ГЛАВА «Функции нескольких переменных» §22. Поверхности в

ГЛАВА «Функции нескольких переменных»
§22. Поверхности в трехмерном пространстве
Опр. 22.1. Множество точек ( x, y, z ) 
называется поверхностью в
переменных.
3
3
, удовлетворяющее некоторому равенству F ( x, y, z )  0 ,
. Частный случай поверхности: z  f ( x, y ) – функция двух
Замечание. В приложениях встречаются и функции с большим числом переменных. Например:
T ( x, y, z, t ) – температура в точке ( x, y, z ) некоторого тела в момент времени t.
Опр. 22.2. Рассмотрим функцию z  f ( x, y ) .Множество точек ( x, y ) , в которых определена функция
z  f ( x, y ) , называется областью определения функции f (обозначение: D f ). При фиксированном
значении С кривая f ( x, y )  C называется линией уровня С поверхности z  f ( x, y ) . При y  0
кривая z  f ( x,0) и при x  0 кривая z  f (0, y ) называются (координатными) сечениями
поверхности z  f ( x, y ) .
Замечание. Все эти понятия используются для построения графика функции f ( x, y ) , т.е. поверхности.
§23. Касательная плоскость к поверхности. Первый дифференциал функции нескольких переменных
Нам понадобится из 1-го семестра:
- дифференцирование сложной функции:  F ( x(t )) /  F / ( x(t ))  x / (t ) ;
- уравнение плоскости по вектору нормали N ( A, B, C ) и точке ( x0 , y0 , z0 ) : A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )  0
(вытекает из условия перпендикулярности векторов N ( A, B, C ) и ( x  x0 , y  y0 , z  z0 ) ).
Опр. 23.1. Пусть т. M 0 ( x0 , y0 , z0 ) лежит на поверхности F ( x, y, z )  0 . Рассмотрим все гладкие
кривые, проходящие через т. M 0 по этой поверхности. Если касательные к этим кривым в т. M 0
лежат в одной плоскости, то такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности
F ( x, y, z )  0 в точке M 0 .
F ( x0  x, y0 , z0 )  F ( x0 , y0 , z0 )
,
x 0
x
то его значение называется частной производной функции F по переменной x в точке M 0 .
F
F
F
( M 0 ),
( M 0 ) . Самим.
( M 0 ), Fx/ ( M 0 ), Fx ( M 0 ) . Аналогично определяются
Обозначения:
y
z
x
Опр. 23.2. Пусть т. M 0 ( x0 , y0 , z0 )  DF . Если существует предел lim
Теорема 23.1. Уравнение касательной плоскости к поверхности F ( x, y, z )  0 имеет вид:
Fx/ ( M 0 )( x  x0 )  Fy/ ( M 0 )( y  y0 )  Fz/ ( M 0 )( z  z0 )  0 . Доказательство.
Следствие. Уравнение касательной плоскости к поверхности z  f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) :
z  z0  f x/ ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y/ ( x0 , y0 )( y  y0 ) . Доказательство.
Опр. 23.3. Пусть дана точка M 0 ( x0 , y0 , z0 )  DF , существуют Fx/ ( M 0 ), Fy/ ( M 0 ), Fz/ ( M 0 ) . Обозначим:
x  x  x0 , y  y  y0 , z  z  z0 . Выражение dF ( M 0 )  Fx/ ( M 0 )  x  Fy/ ( M 0 )  y  Fz/ ( M 0 )  z
называется первым дифференциалом функции F в точке M 0 .
Аналогично df ( x0 , y0 )  f x/ ( x0 , y0 )  x  f y/ ( x0 , y0 )  y – первый дифференциал функции f ( x, y ) в
точке ( x0 , y0 ) .