Касательная плоскость и нормаль к поверхности

1) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
S:
4 y 2  z 2  4 xy  xz  3 z  9
в точке M 0  1 ;  2 ; 1 .
Поверхность называют регулярной, если у каждой точки этой поверхности есть окрестность, допускающая
регулярную параметризацию, т.е. параметризацию вида
 

r  r u , v   r  x u , v  , y u , v  , z u , v  ,
u , v   D ,
где функции
x  x u , v  , y  y u , v  , z  z u , v  , u , v   D
k раз непрерывно дифференцируемы в области D .
Точку регулярной поверхности называют обыкновенной (неособой), если существует такая регулярная
параметризация некоторой её окрестности, что в этой точке ранг матрицы


A



x
u
x
v
y
u
y
v
z
u
z
v






равен двум. В противном случае точку называют особой.
Пусть регулярная без особых точек поверхность задана неявным уравнением F  x , y , z   0 и
F x 
F
x
, F y 
M0
F
y
, F z 
M0
F
z
- частные производные в точке
M0
M 0  x0 ; y0 ; z0  .
Уравнение касательной плоскости, проходящей через точку M 0 :
F x   x  x0   F y   y  y0   F z   z  z0   0
Уравнение нормали в точке M 0 :
x  x0 y  y0 z  z0


F x
F y
F z
F  x , y , z   4 y 2  z 2  4 xy  xz  3 z  9
F

  4 y 2  z 2  4 xy  xz  3 z  9  x  4 y  z
x
F
x
F

  4 y 2  z 2  4 xy  xz  3 z  9  y  8 y  4 x
y
F
y
F

  4 y 2  z 2  4 xy  xz  3 z  9  z  2 z  x  3
z
F
z
 4   2   1  9
M0
 8   2   4  1  12
M0
 2  1  1  3  0
M0
► Уравнение касательной плоскости.
F x   x  x0   F y   y  y0   F z   z  z0   0
9   x  1  12   y   2    0   z  1  0
9   x  1  12   y  2   0
3x  4 y  5  0
- общее уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 .
1 ► Уравнение нормали.
x  x0 y  y0 z  z0


F x
F y
F z
x  1 y   2  z  1


0
9
12
x1 y  2 z 1


3
4
0
- каноническое уравнение нормали к поверхности в точке M 0 (прямая находится в плоскости z  1 ).
Литература:
1) Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. "Геометрия", 2003, стр. 303 (касательная плоскость и нормаль к поверхности).
2) Для данной поверхности
z  sin  xy  составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке
  
M  1 ; ;?  .
 3 
Уравнение касательной плоскости, проходящей через точку M 0 :
F x   x  x0   F y   y  y0   F z   z  z0   0
Уравнение нормали в точке M 0 :
x  x0 y  y0 z  z0


F x
F y
F z
где
F x 
F
x
,
M0
F y 
F
y
,
F z 
M0
F
z


- частные производные в точке M 0 x 0 ; y 0 ; z 0 .
M0
Вычисляем
F  x , y , z   sin  xy   z
F
  sin  xy   z  x  y  cos  xy 
x
F
x
F
  sin  xy   z  y  x  cos  xy 
y
F
y
F
  sin  xy   z  z  1
z
F
z

M0

3
 cos
 1  cos
M0

3

3



6
1
2
 1
M0

3
 
z  1 ;   sin 
3
2
 3
► Уравнение касательной плоскости.
F x   x  x0   F y   y  y0   F z   z  z0   0


1 
3
  x  1    y    1   z 
0
6
2 
3
2 


2 x 
y 
3
 z
0
6 6 2 6
2
3
x y
 z
0
6 2
2


 x  3y  6z  3 3  0
- общее уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M 0 .
► Уравнение нормали.
x  x0 y  y0 z  z0


F x
F y
F z
y

x1
3 

   1
   
 6  2
x1


y
3

3 
3
2
1
z
3
2
6
z
- каноническое уравнение нормали к поверхности в точке M 0 .
Литература:
1) Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. "Геометрия", 2003, стр. 303 (касательная плоскость и нормаль к поверхности).
3) Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности
z  f  x, y  1  x 2  y 2
в точке M 0   1 ; 1 ; 3  .
Сделать схематический рисунок.
▼
Уравнение касательной плоскости
z  z M  z x  x M , y M    x  x M   z y  x M , y M    y  y M 
Уравнение нормали
x  xM
z x  x M , y M 

y  yM
z y  x M , y M 

z  zM
1
Вычисляем

z x   1  x 2  y 2  x  2 x

z y   1  x 2  y 2  y  2 y
z x  x M , y M   z x  1 ; 1  2  1  2
z y  x M , y M   z y  1 ; 1  2  1  2
z M  z  1 ; 1  1  1 2  1 2  3
3 Следовательно общее уравнение касательной плоскости
z  z M  z x  x M , y M    x  x M   z y  x M , y M    y  y M 
z  3  2   x  1  2   y  1 
2x  2 y  z  1  0
- касательная плоскость к поверхности f  x , y  в точке M 0 .
и каноническое уравнение нормали
x 1 y 1 z 3


2
2
1
- нормаль к поверхности f  x , y  в точке M 0 .
▼
Сделаем иллюстрацию к задаче в MuPAD Pro 4:
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 2007, стр. 319.
4