Задачи 33,93 - экономисты

СОДЕРЖАНИЕ
Задача 33 ........................................................................................................................... 3
Задача 93 ........................................................................................................................... 4
Литература ....................................................................................................................... 7
2
Задача 33
Даны точка А(3,3) и вектор N (2,3) . Необходимо:
1) Записать уравнение прямой l, проходящей через точку A, параллельно
вектору N .
2) Записать уравнение прямой L, проходящей через точку A, перпендикулярно
N.
3) Определить угол между прямыми l и L.
Решение
1) Уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно вектору N ,
будет иметь вид:
x  xA y  yA

Nx
Ny

y
x 3 y 3

2
3

3
9
x 3
2
2
 y

y 3 
3
( x  3) 
2
3
3
x .
2
2
3
k

l
Угловой коэффициент этой прямой:
2.
2) Поскольку прямые L и l перпендикулярны, то их угловые коэффициенты
будут связаны соотношением
k L  kl  1, откуда
kL  
1
1
2
 
3
kl
3.
2
Тогда уравнение прямой L:
2
y  y A  k L ( x  x A )  y  3   ( x  3) 
3
2
 y   x  5.
3
2
y 3   x  2 
3
3) Поскольку прямые L и l перпендикулярны, то угол между ними равен 900.
3
3
y

x

Ответ: 1)
2
2;
2
y


x5;
2)
3
3
3) 900.
Задача 93
Необходимо:
1. проверить, что функция z=f(x,y) удовлетворяет заданному уравнению:
z
y
1 дz 1 дz
z
;




( x 2  y 2 )5
x дx y дy y 2 ;
2. исследовать на экстремум функцию:
z  x 3  3xy2  15 x  12 y .
Решение
1) Находим частные производные первого порядка функции z=f(x,y):

дz д 
y
5y
10 xy

  2



2
x


;
дx дх  ( x  y 2 )5 
( x 2  y 2 )6
( x 2  y 2 )6
/
2
2 5
2
2 5 /
 [ y ] y  ( x  y )  y  [( x  y ) ] y
дz д 
y

  2

2 5 
2
2 10
дy дy  ( x  y ) 
(x  y )
1  ( x 2  y 2 )5  y  5( x 2  y 2 ) 4  (2 y ) x 2  y 2  10 y 2



2
2 10
2
2 6
(x  y )
(x  y )
x2  9 y 2
 2
.
2 6
(x  y )
Тогда
1 дz 1 дz 1
10 xy
1 x2  9 y 2
10 y
     ( 2
)





x дx y дy x
( x  y 2 )6
y ( x 2  y 2 )6
( x 2  y 2 )6
x2  9 y 2
 10 y 2  x 2  9 y 2
x2  y 2
1





y ( x 2  y 2 )6
y ( x 2  y 2 )6
y ( x 2  y 2 ) 6 y ( x 2  y 2 )5
y
z
 2 2

,
2 5
2
y (x  y )
y
т.е. функция z=f(x,y) удовлетворяет заданному уравнению.
4
2) Найдем критические точки функции, для чего вычислим частные
производные функции и приравняем их к нулю:
 z  ( x 3  3 xy2  15 x  12 y )

 3 x 2  3 y 2  15  0

 x
x
 z  ( x 3  3 xy2  15 x  12 y )
 
 6 xy  12  0


y

y


x2  y 2  5
 

xy

2

 x1  2, y1  1; x2  1, y2  2; x3  1, y3  2; x4  2, y4  1.
Получили четыре критические точки:
M1 (2;  1) , M 2 (1;  2) , M 3 (1; 2) , M 4 (2;1) .
Вычислим вторые частные производные:
2
 z (3x 2  3 y 2  15)
 2 z (3x 2  3 y 2  15)

 6 x;

 6 y;
x 2
x
xy
y
 2 z (6 xy  12)

 6 x.
y 2
y
В точке M1 (2;  1) имеем:
2 z
A  2 |M1 ( 2; 1)  6  (2)  12;
x
2 z
B
|M ( 2; 1)  6  (1)  6;
xy 1
2 z
C  2 |M1 ( 2; 1)  6  (2)  12.
y
Поскольку
  AC  B 2  (12)  (12)  (6) 2  108  0
и А<0, то функция z в
точке M1 (2;  1) имеет максимум:
z max  z (2;  1)  (2) 3  3  (2)  (1) 2  15  (2)  12  (1)  28 .
В точке M 2 (1;  2) имеем:
2 z
2 z
A  2 |M 2 ( 1;  2)  6  (1)  6; B 
|M ( 1;  2)  6  (2)  12;
x
xy 2
2 z
C  2 |M 2 ( 1;  2)  6  (1)  6.
y
Поскольку
  AC  B 2  (6)  (6)  (12) 2  108  0 , то функция z не имеет
экстремума в точке M 2 (1;  2) .
5
В точке M 3 (1; 2) имеем:
2z
A  2 | M 3 (1; 2)  6 1  6;
x
2 z
B
| M (1; 2)  6  2  12;
xy 3
2z
C  2 | M 3 (1; 2)  6 1  6.
y
Поскольку
  AC  B 2  6  6  12 2  108  0 , то функция z не имеет экстремума
в точке M 3 (1; 2) .
В точке M 4 (2;1) имеем:
2 z
2 z
A  2 |M 4 ( 2;1)  6  2  12; B 
|M ( 2;1)  6  1  6;
x
xy 4
2 z
C  2 |M 4 ( 2;1)  6  2  12.
y
Поскольку
  AC  B 2  12 12  6 2  108  0
и
А>0, то функция z в точке
M 4 (2;1) имеет минимум:
z min  z (2;1)  23  3  2 12  15  2  12 1  28 .
Ответ: 1) функция z=f(x,y) удовлетворяет заданному уравнению;
2)
z max  z (2;  1)  28 ; zmin  z(2;1)  28 .
6
Литература
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
Высшая школа, 2002.-479 с.
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: учебное пособие для вузов. – 12-е изд.,
перераб. – М.: Высшее образование, 2006. – 476 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.1,2. - М.: Мир и образование, 2007.
4. Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики:
учебное пособие для вузов. - М. : Астрель : АСТ, 2007. - 656 с.
5. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому
анализу: учебное пособие для вузов.-СПб. ; М.; Краснодар: Лань, 2009.-464
с.
6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие
для втузов /Минорский В. П.-М.: Изд-во Физико-математической лит-ры,
2006.-336 с.
7. Пискунов Н.Н. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2, М.:
Интеграл-Пресс, 2009.
8. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник М.: Лань, 2008. –304с.
9. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для
студентов-заочников
инженерно-технических
специальностей
сельскохозяйственных высших учебных заведений / Штейнгардт Д.А. – 5-е
изд. – М.: Высшая школа, 1990. – 127с.
10.Высшая математика: методические указания и контрольные задания для
студентов-заочников
инженерно-технических
специальностей
сельскохозяйственных высших учебных заведений / Н.А. Абакумова, О.Г.
Бельчикова, Н.Л. Гамершмид, В.М. Щербаков. - Барнаул: Изд-во АГАУ,
2013. - 108с.
7