигается в точках А(-3, 0) и В(0, -3), а zнаим=-1 в стационарной
точке М1(-1, -1).