Тема «Геометрическое применение производной» равна

Тема «Геометрическое применение производной»
Производная функции y = y(x) при данном значении аргумента х = х0 равна
угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в
точке с абсциссой х0 и ординатой y0 = y(x0)
y'(x0) = tg𝜶
(1)
Уравнение касательной к графику функции y = y(x) в точке М0(х0; у0) имеет
вид:
у – у0 = y'(x0)(х – х0)
(2)
Если y(x) имеет при х = х0 бесконечную производную, то уравнение
касательной таково:
х = х0
Уравнение нормали, т. е. прямой, проходящей через точку касания М0(х0; у0)
перпендикулярно касательной, записывается в виде
у – у0 = −
𝟏
𝒚′ (𝒙𝟎 )
(х – х0)
(3)
Примеры.
1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе
у = 2х2-6х+3 в точке М0(1; -1)
Решение: Найдем производную функции у = 2х2-6х+3 при х =1. Имеем
у' = 4х – 6, откуда у'(1) = -2.
Воспользовавшись уравнением касательной к графику функции, получим
искомое уравнение: у – (-1) = -2(х - 1) или 2х + у – 1= 0.
Уравнение нормали получим, используя уравнение (3)
у+1=
1
2
(х – 1), или х – 2у – 3 = 0
2. Составить уравнения касательной и нормали (решить самостоятельно):
а) к гиперболе у =
х+1
х−1
в точке А(2;3)
б) к кривой у = х3 + 4х2 – 1 в точке с абсциссой х0 = -1
в) к параболе у = х2 – 4х + 4 в точках, ординаты которых равны единице.
Тема «Механические приложения производной»
Производная 𝑦 ′ (𝑥0 ) от функции y = y(x), вычисленная при значении
аргумента х = х0, представляет собой скорость изменения этой функции
относительно независимой переменной х в точке х = х0.
В частности, если зависимость между пройденным путем s и временем t при
прямолинейном движении выражается формулой s = s(t), то скорость
движения в любой момент времени t есть
изменения скорости) есть
𝑑𝑠
𝑑𝑡
, а ускорение (т. е. скорость
𝑑2𝑠
𝑑𝑡 2
Пример.
1
1. Точка движется прямолинейно по закону s = 𝑡 3 + 2𝑡 2 − 𝑡 (s выражается в
3
метрах, 𝑡 - в секундах). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после
начала движения.
Решение:
Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:
v(t) =
ds
dt
= t 2 + 4t − 1, откуда v(1) = 4 (м/с)
Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по
времени: a(t) =
d2 s
dt2
= 2t + 4.
Следовательно, a(1) = 6(м/с2)
Решить самостоятельно следующие задачи:
2. Закон прямолинейного движения точки выражается формулой
s = 1 + 𝑡2 −
1 4
𝑡 (s
4
выражается в метрах, 𝑡 - в секундах). Найти скорость и
ускорение движения в момент времени 𝑡 = 3
3. Тело массой 25 кг движется прямолинейно по закону s = ln(1 + 𝑡 2 ). Найти
кинетическую энергию тела (0.5m𝑣 2 ) через 2с после начала движения.
4. Точка движется по оси абсцисс по закону x = 0,25(𝑡 4 − 4𝑡 3 + 2𝑡 2 − 2𝑡)
(х выражается в метрах, 𝑡 - в секундах). В какой момент времени точка
остановится?